Основы математического анализа

Контрольная работа № 2 (мат. анализ)

Задание 1(8). Найти частные производные:

а)

б)

Задание 2(16). Найти градиент функции в точке

Градиент — вектор, указывающий направление наискорейшего возрастания функции и состоящий из ее частных производных:

Найдем частные производные:

Таким образом, градиент функции в любой ее точке имеет вид:

а в точке :

Задание 3 (24). Вычислить интеграл по области

Построим чертеж области

Координаты точки :

Координаты точки :

Координаты точки

Решая уравнение третьей степени, получим решение с радикалами или тригонометрическими функциями, но судя по чертежу, обе функции проходят через точку. Действительно:

Т.е. область словесно можно описать следующим образом: «В то время как пробегает значения от до, пробегает значения от до «. Это и есть пределы интегрирования при переходе от двойного интеграла к последовательному:

Задание 4(32). Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений этого уравнения.

Решим уравнение

Проверим

Таким образом, общее решение уравнения:

Положив, получим частное решение

Положив, получим частное решение

Отобразим графики этих функций

Задание 5(50). Найти общее дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее условию .

Будем искать решение в виде Тогда

Потребуем, чтобы функция была такова, что выражение в скобках будет равно нулю. Тогда получим систему уравнений:

Решим первое ее уравнение:

(в выражении для функции константу не добавляем, а добавляем далее, в)

Решим второе уравнение системы, подставив в него найденную :

Тогда общее решение исходного уравнения :

Проверим:

Таким образом, общее решение:

Найдем значение константы, соответствующее условию :

Т.е. частное решение, соответствующее заданному условию:

производная функция интегрирование уравнение

Задание 6 (58). Найти общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее данным условиям:

Это уравнение с правой частью специального вида. Его общее решение следует искать в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения:

Найдем решение однородного уравнения:

Характеристические корни этого уравнения:

Т.к. корни действительные и не равны друг другу, то решение однородного уравнения:

Найдем частное решение исходного уравнения. Для правой части вида его следует искать в таком же виде:

Чтобы найти константы и, подставим это решение в исходное уравнение:

Следовательно, Таким образом, общее решение исходного уравнения:

Найдем значения констант, соответствующие условиям. Для этого необходимо вычислить :

Тогда, исходя из условий:

Итак, частное решение, соответствующее заданным условиям:

Ответ:

(общее)

(при заданных условиях)

Задание 7 (66). Исследовать на сходимость ряд

Прежде всего, проверим необходимый признак сходимости:

— необходимое условие выполняется Далее применим признак Даламбера:

Т.к., то согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

Задание 8(74). Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала:

1) Радиус сходимости найдем по признаку Даламбера — ряд сходится при

Таким образом,

— при ряд сходится;

— при ряд расходится.

2) При получим ряд

Проверим необходимый признак сходимости. При этом воспользуемся формулой Стирлинга, позволяющей при предельном переходе при заменять на

— условие выполняется

Проверим сходимость ряда с помощью интегрального признака (как и прежде предварительно заменив член ряда на преобразованный по формуле Стирлинга):

Разложим дробь на простейшие

Следовательно

Т.е. несобственный интеграл сходится к конечному числу.

А значит и ряд тоже сходится.

3) При получим ряд

Члены данного ряда, взятые по модулю, образуют ранее рассмотренный ряд, который сходится. Следовательно, и этот знакочередующийся ряд тоже сходится.

Ответ:

ряд сходится при .