Повторим математику быстро

Повторим математику быстро.

10−11 классы.

О.Н. Пирютко.

• Предисловие
• Тема 1. Тригонометрические функции
• Тема 2. Основные тригонометрические тождества
• Тема 3. Tригонометрические уравнения
• Тема 4. Производная
• Тема 5. Применение производной к решению задач
• Тема 6. Первообразная и интеграл
• Тема 7. Корень n-ой степени из числа
• Тема 8. Степень с рациональным показателем
• Тема 9. Показательная функция
• Тема10. Свойства логарифмов и логарифмическая функция
• Ответы к контрольным тестам
• Тема 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них
• Тема 2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве
• Тема 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
• Тема 4. Углы между прямыми и плоскостями
• Тема 5. Многогранные углы
• Тема 6. Многогранники. Призма
• Тема 7. Параллелепипед
• Тема 8. Пирамида
• Тема 9. Цилиндр
• Тема 10. Конус
• Тема 11. Шар
• Ответы
• Дополнительные сведения

Предисловие.

Книга написана для тех, кто самостоятельно хочет повторить школьную математику за 10-й — 11-й классы.

Как нужно работать с книгой?

В книге 20 тем, содержащих весь программный курс математики 10−11 классов школы. По каждой из тем попробуйте сначала написать тест, он называется «проверочным», затем проверьте ответы (они написаны под тестом в перевёрнутом виде). Если вы не можете выполнить задание или сделали в нём ошибку, в следующем разделе («Улучшите свои знания») под тем же номером, что и задание, вы найдёте правило и (самое главное!) алгоритм его применения с подробными примерами. Вам станет ясно, в чём же была проблема. Далее проверьте себя по разделу «Наиболее часто встречающиеся ошибки» и, наконец, выполните контрольный тест, а ответы сверьте с приведёнными в конце книги.

Эта книга также будет полезна учащимся 10−11 классов как справочник- - помощник, т.к. содержит основной теоретический курс математики и подробные указания его применения.

В предлагаемых основных материалах нет сложных заданий, рассчитанных на изучение математики на повышенном уровне, но она может быть первым этапом в подготовке к различным видам тестирования и другим конкурсным испытаниям.

В дополнительных материалах содержится информация, которой нужно владеть для выполнения заданий повышенного уровня. Приводится тест по всему курсу математики 10−11 классов. Задания, отмеченные * повышенной сложности.

Автор

Алгебра и начала анализа.

Тема 1 Тригонометрические функции.

Проверочный тест.

1. Найдите:

а) область определения функций,.

б) множество значений функций:

— 3sinx; tgx+5; cos2x.

2. Определите период функций:

а) sin2x; б) cos 0,5x; в) tg7x.

3. Выясните, какие из функций являются четными, какие — нечетными, а какие — ни четными, ни нечетными:

а) tg2x; б) sinx•cos 3x; в)?cosx; г) sinx+cosx.

4. Определите знак произведения:

а) sin50° · cos60° · sin 188° · cos 189° ;

б) tg2 · sin4.

5. Что больше: а) sin 37° или sin 67°; б) cos 54° или cos45°; в) tg59° или tg13°?

6. Постройте графики функций:

а)sin2x; б) cos х/2; б) tg јx.

Ответы:

1. а) х — любое число; х? р/2 +рk, k — целое число; х — любое число.

б) [-3; 3]; (-?; +?); [-1; 1] .

2. а) р/2; б)2р; в)2р/7.

3. в) четная функция; а), б) — нечетные функции, г) не является ни четной функцией, ни нечетной.

4. а)"плюс"; б)"минус".

5. а) sin 67° > sin 37°; б) cos45° >cos 54°;в) tg59° >tg13°.

Улучшите свои знания.

1.a)Область определения (D) тригонометрических функций:

D (sin x) = (-?; +?); D (cosx) = (- ?; +?); D (tgx): х? р/2 +рk,.

k — целое число.

Примеры.

Найдите область определения функций:

1. 2sin5x; 2. -cos4x; 3. tg3x.

Решение.

Так как область определения функции y = sint — все действительные числа, т. е. t (-?; +?), то 5x тоже принадлежит этому промежутку, 5x (-?; +?), значит, х (-?; +?). D (2sin5x) = (-?; +?).

1. Так как область определения функции y = cost — все действительные числа, т. е. t (-?; +?), то 4x тоже принадлежит этому промежутку,.

4x (-?;+?), значит, х (-?; +?). D (-cos4x) = (-?; +?).

Так как область определения функции y = tgt все действительные числа, кроме t = р/2 +рk, где k — целое число, то 3х? р/2 + рk, k — целое число, т. е. х? р/6+рk/3, k — целое число. D (tg3x): х? р/6 +рk/3, k — целое число.

b) Множество значений (E) тригонометрических функций:

E (sinx) = [-1; 1]; E (cosx) = [-1; 1]; E (tgx) = (-?; +?).

Примеры.

Найдите множество значений функций:

1. 2sin5x; 2.-cos4x; 3. tg3x.

Решение.

1. Так как множество значений функции sint — отрезок [-1; 1], то.

— 1? sin5x?1, т. е. -2?2sin5x?2, значит, Е (2sin5x) =[-2;2].

2. Так как множество значений функции cost — отрезок [-1; 1], то.

— 1? сos4x ?1, т. е. -1? -сos4x ?1, значит, Е (-cos4x) =[-1;1].

3. Так как множество значений функции tg t — вся числовая прямая: (-?;+?), то и Е (tg 3x) = (-?; +?).

2. Функция f (x) называется периодической с периодом Т (Т?0), если для любого х из области определения функции х ± Т тоже принадлежит области определения функции, и f (х ± Т) = f (x).

Свойства:

1. Если Т — период функции f (x), то kT — тоже период f (x), где k — произвольное целое число.

2. Если Т — период функции f (x), то период функции f (mx) (m — некоторое действительное число, не равное нулю) равен Т/m.

Период функций sinx и cosx равен 2р, период функции tgx равен р..

Примеры.

Определите период функции: 1. sin2x; 2. tg7x.

Решение.

1. Так как период функции sinx равен 2р, то период функции sin2x равен 2р/2=р.

2. Так как период функции tgx равен р, то период функции tg7x равен р/7.

3. Функция f (x) называется четной, если для любого x из области определения функции f (x) -x также принадлежит области определения и.

f (x) = f (-x).

Функция f (x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции f (x), — x также принадлежит области определения и.

f (-x) = - f (x).

Примеры.

Установите четность или нечетность функции:

1. y= xІ-|x|; 2. y =xі - x; 3. y = 3vx+5; 4. y = x — xІ.

Решение.

1. Область определения данной функции — все действительные числа,.

f (-x)= (-x)І-|-x| = xІ- |x| = f (x).

значит, функция y= xІ-|x| четная.

2. Область определения данной функции — все действительные числа,.

f (-x) = (-x)і -(- x) = - xі + x =-(xі - x) = - f (x).

3. Область определения данной функции — все неотрицательные действительные числа. Значит, если x D (3vx+5), тo — x D (3vx+5), т. е.данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Область определения данной функции — все действительные числа, f (-x)= -x- (-x)І =-xxІ =-(x+xІ)? — f (x)? f (x), значит, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Функции sinx и tgx являются нечетными, функция cosx — четная:

sin (-x)=-sinx; tg (-x) = -tgx; cos (-x) = cosx.

Примеры.

Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие — нечетными, а какие — ни четными, ни нечетными:

1. y = -2 sin 6x +tg4x;

2. y = 4cos 3x + 3;

3. y = sinx + cosx.

Решение.

1. f (-x) =-2sin 6(-x)+tg4(-x) = 2 sin 6x — tg4x= -(-2 sin 6x +tg4x) =- f (x), функция является нечетной.

2. f (-x) = 4cos 3(-x) + 3 =4cos 3x + 3= f (x), функция является четной.

3. f (-x) = sin (-x) + cos (-x) =-sinx +cosx? — f (x)? f (x),.

значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки знакопостоянства и нули функции.

Промежутки знакопостоянства функции — числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной). y.

Промежутки знакопостоянства функции sinx:sinx.

sinx > 0 х (2рk; р +2рк), k — любое целое число;

sinx < 0 х (р +2рк; 2рk), k — любое целое х число.

Промежутки знакопостоянства функции cosx: y.

сosx > 0 х (-р/2 +2рk; р/2 +2рк), k — любое cosx целое число;

cosx < 0 х (р/2 +2рк; 3р/2+2рk), k — любое целое число. х.

y.

Промежутки знакопостоянства функции tgx: tgx.

tgx > 0.

х (рk; р/2 +рк), k — любое целое число;

tgx <0 x.

х (-р/2 +рк; рk), k — любое целое число.

Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Нули функции sinx: sinx=0, x= рк, k — любое целое число.

Нули функции cosx: cosx= 0, x = р/2 +рк, k — любое целое число.

Нули функции tgx: tgx =0, x= рк, k — любое целое число.

Примеры.

Определить знак произведения:

1. sin57° cos80° sin 108° cos 139° ;

2.tg67°•sin73° cos 246°;

3. tg4 sin2· cos1.

Решение.

1. Так как угол 57° принадлежит первой четверти (т.е. 0° <57°< 90°), то sin57° > 0. Угол 80° также принадледит первой четверти, значит, cos80°. Углы 108° и 139° принадлежат второй четверти, т. е. sin 108° >0, cos 139° <0. Значит, sin57° · cos80° · sin 108° · cos 139° <0, как произведение трех положительных и одного отрицательного чисел.

2. Углы 67° и 73° принадлежат первой четверти, угол 246° - третьей, значит,.

tg67°>0, sin73° >0, cos 246°<0, т. е. tg67°•sin73° •cos 246° <0.

3. Так как р? 3.14, то р < 4 < 3р/2, то угол 4 радиана принадлежит третьей четверти, т. е. tg4 > 0. Аналогично, угол 2 радиана принаддежит второй четверти, т. е. sin 2 > 0, и угол 1радиан принаддежит первой четверти, cos1>0. Значит,.

tg4 sin2· cos1 >0.

5. Функция f (x) называется возрастающей на множестве М, если для любых двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению аргумента соответствует большее значение функции (если х1>x2, то f (x1)>f (x2), а если х1.

Функция f (x) называется убывающей на множестве М, если для любых.

двух значений аргумента из множества М (х₁ и x₂), большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (если х₁>x₂, то f (x₁) ₂), а если х₁2, то f (x₁) >f (x₂)).

Функция, только возрастающая или только убывающая на множестве М, называется монотонной на этом множестве.

Функция y = sinx возрастает на промежутках (- р/2 +2рк; р/2+2рk), k — любое целое число.

Функция y = cosx возрастает на промежутках (- р+2рк; 2рk), k — любое целое число.

Функция y = sinx убывает на промежутках (р/2 +2рк; 3р/2+2рk), k — любое целое число.

Функция y = cosx убывает на промежутках (2рк; р+2рk), k — любое целое число.

Функция y = tgx возрастает на промежутках (- р/2 +2рк; р/2+2рk), k — любое целое число.

Примеры.

Что больше:

1. sin 37° или sin 67°; 2. cos 54° или cos45°; 3. tg59° или tg13°?

Решение.

1. Так как функция y = sinx возрастает на промежутке (-90°; 90°), и 37°(-90°; 90°), 67°(-90°; 90°), и 37° < 67°, то sin 37° < sin 67°.

2. Так как функция y = cosx убывает на промежутке (-90°; 90°), и 54°(-90°; 90°), 45°(-90°; 90°), и 54° > 45°, то cos 54° < cos 45°.

3. Так как функция y = tgx возрастает на промежутке (-90°; 90°), то tg59° > tg13°.

5. График функции y = sinx (рис.4):

График функции y=cosx (рис.5):

График функции y=tgx (рис.6):

Примеры.

1. Построим график функции y=sin2x. Период этой функции равен 2р/2=р. Построим синусоиду на этом периоде (рис.7).

2. Построим график функции y=cos ?x. Период cos? x равен 3р. Построим график на этом периоде (рис.8).

3. Построим график функции y=tg7x. Период tg7x равен р/7. Построим график на этом периоде (рис.9).

Наиболее часто встречающиеся ошибки.

Проверь, не делаешь ли ты так?

1. sin47° < sin157° - неверно, так как 47° и 157° принадлежат разным промежуткам монотонности. Чтобы выяснить, какое из чисел sin47° или sin107° больше, надо заменить углы 47° и 107° на углы принадлежащие одному промежутку монотонности:.

воспользуемся формулой sinб = sin (180° - б) для б =157°, sin157°= sin23°.

Далее, так как 47°(-90°; 90°), 73°(-90°; 90°) и sinx возрастает на промежутке (-90°; 90°), то sin 47° > sin23°, т. е. sin47° > sin157°.

2. tg 2 > 0 — неверно. Правильно будет: угол 2 радиана принадлежит промежутку (р/2; р), значит, tg 2 < 0.

Контрольный тест.

1. Найдите:.

а) область определения функции:;; tg (3x+ р/4);

б) множество значений функции: -2сos2x;? sinx +1; .

2. Найдите период функции: 3,4sin 11x +2; tg (рх); сos (0.4x+ р/6).

3. Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие — нечетными, а какие — ни четными, ни нечетными: xcosx; sin (x+ 1); tg (x).

4. Определить знак значения выражения: sin129°cos95°tg260°; ;

5. Расположите в порядке возрастания числа:

а) sin р/12; sin 10р /9; sin 2,1 р; б) cos р/5; cos2,3 р; cos1,4 р; в) tg р/7; tg2,9 р; tg4 р.

6. Укажите, на каком из рисунков изображен график функции у = cos3x.

а).

б).

в).

г).

Тема 2. Основные тригонометрические тождества.

Проверочный тест:

1. Найдите:.

а) sinx и tgx, если сosx =1/5, x[- р/2;0].

б) cosx, если tgx=2, x[ р; 3р/2].

2. а) Найдите sin (б+в), если sinб =3/5, а cosв=?, б[р/2; р], в[0; р/2],.

б) Упростите: .

3. а) Найдите: сos 210°; sin (-135°); tg (11р/6).

б) Упростите: .

4. а) Найдите sin2б; cos2б; tg2б, если tgб=5, б[0; р/2].

б) Найдите sinx, cosx, tgx, если cos2x=, x[р/2; р].

5. Упростите:

Ответы:

1. а) —; б); 2. а); б) 1; 3. а) -; -; -;

б); 4. а) -; -; б); -; -; 5. .

Улучшите свои знания.

1. Тригонометрические функции одного и того же аргумента.

1. sinІx + cosІx =1.

— сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же аргумента равна 1.

По этой формуле, зная значения синуса какого — нибудь угла (например, sinx =1/3), можно найти косинус этого же угла (cosІx =1- sinІx =1-(1/3)І= 1−1/9=8/9, cosx=±2. Знак cosx зависит от того, в какой четверти находится угол х.

Зная значения косинуса какого — нибудь угла, по этой формуле можно найти синус этого же угла: найдем sinx, если сosx=1/5, x[- р/2;0];

sinІx=1-cosІх =24/25, sinx=-2, так как при x[- р/2;0] sinx<0.

2..

где x? рn, n — любое целое число; где x? рn, n — любое целое число.

3. ctgІx +1 = 1/ sinІx, x? рn, n — любое целое число.

По этой формуле, зная значения котангенса какого — нибудь угла (например, ctgx =4), можно найти синус этого же угла, т. е. sinx. (sinx==, знак зависит от того, в какой четверти находится угол х).

4. tgІx +1 = 1/ cosІx, x? р/2+ рn, n — любое целое число.

По этой формуле, зная значения тангенса какого-нибудь угла (например, tgx =5, x[р/2; р]), можно найти косинус этого же угла, т. е. cosx.(cosx = - =, знак «-», так как при x[р/2; р] cosx<0).

5. tgx•ctgx=1, x? р/2?n, n — любое целое число.

Пример:

Найдите значения всех тригонометрических функции угла x, если.

gx =0.75, x[р; 3/2р].

Решение.

Из формулы tgx•ctgx=1 найдем ctgx=1/tgx =1:0.75 = 4/3.

Из формулы.

tgІx +1 = 1/ cosІx найдем cosx = -,.

знак «-», берется потому, что при x[р; 3/2р] cosx<0.

Из формулы найдем sinx = cosx•tgx =- 0.8•0.75 = -0.6.

2. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.

1. Синус суммы двух углов:

sin (x +y) =sinxcosy + sinycosx.

2. Синус разности двух углов:

sin (xy) =sinxcosy — sinycosx.

3. Косинус суммы двух углов:

cos (x+y) = cosxcosy — sinx siny.

4. Косинус разности двух углов:

cos (x-y) = cosxcosy + sinx siny.

5. Тангенс суммы двух углов:

tg (x+y) =, где.

x+y? р/2+ рn, x? р/2+рk, y? р /2+рm, n, m, k — целые числа.

6. Тангенс разности двух углов:

tg (x-y) =, где.

xy? р/2+ рn, x? р/2+рk, y? р /2+рm, n, m, kцелые числа.

Примеры:

а) Найдите cos (x+y), если sinx =3/5, а cosy=?, x[р/2; р], y[0; р/2].

Решение Запишем формулу cos (x+y) = cosx cosy — sinx siny. В правой части этой формулы значения cosx и siny не известны. Найдем их:

cosx = -=, siny ==.

.

Подставим найденные значения в формулу cos (x+y) = cosxcosy — sinx siny, получим: cos (x+y)=.

б) Упростите выражение: .

Решение.

Замечаем, что в числителе представленной дроби записана правая часть формулы косинуса разности двух углов, т. е.

cos 110°cos40° +sin 110° sin 40° = cos (110° - 40°)= cos70°.

В знаменателе представленной дроби записана правая часть формулы синуса разности двух углов, т. е.

sin 35°cos15° - cos35°sin15°=sin (35° - 15°) = sin 20°. Тогда получим:

=,.

cos 70° = sin20°, т.к. 20° дополняет 70° до 90°.

3. Формулы приведения.

Формулы приведения позволяют от тригонометрических функций аргумента р/2?n +б, перейти к тригоометрическим функциям аргумента б.

Например, sin (р/2+б) = cos б, cos (р+б) = - cos б.

Правило:

а) если в формуле приведения (например, cos (5р/2+б)) аргумент б прибавляется к числу р/2(или вычитается из числа р/2), взятого нечетное число раз (в нашем случае 5раз), то название функции меняется на кофункцию: синусна косинус, косинусна синус, тангенсна котангенс (в нашем случае название функции косинус изменится на синус);

б) если в формуле приведения (например, cos (3р +б)) аргумент б прибавляется к числу р/2(или вычитается из числа р/2), взятого четное число раз (в нашем случае — 6 раз, 3р =6? р/2), то название функции не меняется;

в) знак приведенной функции определяется по знаку приводимой функции в соответствующее четверти, считая угол б острым (так как 5р/2+б принадлежит второй четверти, а во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, то cos (5р/2+б)=-sinб; угол 3р +б принадлежит третьей четверти, а в третьей четверти косинус принимает отрицательные значения, значит, cos (3р +б)=-cos б).

Примеры а) Найдите: сos 210°; sin (-135°); tg (11р/6).

Решение.

сos 210°= cos (180?+30?) =-cos30?=-/2, так как 180?=90??2(р/2 взято четное число раз), то название функции не меняется; угол 180?+30? находится в третьей четверти, значения косинуса в ней отрицательны, поэтому перед приведенной функцией поставлен «- «.

sin (-135°) =-sin (90° +45°)=- cos45° = - /2.

tg (11р/6) = tg (2рр/6)=-tg р/6=-/3.

б) Упростите выражение:

Решение.

===.

==.

4. a)Формулы двойного аргумента.

1. Синус двойного аргумента: sin2x = 2sinxcosx.

2. Косинус двойного аргумента: cos2x = cos² x — sin² x.

3. Тангенс двойного аргумента:

tg2x =.

Пример Найдите sin2б; cos2б; tg2б, если tgб=5, б[0; р/2].

Решение.

Запишем формулу синуса двойного аргумента: sin2б = 2sinбcosб.

В правой части этой формулы не известны sinб и соsб.

Из формулы tgІ б +1 = 1/ cosІ б найдем cos б .

соs б =.

Из формулы sin2 б +соs2 б=1 найдем.

sinб. sinб =.

Подставим найденные значения sinб и соs б в формулу синуса двойного аргумента:

sin2б = 2sinбcosб =.

cos2б найдем из формулы косинуса двойного аргумента:

соs 2б = cos2б — sin2б = .

tg2б =.

б) Формулы половинного аргумента.

1. Синус половинного аргумента:

six.

2. Косинус половинного аргумента:

cos.

3. Тангенс половинного аргумента:

tg x.

Пример Решение.

Найдите sinx, cosx, tgx, если cos2x=, x[р/2; р].

По формуле синуса половинного аргумента найдем.

sinx= =.

Выбираем знак «+», так как x[р/2; р](вторая четверть), sinx в этой четверти положительный.

По формуле косинуса половинного аргумента найдем соsx= = ,.

выбираем знак «-», так как x[р/2; р](вторая четверть), cosx в этой четверти отрицательный.

tgx =.

5. Формулы cуммы и разности одноименных тригонометрических функций (синуса и косинуса).

1. Сумма синусов двух углов:

sinx +siny =2sincos.

2. Разность синусов двух углов:

sinx — siny =2sincos.

3. Сумма косинусов двух углов:

cosx +cosy =2cos cos.

4. Разность косинусов двух углов:

cosx — cosy = -2 sin sin.

Пример.

Упростите:

Решение К числителю дроби применим формулу разности синусов, а к знаменателю — формулу суммы косинусов, получим:

=.

По формуле синуса двойного аргумента заменим:

=2, а соs,.

Получим.

=.

Наиболее часто встречающиеся ошибки.

Проверь, не делаешь ли ты так.

1. По значению sinб = -, б. Найдите соsб.

cоsб =, этот ответ неверный, т.к. б, а в этом промежутке значения косинуса отрицательный.

Правильно будет:

cоsб = ;

2. Примените формулы приведения к выражениям.

а) sin (3р-б) ;

б) tg (x — р).

а) sin (3р-б) = cosб.

Это неверно, название функции не меняется, так как.

3р =6, 6 — четное число. Верно будет:

а) sin (3р-б) = sinб.

б) tg (x — р) = ctgx, это неверно, верно будет: tg (x — р) =- tg (р-x) =-ctgx.

Контрольный тест.

1. Вычислите cos105?- sin195?+sin (-135?).

2. Найдите sin, если tgx = 2, x.

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите, не пользуясь таблицами: sin 22,5?.

Тема 3. Tригонометрические уравнения.

Проверочный тест:

1. Вычислите:

а) arcsin.

б) arcsin.

2. Решите уравнение:

а) sinx = б) cosx = -в) tgx = .

3. Решите уравнение:

а) sin2 x + cosx +1= 0; б) sin2 x +2sinxcosx — 3cos2x = 0;

в) 3sinx +4cosx = 2.

Ответы:

1.а) б) 2. а) (-1)k.б).

в).

2.а) б) arctg (-3)+рn, n;

в).

Улучшите свои знания.

1. Обратные тригонометрические функции.

Арксинусом числа a называется угол, заключенный в промежутке, синус которого равен a: аrcsin a = б, sin б=a, .

Примеры.

Вычислите: а) arcsin0,5; б) arcsin (-0,5);

а) arcsin0,5=, так как sin= 0,5, .

б) arcsin (-0,5)= -, так как sin= -0,5, -.

Арккосинусом числа a называется угол, заключенный в промежутке, косинус которого равен a: аrcсо a = б, cosб=a,.

Примеры.

Вычислите:

а) arccos0,5; б) arccos (-0,5);

а) arccos 0,5=, так как cos= 0,5,.

б) arccos (- 0,5)=, так как cos= - 0,5,.

Арктангенсом числа a называется угол, заключенный в промежутке тангенс которого равен a: аrctg a = б, tgб=a,.

Примеры.

Вычислите:

а) arctg1; б) arctg (-1);

а)arctg1=так как tg.

б) arctg (-1) = - так как tg (;

2. Простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение sinx = a, xнеизвестная переменная, a-некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a< -1, то уравнение sinx = a не имеет решений. Например, уравнения sinx = 4, sinx = -2,4 не имеют решений.

б) Ecли a= 1, то решение уравнения: x=.

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= ;

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=.

д) Ecли aто x=(-1)ⁿarcsina+рn, n.

Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде x=(-1)ⁿarcsin0,3+рn, n.

Уравнение соsx = a, xнеизвестная переменная, a-некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a< -1, то уравнение cosx = a не имеет решений.

Например, уравнения cosx = 1,4, sinx = -2,5 не имеют решений.

б) Ecли a = 1, то решение уравнения: x=.

в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x=.

г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=.

д) Ecли aто x= arccosa+2рn, n.

Например, решение уравнения cosx = 0,3 записывается в виде.

x=arccos0,3+2рn, n.

Уравнение tgx = a, xнеизвестная переменная, a-некоторое постоянное число.

Решение уравнения.

x=arctga + рn, n.

Например, решение уравнения.

tgx=3, будет x=arctg3 + рn, n.

Замечание: если a=0, то x= рn, n.

Примеры.

Решите уравнение:

а) sinx = 3; б) sinx = -; в) cosx = -2,3; г) cosx = -; д) tgx = .

а) Так как 3>1, то решений нет.

Ответ: решений нет.

б) x =(-1)k arcsin (-)+ x =(-1)k +.

x =(-1)k+1 +.

Ответ: (-1)k+1 +.

в) Так как -2,3>1, то решений нет; Ответ: решений нет.

г) x=, x=;

Ответ: ;

д) tgx =, x = arctg+ x = +.

Ответ: +.

3. Виды тригонометрических уравнений:.

1. Уравнения, приводимые к квадратным.

Такие тригонометрические уравнения можно привести к виду.

af2(x)+bf (x)+c= 0,.

где a, b, c — некоторые действительные числа, a ?0, f (x) — одна из тригонометрических функций.

Например,.

4sin²x +5 sinx+1 = 0.

Обозначим sinx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде: 4t2 +5t +1 = 0, это квадратное уравнение относительно t, найдем его корни.

D=9, t₁= -1;t₂=-0,25.

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения sinx =-1,sinx =- 0,25.

Решение первого уравнения.

x= -.

Решение второго уравнения.

x = (-1)^k+1arcsin0,25+.

Ответ: -; (-1)^k+1arcsin0,25+.

Пример

Решить уравнение.

sin² x + cosx +1= 0.

Решение.

sin² x + cosx +1= 0, заменяя sin² x = 1- cos ²x, получим 1- cos ²x+ cosx +1= 0,.

cos ²x — cosx -2= 0.

Обозначим cosx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

t² -t -2 = 0, это квадратное уравнение относительно t найдем его корни.

D=9, t₁= -1; t₂ =2.

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения cosx = -1, cosx = 2.

Решение первого уравнения x= -.

Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2>1.

Ответ: ,.

2. Однородные тригонометрические уравнения (второй степени).

Такие уравнения можно привести к виду a•sin2x+bsinxcosx+ k•аcos2x= 0, a, b, k — некоторые действительные числа, a?0, k?0.

Например, 4sin²x +5sinx cosx+cos²x = 0.

Чтобы решить такое уравнение, надо:.

1. Разделить почленно обе части уравнения на cos ²x? 0, т. е.

4;

2. Выполнить преобразования:

4 4tg ²x +5tgx+1=0.

3. Решить квадратное уравнение относительно tgx, tgx =t.

4t ² +5t +1 = 0,.

D=9, t1= -1;t2=- 0,25.

tgx = -1, tgx = - 0,25.

x = arctg (-1)+рk, или x = arctg (-0,25)+рn, ,.

x = - +рk, или x = - arctg 0,25+рn, .

Ответ: — +рk,; - arctg0,25+рn,.

Пример

Решить уравнение 4sin2x +sin2x -3 = 0.

Решение.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле двойного аргумента на.

2sinxcosx, а 3- на 3sin2x +3сos2x, т.к. sin2x +сos2x =1, получим:

4sin2x +2sinxcosx-3sin2x -3сos2x =0, sin2x +2sinxcosx-3сos2x =0.

Последнее уравнение — однородное. Решим его:

1. ;

2. tg2x +2tgx — 3= 0.

3. tgx =t, t2 +2t — 3= 0. D=16, t1= 1;t2= -2 .

tgx = 1, tgx = - 2.

x = arctg1+рk, или x = arctg (-2)+рn, ,.

x = +рk, или x = - arctg 2+рn, .

Ответ: +рk,; - arctg2+рn,.

3. Уравнение вида asinx+bcosx=c.

Чтобы решить уравнение такого вида (например, 3sinx+4cosx=2), можно.

1. Записать его в виде sin (x +t) =(в нашем случае sin (x +t) =, sin (x +t) =).

2. Решить простейшее тригонометрическое уравнение: sin (x +t) =, (в нашем случае sin (x +t) =, x+t = (-1)^k arcsin0,4 +рk, ;

x = (-1)^k arcsin0,4 — t +рk, ;

3. Определить t, t = arctgb/a (в нашем случае t = arctg4/3);

4. Записать ответ: x = (-1)^k arcsin0,4 — arctg4/3+рk, .

Пример

Решите уравнение 2sinx +cosx = 1.

Решение.

1. sin (x +t) =, sin (x +t) =;

2. x+t = (-1)^k arcsin+рk,, x = (-1)k arcsin-t+рk, ;

3. t = arctg½;

4., x = (-1)^k arcsin-arctg0,5 +рk, /.

4. Некоторые другие виды тригонометрических уравнений.

Примеры.

Решите уравнение:

а) sin (3x+) = 0,5; б) sin2x + cosx = 0; в) sinx + cosx = 0.

Решение.

а) sin (3x+) = 0,5.

Обозначим 3x+= t, получим: sint = 0,5- простейшее уравнение, его решение t =(-1)^k +Заменим t на 3x+, получим 3x += (-1)^k +.

Решим это уравнение относительно х:

x = -+ (-1)^k+,.

разделим все члены правой части уравнения на 3, получим.

x = -+ (-1)^k +.

Ответ: -+ (-1)^k +.

б) sin2x — cosx = 0.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле синуса двойного аргумента на 2sinxcosx, получим.

2sinxсos + cosx = 0.

Затем вынесем cosx за скобки, получим: cosx (2sinx-1) = 0, откуда сosx = 0 или 2sinx -1=0;

x =или sinx = 0,5;

x = или x = (-1)^k +.

Ответ:; (-1)^k +.

в) sinx + cosx = 0.

Это уравнение можно рассматривать как однородное уравнение первой степени относительно функций синуса и косинуса. Чтобы решить это уравнение:

1. Разделим почленно обе части уравнения на cosx, получим:

2. Выполним преобразования:

tgx +1 = 0, tgx = -1 .

3. Решим простейшее уравнение.

tgx = -1, x=.

Ответ:

Наиболее часто встречающиеся ошибки.

Проверь, не делаешь ли ты так.

1. arccos (-0,5) = -, это неверно. Правильно будет так:

arccos (-0,5) = р — = ,.

т.к. арккосинусом числа -0,5 называется угол, заключенный в промежутке, косинус которого равен -0,5.

2. Решение уравнения cos4x = 0,5, x =, это неверно,.

правильно будет: x =.

3. При решении уравнения 2sinx +cosx = 1 получают, это неверно, уравнение 2sinx +cosx = 1 не однородное относительно sinx и cosx, его решение приведено в п. 3.

Контрольный тест.

1. Вычислите: аrccos (-1) + arcsin (-1) + arctg (-1).

2. Решите уравнение:

а) sin= 0,5;

б) tgx = 2;

в) cos.

3. Решите уравнение:

а) 8sin x + cos2x +7= 0;

б) sin2 x +2sinxcosx — 3cos2x +2 = 0;

в) 3sinx — 4cosx = 0.

Тема 4. Производная.

Проверочный тест:.

1. Найдите производную функции.

а) f (x) = 2x +5;

б) f (x) = (3x -7)(4x+9);

в)f (x) =, г) f (x) =3x⁵.

2. Найдите f '(2), если а) f (x) = 8x +5;

б) f (x) = (3x -7)(4x+9);

в)f (x) =; г) f (x) =3x⁵.

3. Найдите f '(x), если а) f (x) = ;

б) f (x) = ;

в) f (x) = (1−3x)⁴;

г) f (x) = .

4. Найдите f '(x), если.

а) f (x) = sinx;

б) f (x) = cos2x ;

в) f (x) = tg3x;

г) f (x) = ctg.

Ответы:

1. a) 2;.

2. б)24x-1; в); г)15x⁴.

3. a) 8; б) 47; в); г) 240.

4. a); б); в) -12(1−3x)³; г).

5. a) cosx; б) -2sinx; в); г) .

Улучшите свои знания.

1. Производная суммы, произведения, частного, степени.

а) производная суммы двух функций (U и V) вычисляется по формуле.

(U + V)' = U' + V',.

в предположении, что производные слагаемых (U' и V') существуют.

Иначе: производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

Замечания.

1.1 Производная постоянной равна нулю: с'=0.

1.2 Производная от x равна 1 (x'=1).

1.3 Производная от kx+b равна k (kx+b) ' = k.

1.4 Постоянный множитель можно выносить за занак производной, например, (2x)'=2(x)'=2.

Например, (2x+5)' = (2x) '+ 5' = 2+0 =2.

б) производная поизведения двух функций (U и V) вычисляется по формуле.

(U • V)' = U’V + V’U,.

в предположении, что производные множителей (U' и V') существуют.

Например,.

((3x -7)(4x+9))' = (3x-7)'(4x+9) +(3x-7)(4x+9)' =3(4x+9)+4(3x-7) =.

12x+27 +12x-28 = 24x -1.

в) производная частного двух функций (U и V) вычисляется по формуле.

.

в предположении, что производные U и Vсуществуют и V?0.

Например,.

в) производная степени x^б.

(x^б)'=бx^{б -1}.

Например, (5x⁸)'= 5(x⁸)' = 40x⁷.

2. Производная функции в точке.

Чтобы вычислить производную функции в точке, надо:

1. Найти производную функции по правилам.

2. В найденную производную подставить данное значение аргумента.

Например:

Найдите f'(2), если f (x) =3 x⁵.

1. f'(x)=(3x⁵)'=15x⁴.

2. f'(2)=15•24=240.

3. Производная сложной функции.

Производная сложной функции f'(g (x)) равна производной промежуточной функци (y=g (x)), умноженной на производную функции (f'(y)).

f'(g (x)) = f'(y) g'(x).

Чтобы найти производную сложной функции, надо:

1. Определить функцию f (y);

2. Определить функцию y =g (x);

3. Найти f'(y) g'(x).

Замечание 3.1.

f'(kx+b) =kf'(y), y=kx+в.

Например:

Найдите ((1−3x)⁴)'.

1. f (y) = y⁴.

2. y=1−3x.

3. 4(1−3x)³ (1−3x)' = -12(1−3x)³.

4. Производная тригонометрических функций.

(sinx)'=cosx; (cosx)'= - sinx; tgx = ; ctgx=..

Например, sin'(4x+7)=4cos (4x+7).

Примеры.

Найдите производную функции.

а) f (x) = (2x +5)⁴;

б) f (x) = (3×2 -7)(4x²+9);

в) f (x) =; г) f (x) =3cos (2x-1); д) f (x) = .

Решение.

а) Функция f (x) = (2x +5)⁴ сложная, вида f(kx+b). Найдем ее производную по замечанию 3.1:

((2x +5)⁴)' = 2•4(2x+5)³ =8(2x+5)³.

б) Найдем производную функции (3×2 -7)(4×2+9) по правилу нахождения производной произведения:

((3x² -7)(4x²+9))' = (3x²-7) '(4x²+9) + (4x²+9)'(3x²-7) =3(4x²+9) +4(3x²-7) =.

24x² -1.

в) Найдем производную функции по правилу нахождения производной частного:

г) f'(x) =(3cos (2x-1))'= 3(cos (2x-1))', (постоянный множитель можно выносить за знак производной), далее 3(cos (2x-1))' = -3•2sin (2x-1), (производная cosy = - siny и f'(kx+b) = kf'(y), поэтому возникает коэффициент 2). Окончательно имеем: f'(x) = -6sin (2x-1).

д) f'(x) = ()' = ((6x-7)^0,5)' =0,5•6(6x -7)^0,5−1 =3(6x -1)^-0,5,.

для нахождения этой производной выполнили следующее:

1. представили квадратный корень в виде степени с показателем 0.5;

2. применили формулу для отыскания производной степени ((у^t)'=ty^t-1);

3. использовали замечание 3.1(появился множитель 6).

Наиболее часто встречающиеся ошибки.

Проверь, не делаешь ли ты так.

1. (1−2x)'? 2, верно будет так: (1−2x)'=-2.

2. (x^-3)' ?-3x^-2, правильно будет так: (x^-3) ' ?-3x — ⁴.

3. sin' (3x-8)? cos (3x-8), правильно будет так: sin'(3x-8) =-3cos (3x-8).

4.правильно будет так: = (x^-0,5)' = - 0,5x ^-1,5 = .

Контрольный тест.

1. Найдите производную функции:

а) f (x) = 3+4x³;

б) f (x) =.

в) f (x) = tg (2x+1) — x;

г) f (x) =(-x³ -2)(1- x⁴).

2. Вычислите f'(x₀), если f (x) = (2x-8)⁵, x₀ = 3;

3. Решите неравенство: f'(2) >x-5, если f (x) = sin (2x-4).

Тема 5. Применение производной к решению задач.

Проверочный тест:

1. Найдите промежутки монотонности функции y = x³-27x.

2. Найдите точки экстремума функции y = x³-27x.

3. Исследуйте функцию y = x³-3x² на монотонность и экстремумы.

4. Исследуйте функцию y = 0,75x⁴ — x³ -3x² и постройте ее график.

5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции.

f (x) = - 2x³ -3x² +4 на промежутке [-2; -0,5].

6. Прямолинейное движение точки задано уравнением.

s (t) = 2t² -8t -10 (s в метрах, t в секундах).

Найдите скорость движения в момент времени, равный 8 с.

7. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к.

графику функции у = x² в точке с абсциссой x₀ = 0,5.

8. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции.

y = x³+1 в точке (1; 2).

Ответы:

1. На промежутках (-; -3) и (3;) функция возрастает, на промежутке.

(-3; 3) функция убывает.

2. x= -3 — точка максимума, x=3 -точка минимума.

3. На промежутках (-; 0) и (2;) функция возрастает, на промежутке (0; 2) функция убывает, x= 0 — точка максимума, x=2 -точка минимума.

4.

5. Наибольшее значение функции равно 8, наименьше значение функции равно 3.

6. 24м/c.

7. 45?.

8. y = 3x — 1;

Улучшите свои знания.

1. Применение производной к определению промежутков монотонности.

Если функция имеет положительную производную в каждой точке интервала (a;b), то она возрастает на этом интервале..

Если функция имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (a;b), то она убывает на этом интервале.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками ее монотонности.

Если функция монотонна на интервале (a; b) и непрерывна в точках a и b, то она монотонна на отрезке[a; b].

Чтобы найти промежутки монотонности функци f (x) (например, f (x)= x³-27x), надо:

1. Найти D (f) (для f (x)= x³-27x — это вся числовая прямая).

2. Найти f'(x) ((x³-27x)' = 3x² -27).

3. Решить неравенсва.

f'(x)> 0 (3x² -27>0, 3(x² -9)>0,x),.

f'(x)< 0 (3x² -27<0, 3(x² -9)<0, x).

4. Записать ответ:

решения неравенства f'(x)> 0 — это промежутки возрастания, (на промежутках (-; -3) и (3;) функция f (x)= x³-27x возрастает); решения неравенства f'(x)< 0 -это промежутки убывания (на промежутке (-3; 3) функция f (x)= x³-27x убывает).

2. Применение производной для отыскания точек экстремума (точек максимума и минимума) функции.

Чтобы найти точки экстремума функции функции f (x) (например, f (x)= x³-27x), надо:

1. Найти производную функции ((x³-27x)' = 3x² -27).

2. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует f'(x) = 0, (3x² -27=0, 3(x² -9) = 0, x² -9 = 0,(x-3)(x+3)=0, x=3, x=-3). f'(x) существует на всей области определения функции f (x)= x³-27x.

3. Проверить знак производной слева и справа от найденных точек и непрерывность функции в этих точек.

4. Если функция непрерывна в точке, а производная меняет знак с «+» на «-» при переходе через эту точку, то эта точка — точка максимума (x = -3, точка максимума).

5. Если функция непрерывна в точке, а производная меняет знак с «-» на «+» при переходе через эту точку, то эта точка — точка минимума (x = -3, точка минимума).

3. Отыскание промежутков монотонности и точек экстремума функции.

Промежутки монотоности и точки экстремума чаще всего находят совместно.

Чтобы найти промежутки монотонности и точки максимума и минимума функции (например, y = x³-3x²), надо:

1. Найти область определения функции D (f) (для f (x)= x³-3x² — это вся числовая прямая).

2. Найти производную функции ((x³-3x²)' = 3x² -6x).

3. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует f'(x) = 0, (3x² -6x=0, 3x (x -2) = 0, x=0, x=2). f'(x) существует на всей области определения функции f (x)= x³-3x².

4. Проверить знак производной слева и справа от найденных точек и непрерывность функции в этих точках.

5. Заполнить таблицу:

4. Общая схема исследования функции и построения графика функции.

Общее исследование функции (например, y = 0,75x⁴ — x³ -3x²) можно выполнить по схеме:

1. Найти область определения функции (для f (x)= 0,75x⁴ -x³ -3x² это вся числовая прямая).

2. Установить четность или нечетность функции (f (-x)= 0,75(-x)⁴ — (-x)³ -3(-x)² =0,75x⁴ + x³ -3x²? f (x) ?-f (x), функция не является ни четной, ни нечетной).

3. Установить периодичность функции.

(Функция y = 0,75x⁴ — x³ -3x² не являетя периодической).

4. Найти нули функции (точки пересечения графика с осью OX), для этого решить уравнение f (x)=0. (0 = 0,75x⁴ — x³ -3x², x²(0,75x² — x -3)=0, x₁=0, x₂ ?-1,4, x₃? 2,8).

5. Найти точку пересечения графика с осью OY, для этого вычислить значение функции в точке 0, т. е. f (0). (f (0)= 0,75· 0⁴ — 0³ -3· 0² = 0).

6. Найти промежутки монотонности и точки экстремума.

(f'(x) = 0, 3x³-3x² -6x = 0, x (x² -x -2) =0, x₁=0, x₂ =2, x₃ =-1, f (-1)=1,25, f (0)=0, f (2)=-8).

Используя результаты исследования, построить график На первом рисунке отметили точки пересечения графика функции с осями координат (пункты исследования 4 и 5).

На втором рисунке отметили экстремумы (пункт исследования 6).

На третьем — достроили график на промежутках возрастания и убывания функции (пункт исследования 6).

5. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на отрезке [a;b], надо: (например, f (x) = -2x³ — 6x² +5 на [ -1;1]).

1. Найти производную функции;(f'(x) = -6x² -12x).

2. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует (критические точки функции); (f'(x) = 0; -6x² -12x=0, -6x (x+2)=0, x =0, x=-2).

3. Выбрать из этих точек те, которые принадлежит промежутку [a;b]; (только точка x =0 принадлежит промежутку [-1;1]).

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах промежутка [a;b]; (f (0) =5; f (-1) =1; f (1) =-3.).

5. Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Наибольшее значение функции f (x) = -2x³ -6x² +5 на [ -1;1] равно 5; наименьше значение функции f (x) = -2x³ -6x² +5 на [ -1;1] равно-3.

6. Применение производной для определения мгновенной скорости Если движение точки задано уравнением s (t), то в момент времени t_o скорость ее движения равна s'(t).

Например, прямолинейное движение точки задано уравнением s (t) = 2t² -8t -10м. Найдите скорость движения в момент времени t =3c.

Решение.

1. Вычислим s' (t)= (2t² -8t -10)' = 4t -8.

2. Найдем значение s' (2), s' (3)= 4•3−8 =4м/c — это скорость движения в момент времени 3с.

7. Применение производной к решению геометрических задач.

Чтобы найти тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции f (x) в точке (x₀; f (x₀), нужно.

1. Найти производную функции (f'(x));

2. Найти значение производной в точке x₀(f'(x₀));

3. Полученное значение будет равно тангенсу угла наклона, т. е. tgб = f'(x₀).

Например: Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции у = x² в точке с абсциссой x₀ = 0,5.

2. Найдем производную функции f (x) = x², f^''(x) = 2x.

3. Найдем значение производной в точке x₀ = 0,5, f^''(0,5) = 1.

4. Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен 1.

Можно определить угол наклона касательной к оси абсцисс: он равен 45?, т.к. tg45? = 1.

8. Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x₀ ; f(x₀)).

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции f (x) в точке (x₀; f (x₀)), надо.

1. Записать уравнение касательной к графику функции в точке f (x) в точке (x₀; f (x₀)): у =f'(x₀)xf'(x₀)x₀ + f (x₀);

2. Найти значение производной в точке x₀(f'(x₀));

3. Найти значение функции в точке x₀(f (x₀));

4. Подставить найденные значения в уравнение пункта 1.

Например:

Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции y = x³+1 в точке (1; 2).

1. Запишем уравнение касательной:

у =f'(x₀)xf'(x₀)x₀ + f (x₀);

2. Найдем значение производной в точке x₀ =1:

f'(x) = 3x², f'(1)=3;

3. Найдем значение функции в точке x₀ =1: f (1) =2;

4. Подставим найденные значения в уравнение:

у =3x — 3•1 + 2;

у =3x — 1- это уравнение касательной, проведенной к графику функции.

y = x³+1 в точке (1; 2).

Наиболее часто встречающиеся ошибки.

Проверь, не делаешь ли ты так.

1. Найдите промежутки монотонности функции f (x) = ;

Ответ: функция возрастает на промежутках (- ?; 0) и (3,2; +?), функция убывает на промежутке (0; 3,2).

Этот ответ неверный, ошибка в решении неравенств f' (x)>0 и f' (x)< 0.

f' (x) = ;

Решением неравенства f' (x)>0 будет промежуток (0; 3,2);

решением неравенства f' (x)< 0, будут промежутки (- ?; 0) и (3,2; +?).

Правильный ответ: функция убывает на промежутках (- ?; 0) и (3,2; +?), функция возрастает на промежутке (0; 3,2).

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = 2x³-6x на отрезке [0; 1,5].

Ответ: наибольшее значение функции на этом отрезке равно 4. Этот ответ неверный, ошибка в том, что критическая точка -1 не принадлежит отрезку [0; 1,5].

Правильный ответ: наибольшее значение функции на этом отрезке равно 0; наименьшее значение функции на этом отрезке равно -4.

Контрольный тест.

1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции.

у = ;

2. Исследуйте функцию и постройте ее график у = 0, 5x⁴ +8x.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = x³-3x на отрезке [0; 1,5].

4. Составьте уравнения касательных, проведенных к графику функции y = x²— 1 в точках ее пересечения с осью Ox.

математика задание уровень тестирование.

Тема 6. Первообразная и интеграл.

Проверочный тест:

1. Верно ли, что функция y= sinx + x⁴ -7 первообразная для функции y = cosx + 4x³ на промежутке (-?; ?)?

2. Найдите первообразную функции f (x) = x², график которой проходит через точку (3; 6).

3. Найдите первообразную функции а) f (x) = x¹⁰; б) f (x) = x⁸ — cosx;

в) f (x) = 3sinx; г) f (x) = sin (7x+2);

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = x² +4, y=0, x = 2, x =4.

5. Вычислите определенный интеграл: а) б); в) .

Ответы:

1. верно;

2. F (x)=.

3. a);б)F (x) =; в) F (x)=-3cosx+c; г) F (x) = ;

4. 26? ;5. а)2?; б) 0; в) -1;

Улучшите свои знания.

1. Понятие первообразной функции.

Функция F (x)(например, 5x²) называется первообразной для функции f (x) (10x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x)((5x²)' =10x).

Пример:

Верно ли, что функция Y (x)= 0,5sin2x + x⁵ -3 первообразная для функции y (x) = cos2x + 5x⁴ на промежутке (-?; ?).

Решение: Проверим, будет ли функция Y= 0,5sin2x + x⁵ -3 первообразной для функции y = cos2x + 5x⁴ на промежутке (-?; ?).

Для этого:

1. Найдем область определения функцииY: D (Y)= (-?; ?).

2. Найдем производную функции Y= 0,5sin2x + x⁵ -3:(0,5sin2x + x⁵ -3)' = cos2x + 5x⁴ ;

3. Получили: Y'(x) =y (x) для всех x из промежутка (-?; ?), значит, функция Y (x)= 0,5sin2x + x⁵ -3 первообразная для функции y (x) = cos2x + 5x⁴ на промежутке (-?; ?).

2. Основное свойство первообразной.

Если функция F (x) первообразна для функции f (x)на некотором промежутке, то любая другая первообразная для функции f (x) на этом промежутке имеет вид F (x)+С, где С — произвольная постоянная величина.

Пример

Найдите первообразную функции f (x) = x², график которой проходит через точку (3; 6).

Решение.

Общий вид первообразных функции f (x) = x² — это F (x) =, так как график функции F (x) = проходит через точку (3; 6), то F (3) =6, т. е. 6=9+С, откуда С=-3.

Таким образом, первообразная, график которой проходит через точку (3;6) имеет вид F (x) =.

3. Основные правила нахождения первообразной.

а) Первообразная степени xⁿ равна +С.

Например первообразная x⁶ равна +С.

б) Первообразная суммы двух функций равна сумме первообразных этих функций.

Например, первообразная функции x²+sinx равна сумме первообразных функций x² и sinx, т. е.

в) Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.

Например, первообразная 5 x⁶ равна 5+С.

г) Первообразная функции f (kx+c) равна, где к?0.

Например, первообразная функции sin (5x+2) равнаcos (5x+2)+C.

4. Площадь криволинейной трапеции.

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции f (x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, надо:

1. Найти одну из первообразных функции f (x), например, F (x);

2. Вычислить значение первообразной F (x)в точке b, т. е. F (b);

3. Вычислить значение первообразной F (x) в точке a, т. е. F (a);

4. Найти разность (приращение первообразной) F (b) — F (a)=Sэто и будет площадь криволинейной трапеции.

Например,.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

у = x² +4, x = 2, x =4,у=0.

Построим фигуру, ограниченную линиями.

у = x² +4 — парабола, x = 2, x =4 — - прямые, параллельные оси OY, у=0 — ось OX. Фигура, ограниченная этими линиями, является криволинейной трапецией. Найдем ее площадь.

1. Найдем одну из первообразных функции f (x)= x² +4 например,.

F (x) = ;

2. Вычислить значение первообразной F (x)в точке 4, т. е.

F (4) = ;

3. Вычислить значение первообразной F (x) в точке 2, т. е.

F (2)= ;

4. Найдем S=21? — 10? =10?.

5. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл функции f (x), непрерывной на отрезке [a;b], записывается в виде, читается «интеграл от a до b функции f (x)dx».

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница:

=F (b)-F (a).

Обычно для удобства вычисления записывают так:

.

символ читается: «двойная подстановка от a до b», f (x) — называется подинтегральной функцией, f (x)dxподинтегральным выражением.

Чтобы вычислить определенный интеграл, надо.

1. Проверить, является ли функция f (x) непрерывной на отрезке[a;b];

2. Для непрерывной функции найти ее первообразную F (x);

3. Вычислить значения первоообразной в точках a и b: F (b)и F (a);

4. Вычислить разность F (b) — F (a).

Например,.

1. Функция f (x)=x² непрерывна на отрезке [1;2];

2. F (x)=;

3. F (2)=, F (1)=;

4. F (2) — F (1)= -=2.

Короче эта запись ведется в одну строчку:

.

Наиболее часто встречающиеся ошибки.

Проверь, не делаешь ли ты так.

1. Найдите первообразную функции f (x) = (2x+5)³.

Решение.

F (x)= ?(2x+5)³ +C — это неправильный ответ. Правильный ответ:

F (x)= 1/6(2x+5)³ +C, т.к. f (kx+b)= (2x+5)³, то первообразную найдем по правилу 3г): F (kx+b) =.

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², y=4.

Решение.

S= F (2)-F (-2)= - это неправильный ответ.

Правильно будет: S= 4•4−5?=10?. Действительно, фигура, ограниченная линиями y=x², y=4 (рис.) не является криволинейной трапецией. Чтобы найти ее площадь, надо из площади квадрата ABCD вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x², y=0, x=2, x=-2.