1). Предположим, что изменение температуры по радиусу пренебрежимо мало, так что перенос энергии происходит лишь в одном направлении. Между жидкостью и стенкой трубы происходит конвективный теплообмен с коэффициентом теплоотдачи. Температура на выходе (х = 0) и на стенке трубы поддерживается равной t0, а температура на входе (х = L) принимается равной t1 (t1 > t0). Рассматривая баланс энергии для элементарного объёма жидкости шириной dx, можно получить уравнение (2.
5.1)где и ср — соответственно коэффициент теплопроводности, плотность и изобарная теплоёмкость жидкости, а u — её (жидкости) скорость. Для удобства анализа введём безразмерные переменные: X = x/R, = (t — t0)/(t1 — t0). Тогдаопределяющееуравнение (2.
5.1) приметвид:
с граничными условиями: X = 0, = 0 иX = L/R, = 1. Здесь Pe = cpuR/ = = uR/a — число Пекле, a = /(cp) — коэффициент температуропроводности жидкости, Nu = R/ - число Нуссельта. Точное решение уравнения при заданных граничных условиях описывается выражением (2.
5.2)где 1 и 2 — корни характеристического уравнения2 + Pe — 2Nu = 0, (2.
5.3)аРешая квадратное уравнение (2.
5.3), находим (2.
5.4) Характерной особенностью полученного решения является довольно резкое изменение безразмерной температуры при некоторых сочетаниях параметров Pe и Nu (рис. 2). По этой причине данная задача является хорошим «оселком» («испытателем») для проверки вычислительных свойств того или иного численного метода. Для частного набора параметров задачи Pe = Nu = 1 и 1 = 1 и 2 == -2. Тогда решение принимает вид (X) = 0,1 8316(eX — e-2X).Полагая теперь последовательно Х = 1, 2, 3, находим: (1) = 0,0473; (2) = = 0,1350; (3) = 0,3679
Эти значения теперь можно сравнивать с результатами реализации численных методов. Рис. 2. Изменение относительной температуры по длине трубы Параметры кривых: № PeNu № PeNu (сверху вниз) 1 10 1 5 0.5 1 2 4 1 6 2 2 3 2 1 7 2 4 4 1 1 8 2 10 В данном случае задача одномерна, т. е. искомая функция зависит лишь от одного аргумента, поэтому в качестве контрольного «объёма» здесь выступает отрезок оси Х — [Xj-½, Xj+½] (см. рис.
3). Проинтегрируем уравнение по контрольному «объёму», показанному на рис. 3: (3.44)Будем считать Ре и Nu постоянными величинами. Тогда после частичного интегрирования получим:
Обращаясь теперь к рис. 3, получаем следующие аппроксимации:
Единственный интеграл, который входит в соотношение и представляет собой заштрихованную область на рис. 3, может быть вычислен с помощью квадратурной формулы трапеций Если сетка равномерная, то Xj — Xj-1 = Xj+1 — Xj = X и выражение принимает более простой вид
Если температура внутри контрольного «объёма» распределена равномерно, так что j-1 = j = j+1, то интеграл в целом оказывается равным эквивалентной величине ½ j (Xj+1 — Xj-1) Xj, которая получается при использовании разложения функций в ряды Тейлора. В случаях же, когда имеют место большие градиенты температуры, формула трапеций обеспечивает более точную аппроксимацию, поскольку при этом учитывается неоднородность распределения температуры. Подстановка соотношений даётили при равномерной сетке
Интегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически доступных решений таких уравнений физически правильное обобщённое решение. Заключение
В данной работе были рассмотрены численные методы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй части выделены основные идеи для метода стрельбы и кончено-разностного метода и алгоритмы их решения. Библиографический список
Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов — М.: Высш.
шк., 2002
Киреев В.И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах: Учеб.
пособие. -2-е изд. стер.
М.:Высш. шк., 2006
Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб.
пособие для студ. втузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Дрофа, 2003
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб.
для вузов. В 2 -х т. Т. П: — М.:Интеграл — Пресс, 2002
Тарасевич Ю. Ю. Численные методы на Mathcad’е. — Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань, 2000
Турчак Л.И., Плотников П. В. Основы численных методов: Учеб.
пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005
Формалев В.Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. — Изд. 2-е, испр., доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006
Калиткин Н. Н. Численные методы. М.:Наука, 1978.Д.Каханер, К. Моулер, С.Нэш. Численные методы и программное обеспечение. М.:Мир, 2001
Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Вся высшая математика в задачах). — М.:УРСС, 2002
Буслов В.А., С. Л. Яковлев. Численные методы. Решения уравнений. — Санкт-Петербург: СПГУ, 2001
Арушанян О.Б., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.:Дрофа, 2005
Дж. Холл, Дж. Уатт. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.:Мир, 1979.
