Высшая математика Вариант6

Содержание

• 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1−10. Даны четыре вектора =(а1,а2,а3), =(b1,b2,b3), =(c1,c2,c3), =(d1,d2,d3) в некотором базисе. Показать, что векторы, , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе. 6. =(1;4;1), =(-3;2;0), =(1;-1;2), =(-9;-8;3).

11−20. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Найти:1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж. 16. А1(9;5;5), А2(-3;7;1), А3(5;7;8), А4(6;9;2).

26. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В (-4;-5) и уравнения двух его высот 5х + 3у 4 = 0 и 3×8у 13 = 0.

36. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А (3;0) вдвое дальше, чем от прямой х = 1. Сделать чертеж.

41−50. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от = 0 до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;

3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия. 46.

2. Элементы линейной алгебры

51−60. Дана система линейных уравнений

Доказать совместность системы и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

56.

61−70. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее, , через, , .

71−80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

81−90. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

91−100. Дано комплексное число z. Требуется:

1) записать его в алгебраической и тригонометрической формах;

2) найти все корни уравнения .

3. Введение в математический анализ

101−110. а) найти область определения функции;

б, в) построить графики функций при помощи преобразований графиков основных элементарных функций.

111−120. Нати пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

121−130. Заданы функция и два значения аргумента х1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

131−140. Задана функция. Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать схематический чертеж.