При этом область значений входных переменных разбивают на относительно небольшие куски (сегменты), в каждом из которых связь близка к линейной. Другими словами, сложная зависимость Y = f{X1,…, Хk,; bo,…, bm; ε}. подменяется кусочно-линейной функцией Y = f1{X1,…, Хk,; bo,…, bm; ε}., и параметры зависимости ищутся отдельно на каждом куске, где функция линейна. Этот подход универсален, однако для получения достоверных результатов он требуетдостаточно большого объема выборки, чтобы на каждом из сегментов оказалось достаточное количество данных[8, c.27]. Если модель линейна по параметрам, для их нахождения можно применять универсальный метод, называемый методом наименьших квадратов.
2.2 Метод наименьших квадратов
Рассмотрим простейший случай, когда есть только одна входная переменная X и ищется линейная зависимость Y от X в виде Y = bo + b1X + ε. Здесь bo и b1 — неизвестные параметры, а ε— случайная ошибка. Мы хотим найти параметры bo, b, наилучшим образом отвечающие выборке объема n. Для этого рассмотрим сумму квадратов отклонений предсказанных значений от реальных (ее часто называют SS от англ. sumofsquares), и минимизируем ее как функцию от параметров:(11)Для минимизации рассмотрим частные производные по bo, b и приравняем их к нулю и получим системы уравнений (12):где суммирование ведется по i от 1 до n.
Решая эту систему, находим (13)(14)Отметим, что в знаменателе выражения для bo стоит умноженная на n2 выборочная дисперсия X (поэтому он не обращается в ноль, если только не все хi совпадают), а в числителе второй дроби — умноженная на n2выборочная ковариация X и Y. Выражение для bo можно также привести к более понятному виду (15):(15)Таким образом, вычислив b1, можно без затруднений вычислить и bо, зная лишь выборочные средние X и Y[8, 9]. Можно показать, что оценки bо, b1параметров регрессионного уравнения являются несмещенными и состоятельными. Одним из достоинств метода наименьших квадратов является его применимость к любым данным. Какими бы ни были данные, сумма квадратов отклонений предсказанных регрессией от реальных значений всегда имеет единственный минимум по параметрам регрессии. Однако эта универсальность представляет одновременно и недостаток: если в реальности переменная, значение которой мы пытаемся предсказать, мало зависит от предикторных переменных, то, хотя регрессия методом наименьших квадратов и даст результат, он будет почти бессмысленным. Поэтому при проведении регрессии важно изучить ее результаты с точки зрения их осмысленности. Одним из показателей является равенство нулю коэффициентов регрессии. Если в результате регрессии оказывается, что с высокой вероятностью равны нулю все коэффициенты, то регрессия бессмысленна: значение зависимой величины больше определяется ошибкой £ (или, другими словами, неучтенными при регрессии факторами), нежели рассмотренными предикторными переменными[8, c.28]. 2.3Регрессионный анализ экспериментальной зависимости
Проведем регрессионный анализ экспериментальной зависимостивлагопоглотительной способности пористых тел, выражаемой в процентах изменения массы, от времени методом наименьших квадратов. Исходные данные к эксперименту:
масса пустой лодочки: mл = 67 мг, масса лодочки с образцом: mл = 67 мг, массаобразца: mл = 67 мг. В результате проведенного эксперимента получены следующие данные, представленные в таблице 3. Таблица 3. Таблица экспериментальных данныхτастрτопытаmτ, мгmo*∆m=mτ-m0а, % масс12:
1 502 391 720 012:205240,5173,51,50,864 612:
2 510 241,5174,52,51,432 712:
301 524 317 642,272712:
352 024 417 752,824912:
4 025 245,5178,56,53,641 512:
4 530 246,5179,57,54,178 312:
5 035 247,5180,58,54,709 112:
5 540 248,5181,59,55,234 213:
45 249,5182,510,55,753 413:
1560> 250> 183* в таблице приведены данные по увеличению массы (в процентах) исследуемого образца без массы лодочки, так как масса лодочки в данном случае остается неизменной и является источником погрешности. По данным табл. 3 построим экспериментальную зависимость, а = f (τ).Рис.
4. Экспериментальная зависимость a = f (τ)Проведем регрессионный анализ указанной зависимости с помощью метода наименьших квадратов. Приведенная на рис.
3 зависимость, несомненно, является линейной, следовательно дополнительная линеизация экспериментальных данных в данном случае не требуется. Как известно из аналитической геометрии, любая прямая описывается уравнением y = b1x+b0. Определим коэффициенты aи b. Воспользуемся формулами метода наименьших квадратов (15, 16):(15)(16)В таблице 4 приведем значения∑x, ∑y,∑x2,∑yxи n: Таблица 4. Значения сумм по методу наименьших квадратовτаτ2τ * а50,8646254,323 101,432710014,327 152,272722534,91 202,824940056,498 253,641562591,38 304,1783900125,35 354,70911225164,82 405,23421600209,37n = 10 455,75342025258,9∑(величина)
22 530,91147125958,7145
Составим и решим систему из приведённых выше уравнений[10]: 958,7145 = а*7125 + b*22 530,9114 = а*225 + 10*bВыразим b0через b1: b0 = (30,9114 — b1*225)/10;Произведём замену переменных в первом уравнении:
958,7145 = b1*7125 + (30,9114 — b1*225)*22,5;Решим полученное уравнение относительно а:958,7145 = b1*7125 + 695,5065 — b1*5062,5;2062,5*b1 = 263,208.Получили:b1 = 263,208/2062,5 = 0,1276;b0 = (30,9114 — 0,1276*225)/10 = 0,2201
Определим у по уравнению аi = b1. τi+b0для каждого из указанных годов (для каждого значения τ - получим десять соответствующих уравнений), b1 и b0 являются постоянными величинами, остающимися неизменными во всех десяти уравнениях. Таблица 5. Исправленные значения экспериментальных данныхb1b0τ, минa, %а (исх. знач.)Δа = -а — а (исх)-0,12760,220 150,85810,86 460,7575 101,49 611,43274,2377 152,13 412,27276,4945 202,77 212,82491,9047 253,41 013,64156,7857 304,4 814,17833,2 163 354,68614,70 910,4908405,32 415,23421,6 885 455,96215,75 343,5004
Как видно из шестой колонки таблицы, полученные с помощью метода наименьших квадратов значенияа определены с достаточной (удовлетворительной) точностью. Максимальная погрешность характерна для τ= 25 мин и составляет6,8%, что является допустимым значением экспериментального определения параметра влажности образца. Следовательно, исследуемая зависимость достаточно адекватно описывается линейным уравнением вида:
а = 0,1276*τ + 0,2201
Построим график зависимостиa = f (τ) по полученным значениям а: Рис.
4. Зависимость a = f (τ) по исправленным значениям аТаким образом, с помощью метода наименьших квадратов нами была получена практически линейная зависимость.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в результате проведенного исследования сделаны следующие выводы:
Статистическое наблюдение — это первая стадия любого статического исследования, представляющая собой научно-организованный по единой программе учет фактов о массовых явлениях и процессах и сбор полученных на основе этого учета массовых первичных данных. Выбор критериев или оценок, имеющих оптимальные свойства, определяется законом распределения наблюдаемых величин. Многочисленные и разнообразные методы обработки можно разделить на группы по нескольким признакам. Из них наиболее разработанными и распространенными являются статистические и численные методы. Погрешность результата исследования определяет, так называемую, точность. Точность — это собирательная характеристика метода или методики. Она включает в себя правильность и воспроизводимость. Количественно ее выражают через величину ошибки (погрешность).Все погрешности результатов анализа в теории ошибок принято классифицировать на систематические и случайные. Под регрессией понимается сведение значений некоторой переменной (случайной величины) Y к виду, в котором они имеют функциональную зависимость от других случайных величин Х1,…, Хk, а также, возможно, некоторой ошибки: Y = f{X1,…, Хk,; bo,…, bm; ε}. Если модель линейна по параметрам, для их нахождения можно применять универсальный метод, называемый методом наименьших квадратов. .
Одним из достоинств метода наименьших квадратов является его применимость к любым данным. При обработке экспериментальных данных зависимости изменения массы пористого образца от времени помощью метода наименьших квадратов нами был подтвержден ее линейный характер и получено описывающее ее уравнение, имеющее вид: а = 0,1276*τ + 0,2201.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫГрановский В. А. Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. — М.: ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1990. — 288 с. Валишин А. А., Рыкова Л. В., Филиппова О. В. Математические методы обработки результатов эксперимента (введение в математическую статистику). Часть II. Под.ред. проф.
Карташова Э.М. М.: ИПЦ «МИТХТ», 2001 г. — 61с. Бююль
А., Цёфель
П. SPSS искусство обработки информации.- СПб.: Питер, 2005. — 608 с. Тихонов А. Н., Уфимцев М. В., Статистическая обработка результатов экспериментов, учебное пособиеМ.:Издательство Московского университета, 1988. -174 с. Законы распределения дискретных случайных величин[электронный ресурс] -Режим доступа:
http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/SEMESTR4/4−5.HTMСветозаров В. В. Основы статистической обработки результатов измерений. Учебное пособие. — М.: Изд. МИФИ, 2005, -40 с. Беляев А. П. Практикум обработки экспериментальных результатов в физической химии. Учебное пособие — СПб.:Изд-во СПХФА, 2006 -88 с. Якубович Ю. В. Дополнительные главы математики. ;
СПб.: Изд-во СПбГУКИТ, 2010 — 54 с. Сергеева И. И., Чекулина Т. А., Тимофеева С. А. Статистика. Учебник. — М: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М. 2006. — 272 с. Зуева Г. А., Кулакова С. В., Петрова Е. А. Метод наименьших квадратов и его применение.
Электронное учебное пособие. Гриф рекомендации: ЭУ037/09. — Иваново, 2009.
