Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.
Для наших величин Х и Y ковариация равна:
Задание 4
Найти коэффициент корреляции X и Y.
Корреляция в математической статистике, вероятностная или статистическая зависимость, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной, корреляционная зависимость возникает тогда, когда один из признаков зависит не только от данного второго, но и от ряда случайных факторов или же когда среди условий, от которых зависят и тот и другой признаки, имеются общие для них обоих условия.
Значение коэффициента корреляции по модулю близко к единице, что свидетельствует о тесной связи величин Х и Y.
Задание 5
Найти по выборке уравнение линейной регрессии (Y как функцию X) по методу наименьших квадратов.
Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
=ax+b
Для нахождения коэффициентов a и b методом наименьших квадратов требуется решить систему уравнений:
Найдем и :
Итак, уравнение линейной регрессии имеет вид:
x=−10,45x +141,75
Значение параметра a означает, что если уровень параметра Х возрастет на 1%, то значение параметра Y — численности рыб осетровых пород — уменьшится на 10,45 тыс. особей.
Задание 6
Построить график, изображающий данные выборки и найденную функцию регрессии (рис .2).
Рис. 2. Данные выборки и линия регрессии Задание 7
Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.
Найдем коэффициент детерминации:
Значение коэффициента детерминации показывает, что переменная Y на 98,74% зависит от значения переменной Х и лишь на 1,26% - от других случайных факторов.
Дадим оценку статистической значимости построенной модели регрессии. Найдем среднюю ошибку аппроксимации:
x y 25,4 -111,9 -123,67 709 0,1 052 466 33,4 -203,6 -207,27 556 0,180 529 15,9 -36 -24,403 906 0,3 221 137 34,8 -225,8 -221,90 529 0,172 485 14,9 -28,3 -13,954 097 0,5 069 224 20,1 -67 -68,293 104 0,193 001 25 -104,4 -119,49 717 0,1 446 089 26,4 -120,3 -134,1269 0,1 149 368 31,5 -182,4 -187,42 093 0,27 527 37,9 -266,8 -254,2997 0,468 527 16,5 -42 -30,673 792 0,2 696 716 36,1 -240,9 -235,49 005 0,224 573 36,4 -246,7 -238,62 499 0,327 321 25,4 -106,3 -123,67 709 0,1 634 722 17,7 -44,6 -43,213 562 0,31 086 20,9 -75,3 -76,652 951 0,179 675 36,2 -241 -236,53 503 0,185 269 20,1 -63,9 -68,293 104 0,687 497 35,9 -237 -233,40 008 0,151 895 33,2 -202,4 -205,1856 0,137 628
Итого: 1,976 425
Значение средней ошибки меньше 10%, что свидетельствует о хорошем качестве построенной линейной модели.
1. Гмурман В. Е., Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшая школа, 2003 г.
Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшая школа, 2003 г, с. 200
Там же, с. 206
