Свойства спектральных распределений случайных матриц высокого порядка

Теория случайных матриц — активно развивающаяся в последние десятилетия область математики. В начале 50-х годов прошлого столетия Вигнер предложил использовать матрицы большой размерности, элементы которых суть гауссовские случайные величины, для описания дискретной части спектра гамильтониана взаимодействия элементарных частиц тяжелых атомов. Это дало толчок к развитию теории случайных матриц, нашедшей широкое применение в различных областях знаний. Значительный прогресс в изучении асимптотики поведения спектра случайных матриц был достигнут буквально в последние годы.

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных чисел случайных матриц, размер которых стремится к бесконечности. Пусть есть некоторая последовательность случайных матриц Wn, имеющих размер п х п. Напомним основные определения.

Определение 1. Комплексное число X называется собственным числом матрицы Wnесли существует такой вектор v G Сп, что.

Wnv = Xv.

Определение 2. Эмпирическим спектральным распределением матрицы Wn называют меру на множестве комплексных чисел цп (А) = -#{i: А" G А, г в {1,., п}}. п.

В случае, когда спектр вещественный, говорят об эмпирической спектральной функции распределения. Эмпирической спектральной функцией распределения называется функция вещественной переменной х.

Лг (ж) = -#{г: < х, i G {1,., n}}. n.

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном эрмитовы случайные матрицы, все собственные числа которых вещественны. Если при п, стремящемся к бесконечности, эмпирическое спектральное распределение имеет предел (по вероятности или почти наверное), то предельное распределение называют асимптотическим спектральным распределением). Кроме того, математическое ожидание Fn{x) = Е Тп{х) может иметь предел.

Принято разделять вопросы спектральной теории случайных матриц на вопросы, относящиеся к глобальному режиму и вопросы, относящиеся к локальному режиму (см. [40, 41, 46]). В глобальном режиме интересуются распределением линейных статистик вида — Tr /(W) = [ f (x)dTn (x). п J R.

В локальном режиме интересуются распределением так называемых &bdquo-спейсингов" - расстояний между соседними собственными числами. Более общо, интерес представляет совместное распределение собственных чисел на некотором отрезке длины порядка Различают проблему поведения собственных чисел, когда отрезок лежит внутри носителя (так называемые «bulk statistics»), и проблему поведения собственных чисел вблизи границы носителя (так называемые «edge statistics», см., например, [20], гл. З, стр. 105.).

В случае, если предельное спектральное распределение определяется свойствами симметрии матрицы и младшими моментами элементов матрицы и не зависит от распределений элементов, говорят об универсальном поведении спектрального распределения. Доказательство универсальности является одной из фундаментальных проблем в теории случайных матриц. Аналогичные задачи появляются при доказательстве центральной предельной теоремы и принципа инвариантности. По классификации Ю. В. Линника [9, гл. 6, стр. 194 ], такие проблемы относятся к предельным теоремам &bdquo-собирательного типа" .

Первым утверждением такого типа для случайных матриц является теорема о сходимости спектрального распределения матриц из так называемого вигнеровского ансамбля к полукруговому закону Вигне-ра. Пусть Wn — эрмитовы матрицы, элементы которых суть независимые при i > j случайные величины с нулевым средним и дисперсией а2. Тогда эмпирическая спектральная функция распределения матрицы слабо сходится к распределению с плотностью д{х) = — /4а2 -ж21(|ж| < 2а).

2iта.

В 1955 году Вигнер [59] доказал эту теорему в предположении, что элементы матрицы имеют распределение Радемахера, т. е. принимают значения 1 и —1 с вероятностью В 1958 году он распространил этот результат [60] на матрицы с субгауссовскими элементами. Позднее было показано, что полукруговой закон справедлив, когда распределения элементов матрицы удовлетворяют условию Линдеберга [5].

Следующий результат, который относится к универсальным — это круговой закон. Под круговым законом понимается сходимость эмпирического спектрального распределения случайной матрицы к равномерному распределению в единичном круге комплексной плоскости.

Точнее, предположим, что элементы матрицы =^к + /Г-~^г)]к ~ это стандартные комплексные гауссовские величины, причем ^ и ^¿-к — независимые центрированные гауссовские величины. Такой ансамбль матриц был введен Жинибром в [32] в 1965 году и им же было показано, что распределение собственных чисел таких матриц слабо сходится к равномерному распределению в единичном круге при неограниченном росте размерности матриц.

Гирко в 1984 году в работе [5] доказал круговой закон для случайных матриц с независимыми элементами с распределением, имеющим ограниченную плотность и конечные первые 4 момента. По мнению многих математиков, доказательство Гирко содержало неточности. В 1997 Бай [22] привел другое доказательство кругового закона для матриц с независимыми элементами с распределением, имеющим совместную плотность вещественной и мнимой частей, а также конечные первые 6 моментов.

Круговой закон без предположения существования плотности у элементов матрицы впервые был доказан в работе Гётце и Тихомирова [34]. Недавно этот результат был обобщен и уточнен в целом ряде работ, например, статьях Тао и Ву [53] и Гётце и Тихомирова [35].

Еще один классический результат — теорема Марч с н ко — П асту р, а [12] - также носит универсальный характер. Пусть X — прямоугольная вещественная случайная матрица размера п х к, все элементы которой независимы. Тогда.

1 т = —XX п называется выборочной ковариационной матрицей. (Здесь и далее Хт обозначает транспонированную матрицу). Действительно, если рассмотреть столбец матрицы X как выборку значений некоторого случайного признака, то (г^')-ый элемент матрицы есть выборочная ковариация г-го и^-го признаков.

Матрица XV впервые была рассмотрена Вишартом в 1928 году. Он нашел распределение элементов матрицы в случае, когда элементы матрицы X суть независимые стандартные гауссовские величины.

Марченко и Пастур интересовались предельным поведением собственных чисел матрицы при условии, что пик согласованно стремятся к бесконечности, то есть существует предел Нт^оо | = у Е (О, сю). Из их результатов следует, что математическое ожидание спектрального распределения Рп (х) слабо сходится к предельному распределению, которое определяется своей плотностью х) = + (1 — У~1)ЧУ > 1)*ь (1) где у есть предел отношения, а = (1 — л/у)2, Ъ = (1 + у/у)2, I обозначает индикатор, а ¿-о есть дельта-функция Дирака.

Позднее здесь были значительно ослаблены ограничения на элементы матриц, оценена скорость сходимости к предельному распределению как для Рп (х), так и для Тп (х), см., например, [33, 23].

Результаты данного исследования обобщают теорему Марченко-Пастура на случай произведения нескольких независимых прямоугольных матриц и на случай степени квадратной случайной матрицы.

Основными инструментами, позволяющими исследовать асимптотическое спектральное распределение случайных матриц, являются метод моментов и преобразование Стилтьеса. Заметим, что метод моментов был применен еще в работе Вигнера [59].

Во всех рассмотренных задачах предельные распределения имеют компактный носитель. Следовательно, они имеют все моменты и однозначно определяются ими. Кроме того, моменты эмпирического спектрального распределения 7-п{х) легко выражаются через следы степеней матрицы.

Г | /с I. I 1 мк (п) — / хк<1Тп{х) = 1 ^ 2 ^-—^ = ±Тг?к, к > 1. (2).

Ук п п.

Во всех рассмотренных случаях моменты предельных распределений имеют комбинаторные интерпретации.

Технику, связанную с преобразованием Стилтьеса, в спектральной теории случайных матриц впервые применили Марченко и Пастур [12]. Напомним определение преобразования Стилтьеса.

Определение 3. Преобразованием Стилтьеса вероятностной меры /1 называется функция г) = [.

Jжx — г.

Преобразование Стилтьеса обладает следующими свойствами:

• Преобразование Стилтьеса однозначно определяет исходную меру. Если р (х) есть плотность меры то.

->0 7 Г.

• Преобразование Стилтьеса 5(2-) — аналитическая функция в верхней полуплоскости г? С+;

• ^(г) > 0 при ^ > 0;

• Нт^оо 1ув{иЬ IV) = —1.

В главе 3 рассматривается распределение сингулярных чисел произведения т независимых прямоугольных случайных матриц. Пусть матрица есть произведение.

Wí-г = Х^Х^ • • • Х^Х^ХГО • • • Х^)*, где Х^) — прямоугольная случайная матрица размера хщ с независимыми элементами. (Здесь и далее X* обозначает эрмитово сопряженную матрицу.).

В теореме 2 доказано, что если выполнены довольно слабые предположения относительно матричных элементов и если существуют ненулевые пределы Нтп⁰⁰ = У к, то математическое ожидание функции спектрального распределения Гп (х) имеет некоторый предел Ох).

Предельное распределение описывается своим преобразованием Стилтьеса. Именно, преобразование Стилтьеса предельной меры удовлетворяет уравнению т.

1 + гз (г) — ф) Д (1 — ук — укгз{г)) = 0, (4) к=1 и является единственным его решением, удовлетворяющим свойствам (3). Это уравнение позволяет найти границы носителя предельной меры, а в случае небольших значений т — плотность предельной меры. Соответствующие построения также приведены в главе 3.

В главе 4 рассматривается распределение сингулярных чисел т-ой степени квадратной случайной матрицы. Таким образом, матрица ¥-п есть Хте (Хт)*, где матрица X — квадратная матрица размера п х п с независимыми элементами. В данном случае удается доказать не только предельную теорему для математического ожидания спектрального распределения = Е3-п{х), но и доказать, что эмпирическое спектральное распределение Рп{х) сходится к предельному почти наверное (см. теорему 3, стр. 61).

Предельное распределение в данном случае называется т-ым распределением Фусса-Каталана и однозначно определяется своими моментами — числами Фусса-Каталана (см. определение 9, стр. 23). Результаты опубликованы автором совместно с Ф. Гетце и А. Н. Тихомировым в [17] и лично автором в [1]. Кроме того, явная формула для плотности предельного распределения получена в [38].

При доказательстве основных результатов работы был использован метод моментов. Во всех рассмотренных случаях моменты предельных распределений имеют комбинаторные интерпретации. Так, к-ым моментом распределения Марченко-Пастура с параметром у = 1 является к-ое число Каталана СаЬ{к){ом. определение 4, стр. 14). Одна из многочисленных интерпретаций этих чисел говорит, что СаЬ{к) есть количество всевозможных бинарных деревьев на к вершинах (см. определение 8, стр. 21).

Далее, к-ът момент распределения Марченко-Пастура с произвольным параметром у задается формулой 1 Г) уг~1 ¦> гДе г) — числа Нараяна (9). Известно, что число бинарных деревьев на п вершинах, к — 1 из которых являются правыми потомками, есть число Нараяна АГ (п, к).

Наконец, /с-ый момент га-го распределения Фусса-Каталана есть число Фусса-Каталана РС (т, &), то есть количество т + 1-арных деревьев (см. определение 11, стр. 26) на к вершинах.

С комбинаторной точки зрения естественным выглядит вопрос: каково количество т-арных деревьев с заданным числом левых, вторых слева, и так далее, правых потомков? Теорема 1 дает функциональное уравнение для производящей функции этой последовательности. Таким образом, помимо основных результатов — теорем 2 и 3, относящихся к теории случайных матриц, получен чисто комбинаторный вспомогательный результат — теорема 1, представляющая самостоятельный интерес.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации — 81 страница, список литературы содержит 61 наименование.

5 Заключение.

При изучении произведения т независимых прямоугольных случайных матриц, размеры которых стремятся к бесконечности, получены следующие результаты:

1. При достаточно общих предположениях относительно элементов матриц доказано, что математическое ожидание эмпирической спектральной функции распределения Рп (х) имеет предел зависящий от количества перемножаемых матриц т и параметров у г (теорема 2).

2. Показано, что все моменты распределения С (ж) конечны, и распределение С (х) однозначно определяется своими моментами.

3. Дано комбинаторное описание моментов распределения 0(х) в терминах ш-арных деревьев с фиксированным числом потомков каждого типа.

4. Доказано, что производящая функция чисел ш-арных деревьев с фиксированным числом потомков каждого типа удовлетворяет функциональному уравнению (10).

5. Для преобразования Стилтьеса распределения (?(ж) получено функциональное уравнение (следствие 1).

При изучении т-ой степени квадратной случайной матрицы, размер п которой стремится к бесконечности, получены следующие результаты:

1. При достаточно общих предположениях относительно элементов матриц доказано, что математическое ожидание эмпирической спектральной функции распределения Рп{х) имеет предел (2(ж), зависящий от степени т.

2. Показано, что предельное распределение С (ж) в этом случае совпадает с пределом математического ожидания спектрального распределения произведения т независимых квадратных матриц.

3. Показано, что моменты распределения С (гг) суть числа Фусса-Каталана.

4. При дополнительном условии равномерной ограниченности моментов матричных элементов доказано, что имеет место сходимость почти наверное эмпирической спектральной функции распределения Тп (х) к предельной функции С (х).