При введении понятия определенного интеграла вида предполагалось, что выполняются следующие условия:
1. пределы интегрирования и являются конечными;
2. подынтегральная функция ограничена на отрезке .
В данном случае определенный интеграл называется собственным.
Другими словами, определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций.
Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.
Если хотя бы одно из условий 1. 2. не выполняется, то интеграл называется несобственным.
В данной работе рассмотрим несобственные интегралы по неограниченному промежутку и от неограниченной функции и методы исследования их на сходимость.
1. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерии Коши сходимости несобственного интеграла
1.1 Несобственные интегралы первого рода
Пусть функция непрерывна при любом. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом:
(1.1)
Предположим, что при функция (1.1) имеет конечный предел, этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции по промежутку и обозначается так:
(1.2)
Если предел (1.2) не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Геометрически интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, слева отрезком прямой, снизу осью (рис.1); в случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае расходящегося бесконечной.
Рис.1
Если первообразная для, то
где .
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом
и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами
где любая точка из интервала .
Несобственные интегралы второго рода
Если функция неограниченна в окрестности точки отрезка и непрерывна при и, то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой
(1.3)
где .
В случае или получаем
(1.4)
(1.5)
Несобственные интегралы (1.4) и (1.5) называются сходящимися, если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла; в противном случае интегралы называются расходящимися.
Несобственный интеграл (1.3) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части.
Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при) исчерпание площади неограниченной фигуры под графиком функции над с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком, а затем приближением правого конца к точке (см. рис.).
1.3 Критерии Коши сходимости несобственного интеграла
Для несобственного интеграла второго рода:
1). Пусть функция определена на промежутке), причем существует собственный интеграл, тогда:
интеграл сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие:: .
Для несобственного интеграла второго рода:
2). Пусть функция определена на полуинтервале), причем существует собственный интеграл, тогда
интеграл сходится тогда и только тогда, когда выполняется условие
2. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы
Рассмотрим несобственные интегралы:
() (2.1)
() (2.2)
Если несобственный интеграл (2.1) сходится, то несобственный интеграл (2.2)называется абсолютно сходящимся.
Если несобственнй интеграл (2.1) расходится, а несобственный интеграл (2.2) сходится, то несобственный интеграл (2.2) называется условно сходящимся.
