Математические методы технологического анализа (общее)

Таким образом, достоверностьподпрограммы зависит лишь от достоверностей исходов и от их вероятностей. Далее переходим ко второму шагу — выбору оптимальных признаков в состояниях .

Для каждого из ФС определяются состояния, которые образуются при различных исходах проверок. Среди них не может быть состояний, содержащих более двух элементов. А для каждого из ФС уже определены оптимальная проверка и соответствующее значение средней достоверности. Рассчитаем значения достоверности исходов проверок и вероятностей ошибок. Определив по формуле (13) значения для всех проверок, выберем оптимальный для проверки признак по условию (13).

Изложенный порядок выбора оптимальных признаков сохраняется и на последующих шагах, причем на каждом из них рекуррентно используются результаты вычислений, полученные на предшествующих шагах.

На последнем шаге выбирается оптимальный признак для начального ФС, которому соответствует значение достоверности — подпрограммы. Этот признак является первым проверяемым признаком синтезируемой программы. Затем определяются новые ФС, количество которых равно числу исходов выбранной проверки. Соответствующие найденным состояниям оптимальные проверки так же включаются в синтезируемую программу. По ним определяются последующие ФС, и в аналогичном порядке процесс продолжается до получения всех конечных ФС .

В результате будут определены упорядоченные множества признаков, задающие очередность их проверки для распознавания любого типа состояния технического объекта .

Оценим достоверность синтезированной гибкой оптимальной программы полностью. Процесс распознавания типа состояния технического объекта по синтезируемой программе, по сути, есть конечный автомат, обладающий свойством марковской цепи, так как исходы всех проверок являются случайными и зависят только от исхода предыдущей проверки — отсутствует эффект последействия. Поскольку исходы, входящие в ветвь орграфа, обладают свойствами описанного марковского процесса, то

где — множество проверок признаков, входящих вую ветвь программы.

Тогда по формуле о математическом ожидании дискретной случайной величины для средней достоверности принимаемого синтезируемой программой решения о типе состояния технического объекта получим

(14) где — количество ветвей в синтезированном орграфе.

Сравним среднюю достоверность синтезированной гибкой оптимальной программы идентификации состояния объекта со средней достоверностью жесткой программы. Жесткая программа представляет собой одновременную или неупорядоченную проверку всех признаков из множества в начальном ФС. Решение принимается после анализа полученных ФС. Технический объект относится к типу, изображение которого есть во всех полученных ФС, т. е.

.

Состояние технического объекта относится к типу, если хотя бы один исход попадает в интервал .

Индекс опущен по причине выполнения проверок в жесткой программе только в начальном ФС .

Достоверность такой программы определяется по формуле

или

(15) где

. (16) Проанализируем полученные формулы (15) и (16).

Каждая ветвь данных программ содержит одинаковое количество проверок —. Однако, средняя достоверность исходов проверки признака, выполняемой в начальном ФС жесткой программы, меньше средней достоверности исходов той же проверки, выполняемой в промежуточном ФС гибкой программы. Докажем данное утверждение.

Сравним достоверность какой-либо ветви жесткой и гибкой программ. Так как порядок проверок в жесткой программе не имеет значения, то выберем такой, который соответствует порядку проверок ветви гибкой программы. Достоверность ветви жесткой программы определяется выражением

.

Для гибкой программы получим достоверностьой ветви

. (17) Пусть, ,, тогда, разложив формулу (17), получим

. (18) Достоверность соответствующей ветви жесткой программы примет вид

. (19) Множители формул (18) и (19) равны. Сравнивая множители и, можно сделать вывод, что и при. Данный вывод следует из того, что на последующих после первого шага (проверки первого признака) ФС будет содержать меньшее количество конечных ФС, но при этом знаменатель в формуле (3) не изменится по причине «увеличения» размеров, т. е. при равном знаменателе числитель больше для исхода при равных вероятностях для других исходов, тогда. По формуле (5), следовательно, по формуле (4) получим, отсюда следует истинность сделанного предположения.

Сравним произведения и. Количество множителей равно, для каждого получим следующее. Раскрывая их, получим и. Это выражения средней достоверности исходов проверок в начальных ФС и. Число слагаемых в общем случае не равно. Вероятность исхода проверки в начальном ФС будет больше или равна вероятности любого исхода той же проверки в начальном ФС. Достоверность этого исхода будет так же больше или равна достоверности любого исхода проверки в начальном ФС. Последнее доказывается путем анализа формул (3), (4) и (5) при условии, что. Вероятность и достоверность оставшегося исхода проверки в начальном ФС будут равны соответствующему показателю как минимум одного исхода данной проверки в начальном ФС .

Таким образом доказано, что достоверность r-ой ветви больше либо равна достоверности. Такое отношение справедливо для всех ветвей гибкой и жесткой программ. Тогда средняя достоверность принятого решения гибкой программы больше средней достоверности решения жесткой программы.

Синтезированная гибкая программа является оптимальной по выбранному критерию, а именно: она задает последовательность проверки признаков для идентификации технического объекта с максимальной достоверностью при представлении признаков в виде интервальных оценок и функциональных зависимостей.

Выводы

Синтезированная программа идентификации состояния технического объекта базируется на положениях теории систем и оптимального управления. Построенную программу можно классифицировать как систему, решающую задачу единственно оптимального выбора прямым конечношаговым методом, используя сходящийся алгоритм последовательного сужения одномерных альтернатив. Показывается преимущество синтезированной гибкой программы над жесткой.

Список используемой литературы

Дмитриев А.К., Е. В. Копкин. Оценивание достоверности проверок непрерывных признаков при диагностировании технических объектов // Изв. вузов. Приборостроение. 1999, Т. 42, № 9. С. 3−10.

Дмитриев А.К., Е. В. Копкин. Синтез гибкой оптимальной по достоверности программы диагностирования технического объекта // Изв. вузов. Приборостроение. 2000, Т. 43, № 7. С. 16−27.

Калинин В.Н., Резников Б. А., Варакин Е. И. Теория систем и оптимального управления. Часть 2. Понятия, модели, методы и алгоритмы оптимального выбора. МО РФ, 1988. 650 с.

Математическая энциклопедия: гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1−5, М.: Советская энциклопедия, 1984.

Дмитриев А.К., Мальцев П. А. Основы построения и контроля сложных систем. Л.: Энергоатомиздат, 1988. 254 с.

Кузьмин И. В. Оценка эффективности и оптимизация автоматических систем контроля и управления. М.: Советское радио, 1971. 190 с.