Управляемость и оптимальное управление для инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах

3.2 Инвариантные ортанты билинейных систем.94.

3.2.1 Знакосимметрические матрицы и их графы. 96.

3.2.2 Инвариантные ортанты линейного поля.98.

3.2.3 Инвариантные ортанты билинейных систем.101.

3.3 Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте.103.

3.3.1 Предварительные леммы.103.

3.3.2 Условия управляемости.105.

3.4 Управляемость билинейных систем малой коразмерности в положительном ортанте.106.

3.4.1 Условия перемены знака.107 f.

3.4.2 Системы коразмерности один.111.

3.4.3 Управляемость по направлениям.113.

3.4.4 Системы коразмерности два.113.

3.4.5 Системы произвольной коразмерности.115.

4 Симметрии систем на группах Ли 117.

4.1 Плоские субримановы структуры.118.

4.2 Симметрии субримановых структур.120.

4.3 Случай Гейзенберга.122.

4.3.1 Плоское распределение и плоская субриманова структура.122.

4.3.2 Симметрии распределения.124.

4.3.3 Симметрии субримановой структуры.125.

4.4 Случай Энгеля.128.

4.4.1 Алгебра Энгеля и группа Энгеля. -.128.

4.4.2 Плоское распределение и плоская субриманова структура.128.

4.4.3 Модель в!4 .129.

4.5 Случай Картана.134.

4.5.1 Алгебра Ли и группа Ли.134.

4.5.2 Плоское распределение и субриманова структура.134.

4.5.3 Модель в Е5 .135.

4.6 Общая картина.147.

5 Инвариантные задачи оптимального управления на группах Ли 151.

5.1 Задача Эйлера об эластиках.151.

5.1.1 История задачи Эйлера.151.

5.1.2 Постановка задачи.153.

5.1.3 Множество достижимости.153.

5.1.4 Существование и регулярность оптимальных решений.154.

5.1.5 Экстремали.154.

5.1.6 Эллиптические координаты .156.

5.1.7 Интегрирование нормальной гамильтоновой системы.157.

5.1.8 Дискретные симметрии в задаче Эйлера.160.

5.1.9 Страты Максвелла .164.

5.1.10 Полное описание стратов Максвелла.172.

5.1.11 Верхняя оценка времени разреза .176.

5.1.12 Сопряженные точки на инфлексионных эластиках.178.

5.1.13 Сопряженные точки на неинфлексионных эластиках.186.

5.1.14 Заключительные замечания.189.

5.2 Обобщенная задача Дидоны.190.

5.2.1 Постановка задачи.190.

5.2.2 Существование оптимальных решений.193.

5.2.3 Экстремали.194.

5.2.4 Непрерывные симметрии.197.

5.2.5 Интегрирование гамильтоновой системы.200.

5.2.6 Отражения.205.

5.2.7 Группа симметрий экспоненциального отображения.208.

5.2.8 Действие отражений в прообразе экспоненциального отображения 210.

5.2.9 Действие отражений в образе экспоненциального отображения.. 211.

5.2.10 Множество Максвелла .213.

5.2.11 Кратные точки экспоненциального отображения.215.

5.2.12 Неподвижные точки симметрий в прообразе экспоненциального отображения.217.

5.2.13 Общее описание стратов Максвелла МАХг-.220.

5.2.14 Страты Максвелла в области Ni.224.

5.2.15 Страты Максвелла в области N2.231.

5.2.16 Страты Максвелла в N3 .235.

5.2.17 Сопряженные точки.235.

5.2.18 Время разреза.240.

Библиография.

1. Аграчев A.A., Готье Ж.-П. Субримановы метрики и изопериметрические задачи в контактном случае // Труды междунар. конф. Понтрягин-90, 1999, т. 3, 5−48.

2. Аграчев A.A., Сарычев A.B. Фильтрации алгебры Ли векторных полей и нильпо-тентная аппроксимация управляемых систем // Докл. Акад. Наук СССР, 1987, Т. 295, 777−781.

3. Аграчев A.A., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. —М.: Физматлит, 2005, 391 С.

4. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин C.B. Оптимальное управление. —М.: Наука, 1979.

5. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

6. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

7. Бочаров A.B., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. —М., Факториал, 1977.

8. Вершик A.M., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы и геометрия распределений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 7, 8. — М.:ВИНИТИ, 1986.

9. Винберг Э. Б., Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Конструкция групп Ли и алгебр Ли. Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления 41 (1989).

10. Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, —М., Наука, 1988.

11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М., Наука, 1988.

12. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. —М., Наука, 1970.

13. Желобенко Д. П., Стерн А. И. Представления групп Ли. —М., Наука, 1983.

14. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. —М.: Еди-ториал УРСС, 2004.

15. Лепе Н. Л. Геометрический метод исследования управляемости двумерных билинейных систем // Автоматика и телемеханика, 1984, N0. 11, 19−25.

16. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, Москва-Ленинград, 1935.

17. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов, М.: Наука, 1961.

18. Постников М. М. Группы и алгебры Ли. —М., Наука, 1982.

19. Сачков Ю. Л. Управляемость трехмерных билинейных систем // Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1991, N0. 3, 26 30.

20. Сачков Ю. Л. Инвариантные области трехмерных билинейных систем // Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1991, N0. 4, 23 26.

21. Сачков Ю. Л. Управляемость двумерных и трехмерных билинейных систем в положительном ортанте// Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29 С. 361 363.

22. Сачков Ю. Л. Управляемость двумерных систем в положительном ортанте// Теоретические и прикладные основы программных систем, Институт Программных Систем РАН, Переславль-Залесский, 1994, 309−317.

23. Сачков Ю. Л., Инвариантные ортанты билинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1995, N0. 6, 1094 1095.

24. Сачков Ю. Л., Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте // Мат. Заметки, 85 (1995), 3, 419 424.

25. Сачков Ю. Л. Управляемость инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах // Современная математика и ее приложения, Тематические обзоры, Т. 59, Динамические системы-8, ВИНИТИ, Москва, 1998.

26. Сачков Ю. Л. Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны // Мат. сб., 194 (2003), 9: 63−90.

27. Сачков Ю. Л. Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны // Мат. Сборник, 2006, Т. 197, N 2, с. 95−116.

28. Сачков Ю. Л. Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны // Мат. Сборник, 2006, Т. 197, № 4, С. 123−150.

29. Сачков Ю. Л. Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны // Мат. Сборник, 2006, Т. 197, N 6, С. 111−160.

30. Сачков Ю. Л. Оптимальность эйлеровых эластик // Доклады Академии Наук, том 417, № 1, ноябрь 2007, С. 23−25.

31. Сачков Ю. Л. Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах. —М.: Физматлит, 2007, 224 С.

32. Третьяк А. И. Достаточные условия локальной управляемости и необходимые условия оптимальности высшего порядка. Дифференциально-геометрический подход // Современная математика и ее приложения. Т. 24. Динамические системы-4. —М.:ВИНИТИ, 1996.

33. Трофимов В. В.

Введение

в геометрию многообразий с симметриями. М.: Изд-во МГУ, 1989.

34. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: УРСС, 2002.

35. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

36. Эйлер JL Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Приложение I, «Об упругих кривых», ГТТИ, Москва-Ленинград, 1934, 447−572.

37. Abraham R., Marsden J. Foundations of mechanics. Reading, MA: Benjaming/Cumming, 1985.

38. Adda Ph. Controllabilite des Systemes Bilineaires Generaux et Homogenes dans R2 // In: Lecture Notes in Control and Inform. Sri., INRIA, 111 (1988), 205−214.

39. Adda Ph., Sallet G. Determination Algorothmique de la Controllabilite pour des Familles Finies de Champs de Vecteurs Lineaires sur R2 {0} // R.A.I.R.O. APII 24 (1990), 377−390.

40. Agrachev A.A. Exponential mappings for contact sub-Riemannian structures // J. Dynamical and Control Systems, 1996, v.2, 321−358.

41. Agrachev A.A. Geometry of optimal control problems and Hamiltonian systems // Lecture Notes in Mathematics, Springer, to appear.

42. Agrachev A. A., El-Alaoui C., Gauthier J.-P. Sub-Riemannian metrics on R3 // Proc. Canadian Math. Soc., 1998, v.25, 29−78.

43. Agrachev A.A., Bonnard В., Chyba M., Kupka I. Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case // J. ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations, 1997, v.2, 377−448.

44. Agrachev A.A., Gamkrelidze R.V. Local controllability for families of diffeomorphisms // Systems and Control Letters, 1993, v.20, 67−76.

45. Agrachev A.A., Gamkrelidze R.V. Local controllability and semigroups of diffeomorphisms // Acta Appl. Math., 1993, v.32, 1−57.

46. Agrachev A.A., Gauthier J.-P. On subanalyticity of Carnot-Caratheodory distances // Annales de l’Institut Henri Poincare—Analyse non lineaire, 2001, v.18, 359−382.

47. Agrachev A.A., Marigo A. Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions // Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 9, 111−120 (November 13, 2003).

48. El-Alaoui C., Gauthier J.-P., Kupka I. Small sub-Riemannian balls in E3 // J. Dynamical and Control Systems, 1996, v.2, 359−421.

49. D’Alessandro D., Dahleh M. Optimal control of two-level quantum systems // IEEE Trans. Automat. Control 46 (2001), No. 6, 866−876.

50. Altafini C. Controllability of quantum mechanical systems by root space decomposition of su (N) // J. Math. Phys. 43 (2002), 2051;2062.

51. Anzaldo-Menezes A., Monroy-Perez F. Charges in magnetic fields and sub-Riemannian geodesies// In: Contemporary trends in nonlinear geometric control theory and its applications, World Scientific, 2002, pp. 183−202.

52. El Assoudi R., Gauthier J. P. Controllability of Right Invariant Systems on Real Simple Lie Groups of Type jF4, G2, Cn, and Bn // Math. Control Signals Systems 1 (1988), 293−301.

53. El Assoudi R., Gauthier J.-P. Controllability of right-invariant systems on semi-simple Lie groups // New Trends in Nonlinear Control Theory, Springer-Verlag 122 (1989), 54−64.

54. El Assoudi R., Gauthier J. P., Kupka I. On subsemigroups of semisimple Lie groups // Ann. Inst. Henri Poincare, 13, No. 1, 117−133 (1996).

55. El Assoudi R. Accessibilite par des champs de vecteurs invariants a droite sur un groupe de Lie // These de doctorat de l’Universite Joseph Fourier, Grenoble, 1991.

56. Ayala Bravo V. Controllability of nilpotent systems // in: Geometry in nonlinear control and differential inclusions, Banach Center Publications, Warszawa, 32 (1995), pp. 35−46.

57. Bacciotti A. On the positive orthant controllability of twodimensional bilinear systems// Systems and Control Letters. 1983. V. 3 P. 53−55.

58. Bacciotti A., Stefani G. On the Relationship Between Global and Local Controllability // Math. Systems Theory, 16 (1983), pp. 79−91.

59. Bellaiche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry // In: Sub-Riemannian geometry, A. Bellaiche and J.-J. Risler, Eds., Birkhauser, Basel, Swizerland, 1996.

60. Bernoulli D. 26th letter to L. Euler (October, 1742) // In: Fuss, Correspondance mathematique et physique, t.2, St. Petersburg, 1843.

61. Bernoulli J. Veritable hypothese de la resistance des solides, avec la demonstration de la corbure des corps qui font ressort // In: Collected works, t.2, Geneva, 1744.

62. Bianchini R. M., Stefani G. Graded approximations and controllability along a trajectory // SIAM J. Control and Optimization, 1990, v.28, 903−924.

63. Bicchi A., Prattichizzo D., Sastry S. Planning motions of rolling surfaces// IEEE Conf. on Decision and Control, 1995.

64. Bloch A. Nonholonomic Mechanics and Control. Interdisciplinary Applied Mathematics, Volume 24, Springer, 2003.

65. Bonnard B. Controllabilite des Systemes Bilineaires // Math. Systems Theory 15 (1981), 79−92.

66. Bonnard B. Controllabilite des Systemes Bilineaires // In: Qutils et modeles math, autom. Anal. syst. et trait signal., vol. 1, Paris, 1981, 229−243.

67. Bonnard B., Jurdjevic V., Kupka I., Sallet G. Transitivity of families of invariant vector fields on the semidirect products of Lie groups // Trans. Amer. Math. Soc., 271, No. 2, 525−535 (1982).

68. Boothby W.M. Some comments on positive orthant controllability of bilinear systems // SIAM J. Control Optim., 20 (1982), No 5, pp. 634−644.

69. Boothby W.M., Wilson E. Determination of the transitivity of bilinear systems // SIAM J. Control Optim. 20 (1982) 634 644.

70. Borel A. Some Remarks about Transformation Groups Transitive on Spheres and Tori // Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 580−586.

71. Borel A. Le Plan Projectif des Octaves et les Spheres comme Espaces Homogenes // C. R. Acad. Sei. Paris 230 (1950), 1378−1380.

72. Boscain U., Chambrion T., Gauthier J.-P. On the K + P problem for a three-level quantum system: Optimality implies resonance //J. Dynam. Control Systems, 8 (2002), 547−572.

73. Brockett R., Dai L. Non-holonomic kinematics and the role of elliptic functions in constructive controllability // In: Nonholonomic Motion Planning, Z. Li and J. Canny, Eds., Kluwer, Boston, 1993, 1−21.

74. Brockett R. W. System theory on group manifolds and coset spaces // SIAM J. Control, 10, 265−284 (1972).

75. Brockett R. W., Millman R. S., Sussmann H. J., Eds. // Differential geometric control theory. Birkhauser Boston, 1983.

76. Brockett R. W. Control theory and singular Riemannian geometry. // In: New directions in applied mathematics (P.J.Hilton and G.S.Young (Eds.)), Springer-Verlag, 1981.

77. Bruni C., Di Pillo G., Koch G., Bilinear systems: an appealing class of «nearly linear» systems in theory and applications // IEEE Trans. Autom. Control, AC 19 (1974), 334 348.

78. Bryant R.L., Chern S.S., Gardner R.B., Goldshmidt H.L., Griffits P.A. Exterior differential systems, Springer-Verlag, 1984.

79. Cartan E. Les systemes de PfafF a cinque variables et les equations aux derivees partielles du second ordre // Ann. Sei. Ecole Normale 27 (1910), 3: 109−192.

80. Cesari L. Optimization — Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1983.

81. Daleh M. A., Peirce A. M., Rabitz H. Optimal control of quantum-mechanical systems: existence, numerical approximation, and applications // Phys. Rev. A 37 (1988).

82. Davydov A. A. Qualitative theory of control systems. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, 1994.

83. Elliott D., Tarn T. Controllability and Observability for Bilinear Systems // SIAM National Meeting, Seattle, Washington, 1971.

84. Enos M. J. Controllability of a system of two symmetric rigid bodies in three space // SIAM J. Control Optim. 32 (1994), No. 4.

85. Gauthier J. P., Bornard G. Controlabilite des systemes bilineaires // SIAM J. Control Optim., 20, No. 3, 377−384 (1982).

86. Gauthier J.P., Kupka I., Sallet G. Controllability of Right Invariant Systems on Real Simple Lie Groups // Systems & Control Letters, 5 (1984), 187−190.

87. Gauthier J.-P., Kupka I.A.K. Deterministic observation theory and applications, Cambridge University Press, 2001.

88. Gershkovich V. Ya. Engel structures on four dimensional manifolds // Preprint series No. 10, The University of Melbourne, Dept. of Mathematics, 1992.

89. Hilgert J., Hofmann K. H., Lawson J.D. Lie Groups, Convex Cones, and Semigroups, Oxford University Press, 1989.

90. Hilgert J., Hofmann K. H., Lawson J.D. Controllability of systems on a nilpotent Lie group // Beitrage Algebra Geometrie, 20, 185−190 (1985).

91. Hilgert J., Neeb K.H. Lie Semigroups and their Applications // Lecture Notes in Math. 1552 (1993).

92. Hirsch M.W., Convergence in neural nets // Proceedings of the International Conference on Neural Networks, vol. II, 1987, pp. 115−125, IEEE, USA.

93. Hofmann К. H. Lie Algebras with Subalgebras of Codimension One // Illinois J. Math. 9 (1965), 636−643.

94. Hofmann К. H. Hyperplane Subalgebras of Real Lie Algebras // Geometriae Dedicata 36 (1990), 207−224.

95. Hofmann К. H. Compact Elements in Solvable Real Lie Algebras // Seminar Sophus Lie (now: Journal of Lie theory) 2 (1992), 41−55.

96. Hofmann K.H., Lawson J.D. Foundations of Lie Semigroups // Lecture Notes in Mathematics, 998 (1983), 128−201.

97. Hunt K.R. Controllability of Nonlinear Hypersurface Systems // In: C.I. Byrnes and C. F. Martin Eds., Algebraic and Geometric Methods in Linear Systems Theory, AMS, Providence, Rhode Island, 1980.

98. Hunt K.R. n-Dimensional Controllability with (n 1) Controls // IEEE Trans. Automatic Control 27 (1982), 113−117.

99. Isidori A. Nonlinear control systems: an introduction, Springer-Verlag, 1985.

100. Jacquet S. Regularity of sub-Riemannian distance and cut locus // Preprint No. 35, May 1999, Universita degli Studi di Firenze, Dipartimento di Matematica Applicata «G. Sansone», Italy.

101. Jakubczyk В., Respondek W., Eds., Geometry of feedback and optimal control. Marcel Dekker, 1998.

102. Jurdjevic V. The geometry of the ball-plate problem // Arch. Rat. Mech. Anal., v. 124 (1993), 305−328.

103. Jurdjevic V. Non-Euclidean elastica // Am.J.Math., v. 117 (1995), 93−125.

104. Jurdjevic V. Geometric control theory, Cambridge University Press, 1997.

105. Jurdjevic V., Kupka I. Control systems on semi-simple Lie groups and their homogeneous spaces // Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 31, No. 4, 151−179 (1981).

106. Jurdjevic V., Kupka I. Control systems subordinated to a group action: Accessibility // J. Differ. Equat., 39, 186−211 (1981).

107. Jurdjevic V., Sallet G. Controllability Properties of Affine Systems // SIAM J. Control Opt. 22 (1984), 501−508.

108. Jurdjevic V., Sussmann H. J. Controllability of non-linear systems //J. Diff. Equat., 12, 95−116 (1972).

109. Jurdjevic V., Sussmann H.J. Control systems on Lie groups // J. Diff. Equat., 12, 313−329 (1972).

110. Kawski M. Combinatorics of nonlinear controllability and noncommuting flows // In: Mathematical control theory, ICTP Lecture Notes Series, 2002, v.8, 222−311.

111. Khaneja N., Brockett R., Glaser S. J. Time optimal control in spin systems // Phys. Rev. A 63 (2001).

112. Krener A. A generalization of Chow’s theorem and the Bang-Bang theorem to nonlinear control problems // SIAM J. Control, 12, 43−51 (1974).

113. Krener A. J., Nikitin S. Generalized isoperimetric problem // Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control, 7 (1997), 3: 1−15.

114. Kucera J. Solution in Large of Control System x = (A (l — u) + Bu) x // Czech. Math. J. 16 (1966), 600−623.

115. Kucera J. Solution in Large of Control System x = (An + Bv) x // Czech. Math. J. 17 (1967), 91−96.

116. Kucera J. On the Accessibility of Bilinear System // Czech. Math. J. 20 (1970), 160 168.

117. Lawden D.F. Elliptic functions and applications, Springer-Verlag, 1989.

118. Lawson J. D. Maximal subsemigroups of Lie groups that are total // Proc. Edinburgh Math. Soc., 30, 479−501 (1985).

119. Laumond J.P. Nonholonomic motion planning for mobile robots // LAAS Report 98 211, May 1998, LAAS-CNRS, Toulouse, France.

120. Li Z., Canny J. Motion of two rigid bodies with rolling constraint // IEEE Trans, on Robotics and Automation, (1), 6 (1990), 62−72.

121. Lovric M. Left-invariant control systems on Lie groups // Preprint F 193-CT03. The Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Canada, January 1993.

122. Monroy-Perez F., Anzaldo-Meneses A. Optimal Control on Nilpotent Lie Groups // J. Dynam. Control Systems, 8, no. 4, 487−504 (2002).

123. Montgomery D., Samelson H. Transformation Groups of Spheres // Ann. of Math. 44 (1943), 454−470.

124. Montgomery R. A tour of subriemannian geometries, their geodesies and applications. AMS, 2002, 259pp.

125. Mittenhuber D. Controllability of Solvable Lie Algebras //J. Dynam. Control Systems 6 (2000), No. 3, 453−459.

126. Mittenhuber D. Controllability of Systems on Solvable Lie Groups: the Generic Case // J. Dynam. Control Systems 7 (2001), No. 1, 61−75.

127. Mohler R.R. Bilinear control processes // in: Mathematics in science and Engineering, 106, Academic Press, New York, 1973.

128. Monroy-Perez F., Anzaldo-Meneses A. The step-2 nilpotent (n, n (n +1)/2) sub-Riemannian geometry // J. Dynam. Control Systems, 12, No. 2, 185−216 (2006).

129. Myasnichenko 0. Nilpotent (3,6) Sub-Riemannian Problem // J. Dynam. Control Systems 8 (2002), No. 4, 573−597.

130. Myasnichenko O. Nilpotent (n, n (n + 1)/2) sub-Riemannian problem, J. Dynam. Control Systems 8 (2006), No. 1, 87−95.

131. Nijmeijer H., van der Schaft A. Nonlinear dynamical control systems, Springer-Verlag, 1990.

132. Poincare H. Sur une forme nouvelle des equations de la mechanique // Comptes Rendus des Sciences, 132 (1901): 369−371.

133. Rink R.E., Mohler R.R. Completely controllable bilinear systems // SIAM J. Control, 6 (1968), 477−486.

134. Saalschutz L. Der belastete Stab, Leipzig, 1880.

135. Sachkov Yu. L. Invariant Orthants of Bilinear Systems // Proc. Second Europ Contr. Confer., 776−779, Groningen, Netherlands, 1993.

136. Sachkov Yu. L. Controllability of hypersurface and solvable invariant systems // J. Dyn. Control Syst., 2, No. 1, 55−67 (1996).

137. Sachkov Yu. L. Controllability of right-invariant systems on solvable Lie groups // J. Dyn. Control Syst., 3, No. 4, 531−564 (1997).

138. Sachkov Yu. L. On Positive Orthant Controllability of Bilinear Systems in Small Co-dimensions // SIAM Journ. Contr. Optimiz., 35 (1997), 1: 29−35.

139. Sachkov Yu. L. Controllability of Affine Right-Invariant Systems on Solvable Lie Groups // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 1 (1997), 239 246.

140. Sachkov Yu. L. On invariant orthants of bilinear systems //J. Dyn. Control Syst., 4, No. 1, 137−147 (1998).

141. Sachkov Yu. L. Survey on Controllability oflnvariant Systems on Solvable Lie Groups, Differ. Geometry and Control // Proc. Of Symposia in Pure Mathem. 64 (1999), 297 317.

142. Sachkov Yu. L. Classification of controllable systems on low-dimensional solvable Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems, 6 (2000), 2: 159−217.

143. Sachkov Yu. L. Symmetries of Flat Rank Two Distributions and Sub-Riemannian Structures // Transactions of the American Mathematical Society, 356 (2004), 2: 457−494.

144. Samelson H. Topology of Lie Groups // Bull. Amer. Math. Soc. 58 (1952), 2−37.

145. San Martin L. A. B. Invariant control sets on flag manifolds // Math. Control Signals Systems, 6, 41−61 (1993).

146. San Martin L.A.B., Tonelli P. A. Semigroup actions on homogeneous spaces // Semigroup Forum, 14, 1−30 (1994).

147. Sarychev A.V., Torres D.F.M. Lipschitzian regularity of minimizers for optimal control problems with control-affine dynamics // Applied Mathematics and Optimization, 41: 237−254 (2000).

148. Silva Leite F., Crouch P. C. Controllability on classical Lie groups // Math. Control Signals Syst. 1 (1988), 31−42.

149. Sontag E.D. Mathematical control theory: Deterministic finite dimensional systems. Spinger-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1990.

150. Sussmann H. J. Orbits of families of vector fields and integrability of distributions // Trans. Am. Math. Soc. 180 (1973), 171−188.

151. Sussmann H. J., Ed. Nonlinear controllability and optimal control. Marcel Dekker, 1990.

152. Sussmann H. J. Lie brackets and local controllability: a sufficient condition for scalar-input systems // SIAM J. Control and Optimization, 1983, v.21, 686−713БИБЛИОГРАФИЯ.

153. Sussmann Н. J. A general theorem on local controllability // SIAM J. Control and^{Optimization,} 1987, v.25, 158−194.

154. Zelikin M.I., Borisov V.F. Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering. Birkhauser, Basel, 1994.