(Середины ребер правильного тетраэдра служат вершинами октаэдра.)
3. Какие грани имеют усеченный тетраэдр и усеченный куб? (4 треугольника и 4 шестиугольника, 8 треугольников и 6 восьмиугольников.)
4. Какую часть ребер тетраэдра, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в результате усеченный тетраэдр был полуправильным многогранником?
5. В правильном многограннике все грани-правильныеугольники и в каждой вершине сходится ребер. Какими могут быть числа и? (,).
6. На рисунке 12 изображены пять многогранников. Многогранники, расположенные в углах рисунка, получены из куба одной и той же операцией. Что это за операция? Как называются все изображенные многогранники? (Операция усечения; а) усеченный куб; б) кубооктаэдр; в) октаэдр; г) усеченный октаэдр.)
Рис. 12
7. Поверхность какого полуправильного многогранника напоминает поверхность футбольного мяча? (Усеченный икосаэдр).
8. Какого наименьшего периметра должно быть веревочное кольцо, чтобы через него прошел единичный правильный: 1) гексаэдр; 2) октаэдр; 3) тетраэдр? (1) 4; 2) 3; 3) 2.)
9. Найдите ошибку в следующем условии задачи: «Плоский угол боковой грани правильной пятиугольной усеченной пирамиды равен. Найдите сумму всех плоских углов пирамиды». (Плоский угол правильной пятиугольной усеченной пирамиды должен быть больше, так как, .)
§ 7. Объемы и площади поверхностей многогранников Данный раздел обычно изучается в профильном обучении математики в 11 классе. Он служит своего рода обобщением и закреплением темы «Многогранники».
В гуманитарном профиле на него отводится совсем немного времени. Среди определений понятий, относящихся к данной теме, отсутствуют строгие математические определения, определения носят скорее описательный характер.
В ходе введения понятий данного параграфа следует обязательно использовать наглядные или технические средства, в особенности справочные таблицы, в которых изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади их поверхностей.
Такие таблицы имеют дидактическую направленность.
Устную работу следует проводить на заключительном этапе урока, на нее отводится 10 минут.
В качестве заданий для проведения устной работы можно использовать некоторые из предложенных ниже.
Устные упражнения для гуманитарных классов
1. Из скольких кубиков с ребром 3 см можно составить куб с ребром 15 см? (125)
2. Сумма всех ребер куба равна 24. Чему равен его объем? (8 куб. ед.)
3. Дана правильная треугольная призма, у которойсторона основания, -высота, -площадь основания, -объем призмы. Заполните пустые ячейки в таблице 2:
Таблица 2
№ 1 4 2 8 3
№ 1 4 24 2 8 5 3 216
4. Длины ребер двух кубов относятся как. Как относятся их объемы? ()
5. Сколько можно построить правильных пятиугольных пирамид заданного объема с заданной высотой? (одну.)
Рассмотрим особенности изучения данного параграфа для математического профиля.
В математическом профиле данного параграфу при изучении темы «Многогранники» уделяется особое внимание.
Среди определений понятий распространены строгие четкие и насыщенные математической информацией определения.
Приведем пример:
Общие свойства объемов тел. Задача состоит в том, чтобы каждому геометрическому телу, поставить в соответствие определенное число, называемое объемом тела, так, чтобы выполнялись следующие свойства:
1) равные тела имеют равные объемы;
2) если тело является объединением нескольких тел, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов составляющих его тел;
3) объем единичного куба (длина ребра которого равна единицы длины) равен единице.
Упражнения и задания для проведения дидактического момента «Устная работа» направлены на развитие логического мышления учащихся.
Устную работу следует проводить на среднем или заключительном этапе урока. На нее отводится не более 20 минут.
Вопросы следует задавать с опорой на объемные модели многогранников, рабочие и справочные таблицы, а также технические средства.
Приведем примеры устных упражнений и заданий для математических классов.
Устные упражнения для математических классов
1. Сторону основания правильной четырехугольной призмы уменьшили в 3 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Как изменился объем пирамиды? (уменьшился в 3 раза.)
2.Может ли человек взять и перенести куб из золота, ребро которого равно 20 см? (1 м3 золота весит приблизительно 19 т). (Нет, масса этого куба 152 кг)
3. Измерения прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию, второй член которой равен 4 см. Найдите его объем. (64 см3.)
4. От куба с ребром отсечены четыре треугольные призмы плоскостями, проходящими через середины смежных сторон оснований параллельно боковым ребрам. Докажите, что объем оставшейся части куба равен .
5. Развертка боковой поверхности параллелепипеда представляет собой прямоугольник, основание которого равно 40 см, а высота-20 см. Какой наибольший объем может иметь параллелепипед, ограниченный данной боковой поверхностью? (Из всех параллелограммов данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. 2 дм³.)
6. Найдите объем куба, если: 1) площадь его грани равна; 2) диагональ куба равна .
7. Объем первой пирамиды равен 210 см³. Определите объем второй пирамиды, если площадь ее основания в 2 раза больше площади основания первой пирамиды, а высота в три раза меньше.
8. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и имеют длины, ,. Найдите ее объем.
9. Пирамида, объем которой равен 200 см³, пересечена плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды параллельно основанию. Определите объем усеченной пирамиды. (175 см3)
10. В правильную треугольную пирамиду вписана правильная треугольная пирамида так, что ее вершина совпадает с центром основания данной пирамиды, а вершинами основания служат середины боковых ребер. Докажите, что объем вписанной пирамиды равен данной пирамиды. (Стороны основания и высота вписанной пирамиды в 2 раза меньше сторон основания и высоты данной пирамиды.)
Для обеспечения усвоения знаний учащимися согласно предложенной программе и развития их познавательного интереса нами были использованы следующие методические приемы:
— установление связей материала с конкретными объектами реальной действительности;
— указание корней нового материала в старом;
— пробуждение мысли учащихся;
— введение понятий наиболее естественным для учащихся способом;
— обучение умению самостоятельно переносить приемы познавательной деятельности с ранее изученного материала на вновь узнаваемое;
— подход к формулировке понятия с разных сторон;
— побуждение учащихся к самостоятельным выводам, обобщениям;
— включение историко-математического материала;
— использование элементов занимательности;
— руководство конструированием и изготовлением моделей;
— использование технических средств.
§ 8. Результаты экспериментальной проверки Хотелось бы представить проект-эксперимент, проведенный в рамках школы в двух старших профильных классах.
Урок геометрии в 11 классе математического и гуманитарного профилей по теме «Объёмы и площади поверхностей многогранников».
Цели проекта:
Обобщение знаний учащихся о свойствах площадей и объёмов;
Вывод формул объёмов геометрических тел;
Формирование умения применять данные формулы при решении задач.
Задачи проекта:
Вспомнить изученные ранее основные характеристики геометрических тел (призмы, пирамиды, конуса, цилиндра и шара).
Вывести формулы для нахождения площадей поверхностей и вычисления объёмов тел.
Показать применение данных формул при решении задач практического содержания.
Оформить результаты работы в виде презентаций, буклетов и наглядных пособий.
Этапы проведения проекта:
Время проведения проекта — 8 часов (по 40мин).
1 урок — создание рабочих групп, определение целей и задач проекта, планируемых результатов, распределение работы между учащимися в группах.2 урок — поиск необходимой информации, подбор иллюстраций, теоретического материала, поиск задач практического содержания из учебников и задачников.3, 4 уроки (+ работа дома) — оформление результатов работы в виде буклетов, презентаций и наглядных пособий.5, 6 уроки — подготовка к защите проекта, консультации учителя.7, 8 уроки — защита творческих работ учащихся, подведение итогов проекта, рефлексия.
Основополагающий вопрос:
Как найти размер геометрического тела?
Проблемные вопросы:
Призма деформируется, оставаясь призмой, так, что одно из её оснований перемещается в содержащей её плоскости, а положение второго основания закреплено. Будут ли призмы, получаемые в результате такой деформации, равновеликими?
Каковы размеры одного из самых грандиозных сооружений древности — пирамиды Хеопса?
Сколько м3 нефти может вместить железнодорожная цистерна, или как изготовить жестяную банку с минимальными затратами?
Как определить массу гравия в куче или изготовить воронку наибольшей вместимости?
Во сколько раз объём Земли больше объёма Луны, или сколько потребуется кожи для изготовления волейбольного мяча?
Самостоятельная работа учащихся:
Вывод формул для вычисления объёмов геометрических тел не только с геометрической точки зрения, но и с алгебраической, используя интегральное исчисление.
Подбор и самостоятельное решение задач практического содержания на применение данных формул.
Проследить зависимость объёма тел от изменения его основных характеристик.
Проект предполагает творческую защиту работ учащимися, поэтому в качестве раздаточного материала каждому ученику выдается рабочая карта с критериями оценивания буклета и презентации, с вопросами рефлексии.
Программно-техническое обеспечение, необходимое для проведения учебного проекта: Компьютер, цифровой фотоаппарат, принтер, сканер, экран, проектор.
Итоги проекта: По итогам проекта каждой из четырех групп (по количеству геометрических тел — призма, пирамида, цилиндр, конус): — будет создана презентация, содержащая, историческую справку о происхождении тела, основные характеристики данного геометрического тела, вывод соответствующих теме формул, применение геометрического тела в нашей жизни;
буклет со справочным материалом и примером применения выведенных формул;
в виде наглядного материала 3−4 задачи практического содержания по данной теме.- каждый учащийся заполнит карту соответствия данных геометрических тел и их частей выведенным формулам.
Оценивание деятельности учащихся:
Первая оценка выставляется членами группы каждому учащемуся за его работу в группе. Вторая оценка выставляется учащимися всего класса за работу группы в целом. Третья оценка выставляется учителем по результатам заполнения карты соответствия. Четвёртая оценка выставляется учителем информатики за выполнение итогового творческого задания.
Данный материал может быть использован учителями при проведении уроков в классах социально-экономического, информационно-технологического, универсального и других профилей.
Заключение
Сформулируем основные выводы и полученные результаты проведенного исследования.
Задача обновления школьного курса геометрии состоит в том, чтобы сделать курс геометрии современным, интересным, учитывающим склонности и способности каждого ученика, направленным на воспитание математической культуры, интеллектуальное развитие личности, формирование представлений учащихся о математике, ее месте и роли в современном мире.
Для этого в школьный курс геометрии необходимо включать вопросы философского и мировоззренческого характера, истории развития математики, знакомить учащихся с некоторыми современными направлениями ее развития и приложениями. При этом особое значение мы придаем формированию пространственных представлений учащихся, развитию их геометрической интуиции.
Считается, что элементы современной геометрии и приложения доступны учащимся, способным к математике, и могут быть рассмотрены только в специальных математических классах. На самом деле из того, что ученику трудно даются некоторые разделы основного курса геометрии не следует, что он не может и не должен знакомиться с элементами современной геометрии. Как правило, материал, относящийся к современным разделам геометрии, обладает большей наглядностью, имеет исторические и прикладные аспекты, вызывает повышенный интерес учащихся.
В старшем школьном возрасте складываются все необходимые предпосылки для успешного формирования личности, для осуществления личностно-ориентированного обучения. Эти предпосылки не только подкрепляют цели и задачи по формированию личности учащихся, но и создают условия, благоприятные для личностно-ориентированного обучения. Для решения задачи формирования личности необходима дифференциация обучения, способствующая максимальной реализации всех индивидуальных возможностей каждого школьника. Необходимо совершенствовать содержание, формы и методы обучения школьников, ориентированные на формирование их личности.
Специальные курсы по геометрии, реализующие личностноориентированный подход к обучению и воспитанию учащихся, характеризуются:
а) непосредственной связью с основным курсом геометрии;
б) своей содержательной связью с историей науки;
в) богатыми внутрии межпредметными связями;
г) яркими приложениями, подводящими к знакомству с современными задачами науки;
д) обладанием математической занимательностью, в том числе математической красотой;
е) широкими возможностями включения учащихся в различные формы самостоятельной работы, развития их творчества;
ж) использованием современных компьютеров, что позволяет расширить круг решаемых задач, активизировать работу учащихся по закреплению основных понятий геометрии, усилить индивидуализацию обучения.
Список литературы
Абугова Х. Б., Щукина М. А. Сборник устных упражнений по геометрии для 8−10 классов. — М.: Учпедгиз, 1960.
Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть вторая. Стереометрия.-4-е изд.-М.: Учпедгиз, 1957.-608 с.
Александров А. Д. Геометрия для 10−11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. — М.: Просвещение, 1992.
Атанасян Л. С. Геометрия: Учеб. для 10−11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др. — М.: Просвещение, 1998.
Березанская Е.С., Колмогоров Н. А., Нагибин Ф. Ф., Черкасов Р. С. Сборник задач и вопросов по геометрии. — М.: Учпедгиз, 1959.
Боженкова Л. И. Теоретические основы интеллектуального воспитания учащихся в обучении геометрии: монография /Л. И. Боженкова. — Омск: ОмГПУ, 2002. 205 с.
Болтянский В. Г. Выпуклые многоугольники и многогранники. / В. Г. Болтянский, И. М. Яглом // Математика в школе. — 1966.
Болтянский В. Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе.-1982;№ 2.-с.
40.
Васильев Н.Б. и др. Заочные математические олимпиады.-2-ое изд.-М.: Наука, 1986.-176 с.
Волошинов А. В. Математика и искусство.-2-ое изд.-М.: Просвещение, 2000.-399 с.
Германович П. Ю. Вопросы и задачи на соображение для 8 — 10 классов: Алгебра, геометрия и тригонометрия. — Л.: Учпедгиз, 1957.
Егупова М. В. Исторический опыт использования приложений геометрии в школьном математическом образовании /Егупова М. В.; Моск. пед. гос. ун-т. — М.: АСМС, 2010. 102 с.: ил.
Ершова А.П., Голобородько В. В. Устные проверочные и зачетные работы по геометрии для 10−11 класса.
М.: Илекса,-2006,-112 с.
Зив Б. Г. Дидактические материалы. Устные задачи. 10−11 кл.:/Б.Г. Зив.-1-е изд.-СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2002;96 с.
Литвак А. Е. Основы методологии преподавания с учетом психологических факторов /Литвак А. Е., Алексеева Э. М., Щепилова Т. Б.; Федер. агентство по образованию,
Ковров. гос. технол. акад. им. В. А. Дегтярева. — Ковров: КГТА, 2010. 179 с.: ил.
Методика преподавания математики в восьмилетней школе/ Под общей редакцией С. Е. Ляпина. — М.: Просвещение, 1965, с.
117.
Перепёлкин Д. И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве.
М.-Л.: Гос. изд. техн.
теор.
Литература
1949.-348 с.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 2. Стереометрия.
М.: МЦНМО, 2006.-256 с.
Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. Часть II. Стереометрия для 9 — 10 классов средней школы.- 31-ое изд.- М.: Просвещение, 1965.
Смирнова И. М. Дипломная работа и магистерская диссертация: Учебное пособие. — М.: Прометей, 2005.
Смирнова И. М. Педагогика геометрии: Монография.
М.: Прометей, 2004.-336 с.
Смирнова И. М. Сборник устных задач и упражнений по геометрии для 10−11 классов средней школы. — М.: Аквариум, 1998.
Смирнова И.М., Смирнов В. А. Устные упражнения по геометрии. 10−11 классы: Учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2010.
Смирнова И. М. Геометрия: Учеб. пособие для 10−11 кл. гуманит. Профиля. / И. М. Смирнова. — М.: Просвещение, 1997.
Устный опрос по теме «Пирамида"// Математика в школе.-1959.-№ 6.-с.
40.
Фридман А.М. Психолого-педагогические основы изучения математики в школе. — М.: Просвещение, 1983.
Шарапова В. К. Тематические тесты по геометрии 10−11 класс: учеб. пособие./ В. К. Шарапова.
Ростов н/Д.: Феникс, 2007.-64 с.
Шклярский Д.О. и др. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия. Стереометрия.-2-ое изд.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.-280 с.
Штейнгауз Г. Задачи и размышления. — М.: Мир, 1974.-400с.
Штейнгауз Г. Сто задач. — М.: Наука, 1986.-144с-4-ое изд.
