Для многих аспектов инженерной практики важное значение имеет решение задачи фильтрации жидкости через пористую среду. Задачи фильтрации со свободными или подвижными границами составляют существенную часть явлений, происходящих в природе, например, фильтрация через земляные плотины (дамбы), фильтрация из открытых источников (каналы, реки, озера, системы орошения и заполняемые водоемы), приток к колодцам.
При исследовании задач фильтрации с неизвестными границами используются различные подходы (см. монографии Полубариновой-Кочиной [14], Бэра [27] и обзоры Бруха [32, 33]). Большой вклад в развитие теории фильтрации внесла советская школа механиков, основоположниками которой являются Н. Е. Жуковский, Н. Н. Павловский, Л. С. Лейбензон и, в дальнейшем, В. И. Аравин, С. Н. Нумеров, П.Я.Полубаринова-Кочина. Разработанные ими аналитические и приближенные методы позволили исследовать и решить многие задачи фильтрации несжимаемой жидкости, в том числе задачи безнапорной фильтрации со свободными границами. Как правило, эти исследования были посвящены задачам фильтрации, следующим закону Дарси.
Закон Дарси, приводящий к линейному уравнению фильтрации, имеет пределы применимости и во иногих случаях описание процесса движения воды в пористой среде линейным законом не дает адекватного отражения реального физического процесса. Актуальным становится исследование фильтрации за пределами применимости закона Дарси, когда связь между скоростью фильтрации и градиентом напора выражается нелинейным законом.
Первые теоретические исследования, заложившие основы теории нелинейной фильтрации в гидродинамической постановке, выполнены С. А. Христиановичем. Дальнейшее развитие теория и методы решения таких задач получили в работах С. Н. Нумерова, В. М. Ен-това, Ю. М. Молоковича, Н. Б. Ильинского, А. В. Костерина, Н. Д. Якимова, Р. Б. Салимова, Э. В. Скворцова, Е. Г. Шешукова и их учеников. В этих работах в основном изучались задачи т.н. напорной фильтрации. В большинстве случаев был использован метод преобразования исследуемой задачи в плоскость годографа.
Математическими моделями задач нелинейной напорной фильтрации в постановке в физической плоскости служат квазилинейные эллиптические уравнения с коэффициентами, зависящими от градиента искомой функции. В такой постановке эти задачи были изучены в работах А. Д. Ляшко, М. М. Карчевского, А. В. Лапина, И. Б. Бадриева. При этом исследованы и задачи с т.н. предельным или начальным градиентом сдвига и с «разрывным» законом фильтрации, приводящие к появлению неизвестной (свободной) границы, разделяющей область течения и застойную зоны. Были решены проблемы существование решения, построены и изучены сеточные методы решения.
В 1971 году К. Байокки [23] сформулировал задачу установившейся фильтрации жидкости, подчиняющейся закону Дарси, через прямоугольную плотину в виде вариационного неравенства в фиксированной области. В его подходе искомая функция (давления) в, а priori неизвестной области продолжается за свободную границу и в качестве новой неизвестной используется т.н. гидравлический заряд, получаемый с помощью преобразования, названного затем преобразованием Байокки.
Подход Байокки позволил получить теоретические результаты по существованию, единственности и гладкости решения и свободной границы. Более того, формулировка задачи в фиксированной области позволила строить и применять для ее численного решения достаточно стандартные приближенные методы, в том числе методы конечных разностей и конечных элементов на фиксированных сетках. Численная реализация этих сеточных схем сводится к известной задачи квадратичного программирования с простыми ограничениями.
В 1979 году Г. В. Альт [20] и, независимо, X. Брезис, Киндерлерер, Г. Стампаккья [30] предложили новую вариационную формулировку задачи о линейной фильтрации в плотине произвольной геометрии при произвольной неоднородности материала плотины. Был доказан результат о существовании обобщенного решения. Позже в работе Корильо-Менендеса и Шипо [36] была изучена проблема единственности этого решения. Г. В. Альт [21] исследовал также схему МКЭ для общей задачи фильтрации и получил первые результаты по сходимости сеточных аппроксимаций и обосновал итерационный метод решения сеточной задачи о плотине типа нелинейного метода Зей-деля. Впоследствии были исследованы и более эффективные методы решения этой сеточной задачи [41],[29].
Задачи нелинейной безнапорной фильтрации существенно сложнее как задач безнапорной фильтрации, следующей закону Дарси, так и нелинейных задач напорной фильтрации. Эти задачи, в том числе при наличии предельного градиента и «разрывного» закона фильтрации, были поставлены в форме вариационных неравенств в фиксированной области и теоретически исследованы в работе А. В. Лапина [8].
В настоящее время существуют два основных подхода к решению задачи о плотине, т. е. задачи фильтрации несжимаемой жидкости через пористую преграду под действием силы тяжести — метод вариации свободной границы и метод преобразования к вариационному неравенству в фиксированной области.
Известно, что свободная граница — депрессионная поверхность — и в особенности участок высачивания, определяемый по свободной границе, представляют наибольший практический интерес. При численном решении вариационных неравенств свободная граница определяется на основе апостериорной обработки полученного приближенного решения. В связи с этим для ее достаточно точного определения требуется использовать либо специальные методы апостериорной обработки информации, недостаточно разработанные к настоящему времени, либо решать задачу с использованием численных методов высокого порядка, что приводит к существенному повышению трудоемкости численного решения.
Метод вариации свободной границы позволяет уточнять ее положение непосредственно в процессе решения задачи. Суть этого метода состоит в последовательном приближении к свободной границе на основе решения краевой задачи для дифференциального уравнения в очередном приближении к искомой области фильтрации. При этом в постановке краевой задачи участвует одно из двух условий на неизвестной границе, а второе условие используется в процедуре уточнения положения этой границы. Решение последовательности задач в варьируемой области приводит к «удорожанию» процедуры численного решения. Эта проблема при сеточном решении задачи частично снимается за счет модификации узлов сетки лишь в небольшой части области, примыкающей к варьируемой границе.
Различные варианты метода вариации свободной границы давно используются в практике решения задач фильтрации. Однако, в большинстве случаев их применение основано на некоторых эмпирических соображениях и теоретически не обосновано. Кроме того, условие высачивания жидкости через низовой откос плотины не контролируется, что может привести к «нефизическим» решениям. Более строгим является подход, основанный на постановке задаче со свободной границей как задачи оптимального управления областью. При таком подходе мы фактически реализуем метод вариации свободной границы, когда «направление» вариации указывается на основе градиентной информации для функционала цели. Это дает возможность обосновать сходимость приближений к точке локального минимума функционала цели.
Теория и применение методов оптимального управления системами с распределенными параметрами (т.е. системами, описываемыми уравнениями и вариационными неравенствами с частными производными, интегро-дифференциальными уравнениями, задачами оптимизации) являются одним из наиболее важных и актуальных разделов чистой и прикладной математики. В нашей стране первые исследования в этой области были проведены А. Г. Бутковским [5], К. А. Лурье [13], Т. К. Сиразетдиновым [15]. Известны математические монографии по теории оптимального управления Ж.-Л.Лионса [11] и В. Барбу [26].
Теория оптимизации формы области представляет собой одно из направлений в теории оптимального управления. Данное направление получило значительное развитие в последние два десятилетия. Это прежде всего относится к общей математической теории, анализу чувствительности и решению конкретных задач оптимизации форм в механике деформируемых тел. Среди известных монографий по этой тематике можно перечислить книги О. Пиронно [42], Хог Э., Чой К., Комков В. 18], Я. Хаслингер, П. Нейттаанмяки [17]. Успехи в развитии теории оптимизации формы области обеспечены достижениями в теории вариационных задач с неизвестными (свободными) границами, теории и методов решения вариационных неравенств. Наибольшее црименеие методы оптимизации формы имеют при оптимальном проектировании конструкций, в особенности при компьютеризации процессов проектирования. Совместно с технологией метода конечных элементов и машинной графики — это путь к полной компьютеризации процесса проектирования.
В работе [28] впервые метод оптимизации формы области был применен к решению задачи со свободной границей — решена простейшая задача фильтрации в прямоугольной плотине. Подход к решению более общей задачи указан в [38], при этом теоретическое обоснование не было проведено.
В диссертации предлагается отличный от [38] метод решения. Основное отличие состоит в том, что в функционал цели включается ¿-2-норма нормальной компоненты скорости фильтрации на варьируемой границе вместо И^ нормы как в [38]. Это дает возможность строить более простые в реализации сеточные аппроксимации задачи. Для формулировки задачи оптимального управления с использованием ¿-2нормы нормальной компоненты скорости фильтрации требуется соответствующая регулярность решения и свободной границы. Такая регулярность доказана в диссертации в случае линейного закона фильтрации и предполагается в случае нелинейного закона.
Методы решения задач со свободными границами, основанные на их формулировке в виде вариационных неравенств в фиксированной области, являются на данный момент наиболее универсальными. В совокупности с сеточными методами аппроксимации (методы конечных элементов и конечных разностей) и численными методами нелинейной оптимизации они образуют мощный инструмент решения задач со свободными границами в многомерных областях сложной геометрии. В то же время, методы вариации свободной границы, основанные на теоретически обоснованной постановке задач в виде задач оптимального управления, дают возможность высокоточного определения свободной границы как одного из основных составляющих решения задачи. Бесспорно, что совместное использование этих двух подходов может стать эффективным средством решения упомянутых задач. Именно, первоначальное решение задачи в фиксированной области с предварительным, достаточно грубым, определением свободной границы и ее последующее уточнение методами оптимизации формы области (возможно, лишь вблизи некоторых особых подобластей, таких как нижний бьеф плотины, скважина, дрена и др.) позволяют строить «недорогие» приближенные методы высокой точности. Все вышесказанное определяет актуальность разработки и исследования методов оптимизации формы области для задач со свободными границами.
Цели диссертационной работы:
1. Математическая формулировка задач фильтрации несжимаемой жидкости в плотине при линейном и нелинейном законах фильтрации в виде задач оптимизации формы областитеоретическое исследование поставленных задач.
2. Построение и исследование сеточных аппроксимаций сформулированных задач оптимального управленияразвитие и применение алгоритмов оптимизации к численному решению конечномерных аппроксимаций.
3. Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для модельных задач.
Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем:
1. Предложена новая постановка задач фильтрации жидкости со свободными границами в виде задач оптимизации формы областиобоснована корректность сформулированных задач в случае линейного закона фильтрации.
2. Предложен и обоснован новый подход к решению сеточных аппроксимаций прямой и сопряженной задач оптимального управления, основанный на использовании модифицированной функции Лагранжа и примененный к задачам с линейным и нелинейным законами.
Достоверность сформулированных теоретических результатов обеспечена строгими доказательствами. Достоверность численных расчетов обусловлена хорошим совпадением результатов с известными.
Научное и практическое значение работы. Диссертационная работа содержит в основном теоретические результаты. Ее основное научное значение состоит в том, что предложен и исследован новый численный метод решения задач фильтрации со свободными границами, основанный на их сведении к задачам оптимального управления областью.
Вместе с тем, разработанные алгоритмы и программы могут быть включены в комплекс прогаммных средств, предназначенных для решения практических задач со свободными границами.
Структура диссертационной работы.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.
2.5 Основные результаты и выводы.
Методы оптимизации формы области применены к решению нелинейной задачи фильтрации со свободной границей. Исследована корректность построенной сеточной схемы для задачи оптимального управления. Построена и изучена сеточная задача для определения сопряженного состояния и получены формулы для вычисления градиента функционала цели. Построены расширенные лагранжианы для прямой и сопряженной задач, что позволяет применять известные методы нелинейной оптимизации при решениии поставленных задач. Описана процедура численного решения задач оптимизации формы области.
Для задачи фильтрации жидкости в плотине с нелинейным законом фильтрации предложен и обоснован новый метод численного решения. По сравнению с используемыми методами решения сеточных вариационных неравенств, аппроксимирующих рассматриваемую задачу фильтрации, он обладает преимуществом по точности определения свободной границы.
