Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки.
Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ:
(3.1)
Решение данной системы ищем в виде:
(3.2)
Подставляя в первое уравнение, получим:
Здесь учтено, что данное соотношение должно выполняться при любом Так как:
(3.3)
то, подставляя (3.3) во второе уравнение, получим:
Сравнивая с (3.2) получим:
.
Таким образом, можно найти все .
Тогда из последнего уравнения (3.1) находим:
Затем последовательно находим:
Таким образом, алгоритм метода прогонки можно представить в виде:
1) Находим
2) Для i=1,n-1: (3.4)
3) Находим
4) Для i=n-1 до 1 находим:
Шаги 1), 2) — прямой ход метода прогонки, 3), 4) — обратный ход метода прогонки.
Теорема. Пусть коэффициенты ai, bi системы уравнений при i =2, 3, …, n-1 отличны от нуля и пусть при i =1, 2, 3, …, n. Тогда прогонка корректна и устойчива.
При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть не что иное, как условие диагонального преобладания.
Для краевой задачи имеем:
Тогда:, ,
Для данной задачи условие устойчивости имеет вид:
.
Пусть:
. (3.6)
Тогда:
Пример. Найти решение задачи:
Выпишем разностную схему:
Условие устойчивости примет вид:
Возьмем .
Тогда:
Или:
Формулы прогонки были получены для СЛАУ:
Здесь x замены на u.
Следовательно,
Решим СЛАУ методом прогонки. Вычисления оформим в виде таблицы:
I ai ci bi fi alfai betai ui 1 51 35 0,2 0,6863 -0,0039 0,4701 2 15 51 35 0,4 0,8598 -0,0113 0,6906 3 15 51 35 0,6 0,9186 -0,0202 0,8164 4 15 51 35 0,8 0,9403 -0,0296 0,9107 5 0 -1 1 1,0000
Порядок вычислений по формулам (3.4):
Ответ в столбце ui.
На практике часто граничные условия могут иметь более общий вид.
Рассмотрим следующую краевую задачу:
Найти решение ОДУ 2-го порядка
удовлетворяющую краевым условиям:
В этом случае при построении разностной схемы необходимо еще аппроксимировать и краевые условия.
Аппроксимация:
В результате получим разностную схему:
Или:
Мы получили СЛАУ с трехдиагональной матрицей, решение которой также можно найти методом прогонки.
Заключение
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т. д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Конечно, использование таких программных продуктов значительно сокращает время и ресурсы по решению ряда важных задач. Однако, при использовании этих программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, нельзя гарантировать, что задача решена правильно. Поэтому для более полного понимания того, как осуществляется расчет различного вида уравнений и их систем, необходимо теоретическое изучение методов их решения и их проработка на практике.
Антонов А. В. Системный анализ. Учеб. для вузов/ А. В. Антонов. — 2-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2006. — 454 с.: ил.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. / К.
И. Бабенко. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 с.
Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П.
Жидков, Г. М. Кобельков. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. — 624 с.
Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения — М.: Мир, 2001. — 435с.
Киреев В.И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высшая школа,, 2008. — 480 с.
Петров И.Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие — М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523 с: ил.
Самарский А. А.
Введение
в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. — 288 с.
Советов Б.Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. — 4 изд. стер. — М.: Высшая школа, 2005. — 343 с.: ил.
Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с.
Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения — М.: Мир, 2001. — 435с.
Антонов А. В. Системный анализ. Учеб. для вузов/ А. В. Антонов. — 2-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2006. — 454 с.: ил.
Киреев В.И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах — М.: Высшая школа,, 2008. — 480 с.
Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П.
Жидков, Г. М. Кобельков. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.
— 624 с.
Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с.
Петров И.Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие — М: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523 с: ил.
Советов Б.Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. — 4 изд. стер. — М.: Высшая школа, 2005. — 343 с.: ил.
Самарский А. А.
Введение
в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2005. — 288 с.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. / К.
И. Бабенко. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 848 с.
