Замечание.Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси, то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле.Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 12).Решение:
Рис. 12. Тогда. Вычисление длины дуги
Длина дуги плоской кривой, определенной в прямоугольных координатах уравнением, , находится по формуле, где и — соответственно абсциссы начала и конца дуги. Вывод формулы стандартный для интегрального исчисления: получить соответствующуюю интегральную сумму и совершить предельный переход.Пример. Вычислить длину дуги кривой от до. Решение: найдем производную функции :=ctgxНаходим подынтегральное выражение:.Отсюда:.Ответ:.Если кривая задана параметрическими уравнениями, то длина дуги этой кривой вычисляется по формуле:.Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды:
Решение: найдем производные: ,. Тогда. Следовательно, .
1.4. Вычисление поверхности тел вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси функции, , непрерывной вместе со своей первой производной, вычисляется по формуле:.Пример. Вычислить поверхность шара радиуса. Решение: полагаем, что поверхность шара (сфера) образована вращением окружности вокруг оси. Изуравненияокружности,. Тогда. Заключение
Определенныйинтеграл — одно из основных понятий математического анализа. Он является мощным средством исследования в различных областях знаний. Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для исследования различных процессов. Литература
Пискунов, Н. С Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов/Н.С.Пискунов.
М.: Наука, 1978 — 1996.-Т.
1.Щипачев, В. С. Курс высшей математики/В.С.Щипачев.-М.:Изд. МГУ, 1981.-Т.
1.Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике/В.П.Минорский.- М.: Наука, 1971
Сборник задач по математике для втузов/ под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1981.
