Проблема разрешимости эта проблема ставится для формул исчисления предикатов, лишённых символов постоянных предметов и символов индивиду-альных предикатов. В последующем изложении предполагается, что рассмат-риваемые формулы таковы (если не сделано специальных оговорок).
Каждая такая формула представляет собой определённое утверждение, ис-тинное или ложное, когда оно относится к определённому полю M.
Если такая формула истинна для некоторого поля M и некоторых предика-тов, на нём определённых, мы будем называть её выполнимой.
Если формула истинна для данного поля M и для всех предикатов, опреде-лённых на M, мы будем называть её тождественно истинной для поля M.
Если формула истинна для всякого поля M и для всяких предикатов, будем называть её тождественно истинной или просто истинной.
Формула называется ложной или невыполнимой, если ни для какого поля ни при каких замещениях предикатов она не является истинной. Легко показать, что если формула U тождественно истинна, то формула ложна, и наоборот.
Постановка проблемы разрешимости для логики предикатов аналогична по-становке этой проблемы для алгебры высказываний. Её решение и является це-лью данной курсовой работы. Итак, проблема ставится следующим образом: дать эффективный способ для определения является ли данная формула вы-полнимой или нет.
Умея решать вопрос о выполнимости, мы тем самым сможем решать и во-прос об истинности любой формулы. В самом деле, если формула U истинна, то формула невыполнима, и обратно. Поэтому, доказав выполнимость или невыполнимость, мы тем самым проверим истинность U. Проблема разре-шимости для логики предикатов является усилением проблемы разрешимости для исчисления высказываний, так как все формулы исчисления высказываний входят в число формул логики предикатов. Однако в то время как решение проблемы разрешимости для исчисления высказываний никаких трудностей не представляет, проблема разрешимости для логики предикатов оказалась свя-занной с серьёзными трудностями.
Современные исследования пролили свет на природу этих затруднений. В настоящее время представляется достаточно ясным, что решение этой пробле-мы в указанном смысле вообще невозможно. Иначе говоря, не может сущест-вовать никакого конструктивного правила, которое позволяло бы определять для любой формулы логики предикатов, является ли она тождественно истин-ной или нет. Для некоторых частных типов формул, однако, проблема разре-шимости решается. Мы рассмотрим наиболее важный тип формул, для которых решение проблемы разрешимости может быть осуществлено, это формулы ло-гики предикатов, зависящие от одного переменного.
