Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Постановка задачи и результаты. В первом параграфе исследуются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений. Рассмотрим задачу хкихх = а2щ, -ос < к <2, х> 0, t € (—00, +00) (1) при граничных условиях. Теорема 2 Краевая задача (1), (2) в классе периодических функ-• ций по t и ограниченных на +оо имеет и притом единственное решение, причем от функции f (t) требуется… Читать ещё >

Задачи без начальных условий для некоторых классов неклассических уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

Введение
Глава 1.
Задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений
- 1. 1. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений
- 1. 2. О единственности решения первых двух краевых задач для уравнения теплопроводности без начальных условий
Глава 2.
Аналог задачи ГУрса для некоторых дифференциальных уравнений
- 2. 1. Задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций
- 2. 2. Аналоги задачи ГУрса для уравнения иху = а2щ в классе целых функций экспоненциального типа
Основные результаты

Начало исследованию задач без начальных условий для параболического уравнения принадлежит А. Н. Тихонову [52], который указал метод исследования задачи без начальных условий для уравнения теплопроводности и дал её первое строгое решение.

В его известной работе [53] была исследована единственность решения задачи без начальных условий (задачи Фурье) для уравнения теплопроводности ди од2и dt ~ дэв*1 Х > 0° <г < +00> wL=+o =.

Задачей без начальных условий для отдельных параболических уравнений и систем занимались О. А. Олейник, Е.В. Радке-вич, С. Д. Ивасишен, А. Е. Шишков, К. В. Валиков, Н. М. Бокало, И. И. Шмулев, Е. И. Моисеев, А. И. Янушаускас, С. Д. Эйдельман, А. С. Калашников, Н. П. Куликов.

Тем не менее, задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений не изучались.

В настоящей диссертации изучаются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений, задачи без начальных условий для неклассического уравнения вида щ = Lit, где L — гиперболический оператор (аналог задачи Гурса).

Первая глава посвящена исследованию задачи без начальных условий для некоторых параболических уравнений.

1. Постановка задачи и результаты. В первом параграфе исследуются задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений. Рассмотрим задачу хкихх = а2щ, -ос < к < 2, х > 0, t € (—00, +00) (1) при граничных условиях.

0 = /(*)> (2) где т оо 2 Г m =? л***, = me-^dt. i=~ 00.

Ограниченное решение будем искать в классе периодических функций в виде оо u (x, t) = ^ (3).

I——оо причем функция u (x, t) непрерывно при х > 0, t Е (—оо,+оо) и непрерывно дифференцируема по t и дважды по х при х > 0, t € (—00,+00).

Решение в этом случае имеет вид u (x, t) =.

JfL •, (4) где — функции Ханкеля.

Теорема 1 Пусть // = 0 при |/| > iV, тогда решение задачи (1), (2) существует, единственно и представляется в виде (4), где суммирование идет от —N до N.

Теорема 2 Краевая задача (1), (2) в классе периодических функ-• ций по t и ограниченных на +оо имеет и притом единственное решение, причем от функции f (t) требуется периодичность и удовлетворение условию Гельдера.

Замечание 1 Бели искать решение в классе убывающих при х —У оо функций и периодических по то решение существует и единственно при условии, что /о = 0, т. е. т.

J f (t) dt = 0.

— г.

Замечание 2 Если искать решение в классе растущих не быстрее некоторой степени х при х оо, то решений линейно независимых существует два. m.

Во втором параграфе главы исследовано одномерное уравнение теплопроводности щ = а? ихх при t € (—00, +00) в полуплоскости х > 0. Поэтому начальные условия не задаются, а задаются лишь граничные условия: либо первого рода w^-o = /(*)> либо второго рода ихх0 = f (t). Ранее [52], для такой задачи с первым краевым условием была доказана единственность решения в классе ограниченных функций u (x, t) < Л4. В этом параграфе доказана единственность решения в классе функций, растущих следующим образом: u{x, t) 0, t G (—00,+00), где А, В, S — положительные постоянные.

Приводится пример, что в случае S = 0 может и не быть. Для второй краевой задачи единственность решения доказана в классе функций u{x, t).

0, t G (—оо, +оо), где А, J3, <5 — положительные постоянные.

Формулируется аналог теоремы Лиувилля для регулярных решений уравнения теплопроводности на всей плоскости.

В первом параграфе главы 2 рассматривается задача Гурса для уравнения иху = а2щ в классе периодических функций. 2.1. Постановка задачи и результаты. В области.

X + у > О,.

X — у < О, —оо < t < +00, требуется определить регулярное решение уравнения.

Uxx — Uyy = (7) а со следующими краевыми условиями: оо их+у=о = Е к=—оо оо к к=—оо.

8) где fk{%) и дк{х) — заданные непрерывные функции 0) = 9к (0) = 0. Решение будем искать в классе периодических функций по t.

00 s, y, t)= Y1 (д) к=—оо.

При помопщ метода последовательных приближений и с применением функций Бесселя, получим следующую формулу, дающую решение задачи (7), (8): оо u{x, y, t) = ]Г х к=—оо.

X { fk (x + 2/) + 9к (х — у) + yh (2Ф^-^'^-УЖХ + У)-*)) х / V У Д (т) <*г + г^ф-?.(* + *)((*-у)-г)).

X / v (10).

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 3 Пусть Д (ж), дважды непрерывно дифференцируемы по я, Д = 0, = 0 при > iV,.

Д (0) = Pfc (0) = 0.

Тогда формула (10) дает единственное регулярное решение задачи (7), (8).

Теорема 4 Пусть Д, д^ дважды непрерывно дифференцируемы по х, fk (0) =^jt (O) = 0, далее, пусть сходятся ряды.

Ff>exp{W*+?}i exp {|fc|^}i l*l>i l*l>i для любого L > 0, где.

Gt4 = max |й (т)|,.

0<г<2/.

F^ = max |Д (г)|,.

Тогда существует единственное классическое решение задачи (7), (8).

Замечание 3 Если указанные в теореме 4 ряды (11) сходятся для конкретного L > 0, то решение существует при.

0 < х — у < L, —оо < +оо.

Рассмотрим следующую задачу uxy = a2ut, х > 0, у > 0, t G (—оо,-|-оо) (12) при заданных граничных условиях где f (y, t) и g (x, t) — периодические функции по t и f (0,t)=g (0,t) с периодом 2 Т. Тогда имеем.

00 к it j f (y, t) =? к=—оо +оо g{x, t) =? 3i (i)e'T', к=—оо u*Uo =/*ы>

Л (0) = л (0)=0.

Решение будем искать в виде оо u (x, y, t) =? ще^* (14) к=—оо в классе периодических функций. Далее, it непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема при у > 0, ж > 0, — оо < t < +оо.

Решение задачи (12), (13) можно представить в следующем виде: оо u (x, y, t) = Y, Х оо X х.

J J0 ^/2а (1 — г sign к) фк ¦ у • (х — а) ¦ ^ gk (s) ds+ о J Jo — г sign к) • фк • x ¦ (у — s) — ^ fk (s) ds I. (15) о J.

Теорема 5 Пусть k N, т.

9{x, t) = Y1 дк (х)еФ* & f dt = О лг т при > N, f{y->t)-> 9{x>t) непрерывно дифференцируемые функции по х, у, и f (0,t)=g (0,t)=0.

Тогда (15) дает единственное регулярное решение задачи (12), (13).

Во втором параграфе главы 2 исследовала задача иху = а2щ, х > 0, у > 0, t G (-оо,+оо) (16) при заданных граничных условиях u (a, 0, t) = f (x, t),.

17) u (0,y, t) =g (y, t), где/(0,*)=$(0,*)=0.

Предположим, что функции / и д — целые функции экспоненциального типа конечного порядка по t, f, g е L2(-oo,+oo) по аргументу t и непрерывно дифференцируемые по ж, у. Тогда функции / и д можно представить в виде [11] А.

M-f+Fbr)*,.

— А А.

9(У, t) = f eitTG (y, т) dr.

— А.

Будем искать решение в классе целых функций экспоненциального типа конечного порядка по t, причем u (x, y, t) е L2(-oo,+oo) по t: А u (x, y, t) = J е**тй (х, у, т) dr. (18).

Для решения задачи (16), (17) получено интегральное представление с использованием функции Бесселя u (x, y, t) =.

А х J j eitT Jo (/2a (l — isignr) y/ry{x — s)) Fi (s, r) dsdr +.

A 0 А у / /e'.

— A 0.

Поскольку F (x, t) и G (y, r) финитные функции по г, то.

Fi = — дх и.

G dG 1 ду также финитны по т.

Достаточно потребовать, чтобы f (x, t) и g (y, t) были функциями экспоненциального типа. Справедлива.

Теорема 6 Пусть f (x, t) и g (у, t) — целые функции экспоненциального типа по t конечного порядка, непрерывно дифференцируемые по х и у, для которых существуют следующие интегралы по вещественной оси: оо +оо.

J f (x, t)2dt.

Vx, у > О и существует такая постоянная А, что f (x, t)=0(eA* I), g (y, t) = 0(eAl% Vs. yX).

Тогда интегральная формула (19) дает единственное регуляр ное решение задачи (16), (17) в классе целых функций экспонен циалъного типа по t.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Для вырождающегося параболического уравнения.

Хкихх = а2щ, оо < к < 2, х > 0, —оо < t < +оо, доказано существование и единственность решения задачи без начальных условий.

U> = /(0. где f (t) — периодическая функция.

2. Для уравнения теплопроводности 2 щ = а ихх при t G (—oo,+оо), в полупроскости х > 0 исследован вопрос о единственности решения краевой задачи без начальных условий первого рода их=о = /" в классе растущих функций u (x, t) < A (x2 + t) i~s + B, для х > 0, t 6 (—оо, +оо), где А, В, 8 — положительные постоянные. Приведен пример, показывающий, что при <5 = 0 уже отсутствует единственность решения. Аналогичные результаты получены для краевой задачи второго рода.

3. В области х + у > 0, х — у < 0, —оо < t < +оо для уравнения 1 U хх Иуу — n^t а1 с гиперболическим оператором второго порядка рассмотрен аналог задачи Гурса ulx+j,=o = /ОМ), Чх-у=о = 9(x, t), где f (x, t), g{x, t) — периодические функции по t. При определенных условиях доказано существование и единственность решения такой задачи.

4. Построено интегральное представление решений аналога задачи Гурса для уравнения иху = а2Щ, х > 0, у > 0, -оо < t < +оо, удовлетворяющих условию u{x, 0, t) = f (x, t),.

Причем / и g — целые функции экспоненциального типа конечного порядка по t..

Показать весь текст

Список литературы

Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра—М.: Наука, 1965—294 с.
Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены.—М.: Наука, 1968.—295 с.
Берс JI., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.—М.: Мир, 1966.
Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1984.
Борок В.М., Житомирский Я. И. Об одном методе исследования единственности решения краевых задач в бесконечных цилиндрических областях.—Успехи матем. наук, 1975, вып. 6, с. 159−160.
Будак Б.М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды.—М.: Наука, 1965.
Быков Я. В., Горшков А. И. О периодических решениях краевой задачи нелинейного уравнения параболического типа.—Труды Краснодарского политехнического института.—Краснодар, 1970, с. 137−151.
Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений.—Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, № 12, с. 2075−2076.
Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для вырождающихся параболических уравнений.—Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, № 12, с. 1710−1711.
Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для одного неклассического уравнения.—Дифференц. уравнения, 2003, т. 39, № 2, с. 278−280.
Винер Р., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.—М.: Мир, 1964.
Владимиров B.C. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1988.—512 с.
Градштейн И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений.—М.: Наука, 1971.—1108 с.
Демидович В., Исаак М. Основы вычислительной математики/Под ред. Б. П. Демидовича. Изд. 2-ое.—М.: Физмат-гиз, 1963.
Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.—М.: Физматгиз, 1961.
Дубинский Ю.А. Краевые задачи для эллиптико-параболиче-ских уравнений.—Известия АН Армянск. ССР, 1969, сер. ма-тематич., 4, № 3, с. 192−214.
Евграфов М.А. Аналитические функции.—М.: Наука, 1991.
Ивасишен С.Д. О корректной разрешимости некоторых параболических граничных задач без начальных условий.— Дифференц. уравнения, 1978, т. XIV, № 2, с. 361−363.
Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений.—Успехи матем. наук, 1960, т. XV, вып. 2, с. 97−154.
Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 1.—М.: Наука, 1982.
Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 2—М.: Наука, 1998.
Калашников А. С. Задача без начальных условий в классе растущих функций для некоторых линейных вырождающихся параболических систем второго порядка.—Вестник Московского Университета, 1971, № 2, с. 42−48- № 3, с. 3−9.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—М.: Наука, 1976.
Колмогоров А.Н.У Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.—М.: Наука, 1976.
Кондратьев В.А., Эйделъман С. Д. О свойствах решений эволюционных систем с эллиптической пространственной частью.—Матем. сборник, 1970, 81, вып. 3, с. 398−429.
Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции.—М.: ИЛ, 1963.—466 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1, 2.—М.: Высшая школа, 1988.
Куликов Н.П. О внутренних оценках решений краевых задач без начальных условий для уравнения Аи = |jr+ qu+F.—Изв. вузов, математика, 1960, № 6, с. 140−149.
Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1, 2.—М.: Гостехиздат, 1951.
Курант Р. Уравнения с частными производными.—М.: Мир, 1965.—830 с.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1—М.: Наука, 1967.
Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1973.
Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.—М.: Изд-во СОАН, 1962.
Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.—М.: Наука, 1973.
Ладыженская О.А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.—М.: Наука, 1967.
Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1, 2.— М.: Наука, 1967−1968.
Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.—М.: Наука, 1976.
Михлин С. Г. Курс математической физики.—М.: Наука, 1968.
Моисеев Е. И., Вафодорова Г. О. Задачи без начальных условий для некоторых дифференциальных уравнений.— Дифференц. уравнения, 2002, т. 38, № 8, с. 1091−1094.
Moiseev E.I., Prudnikov А.P. On the Basic Property of Systems of Sines and Cosines in the Sobolev Space // Bull, of the Polish Ac. of Sci. Math., 1996, v. 44, p. 401−408.
Олейник О.Л., Иосифъян Г. А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений.—Успехи матем. наук, 1976, т. 31, выпуск 6, с. 142−166.
Олейник О.А. О поведении решений линейных параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченныхобластях.—Успехи матем. наук, 1975, т. 30, выпуск 2, с. 219 220.
Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.—М.: Физматгиз, 1970.
Положий Г. Н. Уравнения математической физики.—М.: Высшая школа, 1964.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.: Наука, 1974.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1984.
Сидоров Ю.В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1976.
Смирное В.И. Курс высшей математики. Т. 2- Т. 3−4.— М.: Наука, 1967- 1974.
Снеддон И. Преобразования Фурье.—М.: ИЛ, 1955.—607 с.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.—М.: Наука, 1959.
Титчмарш Е. Теория функций.—М.: Наука, 1980.
Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики—М.: Наука, 1977.—736 с.
Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности.—Матем. сборник, 1935, 42, № 2, с. 199−216.
Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения.—М.: ИЛ, 1960.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2, 3.—М.: Физматгиз, 1962−1963.
Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.—М.: Мир, 1968.
Харди Г. Сходящиеся ряды.—М.: ИЛ, 1949.
Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с частными производными.—М.: Мир, 1965.
Шабат В.В. Введение в комплексный анализ.—М.: Наука, 1985.—207 с.
Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс.—М.: Наука, 1965.
Шубин М. А. Лекции об уравнениях математической физики.—М.: Наука, 2001.
Элъсголъц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.—М.: Наука, 1965.
Лнушаускас А.И. Некоторые математические модели явлений промерзания грунтов. Проблемы горного производства восточной Сибири.—Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1991, с. 87−96.

Заполнить форму текущей работой