Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Многосеточная технология для математического моделирования тепловых и гидродинамических процессов

Диссертация: Многосеточная технология для математического моделирования тепловых и гидродинамических процессов
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Состояние вопроса исследования. Подавляющее большинство задач вычислительной математики сводится к решению систем линейных алгебраической уравнений высокой размерности. В настоящее время предложено огромное количество алгоритмов решения задач линейной алгебры, однако доминирующую роль получили многосеточные методы, предложенные выдающими отечественными математиками Р. П. Федоренко и Н. С… Читать ещё >

Многосеточная технология для математического моделирования тепловых и гидродинамических процессов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Введение б
  • 1. Универсальная многосеточная технология
    • 1. 1. Постановка задачи о формализации вычислений
    • 1. 2. Аналитическая часть технологии
    • 1. 3. Вычислительная часть технологии
      • 1. 3. 1. Построение многосеточной структуры
      • 1. 3. 2. Аппроксимация краевых задач на многосеточной структуре
      • 1. 3. 3. Аппроксимация граничных условий
      • 1. 3. 4. Многосеточный цикл
    • 1. 4. Иллюстративный пример
    • 1. 5. Доказательство сходимости
    • 1. 6. Распараллеливание вычислений
      • 1. 6. 1. Минимальное ускорение
      • 1. 6. 2. Динамический цикл
      • 1. 6. 3. Распараллеливание на 27 процессорах
      • 1. 6. 4. Распараллеливание на 729 процессорах
      • 1. 6. 5. Влияние обмена данными
    • 1. 7. Двухмерные модельные задачи
      • 1. 7. 1. Уравнение Пуассона
      • 1. 7. 2. Уравнение с квадратичной нелинейностью
      • 1. 7. 3. Анизотропное уравнение
    • 1. 8. Трехмерные модельные задачи
      • 1. 8. 1. Аппроксимация уравнения с переменными коэффициентами
      • 1. 8. 2. Уравнение Пуассона
      • 1. 8. 3. Уравнение с переменными коэффициентами
      • 1. 8. 4. Нелинейное уравнение теплопроводности
      • 1. 8. 5. Уравнение с разрывными коэффициентами
      • 1. 8. 6. Неравномерные сетки
      • 1. 8. 7. Сильные сглаживатели
    • 1. 9. Моделирование передачи тепла в корпусе микродвигателя
    • 1. 10. Многосеточное предобуславливание
    • 1. 11. Адаптивное определение параметров релаксации
    • 1. 12. Сравнение многосеточных методов
  • 2. Комплекс программ
    • 2. 1. Модуль RMT2D. f
      • 2. 1. 1. Построение и хранение многосеточной структуры
      • 2. 1. 2. Вычисление отображения индексов
      • 2. 1. 3. Вычисление интегралов на многосеточной структуре
      • 2. 1. 4. Многосеточная оболочка
    • 2. 2. Модуль RMT3D. f
      • 2. 2. 1. Многосеточная оболочка
    • 2. 3. Замечания о программном обеспечении
  • 3. Совершенствование алгоритмов для численного решения уравнений Навье-Стокса
    • 3. 1. Декомпозиция давления
    • 3. 2. Явные схемы
      • 3. 2. 1. Схема расщепления по физическим факторам
      • 3. 2. 2. Метод искусственной сжимаемости
      • 3. 2. 3. Схема Мак-Кормака
    • 3. 3. Неявные схемы
      • 3. 3. 1. Течение в каверне с движущейся крышкой
      • 3. 3. 2. Обтекание ступеньки
      • 3. 3. 3. Течение в микрокатализаторе
      • 3. 3. 4. Течения между пластинами с локальным сужением
      • 3. 3. 5. Течение в микросопле Лаваля
    • 3. 4. Течения с определяемым массовым расходом
    • 3. 5. Замечания о декомпозиции давления
  • 4. Многосеточный алгоритм для численного решения уравнений Навье-Стокса
    • 4. 1. Модификация уравнений Навье-Стокса
    • 4. 2. Конфигурация контрольных объёмов
    • 4. 3. Аппроксимация модифицированных уравнений
      • 4. 3. 1. Аппроксимация уравнения неразрывности
      • 4. 3. 2. Аппроксимация уравнения движения
    • 4. 4. Модификация вспомогательной задачи
    • 4. 5. Многосеточные циклы
    • 4. 6. Предобусловленный метод Узавы
    • 4. 7. Сглаживатель Банки
  • Выводы

Актуальность темы

В настоящее время методы математического моделирования широко используются для решения крупных научно-технических и хозяйственных задач. Однако математическому моделированию, как и любому методу исследования, присущи определённые недостатки. В первую очередь к ним следует отнести трудоемкость написания и отладки компьютерных программ, предназначенных для решения сложных прикладных задач. Поэтому широкое распространение получил ряд коммерческих программных продуктов (ANSYS, STAR-CD, FLUENT, CFX, PHOENICS и др.), устроенных по принципу «черного ящика». Инженер, использующий подобные программы, только формулирует задачу, а детали вычислительного алгоритма ему могут быть даже не известны. Применительно к техническим приложениям работу автономных программ упрощенно можно представить следующим образом: конструктор проектирует некоторый узел при помощи некоторой графической программы. Затем геометрия узла переносится в вычислительный модуль, конструктор задает граничные и начальные условия, после чего проводит тепловой, прочностной, гидродинамический или другой расчет и анализирует результаты. Как правило, после анализа полученных результатов нужно внести изменения в конструкцию и повторить расчет. Обычно конструктор выполняет несколько подобных «итераций», чтобы получить оптимальную, с его точки зрения, конструкцию. Еще бблыиую практическую ценность будет представлять возможность расчета машины в целом, а не только отдельных ее узлов, поскольку поэлементное моделирование часто связано с погрешностями постановки граничных условий.

Однако современные программные продукты обладают рядом недостатком, вызванных использованием в них традиционных вычислительных методов. Дальнейшее совершенствование программного обеспечения вызывает необходимость разработки новых численных методов решения нелинейных уравнений математической физики, обладающих скоростью сходимости, близкой к оптимальной, и высоким уровнем формализации и параллелизма. В ряде проблемных областей, например в вычислительной гидродинамике, до сих пор отсутствуют высокоэффективные универсальные методы решения основополагающих уравнений.

Основу вычислительного эксперимента составляет триада модель — алгоритм — программа [59, 60]. Обычно построение численного метода для заданной модели, состоящей из системы дифференциальных уравнений, состоит из двух этапов: а) формулировка дискретной задачи, б) разработка алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Представленная схема носит упрощенный характер и не отражает многих важных аспектов. Тем не менее очевидна значительная сложность и трудоемкость математического моделирования, которая снижает практическую ценность результатов вычислений. Создание мощного программного инструмента для эффективного решения широкого класса прикладных задач требует автоматизации всех этапов вычислительного эксперимента. На этом пути встречаются многочисленные проблемы, наиболее значимыми из которых являются:

1. Построение математической модели. Сложность многих прикладных задач такова, что даже в обозримом будущем не удастся доказать существование их решения. В отдельных дисциплинах (например, в вычислительной гидродинамике), значительную трудность представляет моделирование турбулентности, особенно при наличии физико-химических превращений. Поэтому формулировки основных законов, управляющих объектом исследования, часто носят эвристический характер, который затрудняет выбор эффективных методов их решения.

2. Построение вычислительной сетки. В настоящее время предложены многочисленные алгоритмы построения сеток в областях со сложной геометрией. Однако, несмотря на определенные успехи, эти алгоритмы до сих пор с трудом поддаются формализации и распараллеливанию. Кроме того, заранее невозможно построить сетку, оптимальную в смысле минимума погрешности аппроксимации. Адаптивная перестройка сетки требует достаточно точной апостериорной оценки погрешности.

3. Выбор способа и порядка аппроксимации уравнений математической модели. Метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ) стали самыми распространенными и эффективными способами аппроксимации различных задач математической физики. Однако для придания гибкости автономным программам необходимо предусмотреть возможность изменения способа и/или порядка аппроксимации в процессе решения задачи.

4. Выбор итерационного метода решения результирующей СЛАУ. Несмотря на многообразие предложенных итерационных методов, до сих пор не удалось формализовать выбор наиболее эффективного из них для конкретной задачи. Кроме того, применяемые итерационные методы различаются по возможности эффективного распараллеливания вычислений и используемым ресурсам компьютера.

В настоящее время основная тенденция в развитии программного обеспечения, устроенного по принципу «чёрного ящика», состоит в разделении основных этапов вычислительного эксперимента на отдельные независимые задачи. Например, в алгебраических многосеточных методах решение результирующей СЛАУ осуществляется без привлечения какой-либо информации о вычислительной сетке, исходной дифференциальной задаче и способе ее аппроксимации [81, 84, 104, 105, 156]. При этом алгоритмы для решения отдельных независимых задач содержат много компонент, оптимальный выбор которых и определяет скорость сходимости. Адаптацию алгоритма к решаемой задаче трудно выполнить в программном обеспечении, устроенном по принципу «чёрного ящика».

В качестве альтернативы можно предложить алгоритмы, содержащие минимально возможное количество проблемно-зависимых компонент. Далее будем называть алгоритм универсальным, если он обладает минимальным количеством проблемно-зависимых компонент среди алгоритмов одного класса. Построение универсальных алгоритмов осуществляется не на разделении, а на объединении основных этапов вычислительного эксперимента в единую вычислительную технологию. Например, алгоритм для решения результирующей СЛАУ должен использовать информацию об исходной дифференциальной задаче, вычислительной сетке и способе аппроксимации. Очевидно, что минимальное количество проблемно-зависимых компонент в универсальных алгоритмах существенно облегчит формализацию вычислительного эксперимента.

Использование информации о вычислительной сетке возможно лишь в том случае, если сетка структурирована. Данное обстоятельство является в определённом смысле ограничением области применения универсальных алгоритмов, поскольку построение структурированных сеток в областях со сложной геометрией является гораздо более трудной задачей, чем построение неструктурированных.

Следует заметить, что требование универсальности и вычислительной эффективности алгоритма являются взаимоисключающими. Основная трудность при построении универсального алгоритма состоит в минимизации количества проблемно-зависимых компонент при сохранении высокой скорости сходимости.

Актуальность работы обусловлена необходимостью разработки универсального и высокоэффективного алгоритма для численного решения широкого класса (не)линейных прикладных задач на структурированных сетках.

Состояние вопроса исследования. Подавляющее большинство задач вычислительной математики сводится к решению систем линейных алгебраической уравнений высокой размерности. В настоящее время предложено огромное количество алгоритмов решения задач линейной алгебры, однако доминирующую роль получили многосеточные методы, предложенные выдающими отечественными математиками Р. П. Федоренко [63, 64] и Н. С. Бахваловым [3]. Бурное развитие многосеточных методов, начавшееся в середине 80-х годов, обусловлено их уникальной возможностью получать численное решение с оптимальными вычислительными усилиями. Развитие многосеточных методов пошло по традиционному для середины 80-х годов пути, связанным с адаптацией алгоритма к решаемой задаче. В результате многосеточные методы быстро превратились в труднообозримое семейство алгоритмов, причем применение их к решению новых задач приводило к появлению новых вариантов [67, 80, 97,100,155,162,165].

Конструкция программных продуктов, устроенных по принципу «чёрного ящика», практически исключает возможность адаптации классических многосеточных алгоритмов к решаемой задаче. Поэтому для подобных программ необходима иная форма алгоритмизации основополагающей идеи Р.П. Федо-ренко и Н. С. Бахвалова, позволяющая решать широкие классы прикладных задач унифицированным образом без контроля со стороны пользователя хода вычислительного процесса.

Первоначально классические многосеточные методы (КММ) применялись к решению линейных задач. При решении нелинейных уравнений КММ можно использовать тремя способами:

1) линеаризация по Ньютону с адаптацией числа многосеточных итераций на каждую итерацию Ньютона;

2) линеаризация по Ньютону с фиксированным числом многосеточных итераций на каждый шаг по Ньютону;

3) нелинейный многосеточный метод.

Наибольшее распространение для решения отдельных нелинейных задач получила схема FAS [62, 97, 162], к преимуществам которой следует отнести:

1) избежание глобальной линеаризации;

2) отсутствие расчёта больших Якобианов;

3) легкая трансформация схемы коррекции для линейного метода в схему коррекции для нелинейного метода, при некотором изменении правой части.

Тем не менее, трудности решения нелинейных задач при помощи КММ остаются для ряда приложений.

Другим из наиболее распространённых нелинейных многосеточных алгоритмов стали каскадные многосеточные методы [77, 149, 152], которые сочетают исключительную простоту конструкции и вычислительную эффективность. В основе каскадных методов лежит один из методов построения неструктурированной сетки, основанный на дроблении крупных элементов. Подобное дробление порождает иерархию неструктурированных сеток. Численное решение краевых задач в каскадных методах осуществляется с самой грубой сетки с переходом на более мелкие сетки без многосеточных итераций. Однако каскадные методы трудно применять к решению краевых задач на адаптивных сетках.

Другим принципиальным недостатком классических многосеточных методов (КММ) является трудность их распараллеливания. КММ основаны на решении серии разностных задач различной размерности, причем наименьшая размерность может быть меньше числа используемых процессоров. Это неизбежно приводит к снижению эффективности распараллеливания. В настоящее время построение параллельных классических многосеточных алгоритмов осуществляется по следующим направлениям: совпадающие итерации (одновременное выполнение сглаживающих итераций на всех сетках [73, 74, 82, 107, 108]), коррекция на нескольких грубых сетках (использование нескольких сеток для вычисления поправки [69, 89, 90, 96, 99, 133]), полная декомпозиция области (уменьшение обменов данными в каждой многосеточной итерации [70, 131, 132]), и блочная факторизация (специальный выбор точек на грубых и мелких сетках [78, 79, 88, 122]). Поэтому иная форма алгоритмизации основополагающей идеи Р. П. Федоренко и Н. С. Бахвалова должна подразумевать возможность эффективного распараллеливания вычислений на достаточно большом количестве процессоров вне зависимости от используемой сглаживающей процедуры.

Альтернативный подход, основанный на использовании информации об исходной дифференциальной задаче, вычислительной сетке и способе аппроксимации, разработан автором и получил название «Универсальная Многосеточная Технология» (УМТ) [32, 33, 34, 35, 36, 39, 42, 126, 128]. Взаимосвязь УМТ с исходной дифференциальной задачей осуществляется предварительным представлением искомого решения в виде суммы или произведения двух функций, разностные аналоги которые будут играть роль поправки и приближения в последующих многосеточных итерациях. Тем самым появляется возможность избежать глобальной линеаризации ряда прикладных нелинейных задач и численно решать нелинейные, а не линеаризованные, разностные уравнения. Кроме того, аппроксимация членов исходного уравнения, содержащих данные две функции, может осуществляться разными методами и с разным порядком. Таким образом появляется возможность гибко менять способ и порядок аппроксимации исходной дифференциальной задачи, не внося существенных изменений в многосеточный алгоритм.

Грубые сетки в УМТ взаимосвязаны со способом аппроксимации исходной модифицированной задачи. Для аппроксимации членов, содержащих поправку, использован интегро-интерполяционный метод, а грубые сетки строятся как посредством удаления узлов, так и объединением контрольных объёмов. При этом исходную модифицированную задачу удаётся аппроксимировать на всех сетках унифицированным образом, а соответствующие шаблонные функционалы — на самой мелкой сетке.

Из УМТ исключено предварительное сглаживание (во избежание дополнительных затруднений при решении нелинейных задач) и интерполяция. В результате единственной проблемно-зависимой компонентой УМТ является сглаживающая процедура.

Вычислительная гидродинамика является одной из основных областей применения высокопроизводительных вычислений. В научно-технических приложениях особое значение имеют задачи моделирования течений, описываемых уравнениями Навье-Стокса в переменных «скорость-давление».

На начальном этапе развития вычислительной гидродинамики технические характеристики компьютеров не позволяли моделировать течения на основе решения полных уравнений Навье-Стокса. Поэтому в то время основным объектом исследования являлись отдельные классы течений, описываемые упрощёнными уравнениями Навье-Стокса. Одним из ключевых допущений для течений в приближении пограничного слоя являлось допущение о зависимости давления только от одной пространственной переменной. Для замыкания упрощённых уравнений Навье-Стокса использовалось уравнение постоянства массового расхода. Тогда линеаризованный разностный аналог упрощённых уравнений Навье-Стокса на равномерной сетке принимает вид где, а и? представляют разностные аналоги компонент скорости и давления, несимметричная матрица, А соответствует линеаризованному конвективно-диффузионному оператору, а В — единичная вектор-строка.

Особенностью данной СЛАУ является наличие нулевого элемента на главной диагонали матрицы коэффициентов из-за отсутствия давления в уравнении неразрывности. Наличие данного нулевого элемента не позволяет непосредственно применять итерационные методы для решения данной СЛАУ. Однако довольно быстро были разработаны специальные итерационные методы для решения подобных систем [61, 85], а в двухмерном случае возможно применение и прямых методов. Примечательно, что вычислительные алгоритмы для решения уравнений Навье-Стокса в приближении пограничного слоя не содержали проблемно-зависимых компонент.

Аналогичным образом может быть записан линеаризованный разностный аналог полных уравнений Навье-Стокса, но в этом случае на главной диагонали матрицы коэффициентов расположен нулевой блок, а В является матрицей. Поэтому прежние алгоритмы оказались не пригодны, и для решения подобных систем пришлось разрабатывать новые численные методы [6, 75].

В современных коммерческих пакетах прикладных программ широкое распространение получил метод SIMPLE и его модификации (SIMPLER, SIMPLEC и др.) [1, 68, 95, 140, 141, 142, 151]. В данных методах поправка к давлению 6Р отыскивается из уравнения.

BD~1BT6P = соВи, где D А, а ш есть релаксационный параметр.

Другим распространённым способом решения подобных систем является предобусловленный метод Узавы [83, 106, 136, 144], итерации которого определяются следующим образом Аа<*+1> = -Вт (3^ + / + (Ва^к+1) — д) ' где матрица Q есть некоторый предобуславливатель. Нетрудно показать, что вектор ошибки в итерациях Узавы удовлетворяет соотношению.

3~(3^\ < ||I-Q~lBA-lBT\ ¦ \(3-&-к)\.

Тогда выбор предобуславливателя Q, удовлетворяющего неравенству.

IQ-lBA~1BT\ 1 гарантирует сходимость предобусловленого метода Узавы со скоростью геометрической прогрессии.

Как правило, предобуславливатель Q содержит параметры релаксации. Построение предобуславливателя и определение оптимального значения параметров релаксации является одной из основных трудностей подобных методов [6, 23, 121, 137]. В настоящее время широко используется диагональное предобуслав-ливание (Q = BD~j^BT, где DA = diagA), хотя предпринимаются многочисленные попытки построения более совершенных предобуславливателей [91, 92, 93, 94, 110, 117, 119, 135, 138, 147, 153, 166, 167].

Другой проблемой является формулировка дополнительных граничных условий при построении матрицы Q, которые отсутствуют в исходной постановке задачи. Трудность заключается в том, что уравнение для поправок к давлению лишено физического смысла, поэтому получение необходимых граничных условий из физических основ гидродинамики выглядит проблематичным. Сложная конструкция предобуславлителя Q затрудняет исследование итерационных алгоритмов теоретическими методами.

Поэтому весьма привлекательным выглядит итерационный метод, основанный на специальном блочном упорядочивании неизвестных [157]. В этом случае исходная СЛАУ с нулевым блоком на главной диагонали матрицы коэффициентов редуцируется к серии СЛАУ с нулевым блоком минимальной размерности, которые могут быть решены прямыми методами. В результате отпадает необходимость в построении предобуславливателя [125]. В литературе данный метод получил название сглаживателя Банки.

Однако гораздо меньше усилий прилагается для разработки приемов ускорения сходимости наиболее распространенных алгоритмов (предобусловленный метод Узавы, метод Банки и др.), несмотря на очевидный комплексный характер решения данной проблемы.

В настоящее время многосеточные методы широко применяются для численного решения уравнений Навье-Стокса на (не)структурированных сетках [57, 114, 116, 123, 130, 143, 145, 150, 154, 160, 161, 163]. В настоящее время предложено множество вариантов многосеточных методов и сглаживающих процедур и доминирующий алгоритм ещё не выработан. Разработанные алгоритмы сильно различаются по универсальности, возможности распараллеливания вычислений и области применения.

Целью исследования является разработка математических моделей течений вязкой жидкости, построение многосеточного метода с минимальным количеством проблемно-зависимых компонент для моделирования (не)линейных тепловых и гидродинамических процессов на структурированных сетках, разработка комплекса программ для его реализации, применение многосеточного метода к решению прикладных задач гидродинамики и теплопроводности.

Задачами исследования являются:

1. Разработка многосеточной технологии с минимальным количеством проблемно-зависимых компонент:

— разработка конструкции многосеточной технологии с высоким уровнем формализации;

— доказательство сходимости и анализ объема вычислительной работы;

— оценка эффективности распараллеливания вычислений;

— исследование возможности применения технологии в качестве предобу-славливателя.

2. Разработка программного обеспечения и алгоритмизация отдельных компонент технологии.

3. Тестирование технологии на различных модельных задачах.

4. Разработка и тестирование способа ускорения сходимости итерационных методов решения уравнений Навье-Стокса, основанного на декомпозиции давления и физических аспектах гидродинамики.

5. Разработка и тестирование высокоэффективного многосеточного метода численного решения уравнений Навье-Стокса.

6. Решение отдельных прикладных задач для демонстрации возможностей разработанной многосеточной технологии.

Краткое содержание разделов диссертации.

Диссертационная работа структурирована следующим образом: диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, 92 рисунков, 29 таблиц. Библиография насчитывает 167 наименований.

Выводы.

Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Разработан вариант геометрических многосеточных методов с минимальным количеством проблемно-зависимых компонент для математического моделирования тепловых и гидродинамических процессов. Выполнен анализ возможности эффективного распараллеливания вычислений, предложена схема распараллеливания и получены оценки эффективности параллелизма.

2. Создан программный комплекс для решения двухи трёхмерных краевых задач теплопроводности и гидродинамики на структурированных сетках. Выполнено тестирование универсальной многосеточной технологии на разнообразных (не)линейных эталонных и прикладных задачах.

3. Разработан метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление» на структурированных сетках, основанный на универсальной многосеточной технологии. Для ускорения сходимости использована оригинальная декомпозиция давления и уравнения постоянств массового расхода. Показана высокая эффективность алгоритма с использованием предобусловленного метода Узавы и метода Банки в качестве сглаживающих процедур.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. М.: Мир, 1990.' Т. ½. С. 384/392.
  2. В.Н., Мартыненко С. И. Универсальная многосеточная технология для решения задач механики сплошной среды // Вестник МАИ. 2009. Т.16, — № 2. С.171−175.
  3. Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор // ЖВМ и МФ. 1966. Т.6, № 5. С.861−883.
  4. Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М: Наука. 2003. 632 с.
  5. О.М., Гущин В. А., Щенников В. В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15, М. С.197−207.
  6. Ю.В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 349 с. ¦
  7. Ю. В. Капырин И.В. Две схемы расщепления для нестационарной задачи конвекции-диффузии на тетраэдральных сетках. // ЖВМ и МФ. 2008. V.48 No.8. С.1−19,
  8. Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г. Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Кри-щенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. 700 с.
  9. В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. БХВ-Петербург, 2002. 608 с.
  10. В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. М.: Наука, 1986. 296 с.
  11. Е.А. Численные методы. М.: Наука. 1982. 256 с.
  12. К.Н. Дискретизация конвективных потоков в уравнениях Навье-Стокса на основе разностных схем высокой разрешающей способности // Вычислительные методы и программирование. 2004. Т.5., раздел 1. С.129−145.
  13. М.П., Савенков Е. Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. 591 с.
  14. М.П., И.А. Щеглов. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: итерационные методы. Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 2006. № 9. 32 с.
  15. В.А. Пространственное обтекание трехмерных тел потоком вязкой жидкости // ЖВМ и МФ. 1976. Т. 16, № 2. С.529−534.
  16. B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 184 с.
  17. B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомидат, 1983. 328 с.
  18. B.C., Станкевич И. В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 352 с.
  19. B.C., Кувыркин Г. Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. 512с.
  20. H.H. Численные методы. М.: Наука. 1978. 512 с.
  21. H.H., Альшин А. Б., Альшина Е. А., Рогов Б. В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 224 с.
  22. Г. М. О методах решения уравнений Навье-Стокса // Доклады
  23. Академии наук СССР. 1978. Т.243, № 4. С.843−846.
  24. Г. М. К решению нестационарной задачи Стокса. // ЖВМ и МФ., 2000. V.40. N 12. С. 1838−1841.
  25. Г. М. Об одной разностной схеме расчёта нестационарных уравнений Навье-Стокса. // ЖВМ и МФ., 1984. V.24. N 2. С. 294−304.
  26. Г. М. О численном методе решения задачи Стокса. // ЖВМ и МФ., 1975. V.15. N 3. С. 786−789
  27. Проблемы разработки микродвигательных установок / С. И. Мартыненко и др. // Изв. вузов. Авиационная техника. 2010. № 2. С.53−55.
  28. A.B., Макаров М. М. Метод приближенной факторизации для решения разностных смешанных эллиптических краевых задач. // Разностные методы математической физики / Под ред. Е. С. Николаева. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. С.54−65.
  29. Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.
  30. С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения краевых задач на структурированных сетках // Вычислительные методы и программирование. 2000. Т.1, раздел 1. С.85−104.
  31. С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии: строительные блоки и диагностические инструменты // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т.4, раздел 1. С.1−6.
  32. С.И. Универсальная многосеточная технология для численного решения систем дифференциальных уравнений в частных производных // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т.1, раздел 1. С.1−11.
  33. С.И. Программное обеспечение для универсальной многосеточной технологии // Математическое моделирование. 2002. Т.14, № 9. С.87−90.
  34. С.И. Распараллеливание универсальной многосеточной технологии // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4., Раздел 1. С.45−51.
  35. С.И. Формализация вычислений при численном решении краевых задач // Ученые записки Казанского государственного университета. Физ.-матем. науки. 2008. Т. 150, кн. 1. С. 76−90.
  36. С.И. Адаптация уравнений Навье-Стокса к универсальной многосеточной технологии // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 3. С.75−80.
  37. С.И. Формализация вычислений при численном решении краевых задач // Ученые записки Казанского государственного университета. Физ.-матем. науки. 2008. Т. 150, кн. 1. С. 76−90.
  38. С.И. Совершенствование вычислительных алгоритмов для решения уравнений Навье-Стокса на структурированных сетках // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Естественные науки. 2008. № 2. С.78−94.
  39. С.И. Универсальная многосеточная технология // Математическое моделирование. 2009. Т.21, № 9. С.66−79.
  40. С.И. Замечания о вычислении давления при численном решении уравнений Навье-Стокса // Математическое моделирование. 2010. Т.22, № 3. С.105−119.
  41. С.И. К вопросу о сходимости универсальной многосеточной технологии // Математическое моделирование. 2010. Т.22, № 10. С.18−34.
  42. С.И. Робастные многосеточные методы: проблемы и перспективы развития // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы V Всероссийского семинара. Казань, 2004. С. 150−154.
  43. С.И. Основные принципы построения вычислительных технологий для перспективного программного обеспечения // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы VI Всероссийского семинара. Казань, 2005. С.170−173.
  44. С.И. Анализ погрешностей вычислений при численном решении уравнений Навье-Стокса // Необратимые процессы в природе и технике: Тез. докл. III Всероссийской конференции. М., 2005. С. 141−142.
  45. С.И. Универсальная многосеточная технология как обобщение геометрических многосеточных методов // Численная геометрия, построение расчетных сеток и высокопроизводительные вычисления: Материалы Всероссийской конференции. М., 2006. С.131−140.
  46. С.И. Алгоритм с неформальной сегрегацией вычислений для численного решения уравнений Навье-Стокса на структурированных сетках // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы VII Всероссийского семинара. Казань, 2007. С.181−185.
  47. С.И., Вэйсин Чжоу. Повышение вычислительной эффективности алгоритмов для решения уравнений Навье-Стокса применительно к микродвигателям // Прямоточные ВРД и химмотология: Сборник научных трудов ЦИАМ им. П. И. Баранова. М., 2010. С.75−82
  48. С.И. Исследование сходимости универсальной многосеточной технологии // Сеточные методы для краевых задач и приложения: Материалы VIII Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения А. Д. Ляшко. Казань, 2010. С.278−282.
  49. С.И. Особенности моделирования рабочих процессов в авиационных системах охлаждения канального типа // Авиадвигатели XXI века: Материалы конф. М., 2010. С.409−410.
  50. С.И. Совершенствование методов математического моделирования процессов гидродинамики и теплообмена при помощи априорной информации физического характера // Труды V Российской национальной конференции по теплообмену. М., 2010. T.I. С.93−96.
  51. Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука. 1979. 318 с.
  52. С.А., Стесик О. Л. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. СПб., 2002. 400с.
  53. М.А. Лекции и упражнения по многосеточным методам. М. ФИЗМАЛИТ, 2005. 168 с.
  54. Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М: Мир, 1991. 367 с.
  55. A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 614 с.
  56. . A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989. 432 с.
  57. Л.М. Численное решение задачи при неизотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе // ИФЖ. 1966. Т. 10, № 1. С.86−91.
  58. E.H., Затевахин М. А. Многосеточные методы. Введение в многосеточные методы, (http://www.esa.ru/~stan/multigrid/index.html)
  59. Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ. 1961. Т.1, № 5. С.922−927.
  60. Р.П. Скорость сходимости одного итерационного метода1.! ЖВМ и МФ. 1964. T.4, № 3. C.227−235.
  61. К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т. ½. 512 с.
  62. Хейгеман JL, Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. 448с.
  63. R. Е., A. Brandt. J. Е. Dendy, and J. W. Painter. The multi-grid method for the diffusion equation with strongly discontinuous coefficients // SIAM J. Sci. Stat. Com. 1981. V.2. P.430−454.'
  64. Bank R., Hoist M. A new paradigm for parallel adaptive meshing algorithms // SIAM Review. 2003. V.45. P. 291−323.
  65. Bao W. Artificial boundary conditions for incompressible Navier-Stokes equations: a well-posed result // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engrg. 2000. V. 188, N 1−3. P. 595−611.
  66. Barton I.E. The entrance effect of laminar flow over a backward-facing step geometry // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1997. V.25. P. 633−644.
  67. Bastian P., Horton G. Parallelization of robust multigrid methods: ILU factorization and frequency decomposition method // SIAM J. Sci. Stat. Сотр. 1991. V. 12, N 6. P. 1457−1470.
  68. Bastian P., Hackbusch W., Wittum G. Additive and multiplicative multigrid — a comparison // Computing. 1998. V. 60. P. 345−368,
  69. Benzi M., Golub G.H., Liesen, J. Numerical solution of saddle point problems
  70. Acta Numerica. 2006. V.14. P. 1−137.
  71. Bertagnolio F. Solution of the incompressible Navier-Stokes equations on domains with one or several open boundaries // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1999. V. 31, N 7. P. 1061−1085.
  72. Bornemann F., Deuflhard P. The cascadic multigrid method for elliptic problems // Numer Math. 1996. V. 75. P. 135−152.
  73. Botta E. F. F., A. van der Ploeg, Wubs F. W. Nested grids ILU-decomposition (NGILU) // Comput. Appl. Math. 1996. V. 66 P. 515−526.
  74. Botta E. F. F., Wubs F. W. Matrix Renumbering ILU: An effective algebraic multilevel ILU preconditioner for sparse matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1999. V. 20. P. 1007−1026.
  75. Brandt A. Multigrid Techniques: 1984 Guide with Applications to Fluid Dynamics // GMD-Studien. 1984. N.85. P. 23−56.
  76. Brandt A. Algebraic multigrid theory: The symmetric case // Appl. Math. Comput. 1986. V. 19. P. 23−56.
  77. Bramble J., Pasciak J., Xu J. Parallel multilevel preconditioners // Math. Comp. 1990. V. 55. P. 1−22.
  78. Bramble J.H., Pasciak J.E., Vassilev A.T. Analysis of the inexact Uzawa algorithm for saddle point problems // SIAM J. Num. Anal. 1997. V. 34. P. 10 721 092.
  79. Adaptive algebraic multigrid / M. Brezina et al. // SIAM J. Sci. Com. 2006. V. 27, N 4. P. 1261−1286.
  80. Briley W.R. Numerical method for predicting three-dimensional steady viscous flow in ducts //J. Comp. Phys. 1967. V. 14. P. 8−28.
  81. Bruneau ChH, Fabrie P. Effective downstream boundary conditions for incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. in Fluids. 1994. V. 19 P. 693−705.
  82. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flowproblems // J. Comp. Phys. 1967. V.2. P. 12−26.
  83. Chow E., Vassilevski P. S. Multilevel block factorizations in generalized hierarchical bases // Num. Lin. Alg. Appl. 2003. V. 10. P. 105−127.
  84. Dendy J. Revenge of the semicoarsening frequency decomposition method // SIAM J. Sci. Stat. Comp. 1997. V. 18. P. 430−440.
  85. Dendy J., Tazartes C. Grandchild of the frequency decomposition method // SIAM J. Sci. Stat. Comp. 1995. V. 16. P. 307−319.
  86. Elman H.C., Silvester D. Fast nonsymmetric iterations and preconditioning for Navier-Stokes Equations // SIAM J. Sci. Comp. 1996. V. 17. P. 33−46.
  87. Elman H. C. Preconditioning for the Steady-State Navier-Stokes Equations with Low Viscosity // SIAM J. Sci. Comp. 1999. V. 20, N 4. P. 1299−1316.
  88. Elman H.C. Preconditioning Strategies for Models of Incompressible Flow //J. Sci. Comp. 2005. V. 25, N 1. P. 347−366.
  89. Block preconditioned based on approximate commutators / Elman H.C. et all. // SIAM J. Sci. Comp. 2006. V. 27, N 5. P. 1651−1668 (electronic).
  90. Doormaal J., Raithby G.D. Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows. // Num. Heat Trans. 1984. V. 7. P. 147−163.
  91. Douglas C., Miranker W. Constructive interference in parallel algorithms // SIAM J. on Num. Anal. 1988. V. 25. P.376−398.
  92. Hackbusch W. Multi-grid methods and applications, Berlin, Springer, 1985.
  93. Hackbusch W. Robust multi-grid methods, the frequency decomposition multi-grid algorithm // Proc. 4th GAMM-seminar. Berlin. 1988. P.96−104.
  94. Hackbusch W. The frequency decomposition multigrid method, part I: Application to anisotropic equaitous // Numer. Math. 1989. V. 56. P. 229−245.
  95. Hackbusch W., Trottenberg U. Multigrid Methods. Lecture Notes in Math. 960. Springer Verlag. Berlin. 1982. P. 343.
  96. Hagstrom T. Conditions at the downstream boundary for simulations of viscous, incompressible flow // SIAM J. of Sc., Stat, and Comp. 1991. V. 12. P. 843−858.
  97. Halpern L., Schatzman M. Artificial boundary conditions for incompressible viscous flows // SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20, N 2. P. 308−353.
  98. Heywood J.G., Rannacher R., Turek S. Artificial boundaries and flux and pressure conditions for the incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. in Fluids. 1996. V. 22. P. 325−352.
  99. Falgout R. D., Vassilevski P. S. On generalizing the AMG framework // SIAM J. Num. Anal. 2004. V. 42, N 4. P. 1669−1693.
  100. Falgout R. D. An introduction to algebraic multigrid // Comp. in Science and Eng. 2006. V. 8, N 6. P. 2006.
  101. Fortin M., Fortin A. A generalization of Uzawa’s algorithm for the solution of the Navier-Stokes equations // Comm. in Appl. Num. Meth. 1985. V. 1. P. 205 208.
  102. Fournier L., Lanteri S. Multiplicative and additive parallel multigrid algorithms for the acceleration of compressible flow computations on unstructured meshes // Applied Numerical Mathematics. 2001. V. 36, N 4. P. 401−426.
  103. Gannon D., J. Van Rosendale On the structure of parallelism in a highly concurrent PDE solver // Journal of Parallel and Distributed Computing. 1986. V. 3. P. 106−135.
  104. Gartling D. A test problem for outflow boundary conditions-flow over a backward-facing step // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1990. V. 11. P. 953−967.
  105. Gauthier A., Saleri F. Veneziani A. A fast preconditioner for the incompressible Navier Stokes Equations // Comput. Vis. Sci. 2004. V. 6, N 2. P. 105−112.
  106. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method //J. Comp. Physics. 1982. V.48. P.387−411.
  107. Is a steady viscous incompressible two-dimensional flow over a backward-facingstep at Re=800 stable? / Gresho P.M. et all. // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1993. V. 17. P. 501−541.
  108. Gresho P.M., Sani R.L. On Pressure Boundary Conditions for the Incompressible Navier-Stokes Equations // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1987. V. 7. P. 1111−1145.
  109. Griebel M., Neunhoeer T., Regler H. Algebraic multigrid methods for the solution of the Navier-Stokes equations in complicated geometries // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1998. V. 26. P. 281−301.
  110. Johansson V. Boundary conditions for open boundaries for the incompressible Navier-Stokes equations // J. of Comp. Phys. 1993. V. 105. P. 233−251.
  111. John V., Tobiska L. Numerical performance of smoothers in coupled multigrid methods or the parallel solution of the incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. Fluids. 2000. V. 33. P. 453−473.
  112. Kay D., Loghin D., Wathen A. A Preconditioner for the Steady-State Navier-Stokes Equations // SIAM J. Sci. Comp. 2002. V. 24, N 1. P. 237−256.
  113. Keskar J., Lin D.A. Computation of laminar backward-facing step flow at Re=800 with a spectral domain decomposition method // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1999. V. 29. P. 411−427.
  114. Klawonn A., Starke G. Block triangular preconditioners for nonsymmetric saddle point problems: field-of-values analysis // Numer. Math. 1999. V. 81. P. 577−594.
  115. Launder B., Sharma B. Application of the energy dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Letters in Heat and Mass Transfer. 1974. V. 1. P. 131−138.
  116. Langer U., Queck W. On the convergence factor of Uzawa’s algorithm //J. Comput. Appl. Math. 1986. V. 15. P. 191−202.
  117. Li Z., Saad Y., Sosonkina M. pARMS: a parallel version of the algebraic recursive multilevel solver // Num. Lin. Alg. Appl. 2003. V. 10. P. 485−509.
  118. Lonsdale R.D. An algebraic multigrid solver for the Navier-Stokes equations on unstructured meshes // Int. J. Num. Meth. Heat Fluid Flow. 1993. V 3. P. 3−14.
  119. MacCormack R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering. // AIAA Paper 69−354, Cincinnati (Ohie). 1969. P. 34.
  120. Manservisi S. Numerical analysis of Vanka-type solvers for steady Stokes and Navier-Stokes flows // SIAM J. Num. Anal. 2006. V. 44, N 5. P. 2025−2056.
  121. Martynenko S.I. Robust Multigrid Technique for black box software // Comp. Meth. in Appl. Math. 2006. V. 6., N 4. P.413−435.
  122. Martynenko S.I. A physical approach to development of numerical methods for solving Navier-Stokes equations in primitive variables formulation // Int. J. of Comp. Science and Math. 2009. V.2, N 4. P.291−307.
  123. Martynenko S.I. Potentialities of the Robust Multigrid Technique // Comp. Meth. in Appl. Math. 2010. V. 10, N 1. P.87−94.
  124. Martynenko S.I. Development of numerical methods for Navier-Stokes equations in primitive variables // Numerical geometry, grid generation and high performance computing: proceedings of the Int. Conf. M., 2008. P.75−78.
  125. Mavriplis D.J. Multigrid strategies for viscous flow solvers on anisotropic unstructured meshes //J. Comp. Phys. 1998. V. 145. P. 141−165.
  126. Mitchell W. A parallel multigrid method using the full domain partition // Electron. Trans. Numer. Anal. 1998. V. 6. P. 224−233.
  127. Mitchell W. Parallel adaptive multilevel methods with full domain partitions // App. Num. Anal, and Comp. Math. 2004. V. 1. P. 36−48.
  128. Naik N., J. Van Rosendale. The improved robustness of multigrid solvers based on multiple semicoa. rsened grids // SIAM J. Numer. Anal. 1993. V.30. P.215−229.
  129. Nazarov S.A., Specovius-Neugebauer M. Videman J.H. Nonlinear artificial boundary conditions for the Navier-Stokes equations in an aperture domain // Math. Nachr. 2004. V. 265. P.24−67.
  130. Niet A.C., Wubs F.W. Two preconditioners for saddle point problems in fluid flows // Int. J. Numer. Meth. Fluids 2007. V. 54, N 4. P. 355−377.
  131. Nochetto R., Pyo J.-H. A finite element Gauge-Uzawa method. Part I: the Navier-Stokes equations // Math. Models Meth. Appl. Sci. 2006. V. 16. P. 15 991 626.
  132. Nochetto R., Pyo J.-H. Optimal relaxation parameter for the Uzawa method // Num. Math. 2004. V. 98. P. 695−702.
  133. Olshanskii M.A., Vassilevski Y.V. Pressure Schur Complement Preconditioners for the Discrete Oseen Problem // SI AM J. SCI. Comp. 2007. V.29, N 6. P. 26 862 704.
  134. Olshanskii M.A., Staroverov V.M. On simulation of outflow boundary conditions in finite difference calculations for incompressible fluid // Int. J. Num. Meth. Fluids. 2000. V. 33. P. 499−534.
  135. Patankar S. Numerical heat transfer and fluid flow. New York: Hemisphere, 1980. 284 p.
  136. Patankar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows // Int. J. Heat Mass Trans. 1972. V. 15. P. 1787−1806.
  137. Patankar S.V. A calculation procedure for two-dimensional elliptic situations // Num. Heat Trans. 1981. V. 4. P.409−425.
  138. Peraire J., Okusanya T., Darmofal D.L. Algebraic multigrid for stabilized finite element discretizations of the Navier-Stokes equations // Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 2004. V. 193, N 1. P. 3667−3686.
  139. Pyo J.-H., Shen J. Gauge Uzawa methods for Incompressible flows with Variable Density // J. Comp. Phys. 2007. V. 211. P. 181−197.
  140. Raw M. Robustness of coupled Algebraic Multigrid for the Navier-Stokes equations // AIAA Paper 1996. 96−0297. 56 p.
  141. Roberts G.O. Computational meshes for boundary layer problems // Proc.
  142. Second Int. Conf. Num. Methods Fluid Dyn: Lecture Notes in Physics. New York: Springer-Verlag. 1971. V. 8. P. 171−177.
  143. Rusten T., Winther R. A preconditioned iterative method for saddle point problems // SIAM J. Matr. Anal. Appl. 1992. V. 13, N 3. P. 887−904.
  144. Sani R.L., Gresho P.M. Resume and remarks on the open boundary condition minisymposium // Int. J. Num. Meth. in Fluids. 1994. V. 18. P. 983−1008.
  145. Shaidurov V. Some estimates of the rate of convergence for the cascadic conjugate gradient method // Comp Math Appl. 1996. V. 31, N 4/5. P. 161−171.
  146. Shaw G.J., Sivaloganathan S. On the smoothing properties of the SIMPLE pressure-correction algorithm // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1988. V. 8. P. 441 461.
  147. An improved SIMPLEC method on collocated grids for steady and unsteady flow computations / Shen W.Z. et all. // Num. Heat Trans. 2003. V. 43. P. 221 239.
  148. Shi Z.C., Xu X. Cascaclic multigrid method for elliptic problems // East-West J. Numer. Math. 1999. V. 7. P. 199−209.
  149. Effcient preconditioning of the linearized Navier-Stokes equations for incompressible flow / Silvester D. et all. // J. Comp. Appl. Math. 2001. V. 128. P. 261−279.
  150. Sivaloganathan S., Shaw G.J. A multigrid method for recirculating flows // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1988. V. 8. P. 417−440.
  151. Stiiben K. Trottenberg U. Multigrid Methods: Fundamental Algorithms, Model Problem Analysis and Applications. // GMD-Studien. 1984. N.96. P. 86−102.
  152. Stiiben K. A review of algebraic multigrid //J. Comput. Appl. Math. 2001. V. 128. P. 281−309.
  153. Vanka S.P. Block-implicit multigrid solution of Navier-Stokes equations in primitive variables //J. Comput. Physics. 1986. V. 65. P. 138−158.
  154. Vassilevski Yu.V., Tromeur-Dervout D. Choice of initial guess in iterativesolution of series of systems. // J.Comp.Phys. 2006. V.219. P.210−227.
  155. Vassilevski Yu.V., Garbey M. A parallel solver for unsteady incompressible 3D Navier-Stokes equations. // Parallel Computing. 2001. V.27, No.4, P.363−389.
  156. Webster R. An algebraic multigrid solver for Navier-Stokes problems // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1994. V. 18. P. 761−780.
  157. Wesseling P., Oosterlee C.W. Geometric multigrid with applications to computational fluid dynamics // Comp. Appl. Math. 2001. V. 128. P. 311−334.
  158. Wesseling P. An Introduction to Multigrid Methods, Wiley, Chichester, 1991.
  159. Wittum G. Multi-grid methods for Stokes and Navier-Stokes equations // Numer. Math. 1989. V. 54. P. 543−563.
  160. Xu J. The auxiliary space method and optimal multigrid preconditioning techniques for unstructured grids // Computing. 1996. V. 56. P. 215−235.
  161. Zeeuw P. D. Matrix-dependent prolongations and restrictions in a black-box multigrid solver // J. Comp. Appl. Math. 1990. V. 33. P. 1−27.
  162. Zulehner W. Analysis of iterative methods for saddle point problems: a unified approach // Math, of Comp. V. 71, N 238. P. 479−505.
  163. Zulehner W. A class of smoothers for saddle point problems // Computing. 2000. V. 65, N 3. P. 227−246.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!