Аксиоматическая теория множеств

Система ML имеет три аксиомы. ML1 является обобщением NF1;

ML1.

Аксиома ML2 совпадает с NF2. Для того чтобы система была непротиворечива, весьма существенно, чтобы переменные, входящие в предложение F (x) аксиомы ML2, обозначались строчными буквами. ML 3 представляет собой аксиому, устанавливающую существование классов: ML3., где F (x) —произвольное предложение системы ML, в которое не входит Y.

Аксиома В10 отличается от ML3, так как фигурирующее в ней выражение F (x) не содержит ни одной связанной переменной класса, в то время как ML3 допускает даже непредикативные классы. Следствием этого отличия является невозможность доказать путем нумерации классов непротиворечивость ML относительно NF. Принимается некоторая система (например, система, описанная ниже), в которой можно построить теорию натуральных чисел и их классов, и предполагается, что NF непротиворечива. Тогда на основании теоремы Лёвенгейма — Сколема NF имеет модель в области натуральных чисел.

Следовательно, ML имеет модель в области классов натуральных чисел. Известно, что классы натуральных чисел изоморфны действительным числам, а действительные числа образуют модель, надежность которой общепризнана. Следовательно, ML непротиворечива.

НЕСКОЛЬКО БОЛЕЕ СЛАБЫХ ТЕОРИЙ МНОЖЕСТВ СИСТЕМЫ Теория Сначала мы рассмотрим. представляет собой теорию множеств Цермело, но без аксиомы бесконечности Z7. Аксиомы системы T1 совпадают с Z1, …, Z6 системы Z соответственно, a совпадает с Z8. Система известна также, под названием общей теории множеств.

Тождество определяется в так же, как в Z. Интуитивная модель для — это просто часть интуитивной модели теории множеств Цермело. Вместо пространства S определяется пространство S', которое представляет собой сумму всех множеств для всех <. Это пространство S', содержащее лишь конечные множества, является интуитивной моделью для. В можно построить теорию чисел (а именно теорию натуральных чисел) следующим образом: 0 отождествляется с (те. с нулевым множеством),

1 — с.; 2-е. 3—; вообще. если n отождествляется с множеством x, то n+1 отождествляется с классом, состоящим из всех членов множества х и самого множества x: (символически x).

Другими словами, число n просто отождествляется с множеством всех чисел меньших чем n. Теперь в можно определить предикат N (x), означающий, что х есть натуральное число. При помощи этого предиката можно, ввести новые переменные; представляющие только натуральные числа (мы будем обозначать их буквами из средней части алфавита, от l до t). Они определяются только как связанные переменные следующим образом:

вместо вместо, где F (x) есть предложение в системе Т. Смысл этих определений очевиден: сказать, что всякое натуральное число обладает определенным свойством, равносильно заявлению, что всякий объект, являющийся натуральным числом, обладает этим свойством, и утверждение «имеется натуральное число, обладающее некоторым свойством», равносильно утверждению «некоторый объект, являющийся натуральным числом, обладает этим свойством».

Теория Теперь мы можем описать систему где n > 1. Не вполне точно можно сказать, что есть теория типов с n типами, индивидами которой являются множества из Т. Другими словами, так относится к, как функциональное исчисление n-го порядка относится к функциональному исчислению первого порядка. Таким образом, переменные в имеют индексы, которые принимают значения от 1 до n. Мы будем говорить, что является либо множеством, либо классом типа 1. Для каждого является классом типа i. Переменные типа i будут представлять множества из и переменные типа i+1 будут представлять классы классов типа i. Атомарные выражения теории имеют одну из следующих двух форм:

Тождество в определяется следующим образом:

заменяет ,

заменяет .

Необходимо заметить, что определяется так же, как определяется тождество множеств в (а последнее определяется так же, как в системе Z). Аксиомы системы в точности совпадают с аксиомами системы (или с Zl—Z6 и Z8 системы Z) с тем отличием, что уже не все переменные имеют индекс 1. Между прочим, предложение F (x) в и в может содержать лишь переменные типа 1. В входят также следующие две аксиомы:

. Аксиома объемности.

Для каждого <

. Аксиома выделения (Comprehension).

Для всякого < и для всякого предложения F () системы в которое не входит свободно.

Интуитивную модель теории составляет иерархия теории типов вплоть до типа n, причем объектами типа I служат множества интуитивной модели системы. Так как теория чисел может быть построена в рамках системы она может быть также построена и в рамках системы .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Хорошо известно, что системы, допускающие непредикативные определения (ср. гл. II) существования класса, являются более сильными, чем системы, их не допускающие (при любом данном п) и включают в себя непредикативные определения (в ' и соответственно), так как в определение классов некоторого типа могут входить связанные переменные того же типа. Однако тот факт, что сильнее, чем может быть объяснен при помощи следующего общего положения: принцип существования класса тем сильнее, чем более высокого типа переменные (в частности, связанные переменные) могут входить в его формулировку.

Имеется также другое применение этого общего принципа. Интуитивные модели теории множеств Цермело и теории типов подобны друг другу. Индивиды иерархии типов и конечные множества модели Цермело, т. е. множества, являющиеся членами, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие друг с другом, поскольку число и тех и других бесконечно и счетно.

Итак, мы, казалось бы, могли классам типа два в иерархии типов поставить в соответствие множества из модели Цермело, классам типа три — множества из и т. д. Мы могли бы также сказать, что интуитивные модели для Z и Т имеют равную силу. Несмотря на эту возможную эквивалентность моделей для Z и Т, можно доказать, что система Z сильнее, чем Т. Кемени построил в Z истинное определение Т и, кроме того, доказал интересный результат.

С другой стороны, в силу самой сути теории типов, на основании аксиомы Т2 недопустимы такие переменные, которые пробегают всю область возможных значений.

Итак, мы рассмотрели аксиоматическую теорию множеств и стало ясно, что в каждом отдельном случае и в различных системах можно использовать одинаковые исходные термины алгебры высказываний и получать различные результаты.

ЛИТЕРАТУРА

Вейль Г., О философии математики, М., 1934., с.57

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.5

Гильберт Д., Основания геометрии, Об основаниях логики и арифметики, М. — Л., 1948, стр. 322—337.

Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, М., 1947., с.135

Gentzen G., Mathematische Grundlagenforschung, 1934

Русский перевод: Рейтинг А., Обзор исследований по основаниям математики, М.—Л., 1936, с.123

Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, red. par Ernst Zermelo, Berlin, 1932, P.144

Колмогоров А.Н., Драгалин А. Г. Математическая логика.

М.: УРСС, 2005. с. 123

ЛИНДОН Р. Заметки по логике Перевод с английского Ю. А. Гастева ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва 1968, с.36

Робинсон А., Введение в теорию моделей и математику алгебры, М.: «Наука», 1967, с.11

Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ. Ю. А. Гастела, М.: «Мир», 1966.-с.134

Робинсон А., Введение в теорию моделей и математику алгебры, М.: «Наука», 1967, с.11

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.5

Вейль Г., О философии математики, М., 1934., с.57

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.6

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.7

Гильберт Д., Основания геометрии, Об основаниях логики и арифметики, М. — Л., 1948, стр. 322—337.

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.8

ЛИНДОН Р. Заметки по логике Перевод с английского Ю. А. Гастева ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва 1968, с.36

Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, М., 1947., с.135

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.9

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.10

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.11

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.12

Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, red. par Ernst Zermelo, Berlin, 1932, P.144

Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ. Ю. А. Гастела, М.: «Мир», 1966.-с.134

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.15

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.16

Колмогоров А.Н., Драгалин А. Г. Математическая логика.

М.: УРСС, 2005. с. 123

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.17

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.18

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.19

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.21

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.22

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.23

Gentzen G., Mathematische Grundlagenforschung, 1934

Русский перевод: Рейтинг А., Обзор исследований по основаниям математики, М.—Л., 1936, с.123

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.25

Ван Хао, Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств, перевод с французского, издательство иностранной литературы литературы, Москва 1963, с.29