Смешанные задачи с интегральными условиями для волнового уравнения

Современные задачи естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. Как отметил А. А. Самарский в обзорной статье «О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений» [50], одним из таких классов качественно новых задач являются как раз нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

Нелокальными задачами принято называть такие задачи, в которых вместо классических начальных и граничных условий, или вместо некоторых из них, задаются условия, связывающие значения решения (и, возможно, его производных) в точках внутренних и граничных многообразий.

За последние несколько десятилетий в математической литературе появилось значительное количество публикаций, посвященных исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений. Большую роль в развитии этого направления сыграла статья А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [2], в которой были предложены новые постановки задач для эллиптических уравнений.

Исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных посвящены работы А. А. Дезина, В. А. Ильина, Е. И. Моисеева, А. К. Гущина, А. М. Нахушева, А. Л. Скубачевского, В. И. Жегалова, А. Н. Зарубина, О. А. Репина, А. А. Килбаса, А. И. Кожанова, Л. С. Пулькиной и других авторов. Среди опубликованных работ по этой тематике отметим следующие: [12, 19, 17, 22, 51, 52, 53, 10, 11, 35, 36, 37, 29, 1, 15, 47, 48, 49, 59, 43, 44, 45, 46, 14, 24, 25, 26].

Одним из классов нелокальных задач являются задачи со смещением, систематическому исследованию которых было положено начало в работах В. И. Жегалова [13] и А. М. Нахушева [34]. Задачи со смещением изучались в работах А. Н. Зарубина [14], О. А. Репина [47], Т. Ш. Кальменова [20] и их учеников. В задачах со смещением, в отличие от классических задач, задается связь между значениями искомого решения или его производной в различных точках границы.

Другой класс нелокальных задач объединяет задачи, содержащие условия, заданные в виде линейной комбинации значений искомой функции и (или) ее производных не только в граничных точках, но и в конечном числе внутренних точек области. Нелокальные задачи для гиперболических и параболических уравнений с такими условиями изучены в работах В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [17], Н. И. Ионкина и Е. И. Моисеева [19], Л. Бижевского [56].

Естественным обобщением нелокальных условий, заданных в виде линейной комбинации, являются нелокальные интегральные условия. С другой стороны, нелокальные интегральные условия могут возникать в том случае, когда граница области протекания реального физического процесса недоступна для непосредственных измерений, но при этом возможно получить дополнительную информацию в виде средних значений искомого решения.

Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными.

Одной из первых работ, в которой исследована задача с интегральным нелокальным условием для уравнения в частных производных, является работа Дж. Кэннона «Решение уравнения теплопроводности с заданной энергией» [57]. В этой работе рассмотрена задача нахождения классического решения одномерного уравнения теплопроводности.

Щ = ихх, х > 0, t > О, удовлетворяющего условиям и (х, 0) = (р (х), х > 0, x (t).

J и (х, t) dx = E (t), x (t) > 0, t > 0, о и показано, что существует единственное классическое решение этой задачи. Это означает, что по заданной начальной температуре и заданной полной энергии некоторой части проводника тепла можно однозначно определить распределение тепла в любой момент времени в любой точке проводника. В случае конечного проводника нужно знать еще значение температуры на одном из его концов.

Почти одновременно с этой статьей была опубликована работа Л. И. Камынина «Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическим краевым условием» [21], в которой доказана разрешимость задачи с интегральным условием для общего уравнения параболического типа.

Исследования параболических задач с интегральными условиями были продолжены в работах Н. И. Ионкина [18], JI.А.Муравья и.

A.В.Филиновского [32, 33], Н. И. Юрчука и С. М. Алексеевой [1]. Например, в 1977 году Н. И. Ионкин в статье «Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием» [18] рассмотрел задачу с интегральным условием для уравнения теплопроводности: ut = ихх + F (x, t), 0 < х < 1, 0 < t < Т, и (х, 0) = 0 < х < 1, и (0,*) = !/(*), 0 <£<Т, 1.

J и (х, t) dx = n (t), 0 < t < Т. о.

В этой статье доказано существование единственного непрерывного в замкнутой области решения.

Разрешимость нелокальных задач с нелокальными, в том числе интегральными, условиями и качественные свойства решений для эллиптических уравнений рассмотрены в работах А. К. Гущина и.

B.П.Михайлова [11], А. Л. Скубачевского [51].

Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений активно изучаются с начала 90-х годов. Здесь можно выделить два основных класса задач:

• интегральные аналоги задачи Гурса, в которых нелокальное условие задается в виде интеграла вдоль характеристик,.

• смешанные задачи с классическими начальными данными и нелокальными условиями вместо стандартных граничных условий.

Задачи, принадлежащие первому классу, изучены в работах З.А. На-хушевой [39], В. А. Водаховой [5], JI.C. Пулькиной [43], Н.Д. Голубе-вой [6], Е. Н. Климовой [23].

Источником задач этого класса (т.е. с интегральными условиями, заданными вдоль характеристик) является, в том числе, результат изучения процесса влагопереноса в капиллярно-пористых средах. Одна из моделей влагопереноса описывается нелинейным уравнением с частными производными третьего порядка. A.M. Нахушев [36] предложил линеаризацию уравнения влагопереноса с помощью нагруженного гиперболического уравнения. Была замечена тесная связь нагруженных уравнений с интегральными условиями вида.

Применительно к модели влагопереноса это условие означает, что в слое О < х < I задана скорость расхода влаги u>(t).

В работе З. А. Нахушевой [39] рассмотрена следующая задача Гурса в интегральной постановке. В области D — {(ж, у): 0 < х < а, 0 < у < 6} изучается разрешимость уравнения иху = 0 с интегральными условиями о о о где у>(х), ф (у) — заданные непрерывные функции, а, /3 — заданные числа, О < а < а, 0 < (3 <Ь, и выполнено условие согласования.

Р а.

J ${y)dy = J tp (x)dx. о о.

Решение поставленной задачи — единственно и записывается в явном виде: о.

В работе JI.C. Пулькиной [43] изучена задача для общего гиперболического уравнения ихуf а (х, у) их + Ь (х, у) иу + с (х, у) и = О с интегральными условиями, а Ь.

J u (x, y) dy = ф (х), J u (x, y) dx = ip (x) о о в области D = {(ж,?/): 0 < а- < а, 0 < у < Ь} и доказана однозначная разрешимость в классе L2(D).

В работах Н. Д. Голубевой [6] и Е. Н. Климовой [23] доказано существование единственного классического решения интегрального аналога задачи Гурса.

Задачи, отнесенные ко второму классу, рассмотрены в работах Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвили [7], А. Бузиани [55], JI.C. Пулькиной [45, 46]. В этих работах изучаются смешанные задачи для гиперболических уравнений на плоскости с классическими начальными условиями и интегральным условием вместо одного или двух граничных условий.

В работе Д. Г. Гордезиани и Г. А. Авалишвили [7] изучается нелокальная задача для уравнения колебаний струны.

Utt = ихх с классическими начальными условиями u{0,t) = ip{x), ut (0,t) = il>(t) и интегральными нелокальными условиями: Ш и (О, t) = p (t) J и (х, t) dx + f (t),.

Ш 42W u (l, t) = q (t) J u (x, t) dx + g (t). m (t).

Показано, что в прямоугольнике D =: 0<х</, 0.

Наличие в нелокальных условиях значения искомого решения на границе области позволило авторам свести задачу к операторному уравнению второго рода с компактным оператором.

В статье JI.C. Пулькиной [45] изучается смешанная задача для гиперболического уравнения.

Си = utt ~ t) ux)x + с (х, t) u = f (x, t) в прямоугольнике {{x, t): 0 < х < I, 0 < t < Т}, с классическими начальными данными Коши, граничным условием Неймана 1^(0, t) = 0 и нелокальным интегральным условием i ju (x, t) dx = 0. о.

Показано, что существует единственное обобщенное решение поставленной задачи во введенном функциональном пространстве. Получена априорная оценка, на которую опирается доказательство единственности решения, а существование доказано методом Галеркина.

В работе [46] JI.C. Пулькиной исследована задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения: utt — ихх + с (х, t) u = f (x, t), u (x, 0) = tp (x), щ (х, 0) = ф (х), l.

J Ki (x)u (x, t) dx = 0, г = 1, 2. о.

Для поставленной задачи показана однозначная разрешимость в классе Wl{D), найдены требования на функции Ki (x), при выполнении которых имеет место однозначная разрешимость.

Исследования нелокальных задач с интегральными условиями показали, что многие классические методы их изучения неприменимы без соответствующей модификации, поэтому вопрос разработки методов исследования таких задач остается актуальным. Кроме того, разрешимость задач с интегральными условиями, не содержащими значение искомой функции в точках границы, в большинстве работ доказана лишь в специальных функциональных пространствах, причем для каждой задачи приходится вводить свое пространство, и часто невозможно гарантировать существование обобщенных производных даже первого порядка. Заметим также, что нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений рассматривались лишь в случае одной пространственной переменной.

Актуальность исследования нелокальных задач с интегральными условиями можно обосновать как потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением, так как многие задачи, возникающие при исследовании физических процессов различной природы, нередко приводят к нелокальным задачам. Кроме того, была замечена тесная связь подобных нелокальных задач с обратными задачами [58, 41, 24].

Результаты настоящей работы являются продолжением исследований смешанных задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений.

В предлагаемой работе поставлены и исследованы нелокальные задачи с интегральным условием для волнового уравнения как на плоскости, так и для случая п пространственных переменных.

В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы теории интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С. Л. Соболева, аппарат специальных функций.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с условием.

Неймана и нелокальным интегральным условием для уравнения ии — ихх + с (х, t) u = f (x, t) в пространстве Соболева W^.

2. Доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальным интегральным условием для уравнения с п пространственными переменными utt — Аи + с (х, t) u = /(ж, t) в пространстве Соболева W².

3. Разработаны методы построения классического решения смешанной задачи с условием Дирихле и нелокальным интегральным условием для уравнения колебаний струны. Этими методами доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.

4. Доказано существование единственного классического решения нелокальной задачи с интегральным условием для уравнения с сингулярным коэффициентом. Выявлены условия на входящий в уравнение параметр, при выполнении которых часть границы свободна от задания условий на искомое решение.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследованих обратных задач для гиперболических уравнений, а также для применения в исследованих прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.

Основные результаты были доложены на:

• научном семинаре кафедры уравнений математической физики механико-математического факультета Самарского государственного университета в 2001, 2003, 2004 и 2005гг. (руководитель — д. ф-м.н., профессор О.П.Филатов);

• всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете, Самара, 2001;

• втором всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, Самара, 2001;

• международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика», Самара, 2001;

• XXIV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2002;

• Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чте ния», Воронеж, 2004;

• Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций несмежные проблемы», Воронеж, 2005;

• научном семинаре Владимирского государственного педагогического университета в 2005 г. (руководитель — д. ф-м.н., профессор В.В.Жиков);

• всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения СамДифф-2005», Самара, 2005.

По теме диссертации опубликовано 11 работ [60, 61, 64, 63, 62, 65, 67, 66, 69, 68, 70], которые отражают ее основные результаты.

Диссертационная работа изложена на 111 страницах и состоит из введения, трех глав и библиографического списка использованных источников, включающего 70 наименований.

1. Алексеева С. М., Юрчук Н. И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием. //Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 4. С. 495−502.

2. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач. //ДАН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739 740.

3. Ватсон Н. Теория Бесселевых функций. М.: ИЛ. 1949. — 798 с.

4. Владимиров С. В., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит. 2003. — 400 с.

5. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения вла-гопереноса. //Дифференц. уравнения. 1982. Т. XVIII. № 2. С. 280 285.

6. Голубева Н. Д., Пулькина JI.C. Нелокальная задача с интегральными условиями. //Матем. заметки. 1996. Т. 59, вып.З. С. 326−329.

7. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды, jIМатематическое моделирование. 2000. Т. 12. № 1. С. 94−103.

8. Гординг JI. Задача Коши для гиперболических уравнений. 1А.: ИЛ. 1961. 120 с.

9. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1963. — 1100 с.

10. Гущин А. К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию нелокальных задач для эллиптических уравнений. //Мат. сборник. 2002. Т. 193. № 5. С. 17−36.

11. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений второго порядка. //Мат. сборник. 1994. Т. 185. № 1. С. 121−160.

12. Дезин А. А. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов. //ДАН СССР. 1963. Т. 148. № 5. С. 1013−1016.

13. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии. //Ученые записки Казанского университета.1962. Т. 122. № 3. С. 3−16.

14. Зарубин А. Н. Краевая задача с инволютивным сдвигом в граничном условии. //Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 10. С. 1423−1425.

15. Иванчов Н. И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральным условием. //Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 4. С. 547−564.

16. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисно-сти подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. //ДАН СССР. 1976. Т. 227. № 4. С. 796−799.

17. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. //Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 7. С. 1198−1207.

18. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. //Дифференц. уравнения. 1977. Т. XIII. № 2. С. 294−304.

19. Ионкин Н. И., Моисеев Е. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. //Дифференц. уравнения. 1979. Т. XV. № 7. С. 1284−1295.

20. Кальменов Т. Ш. Спектр краевой задачи со смещением для волнового уравнения. //Дифференц. уравнения. 1983. Т. XIX. № 1. С. 75−78.

21. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. //ЖВМиМФ. 1964. Т. 4. № 6. С. 1006−1024.

22. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии. //Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 1. С. 115−119.

23. Климова Е. Н. О существовании решения задачи Гурса в интегральной постановке. 11Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань. 2001. Т. 11. С. 145−148.

24. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче для эллиптического уравнения. //Матем. заметки ЯГУ. 2001. Т. 8. № 1. С. 33−49.

25. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. //Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 6. С. 763−774.

26. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче. //Матем. заметки. 2004. Т. 76. № 6. С. 840−853.

27. Костин А. Б., Прилепко А. И. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболических уравнений. II. //Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 11. С. 1519−1528.

28. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 407 с.

29. Ломов И. С. Равномерная сходимость биортогонального ряда для оператора Шредингера с многоточечными краевыми условиями. //Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 7. С. 890−896.

30. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1983. — 424 с.

31. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959. — 232 с.

32. Муравей JI.A., Филиновский А. В. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения, j (Мат. сборник. 1991. Т. 182. №Ю. С. 1479−1512.

33. Муравей Л. А., Филиновский А. В. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения. //Матем. заметки. 1993. Т. 54. № 4. С. 98−116.

34. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения. //ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 4. С. 736−739.

35. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. //ДАН СССР. 1978. Т. 242. № 5. С. 1008−1011.

36. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложение к динамике почвенной влаги и грунтовых вод. //Дифференц. уравнения. 1982. Т. XVIII. № 1. С. 72−81.

37. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связь с нагруженными уравнениями. //Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 1. С. 92−101.

38. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. — 301 с.

39. Нахушева З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных. //Дифференц. уравнения. 1986. Т. XXII. № 1. С. 171−174.

40. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961. — 311 с.

41. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением. //ЖВМиМФ. 2003. Т. 43. № 9. С. 1392−1401.

42. Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения ихх ± иуу + Е-их = 0. //Ученые записки Куйбышевского пединститута. 1958. Т. 21. С. 3−55.

43. Пулькина JI.C. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. //Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 2. С. 279−280.

44. Пулькина JI.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения. //Матем. заметки. 2001. Т. 70. вып.1. С. 88−95.

45. Пулькина J1.C. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения. 11Матем. заметки. 2003. Т. 74 вып. 3. С. 435−445.

46. Пулькина J1.C. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения. //Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 7. С. 887−892.

47. Репин О. А. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, jIДифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 1. С. 175−176.

48. Репин О. А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа. I j Доклады РАН. 1999. Т. 365. № 5. С. 593−595.

49. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова. И Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 10. С. 1412−1417.

50. Самарский А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. ЦДифференц. уравнения. 1980. Т. XVI. № 11. С. 1221−1228.

51. Скубачевский А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач. //Мат. сборник. 1982. Т. 117(159). № 4. С. 548 557.

52. Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром. //Мат.сборник. 1983. Т. 121(163). № 2(6). С. 201−210.

53. Скубачевский А. Л., Стеблов Г. М. О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в ?2(0,1). //ДАН СССР. 1991. Т. 321. № 6. С. 1158−1163.

54. Толстов Г. П. Ряды Фурье. М.-Л. 1951. 396 с.

55. Bouziani A. Solution forte d’un probleme mixte avec conditions non locales pour une classe d’equations hyperboliques. //Bull.Cl.Sci., Acad.Roy.Belg. 1997.. № 8. C. 53−70.

56. Byszewski L. Theorem about existence and uniqueness of continuous solution of nonlocal problem for nonlinear hyperbolic equation. //Applicable Analysis. 1991. T. 40. C. 173−180.

57. Cannon J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy. //Quart.Appl.Math. 1963. T. 21. № 2. C. 155−160.

58. Cannon J.R., Lin Y. Determination of a parameter p (t) in some quasi-linear parabolic differential equations. //Inverse Problems. 1998. T. 4. C. 35−45.

59. Mesloub S., Bouziani A. On a class of singular hyperbolic equation with a weighted integral condition, j j Inter nat. I Math, and Math.Sci. T. 22. № 3. C. 511−519.

60. Beilin S. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions. //Electronic Journal of Differential Equations. 2001. T. 2001. № 76. C. 1−8.

61. Бейлин С. А. Единственность решения смешанной задачи с интегральным условием для гиперболического уравнения. //Труды Второго Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. Самара. 2001. Т. 8. С. 392.

62. Бейлин С. А., Пулькина JI.C. Единственность решения смешанной задачи с интегральным условием для одного гиперболического уравнения. //Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань. 2001. Т. 11. С. 24−27.

63. Бейлин С. А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения. //Труды международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика Самара. 2001. С. 206−207.

64. Бейлин С. А. Смешанная задача с интегральным условием для неоднородного волнового уравнения. //Труды XI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачиСамара. 2001. Т. 3. С. 24−27.

65. Бейлин С. А. Нелокальная задача с интегральным условием для одномерного волнового уравнения. //Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Москва. 2002. Т. II. С. 24−27.

66. Бейлин С. А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием. ЦМатем. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11. № 2. С. 22−29.

67. Бейлин С. А. Об одном свойстве корней функции Бесселя Jv (x). //Вестник Самарского государственного технического университета. 2004. Т. 30. С. 186−187.

68. Бейлин С. А. Нелокальная смешанная задача для одного гиперболического уравнения. //Тезизы докладов всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (СамДифф-2005). Самара. 2005. С. 24−27.

69. Бейлин С. А. Об одной нелокальной задаче с интегральным условием для гиперболического уравнения. //Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж. 2005. С. 30−31.

70. Бейлин С. А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения. //Неклассические уравнения математической физики. Сборник научных работ. Новосибирск. 2005. С. 37−43.