Математические модели детерминированного хаоса в скрещенных электрических и магнитных полях

Особенности движения зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях являются предметом анализа во многих областях математической физики: физике замагниченной плазмы, астрофизике, теории электронных приборов и др. Характер траекторий заряженных частиц, по существу, определяет параметры (энергетические, шумовые и др.) многих устройств: приборов магнетронного типа, магнитных плазменных ловушек и др. В связи с этим особое значение приобретают малоисследованные задачи анализа условий возникновения хаотических режимов динамической системы «заряд в скрещенных электромагнитных полях». Решение таких задач, с одной стороны, как представляется, будет содействовать более глубокому пониманию механизма физических процессов в отмеченных выше устройствах, а с другой имеет самостоятельный интерес как малоизученный объект теории динамических систем.

Одной из типичных задач нелинейной динамики гамильтоновых систем в виде движущихся зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях является определение областей хаотичности в пространстве параметров и фазовых переменных. В классических работах Г. М. Заславского и Р. 3. Сагдеева [31−33] уравнения движения сводились к одномерному уравнению возмущенного осциллятора. Однако в таком случае остается неясным характер «реальных» траекторий зарядов и вид областей хаотичности в пространстве измеряемых физических параметров (частота, амплитуда возмущающего поля, начальные скорости и др.).

В работах С. В. Поршнев [напр. 51] был проведён анализ траекторий зарядов в условиях магнитного поля Земли. Хаотические режимы рассмотрены в экспериментальных работах [В. Г. Усыченко: 60, 64, 65 и другие: 39]. Вместе с тем в данных работах отсутствуют сведения о поведении траекторий зарядов в скрещенных полях в условиях различных видов неоднородностей действующих полей и при изменении их параметров.

Кроме того, в настоящее время активно исследуется идея магнитного удержания плазмы в ловушках [5, 6, 63, 68 и др.], в первую очередь применительно к осуществлению управляемой реакции термоядерного синтеза [напр. 25]. Сложный характер переноса частиц и энергии, приводящий к уходу заряженных частиц на стенки камеры до сих пор мало изучен и затрудняет осуществление самоподдерживающейся термоядерной реакции. Для магнитного удержания плазмы применяют так называемые «магнитные ловушки», которые обычно разделяют на открытые, область удержания в которых ограничена в направлении силовых линий магнитного поля, и замкнутые — где область удержания имеет форму тора. Традиционные достоинства открытых ловушек — простота геометрии, возможность получения высокого давления плазмы в умеренном магнитном поле, стационарность и др. [58]. Это позволило проводить исследования коллективных свойств плазмы в магнитных ловушках открытого типа. Однако малоизученным остаётся характер отдельных траекторий заряженных частиц в условиях удерживающего магнитного поля.

Таким образом, актуальной задачей является описание областей хаотичности систем со скрещенными полями, основанное на расчете траекторий зарядов (в том числе трёхмерных), с учётом различного вида неоднородностей действующих полей и их параметров.

Целью данной диссертационной работы является развитие и совершенствование математических методов и принципов моделирования хаотического поведения гамильтоновых систем со скрещенными электрическими и магнитными полями. Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Создание математической модели анализа регулярных и хаотических режимов в скрещенных полях и выбор эффективных алгоритмов и вычислительных схем численного решения уравнений движения в скрещенных полях.

2. Разработка программного обеспечения для решения уравнений движения в системах со скрещенными электромагнитными полями на основе полученных моделей и развитых алгоритмов и вычислительных схем.

3. Применение разработанной математической модели при исследовании хаотических режимов, в частности для построения карт динамических режимов в исследуемых системах, спектров мощности, траекторий заряженных частиц, и оценки времени удержания заряженных частиц в магнитной ловушке.

Научная новизна:

1. Предложены математические модели исследования хаотических и регулярных состояний системы «заряд в скрещенных полях», основанные на двухи трёхмерных уравнениях движения в условиях нелинейных неоднородностей действующих полей.

2. На основании предложенных моделей получены рабочие алгоритмы и вычислительные схемы с использованием неявного метода и метода Рунге-Кутта, позволяющие проводить анализ фазовых траекторий с учётом переменных и постоянных пространственно неоднородных магнитных и электрических полей.

3. С применением предложенных математических моделей и алгоритмов показано, что в условиях переменного электрического поля степень хаотичности системы преимущественно зависит от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты.

4. Показано, что радиально неоднородное магнитное поле оказывает существенное влияние на поведение траекторий заряженных частиц в скрещенных полях, определяя, в частности, такую их особенность, как смена хаотического вида траекторий на регулярный.

5. Показано, что в схеме магнетронного диода факторами, приводящими к.

• хаотизации фазовых траекторий, являются: радиальная неоднородность магнитного поля, азимутальная неоднородность электрического поля, переменное анодное напряжение.

6. Показано, что в магнитной ловушке открытого типа возникают хаотические колебательные процессы, характерной особенностью которых является изменение параметров хаотической траектории (ларморовский радиус и траектория центра) в момент отражения заряженной частицы от магнитного зеркала.

7. Установлено, что продолжительность удержания заряженной частицы в.

• ловушке связана со степенью хаотичности траектории частицы, а именно большей хаотичности траектории соответствует меньшее время удержания, и, следовательно, регуляризация траекторий способна увеличить время удержания в магнитной ловушке.

8. Получены карты динамических режимов для систем со скрещенными электромагнитными полями в плоскости различных параметров (амплитуд переменных полей, частот, начальных скоростей и др.).

9. Разработано программное обеспечение, реализующее численный анализ предложенных моделей, и интерфейс пользователя и архитектура.

• программы, позволяющие оперативный ввод новых типов неоднородностей и параметров, вывод на экран динамики движения зарядов, карт динамических режимов и т. д.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Предложенные модели и вычислительные схемы позволяют рассчитывать траектории заряженных частиц в условиях скрещенных электрических и магнитных полей различного вида (переменное электрическое поле, радиально изменяющееся магнитное поле, поля магнитных ловушек открытого типа) и проводить анализ полученных траекторий различными методами (расчёт ляпуновских показателей, спектров мощности, построение карт динамических режимов и др.).

2.

Введение

радиально возрастающего магнитного поля приводит к регуляризации траектории при попадании заряда в область сильных магнитных полей.

3. Время нахождения заряженной частицы в магнитной ловушке открытого типа зависит от степени хаотичности траектории частицы, а именно с увеличением степени хаотичности уменьшается время удержания частицы.

4. Полученные карты динамических режимов описывают зависимость режима функционирования системы от начальных условий и параметров действующих полей (амплитуды и частоты переменного электрического поля, величины магнитного поля, характера неоднородностей и пр.).

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

1. Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и погрешностей и их физическим обоснованием.

2. Соответствием основных результатов и выводов экспериментальным данным и общефизическим представлениям о характере процессов в.

• системах со скрещенными электромагнитными полями.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

1. На основе предложенных в диссертации моделей разработано.

• программное обеспечение, предназначенное для решения задач анализа хаотических режимов в системах со скрещенными электромагнитными полями, включая, в частности, построение карт динамических режимов, спектров мощности и др.

2. Получены практические рекомендации по определению зависимости степени хаотичности систем со скрещенными электромагнитными полями от начальных условий и управляющих параметров.

3. Разработана модульная архитектура программного обеспечения, позволяющая адаптировать существующую программную среду при.

• модификации исследовательских задач.

Краткое содержание и структура работы.

Диссертация построена следующим образом. В главе 1 проведён анализ существующих моделей системы «заряд в скрещенных электрических и магнитных полях», сформулирована математическая постановка задачи.

В главе 2 проведены исследования поведения зарядов при пространственно однородном магнитном поле и переменном электрическом поле-радиально изменяющемся магнитном поленеоднородном в пространстве (рассмотрены радиальная и фазовая неоднородности) электрическом поле в схеме магнетронного диода.

В главе 3 проведено численное моделирование поведения заряженной частицы в магнитном поле ловушки открытого типа. Показана связь между временем удержания заряженной частицы в ловушке и степенью хаотичности её траектории. На основе исследования Фурье-спектров представлены области существования хаотических колебательных режимов. Построены карты динамических режимов в плоскостях фазовых переменных системы.

В главе 4 приводится описание возможностей программного обеспечения, разработанного в рамках диссертационной работы, а также особенности численного моделирования систем со скрещенными полями на персональных компьютерах.

В конце диссертации приведено заключение и список использованной литературы.

Доклады и публикации.

Основные положения и результаты диссертационного исследования опубликованы в 4-х печатных работах [73−75, 80] (3 статьи в центральных изданиях, 1 текст доклада). Также по материалам диссертации сделаны доклады на 2-х конференциях:

— Доклад «The complex dynamics of electrons in crossed EM fields» // Fourth • IEEE International Vacuum Electron Source Conference — Saratov, Russia,.

July 15−19, 2002 (совместно с А. О. Мантуровым);

— Доклад «Хаотические траектории зарядов в магнитных ловушках открытого типа» // XIII Зимняя школа-семинар по СВЧ-электронике и радиофизике — Саратов: СГУ, 31 января — 5 февраля, 2006.

Заключение

.

Таким образом, в результате проделанной работы, были получены математические модели детерминированного хаоса в скрещенных электрических и магнитных полях с учётом точного вычисления законов изменения координат частицы во времени и, как следствие, с возможностью детального описания особенностей движения заряженных частиц в исследованных системах.

Основными результатами диссертационной работы можно назвать следующие:

1. Предложены математические модели, рабочие алгоритмы и вычислительные схемы исследования хаотических и регулярных состояний систем «заряд в скрещенных полях» в условиях неоднородных нелинейных электрических и магнитных полей.

2. Показано, что в условиях переменного электрического поля степень хаотичности системы преимущественно зависит от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты.

3. Показано, что существенное влияние на поведение траекторий заряженных частиц в скрещенных полях оказывает радиальная неоднородность магнитного поля, приводящая, в частности, к регуляризации траекторий заряда.

4. Показано, что в схеме магнетронного диода факторами, приводящими к хаотизации фазовых траекторий, являются: радиальная неоднородность.

• магнитного поля, азимутальная неоднородность электрического поля, переменное анодное напряжение.

5. Показано, что время удержания заряженной частицы в магнитной ловушке зависит от степени хаотичности траектории частицы, а именно большей хаотичности траектории соответствует меньшее время удержания.

6. Получены карты динамических режимов для систем со скрещенными ' электромагнитными полями в плоскости различных параметров, рассчитанные на основе показателей Ляпунова и Фурье-спектров.

7. Разработано программное обеспечение для моделирования и исследования систем со скрещенными электромагнитными полями. Реализация алгоритмов выполнена на языке С++.