Особые случаи и приложения краевой задачи Гильберта

Диссертация посвящена разработке методов решения краевой задачи Гильберта теории аналитических функции в ситуациях, когда индекс задачи может обращаться в бесконечность и применению указанных методов к решению и исследованию свойств решений некоторых обратных и смешанных обратных краевых задач.

Краевая задача Гильберта принадлежит к числу основных краевых задач теории аналитических функций и является самой старой из задач этого типа. Впервые отчетливая формулировка задачи Гильберта была приведена в работе [134] в 1883 г. и содержит проблему определения аналитической в заданной области D функции F (z) по краевому условию вида a (t)ReF (t) — b (t)lmF (t) = c (t), (0.1) где a (t), b (t), с (?)-задаипые функции точки контура L = 3D, которые называют коэффициентами задачи. Будем считать выполненным условие a2{t) + b2{t)^0. (0.2).

Задача (0.1) называется неоднородной, а условие a (t)ReF (t) — b (t)lmF (t) = 0, (0.3) является краевым условием соответствующей (0.1) однородной задачи.

Полное решение рассматриваемой краевой задачи (в случае непрерывных коэффициентов и в классе функций аналитических в D и непрерывных вплоть до границы) дал Гильберт: в работе [127] исследование задачи приведено к изучению сингулярного интегрального уравнения, но уже в следующей его работе [128] решение сведено к последовательному решению двух задач Дирихле. В связи с этим принципиальным этапом явилась работа Нётера [131], в которой уже решение краевой задачи Гильберта использовалось для исследования особых интегральных уравнений. Теория разрешимости различных обобщений классической постановки задачи Гильберта развивалась методологически по двум направлениям: решение задачи методом сведения к краевой задаче Римана, дано Н. И. Мусхелишвили ([58], с. 140−145, 302−308) — решение задачи методом преобразования краевых условий задачи Гильберта к краевому условию обобщенной задачи Шварца предложено Гильбертом [128]. Последний метод для непрерывных по Гельдеру коэффициентов был развит Ф. Д. Гаховым (см. [31], с.273−280) и получил название метода регуляри-зующего множителя. На случай кусочно гельдеровых коэффициентов с конечным множеством точек разрыва этот метод обобщен в работах [106], (см. также [107]), [68], (см. также [84], с.13−18).

Оказалось, что важной характеристикой этой задачи, в терминах которой часто полностью описывается картина разрешимости, является индекс задачи, т. е. деленное на 7 Г приращение вдоль L функции v{t) = arg G (t), где коэффициент G (t) = a (t) — ib (t). Именно индекс задачи задает порядок полиномов, с точностью до которых определяется общее решение (в случае конечного положительного индекса) однородной и неоднородной задач и число условий разрешимости (в случае отрицательного индекса) для единственного решения неоднородной задачи.

Первые результаты по краевым задачам с бесконечным индексом были получены в начале 60-х годов. Н. В. Говоров вывел формулы общего решения и провел полное исследования разрешимости задачи Римана в следующей постановке.

В плоскости с разрезом по уходящей в бесконечность разомкнутой кривой Ляпунова (чаще — лучу 1 < t < +оо) ищется аналитическая функция Ф (^), допускающая непрерывное продолжение на границу как слева (Ф+(£)), так и справа (Ф~(£)) по краевому условию в котором аргумент коэффициента задачи — непрерывная по Гельдеру функция, имеющая в бесконечно удаленной точке степенную особенность произвольного порядка, a ln|G (t)|, g (t) — гладкие ограниченные функции. Эта задача рассматривалась в классе ограниченных функций, а так же в классе ограниченных функций вполне регулярного роста в плоскости с указанным разрезом.

Основополагающие результаты Н. В. Говорова [34] - [38] послужили толчком к бурному развитию теории краевых задач для аналитических функций с различными случаями вырождения индекса. П. Г. Юров [116], [117] исследовал задачу Римана так же на луче 1 < t < +оо, но с бесконечным индексом логарифмического порядка, т. е. когда arg G (t) = 0(lna t), t +oo, a > 0.

В работах М. Э. Толочко [100], [101], [102] изучена задача Римана с бесконечным индексом степенного порядка 0 < р < 1 для полуплоскости (т.е. краевое условие задачи Римана задается на вещественной оси) в случае двустороннего завихрения, когда argG (t) — 27г<^(?)|?|р. Здесь впервые возник случай неопределенно бесконечного индекса когда aigG{t) стремится к бесконечности одинаковых знаков при t ±-оо. Получены необходимые и указаны достаточные условия разрешимости однородной задачи Римана в классе ограниченных функций.

Однородную задачу Римана для полуплоскости с бесконечным индексом произвольного степенного порядка завихрения исследовал И. Е. Сандрыгайло [93], [94]. Впервые был рассмотрен случай неограниченного роста модуля коэффициента краевого условия In = 0{tp).

Работы П. Г. Юрова на случай замкнутого контура (вещественная ось) и двустороннего завихрения логарифмического порядка распространил П. Ю. Алекна [12], [13].

Краевые задачи (в том числе со сдвигом) с конечным числом точек завихрения [15], [16] и с многосторонней точкой завихрения [17] исследовал А. Г. Алехно. Им получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Римана с указанными особенностями.

Исследования задачи Римана на луче [0, оо) с бесконечным индексом степенно-логарифмического порядка проведены Л. И. Чибриковой [109], [110]. Задача решена в классе функций, имеющих заданный индикатор роста.

Эти результаты распространены Ф. Н. Гарифьяновым [28], [29] на случай неограниченных контуров специального вида. Оригинальность метода последних работ связана еще и с распространением на плоскость с криволинейным разрезом понятий характеристик функций, аналитических внутри угла.

Краевая задача Римана с бесконечным индексом на различных классах жордановых кривых изучалась в работах А. Г. Алехно [15], Б. А. Каца [45], [46], И. В. Островского [61].

В работе В. Н. Монахова, Е. В. Семенко [54] исследована задача Римана на вещественной оси в классе Нр, р > 1, причем коэффициент краевого условия имеет вид G (t) = Go (t)ete^ lnGo (t) G Са, a > 0, монотонная функция 9(t)? С1+а (—i?, R) с коэффициентом Гельдера К {В) = 0(i?A-1), X > р — 1,/? > 0, ис равномерной оценкой производной mo < < т¦ Работа [55] посвящена описанию картины разрешимости задачи Римана с бесконечным индексом на вещественной оси в терминах класса корректности коэффициента краевого условия, введенного в [53], см. также ([56], гл. 3).

Ситуацию, когда индекс задачи Римана обращается в бесконечность из-за счетного множества точек разрыва коэффициента впервые рассмотрела М. И. Журавлева. В [41] исследована однородная задача Римана на луче [1, оо) с бесконечным индексом и счетным множеством нулей и полюсов целого порядка у коэффициента краевого условия, в статье [43] рассмотрена соответствующая неоднородная задача. Отметим, что рассмотренные здесь разрывы аргумента коэффициента являются нехарактерными для задачи Гильберта, в которой ^ 0. Поэтому использование этих результатов для решения задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов бесперспективно. В работе [42] анонсированы результаты по однородной задаче Римана со счетным множеством разрывов первого рода у аргумента коэффициента и бесконечным индексом степенного порядка р < ½. Следует отметить, что в последней работе ограничения на величину скачков и расположение на вещественной оси точек разрыва налагаются неявно, по существу, заданием асимптотического поведения функции arg G (t), что снижает ценность результата. Исследования этой работы распространены в работах [18], [19] на контуры более сложного вида.

Задача Гильберта для полуплоскости с бесконечным индексом степенного или логарифмического типов, обусловленного соответствующим завихрением функции arg G (t) на бесконечности, и непрерывными на любом конечном интервале коэффициентами исследовалась в работах [92], [14] путем сведения её к соответствующей задаче Римана методом Н. И. Мусхелишвили ([58], с. 139−150). Этот метод в случае полуплоскости заключался в доопределении искомой аналитической и ограниченной в верхней полуплоскости функции F (z) = Ф+(г) по симметрии в нижней полуплоскости по формуле при котором краевое условие (0.1) может быть переписано в виде.

Теперь решение задачи Гильберта (0.1) равносильно нахождению всех решений задачи Римана (0.4), удовлетворяющих дополнительному ограничению (0.5).

Краевую задачу Гильберта с бесконечным индексом степенного порядка меньше единицы для полуплоскости впервые рассмотрел по предф-(^) = -Ф+р).

0.4).

0.5) ложению Ф. Д. Гахова в 1974 году И. Е. Сандрыгайло, который предполагал [92], что в краевом условии однородной задачи argG (t) = ir (p (t)tp, О < р < 1,.

1, </?(—оо) = Ai, уз (+оо) = А2. Решение однородной задачи проведено методом Н. И. Мусхелиптвили в классе функций экспоненциального порядка р убывания на бесконечности. Здесь Dp— класс функций, удовлетворяющих условию (p (ti) — (^2)! < A ln~p т > 2с, если ii, Ь € [-с, с], с> О, и.

< АЫ~Р L*tL d> если ti, t2 ЕЕ (—00,—с] или [с, +оо). Неоднородную задачу И. Е. Сандрыгайло исследовал при несколько иных ограничениях, решение искал в классе ограниченных функций, существенно опираясь на результаты М. Э. Толочко по краевой задаче Римана для полуплоскости с бесконечным индексом степенного порядка р 6 (0,1).

Задачу Гильберта с бесконечным индексом логарифмического порядка, обусловленным соответствующей особенностью в бесконечно удаленной точке непрерывной на любом конечном интервале функции arg[a (i) + ib (t)], методом Н. И. Мусхелишвили решил П. Ю. Алекна [14] в случае, когда коэффициенты краевого условия удовлетворяют следующим ограничениям. Функция arg G{t) (в наших обозначениях) для любого R, R > О, и некоторых положительных чисел а: (5 имеет представление в котором функция ip{t) Е Dfl на промежутке (—00, — R), р > а + 1, и (3 + 1, и.

В диссертации предложен иной, примыкающий к методу Ф. Д. Гахова подход к решению задачи Гильберта, основанный на конструктивном (с аналитическим выделением особенностей) построении решения однородной задачи, которое применяется для нахождения общего решения arg G (t) =.

-?>i (f)lna|f|, t<-R.

P2(+00) = A2, причем Af + A2 Ф 0. неоднородной задачи Гильберта.

В нашей работе [76] однородная задача Гильберта с бесконечным индексом того же типа, что и в [92] решалась непосредственно (без использования решения соответствую! цен задачи Римана с бесконечным индексом) путем нетривиального обобщения на рассматриваемый случай метода регуляризующего множителя, разработанного Ф. Д. Гаховым и развитого в работах других авторов (см. библиографию к [76]) для задачи Гильберта с конечным индексом.

Предложенный в [76] метод с одной стороны позволил более полно по сравнению с [92] описать кар тину разрешимости задачи (особенно в случае р < ½), а с другой стороны оказался перспективным для решения более сложной задачи с бесконечным индексом и счетным множеством точек разрыва коэффициентов. Элементы этого метода присутствуют и при решении некоторых обратных и обратных смешанных краевых задач, а так же при построении конформных отображений полуплоскости.

Первая глава содержит решение и исследование разрешимости краевой задачи Гильберта теории аналитических функций для полуплоскости с некоторыми особенностями коэффициентов. В параграфе 1 изучается задача со счетным множеством точек разрыва коэффициентов краевого условия (0.1) и конечным индексом. Отметим, что с такой комбинацией характеристик ни задача Гильберта, ни задача Римана не рассматривались. Изучены две возможные ситуации: 1) ряд, составленный из скачков функции v{t) = arg G (t) сходится и индекс задачи конечен [115]- 2) указанный ряд расходится, но индекс задачи конечен [88], [86]. Аналитическое выделение счетного числа особенностей у коэффициента краевого условия, которое запишем так проводится при помощи специально построенной функции P+(z). Здесь же исследуются асимптотическое поведение P+(z) при zл оо и глад.

0.6) кость граничных значений этой функции в обеих ситуациях.

Параграф 2 посвящен исследованию задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов, в ситуации, когда скачки функции v{f) = argG (t) накапливаясь, обращают индекс задачи в плюс бесконечность. Метод решения — регуляризация краевого условия с предварительным аналитическим выделением особенностей специально построенной аналитической функцией [88]. В терминах характеристик множества точек разрыва изучаются свойства этой функции.

Вторая глава посвящена исследованию задачи Гильберта в случае неограниченного изменения непрерывной составляющей функции arg G{t) В параграфе 3 метод регуляризующего множителя Ф. Д. Гахова впервые обобщен на случай задачи с бесконечным индексом. Этим методом решена задача Гильберта для полуплоскости с непрерывными на интервале (—оо,-|-оо) коэффициентами в случае, когда аргумент коэффициента краевого условия.

Iv~tp + t > О,.

0.7).

I/+Itp + v (t), i<0,.

2 2 где 0 < р < 1, v~ +v+ ф 0, v (t) — функция класса Hl (p) (см. [74], [76], [84], гл. 2). Изучена разрешимость задачи в классах функций ограниченных в верхней полуплоскости с заданным асимптотическим поведением на бесконечности.

В параграфе 4 изучается задача с краевым условием вида (0.6), в котором функция u (t) имеет абсолютно непрерывную составляющую с представлением (0.7), а функцию скачков — с разрывами, образующими расходящийся знакоположительный ряд. Таким образом, здесь рассмотрена задача, объединяющая особенности задач второго и третьего параграфов. Изучена разрешимость задачи в классах функций ограниченных в верхней полуплоскости либо с особенностями интегрируемого порядка в точках разрыва коэффициентов и с заданным асимптотическим поведением на бесконечности [77], [79], [82], [86], [89], ([84], гл. 2).

Результаты и метод параграфа 4 применяются в параграфе 5 главы 3, в котором рассматривается одна обратная смешанная краевая задача об определении области Dz и аналитической в этой области функции, отображающей Dz на Dw если известно, что часть границы Dz есть полигон с заданными углами при счетном множестве неизвестных вершин, известны точки на dDw— образы неизвестных вершин, на другой части искомого контура dDz заданы краевые значения искомой аналитической функции в виде последовательности функций переменной х — Rez. Получено общее решение этой задачи ([84], с.276), [85].

В параграфе 6 рассмотрена задача о построении конформного отображения полуплоскости на многоугольник, если заданы величины углов при неизвестных вершинах и прообразы вершин на вещественной оси в случае счетного множества вершин. В случае конечного числа вершин такая задача рассмотрена М. А. Лаврентьевым в ([48], с. 179). Разобраны две ситуации: в одном случае более жесткие ограничения налагаются на углы многоугольника, в другом — на прообразы вершин [83], [87].

Параграф 7 посвящен решению внешней обратной краевой задачи по определению области, содержащей бесконечно удаленную точку и аналитическую в этой области функцию w (z) по заданным на неизвестной границе искомой области краевым значениям w (z), заданным в виде функции при комбинации параметров [2], [1].

Обратная смешанная задача для решетки контуров решена в параграфе 8. Здесь требуется определить бесконечно связную область Dz, т. е. контур и шаг решетки, и аналитическую в этой области функцию w (z) по заданному образу Dw = z (Dz), в случае, когда часть искомого контура является полигоном с заданными углами при неизвестных вершинах, на dDw заданы образы вершин при искомом отображении, а на оставшейся части искомого контура заданы краевые значения функции w (z) в виде функции переменной х = Rez. Получены формулы решения.

72], [73].

Глава 4 содержит результаты исследований в следующем направлении. Часто решение прикладных краевых задач с неизвестными границами на плоскости сводится к отысканию конформного отображения заданной области па искомую. При этом производная искомой функции определяется как решение некоторой краевой задачи [103],[31], [51]. По физическому смыслу задач искомые области должны быть однолистными. Для обеспечения последнего требуется создание критериев однолистности аналитических функций в различных областях и обоснования с их помощью критериев однолистности отображений по характеристикам краевых значений этих отображений [5]. В качестве этих характеристик часто выступают ограничения на гладкость краевых значений.

В [7] дана формулировка сильной и слабой проблем однолистной разрешимости обратных краевых задач. Первая проблема заключается в определении ограничений на краевые условия, которые гарантируют однолистность решения обратной краевой задачи. Для решения этой задачи нужны условия в различных областях, тогда как при решении слабой проблемы однолистности требуются условия в канонических областях.

Параграф 9 посвящен созданию достаточных условий однолистности функций f (z), аналитических в звездных и выпуклых областях D [9], [10], [119], [11], [ИЗ]. Условия имеют вид ограничений на скорость роста отношения f" (w)/f'(w) в терминах коэффициента гиперболической метрики. Доказательства основаны на продолжении функции из области до квазиконформного отображения всей плоскости на себя и применении теоремы Адамара. Данный метод разработан в трудах Альфорса и Вейля [118], Альфорса (см., напр., [21] с. 118), Геринга [125] и развит в работах Ф. Г. Авхадиева и других авторов (см., например, [4], гл. 2, обзор [6]).

В параграфе 10 решается задача о продолжимости условия Гельдера с границы внутрь произвольной односвязной области для гармонической в этой области и непрерывной вплоть до границы функции. Введена характеристика области в терминах которой сформулировано достаточное условие совпадения показателя в условии Гельдера на границе и внутри области [112], [114].

Результаты параграфа 9 находят применение в следующем 11 параграфе при обосновании критерия однолистности общего решения обратной краевой задачи теории аналитических функций [95]. Оценка ks < 21 на постоянную в условии квазигладкости Зигмунда — этап исследований в данном направлении (см еще [111]), где лучший результат принадлежит Ф. Г. Авхадиеву [3].

Параграф 12 содержит ряд результатов по однолистной разрешимости обратной смешанной краевой задачи по параметру х. В теореме 61 приведено достаточное условие однолистности решения указанной задачи, выраженное непосредственно через исходные данные. Формулировки еще трех утверждений этого параграфа предполагают знание функции Римана заданной в условии задачи области Dw [67].

Актуальность темы

диссертационной работы с одной стороны обусловлена незавершенностью теории краевых задач с бесконечным индексом, а с другой приложениями задачи Гильберта к гидродинамике, например, к решению задачи об отражении плоских волн в упругой среде от плоской границы [96], теории упругости ([31], с.9), [26], к безмо-ментной теории оболочек [40]. А. В. Бицадзе [27] указал применение решения задачи Гильберта к решению одной задачи теории дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа. Интересная связь краевой задачи Гильберта с коэффициентами, имеющими разрывы первого рода с задачей по моделированию эффекта магнитного пересоединения в физике плазмы приведена в работе С. И. Безродных и.

С.И. Власова [25], применение задачи Гильберта для двусвязной области с разрывами коэффициента к задаче взрыва содержится в работе Р. Б. Салимова и Н. К. Туктамышова [711 .

Основные результаты диссертации докладывались: на первой всероссийской школе по основаниям математики и теории функций «Математические чтения памяти М.Я. Суслина» (Саратов, 1989), на международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), на школе — конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева (Казань, 1997), на десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2000), на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2000), на пятой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2001), на международной научной конференции «Геометрическая теория функций и краевые задачи» (Казань, 2002), на шестой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2003), на 12-ой Саратовской зимней школе (Саратов, 2004), на международной школе-конференции «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоград, 2004), на международной конференции «Алгебра и анализ» (Казань, 2004), на седьмой международной Казанской летней школе-конференции (Казань, 2005), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа (Новосибирск, 2007), на восьмой международной Казанской летней школе-конференции (Казань. 2007), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 2008), на 14-ой Саратовской зимней школе, посвященной памяти академика П. Л. Ульянова (Саратов, 2008).

В заключение автор благодарит своего научного консультанта за постоянное внимание к работе и полезные советы.

1 Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В первых двух главах диссертации разработаны методы решения краевой задачи Гильберта теории аналитических функций для полуплоскости с конечным индексом и с бесконечным индексом в случаях, когда непрерывная составляющая и функция скачков аргумента коэффициента краевого условия могут иметь неограниченное изменение на вещественной оси. Исследовано влияние обеих этих факторов на картину разрешимости задачи Гильберта. Построены формулы общего решения задачи, изучены гладкость граничных значений и ассимптотическое поведение на бесконечности этих решений, доказаны условия существования и единственности решения.

Третья глава посвящена применению доказанных в первых двух главах результатов и созданных там методов решения задачи Гильберта с бесконечным индексом к решению некоторых обратных и обратных смешанных задач, в частности, к выводу обобщения формулы интеграла Шварца-Кристоффеля на случай многоугольника с бесконечным числом вершин.

В четвертой главе исследуется однолистность решений обратных и обратных смешанных краевых задач, рассмотренных в третьей главе. Для чего методом квазиконформного продолжения аналитической функции на всю комплексную плоскость с последующим применением теоремы Адамара доказаны новые достаточные условия однолистности аналитических функций как в канонических, так и в произвольных областях с квазиконформной границей. Некоторые из этих результатов применены при исследовании однолистности отображений, решающих рассмотренные обратные и смешанные обратные краевые задачи. Здесь же получены новые достаточные условия продолжимости условия Гельдера для гармонических функций с границы внутрь области.