Средние величины в статистике. 
Виды и формы средних

Пример 2.

Распределение предприятий по численности промышленно — производственного персонала характеризуется следующими данными:

Группы предприятий по числу работающих, чел Число предприятий 100 — 200 1 200 — 300 3 300 — 400 7 400 — 500 30 500 — 600 19 600 — 700 15 700 — 800 5 ИТОГО 80

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

=400, =100, =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

Мода широко применяется в статистической практике при изучении, например, покупательного спроса, регистрации цен и т. д.

Медиана — это такое значение признака, которое делит ранжированный ряд распределения на две равные (по числу единиц) части — со значениями признака меньше медины и со значениями признака больше медианы. Для того чтобы найти медиану, нужно отыскать значение признака, которое находиться на середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированные данные нахождения медианы сводятся к отысканию порядкового номера медианы.

Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности — это конкретное численное значение в середине ряда.

Пример 3.

Определим медиану заработной платы рабочих.

Месячная з/п, руб. Число рабочих Сумма накопительных частот 110 2 2 130 6 8 (2+6) 160 16 24 (8+16) 190 12 — 220 4 — 40

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина — 20.

Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т. е. 160 руб., и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Пример 4.

Имеются данные о зарплате рабочих Месячная з/п, руб. Число рабочих Сумма накопительных частот 1100 2 2 1300 6 8 (2+6) 1600 12 20 (8+12) 1900 16 — 2200 4 — 40

Медиана будет равна:

Ме = (1500 + 1700) / 2 = 1600 руб.

Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

Пример 5.

Группы предприятий по числу рабочих Число предприятий Сумма накопительных частот 100 — 200 1 1 200 — 300 3 4 (1+3) 300 — 400 7 11 (4+7) 400 — 500 30 41 (11+30) 500 — 600 19 — 600 — 700 15 — 700 — 800 5 — ИТОГО 80

Определим, прежде всего, медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 — 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

Свойства медианы:

Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.

Аналитические операции с медианой весьма ограничены, поэтому при объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.

Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений xi от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением xj от любой другой величины, то есть:

где a=Me.

Графическое определение медианы.

Для определения медианы графическим методом используется накопленные частоты, по которым строится кумулятивная кривая. Вершины ординат, соответствующих накопленным частотам, соединяются отрезками прямой. Разделив пополам последнюю ординату, которая соответствует общей сумме частот, и, проведя к ней перпендикуляр пересечения с кумулятивной кривой, находим ординату искомого значения медианы.

соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер Соотношения средней арифметической, медианой и модой в статистических распределениях.

Для одномодального симметричного ряда распределения средняя арифметическая, медиана и мода совпадают. Для асимметричных распределений такого совпадения нет.

К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых установил, что для умеренно асимметричных распределений справедливо следующее приближенное соотношение между средней арифметической, медианой и модой:

или

Заключение

Можно сделать вывод о том, что средняя величина — это основная характеристика изучаемой совокупности.

Чаще всего средняя величина применяется для сравнения признаков изучаемой совокупности, описания характеристики изменения, какого явления во времени, прогнозирования значений различных котировок акций, размера прибыли предприятия, демографического уровня населения, спроса и предложения на рынке и т. д., для характеристики связи явлений.

Средняя величина показывает то, что характерно для всей совокупности в целом и присущи отдельных единицам.

Средняя величина может быть общей или групповой, в зависимости от способа ее высиления: по совокупности в целом или по каждой группе.

Средние показатели могут рассчитываться по интервальным и дискретным рядам.

Также средние величины могут быть структурными (мода, медиана) и степенными (средняя арифметическая, средняя геометрическая и т. д.). В зависимости от цели проводимого исследования и сущности рассматриваемого показателя применяется тот или иной вид средней величины.

Средние величины могут сохранять свойства статистической совокупности при изменении индивидуальных значений признака.

Если индивидуальные значения признака совокупности не повторяются, то есть данные не сгруппированы, то применяют простые средние. Однако чаще всего значения признака при проведении исследований повторяются, тогда приходится группировать исходные значения, то есть учитывает вес отдельных значений признака и вычислять взвешенную среднюю.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда значения признака представлены в виде относительных, цепных величин Если неизвестны частоты по отдельным значениям признака, а известно произведение значения признака на частоту, то применяют среднюю гармоническую взвешенную. Когда вес каждого значения признака равен единице, то применяют среднюю гармоническую простую.

Если необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то применяют среднюю квадратическую. Обычно ее вычисляют при определении размеров сечения разных предметов.

Средняя кубическая применяется, например, если необходимо определить средней стороны n кубов.

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака.

Для характеристики тенденции статистического ряда распределения применяют структурные средние. Наиболее распространенными являются медиана и мода. Медиана дает характеристику центральному признаку. Мода дает характеристику наиболее распространенному в статистическом ряду признаку.

Они применяются для изучения структуры вариационного ряда.

Таким образом, можно сказать, что средние величину играют большую роль в проведении статистических исследований. Они дают общую характеристику изучаемого явления, но при условии целесообразного применения.

Список литературы

Балинова В.С., Статистика в вопросах и ответах, М.: ТК Вебли, Изд. Проспект, 2004 г., 344с.

Общая теория статистики. Под ред. А. Я. Боярского, Г. А. Громыко., М.: МУ., 2001 г., 343 стр.

Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Общая теория статистики, М.: ИНФРА-М, 2002, 416с.

Статистический словарь / Гл. ред. М. А. Королев, М.: Финансы и статистика, 1999 г., 542 стр.

Практикум по теории статистики под ред. Р. А. Шмойловой, М.: Финансы и статистика, 2003 г., стр.

416.

Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Общая теория статистики, стр.

Под ред. А. Я. Боярского, Г. А. Громыко., Общая теория статистики, стр.

102.

Балинова В.С., Статистика в вопросах и ответах, стр.

28.

Практикум по теории статистики под ред. Р. А. Шмойловой, стр.

83.