Задачи

Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии

Данные наблюдений и соответствующие коэффициенты в матричной форме выглядят следующим образом:

.

Здесьмерный вектор-столбец наблюдений зависимой переменной; матрица размерности, в которойтая строка представляет наблюдение вектора значений независимых переменных; единица соответствует переменной при свободном члене; вектор-столбец размерности параметров уравнения регрессии; вектор-столбец размерности отклонений выборочных (реальных) значений зависимой переменной от значений, получаемых по уравнению регрессии

. (10)

Функция в матричной форме представима как произведение вектор-строки на вектор-столбец. Вектор-столбец может быть в свою очередь представлен в следующем виде:

. (11)

Отсюда:

Здесь векторы и матрицы, транспонированные к соответственно. При выводе формулы использовались следующие известные соотношения линейной алгебры:

Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее частных производных по всем параметрам. Вектор-столбец частных производных в матричном виде выглядит следующим образом:

. (12)

Рассмотрим более подробно нахождение. Очевидно, что

.

от не зависит, следовательно, .

Обозначим вектор-столбец размерности через. Тогда, где соответствующий элемент вектора. Поэтому .

Обозначим матрицу размерности через. Тогда

.

Следовательно, частная производная .

В результате имеем .

Следовательно, формула (12) справедлива. Приравняв к нулю, получаем: