Таким образом, при использовании метода последовательных уступок многокритериальная задача сводится к поочередной максимизации частных критериев и выбору величин уступок.
Величины уступок характеризуют отклонение приоритета од них частных критериев перед другими от лексикографического: чем уступки меньше, тем приоритет жестче.
3.Примеры решения задач.
3.
1. Пример решения задачи по теории игр.
Найти решение игры, платежная матрица которой представлена таблицей. Определить нижнюю цену игры, верхнюю цену игры, седловую точку и оптимальные стратегии.
Y1 Y2 Y3 X1 -2 2 -1 X2 2 1 1 X3 3 -3 1
Решение:
Найдем сначала верхнюю и нижнюю цену игры в чистых стратегиях.
Для нахождения верхней цены выделим максимум в каждом из столбцов платежной матрицы, а затем выберем наименьшее значение из этих максимумов.
Y1 Y2 Y3 X1 -2 2 -1 X2 2 1 1 X3 3 -3 1 Следовательно, минимаксной стратегией второго игрока является третья.
Для нахождения нижней цены игры подчеркнем наименьшее значение из чисел платежной матрицы в каждой строке и выберем наибольшее из этих минимумов.
Y1 Y2 Y3 X1 -2 2 -1 X2 2 1 1 X3 3 -3 1
Следовательно, максиминной стратегией первого игрока является любая из двух, третья или вторая.
И стратегия (2,3) является седловой точкой игры.
Найдем оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Решая систему, получим:
Получаем оптимальные стратегии (0,0,1), Цена игры равна 1.
3.
2. Пример решения многокритериальной задачи методом уступок.
Решить задачу мнокритериальной оптимизации методом последовательных уступок на множестве
если заданы функции цели V, W. Найти графическим способом область Парето, если уступка по критерию не должна превышать Р процентов.
A B V max W max P,% 1 2×1+2×2×1+x2 30
Решение:
Множеством допустимых решений является и заданы два частных критерия оптимальности f1=x1+2×2, f2=x1+x2.
Мы имеем задачу принятия решения в условиях определенности при наличии двух критериев. Поскольку критерии сформулированы относительно максимизации некоторых абстрактных величин, будем полагать, что оба критерия измеряются в одинаковых шкалах, а это значит, что обобщенный критерий будем выбирать в виде:
где n=2,3, w2=1-w1.
При решении многокритериальной задачи методом последовательных уступок вначале производится качественный анализ относительной важности частных критериев; на основании такого анализа критерии располагаются и нумеруются в порядке убывания важности, так что главным является критерий K1, менее важен. K2.
Сначала максимизируется первый по важности критерий K1 и определяется его наибольшее значение Q1. Затем назначается величина «допустимого» снижения (уступки) (1>0 критерия K1 и ищется наибольшее значение Q2 второго критерия K2 при условии, что значение первого критерия должно быть не меньше, чем Q1—(1.; получаемые в итоге стратегии считаются оптимальными.
Величины уступок, назначенные для многокритериальной задачи, можно рассматривать как своеобразную меру отклонения приоритета (степени относительной важности) частных критериев от жесткого, лексикографического.
Величины уступок (r последовательно назначаются в результате изучения взаимосвязи частных критериев.
Функция f1 + 0,3f2 достигает максимума на D в единственной точке (1,2):
f1 + 0,3f2=1,3*1+2,3*2=5,9
Множество Парето представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (0,0) и (1,2)
Заключение
Таким образом, можно сделать вывод о том, что теория игр и теория принятия решений значительно упрощает выбор оптимальной стратегии поведения в любой ситуации при определенных условиях.
Задачи оптимизации стратегий в теории игр дают нам представление о предпочтительных линиях поведения в той или иной ситуации.
С помощью теоретического анализа игровой ситуации мы можем избежать риска оказаться в проигрыше в самом плохом случае, а в лучшем получить наибольшую прибыль. Кроме того, получить представление о возможном поведение соперника и наилучшем ответе в любой ситуации.
Теория принятия решений в случае задач многокритериальной оптимизации также позволяет нам в условиях неопределенности сделать вывод об оптимальном поведении.
Список литературы
Ларичев О. И., Теория и методы принятия решений, М.: Логос, 2000, 296 с.
Литвак Б. Г. Экспертные оценки и принятие решений, М.: Патент, 1996, 271 с.
Литвак Б. Г. Разработка управленческого решения, М.: Изд.: Дело, 2001, 392 с.
Подиновский В.В., Гаврилов В. М., Оптимизация по последовательно применяемым критериям, М.: Сов. радио, 1975, 192 с.
