Выбор методов аппроксимации функции

Качество аппроксимации неудовлетворительное, следовательно, для заданной функции линейная аппроксимация методомнаименьшихквадратовнеприменима.

3.2.

2. Квадратичная аппроксимация. Запишем в таблицу 4 элементы матрицы Грама и столбец свободных членов. Таблица 4. x0x1x2x3x4yxyx2y100000,9 794 980 010,10,010,0010,11,0608310,1 060 830,01060810,20,040,0080,161,1388370,2 277 670,04555310,30,090,0270,811,2133120,3 639 940,10919810,40,160,0640,2 561,2840760,513 630,205452Σ510,30,10,3 545,6765541,2 114 750,370812

Построим матрицу Грамма:

Используя метод Крамера решим систему линейных уравнений:=0,0007=0,685 621=0,582 484=-0,123 345С0 = 0,9 794 592С1 = 0,8 321 198С2 = -0,1 762 071

Окончательно искомая аппроксимирующая функция примет вид:φ(х)=0,9 794 592+0,8 321 198*х-0,1 762 071*х2.Результаты аппроксимации функции сведены в таблицу 5. Таблица 5. xy= φ(х)00,9 794 980,9794590,11,608 311,0609090,21,1 388 371,1388350,31,2 133 121,2132370,41,2 840 761,284114

Вычислимневязку:P= = 5.432*10−5На рисунке 10 представлены графики исходной и аппроксимирующей функций. Блок-схемаалгоритмареализацииаппроксимации функции методом наименьших квадратов представлена на рис.

10. Основная программа включает в себя функции «gram» (рис.

11) — строит матрицу Грамма и «matrix» (рис.

12) — реализующую вычисление систем линейных уравнений методом Холесского. Функция «matrix» в свою очередь, включает в себя функцию «holess» (рис.

14) — преобразующую массив исходных значений (исходную матрицу) в массив новых коэффициентов. И функцию «res» (рис.

13) на основании массива, преобразованного функцией «holes», вычисляющую и заполняющую массив готовых решений. Все функции имеют не возвращаемый тип void, т.к. работают с исходным массивом значений. Текст программы реализующей аппроксимацию методом наименьших квадратов// min_square.cpp: main project file.#include" stdafx. h" #include#include#include#include#define size 20usingnamespace System;usingnamespacestd;//объявлениепрототиповфункцийvoidmatrix (double[][size], int, double[]); /*вычисляет значение матрицы методом Холесского, включает в себядве функции: holess, и res*/voidholess (double[][size], int);void res (double[][size], int, double[]);//функция построения матрицы Грамаvoid gram (double[][size], double[][size], int, double[][size]);//начало основной программыintmain (){ /*объявленные переменные: в массивы «х» и «у» накапливаются табличные значения аргументов и функции. В массив «с» сохраняются значения коэффициентов (результат решения матрицы Грама). Массив «а» хранит матрицу Грама, «у1″ -значения функции, полученные путем вычисления аппроксимирующего многочлена. s-хранит промежуточные результаты вычисления функции апроксимирующим многочленом. р-невязка.n-количество табличных значений аргументов*/double x[size][size], y[size][size], c[size], a[size][size], y1[size], s, p;int n;cout<<» Enter quantity of knots of interpolation N=";//ввод ncin>>n;cout<<=n;i++)//начало цикла ввода табличных значений {cout<<" Interx («<<»)=";cin>>x[i][1]; /*табличные значения аргумента сохраняются в первом столбце многомерного массива «х» */for (int j=0;j<=(n-1);j++)x[i][j]=pow (x[i][1], j); /*табличное значение «х» первого столбца i-йстроки возводится в j-ю степень и сохраняется в j-м столбце*/cout<<" Intery («<<»)=";cin>>y[i][0]; /*сохранение табличных значений функции в нулевом столбце многомерного массива «у» */for (int j=0;j<=(n-3);j++)y[i][j]=y[i][0]*x[i][j]; /*в j-й столбец i-й строки массива «у» записывается произведение значения 0-го столбца массива «у» (табличное значение у) и х^j */cout<<=n;i++) { s=0;for (int j=1;j<=n-2;j++)s=s+c[j]*x[i][j-1]; //вычисление функции аппроксимирующим многочленом y1[i]=s;//запись вычисленного значения функции в массив выходных данных } s=0;cout<<<" X" <<<" Y" <<<" F" <<=n;i++) {s=s+pow ((y1[i]-y[i][0]), 2);//нахождение разницы между табличным и вычисленным значением функцииcout<<<<<<<<<<<" P="<

<=(n-1);j++){ x[n+1][j]=y[n+1][j]=0;for (inti=1;i<=n;i++)x[n+1][j]=x[n+1][j]+x[i][j]; //вычисление значений членов левой части матрицы Грамаcout<<=n-3;j++)for (inti=1;i<=n;i++)y[n+1][j]=y[n+1][j]+y[i][j]; //вычисление значений членов правой части матрицы Грамаk=0;for (inti=1;i<=n-2;i++){for (int j=1;j<=(n-2);j++)a[i][j]=x[n+1][j-1+k]; //заполнение массива «а» значениями аргументовa[i][n-1]=y[n+1][i-1]; //заполнение столбца правых частей системы нормальных уравненийk++;}}void matrix (double a[][size], intn, double c[]){for (inti=1;i<=n;i++)c[i]=0;holess (a, n);res (a, n, c);}//функция реализует метод Холесского с частичной перестановкой для выбора главного элемента//Входные данные массив коэффициентов «аrg», количество уравнений системы n//Выходные данные массив новых коэффициентов «аrg» .voidholess (doublearg[][size], int n){double max, p, s, a1[size]; int i1;for (int m=1;m<=n;m++) {if (m==1)for (int j=2;j<=(n+1);j++)arg[1][j]=arg[1][j]/arg[1][1]; if (m>=2){max=fabs (arg[m][m]);for (int t=m;t<=n;t++)if (fabs (arg[t][m])>=max) //выбор главного элемента{max=fabs (arg[t][m]);i1=t;}for (inti=1;i<=(n+1);i++)a1[i]=arg[m][i]; //a1(n+1) — массив коэффициентовfor (int i=1;i<=(n+1);i++) //замена ведущей строки на строку с выбранным главным элементом{arg[m][i]=arg[i1][i]; arg[i1][i]=a1[i]; }for (inti=m;i<=n;i++){p=0;for (int k=1;k<=(m-1);k++)p=p+arg[i][k]*arg[k][m]; arg[i][m]=arg[i][m]-p; //формирование очередного a (i, m) столбца}for (int j=(m+1);j<=(n+1);j++){s=0;for (int k=1;k<=(m-1);k++)s=s+arg[m][k]*arg[k][j]; arg[m][j]=(arg[m][j]-s)/arg[m][m]; //формирование очередной a (m, j) строки}} }}//функцияформированиярешениясистемы уравнений//входные данные: двумерный массив коэффициентов «arg», n-число уравнений//выходные данные:

массив решений системы х (i)void res (doublearg[][size], intn, double x[]){double s;for (inti=n;i>=1;i—){if (n==1)x[i]=arg[n][n+1]; s=0;for (int k=i+1;k<=n;k++)s=s+arg[i][k]*x[k]; x[i]=arg[i][n+1]-s;}//конец цикла}//конец функции resВыводы:

Результаты расчетов, а также построенные графики позволяют сделать вывод, что квадратичная аппроксимация в данном случае предпочтительнее, т.к. при квадратичной аппроксимации график аппроксимирующей функции на рассчитанном участке с достаточно высокой точностью повторяет график исходной функции. Невязкаприквадратичнойаппроксимации значительно меньше, чемприлинейной. Заключение

В настоящей работе были рассмотрены три способа аппроксимации одной и той же функции. У всех трех способов есть своя область применения, достоинства и недостатки. Применимо к исследуемой функции, учитывая равный интервал между значениями аргументов, малый шаг, а так же то, что функция близка к линейной, наиболее предпочтительным для ее аппроксимации является метод Ньютона. Т.к. уже линейная интерполяция дала результат с высокой точностью. Списоклитературы

Гловацкая А. П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. Уч.пос. для ВУЗОВ.

М. Радио и связь, 1999.-408с. Гловацкая А. П. Сборник задач для курсовой работы по курсу Информатика. МТУСИ. 2006, 32с. Дейтел Х. М. Как программировать на С++: Пятое издание. — С.Пб. ООО «Бином-Пресс», 2011.-1456с.Пахомов Б. И. С/С++ и MS Visual C++ 2010 для начинающих — СПб.: БХВ — Петербург, 2011. — 736 с.