Некоторые вопросы теории приближения в весовых пространствах Бергмана

Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в круге функций и построению наилучших линейных методов приближения в весовых пространствах Бергмана. Хорошо известно, что в экстремальных задачах теории приближения функций важную роль играют точные неравенства, содержащие оценки величины наилучшего полиномиального приближения посредством усредненных значений модулей непрерывности высших порядков производных функций. Эти неравенства, с одной стороны, позволяют установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций, с другой стороны, для соответствующих классов функций дают оценку сверху поперечников.

Вычислению точных значений различных п-поперечников классов функций, аналитических в круге, посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских п-поперечников в пространстве Харди, принадлежат В. М. Тихомирову [47] и Л. В. Тайкову [46]. В дальнейшем эта тематика нашла свое отражение в работах М. З. Двейрина [16], Ю. А. Фаркова [50], Н. Айнуллоева и Л. В. Тайкова [1], С. Д. Фишера и М. И. Стесина [52], С. Д. Фишера и К. А. Миччели [51], А. Пинкуса [32], С. Б. Вакарчука [6], М. Ш. Шабозова [56−58], М. Ш. Шабозова и Х. Х. Пирова [59], Г. А. Юсупова [77−79], М. Р. Лангаршоева [27] и многих других.

В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами в весовом пространстве Бергмана и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, гельфандовского, линейного и проекционного п-поперечников для различных компактных классов функций с ограниченными по норме пространстве производных и классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков в пространстве 1 < д < оо, 7 = 7(И) > 04.

Основной целью данной работы является:

1. Указать новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в круге функций и усредненными модулями непрерывности в весовом пространстве Бергмана 1 < <7 < °о.

2. Найти точное неравенство типа А. Н. Колмогорова для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной в пространстве В2,7.

3. Найти точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных п-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности.

4. Найти наилучший линейный метод приближения, реализующий точное значение линейного п-поперечника для классов аналитических в круге г < Я, В, > 1 функций с ограниченной по норме производной в пространстве Вял, 1 < д < оо.

Основные результаты диссертации обсуждались на республиканской научной конференции «Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений», посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А. Д. Джураева (Душанбе, 16−17 октября 2007 г.), на международной конференции «Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ», посвященной 80-летию академика АН РТ Л. Г. Михайлова (Душанбе, 29−30 мая 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С. М. Никольского (Москва, МГУ, 17−19 мая 2010 г.), на международной конференции «Современные проблемы математического анализа и их приложений», посвященной 60-летию академика АН РТ К. Х. Бойматова (Душанбе, 23−24 июня 2010 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34−36, 66, 72, 75]. В совместных работах [66, 72, 75] М. Ш. Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.

Приведем краткий обзор результатов, полученные в диссертационной работы.

В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем.

Будем рассматривать пространство Бергмана функций /(г) аналитических в единичном круге г < 1 с конечной нормой. 1/9.

11/1к, = к //т (ИН/М19<�ь.

V И<1 У со,.

1) где 7(|.г|) — положительная суммируемая в круге г <1 весовая функция.

Очевидно, что норму (1) можно записать в виде 1/9 Д.

9,7 н 1 2тг к 0 0 оо, 1 < д < оо.

2).

Величину вир где.

Ь>тШ)в," = вир {||Дт (/, •, •, Л)|вч": Щ < *} = 1/".

0 0 / ТП.

Ат (/- р,", Л) = Е (-1)^/.

121 у/".

3) 0.

— разность т-го порядка функции / (ре^) по аргументу? с шагом /г, назовем интегральным модулем непрерывности т-го порядка. Для любых г е N через у (г)(/г) = сГ//сЬг обозначим обычную производную, а символом /^(г) = дг f (ре1*) / дУ, 0 < р < 1 обозначим производную г-го порядка по аргументу функции /(*), Ш = {й^Уа, г е М, = /'И — гг.

Множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п обозначим через 7Величину.

Епи)вчп = ^{II/ ~ Рп-Авч" ¦ Рп-1 е Тп-г} назовем наилучшим приближением функции /(г) Е Вча множеством Тп-Символом (1 < д < сю, 0 < Я < 1) обозначим пространство аналитических в круге < Я функций /(г) € для которых.

Н/(-)1к7.д = ||/(Л-)1к7<�оо.

Введем также обозначения: {/(г) <Е Вч {/(*) е вчл: \№\Вд, 7 < оо}, 1 < д < со.

Сформулируем основные результаты второго параграфа первой главы. Теорема 1.2.2. Для произвольного полинома рп (г) 6 Д^, 1 < Я < ею, у которого производная т-го порядка по аргументу € Врпд, справедливо неравенство.

Рп (-))1ш)||В]< Л" • Пга • ||р"||в". (4).

Неравенство (4) точно в том смысле, что существует комплексный полином рп (г) (Е для которого оно обращается в равенство.

Неравенство (4) является обобщением известного неравенства С. Н. Бернштейна для алгебраических комплексных полиномов в весовом пространстве Вдл, 1 < д < сю.

Теорема 1.2.3. Для произвольной функции /(г) 6Е Вчлд, (1 < д < оо, О < В, < 1), у которой f^nz) € ВЪ1,1 < д < оо, имеет место точное неравенство.

ЕМ)в^н<11п-п-™-Еп{^) (5).

Ч1У.

Знак равенства в (5) реализует функция /о (-г) = ¿-п.

В третьем параграфе первой главы изучается задача о наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций, структурные свойства которых характеризуются усредненными модулями непрерывности ш-го порядка обычных производных г-го порядка функций н в пространстве #2,7 • Зависимость наилучших приближений Еп (/)в2~, от усредненных с положительным весом модулей непрерывности порядка га выражается следующей теоремой.

Теорема 1.3.1. Для любой функции /(г) е у которой гГ п при всех т, п, г М, п > г и любых 0 < к < п/п, 0 < /3 < 7гпри О < V < 2пв. п/(п — г)] ([а] - целая чаешь числа а), справедливо точное неравенство.

1 к.

К, <^-й-, (6).

22та2пг • ?Бт2то (п*/2) вт о где апг = п (п — 1)(п — 2) • • ¦ (п — г + 1) = п[{п — т)!]-1, п > г. Равенство в соотношении (6) реализует функция = гп 6= #2,7.

При решении некоторых задач теории приближения вместо модуля непрерывности 1 < Ц < оо иногда удобнее использовать следующую эквивалентную характеристику.

О О.

1/9 г > 0, (7) где.

К = (Ль Л2>ад, АГ — К О • - ¦ О А1т, А у (ре*) = Дре*^) — Дре^). Известно, что для всех 1 < д < оо, Г2т (/, х о-ш (/,.

Среди экстремальных задач теории полиномиальных приближений аналитических в круге функций в весовом пространстве 1 < # < оо одной из наиболее важных задач является вычисление точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина.

ВДН, < X • • ит (гг^гт/п)В1^ ге^т>0, где ит — некоторая характеристика гладкости функции / (г) € Д?^, например шт или % - некоторая константа.

В четвертом параграфе первой главы вводится в рассмотрение экстремальная характеристика следующего вида.

1Ст, п, г, р (*) = 8иР ' апгЕп (/)в2п.

I и*т{гг^и/п)<1ч.

— щ-: / Є В.

2,7 где ит — характеристика гладкости функции /(г) Е IIт — шт или ит = Имеет место следующая.

Теорема 1.4.1. Пусть т, п? М, г Е 0<p<2u0<t<^г. Тогда справедливы равенства тр ш / ^ г1!) к0 4 у и.

— 1 /р

8).

В частности,.

Г, ,, I^-Т ((тр + 1)/2)~11р (Ж' '" > «2'» Г ((тр)/2 + 1) / где Г (6) — гамма-функция Эйлера, т, п, г, 2/т ^ш) = - бШ)]'42 .

9).

Равенства (8) и (9) для периодических дифференцируемых функций / Є 27г] доказаны, соответственно, М. Ш. Шабозовым [76] и С. Б. Вакарчуком.

12].

Основным результатом пятого параграфа является следующая Теорема 1.5.1. Пусть т, п Е М, г Є 0<�р<2и0<�і< 7г/п. Тогда справедливы равенства { (віпитр/2 Пш) = 2~т'2 | ?(1 — — ] йи.

В частности,.

К-т, п, г, 2/т ^ш) = № ~ Зі(і)} г/2 ь где Si{t) == 16~1ътв (16 — интегральный синус. о.

С начала XX в. особый интерес у многих математиков, начиная с Э. Ландау, Ж. Адамара, Г. Харди, Дж. Литтльвуда, А. Н. Колмогорова, вызывает получение точных неравенств для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной. Несомненный интерес данная задача представляет и в банаховых пространствах аналитических в круге функций.

Заключительный шестой параграф первой главы посвящен доказательству неравенств между нормами последовательных производных или неравенствам типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана.

Теорема 1.6.1. Пусть к, г е М, 1 < к < г. Для произвольной /(г) е #2⁷, 0 имеет место неравенства типа Колмогорова и/Мк, < rnlT ¦ «лис, ¦ (1о).

Неравенство (10) является точным в том смысле, что существует функция из класса В^ а) которая обращает (10) в равенство.

Теорема 1.6.2. Пусть к, г? М, 1 < к < г. Тогда для произвольной функции f (z) Е, а справедливо неравенство типа Колмогорова.

Еп (/<-*>)В2л < (Еп твХФ •, (11) точное в том смысле, что существует функция Е. В2Л, которая обращает неравенства (11) в равенство.

Вторая глава состоит из четырех параграфов, и в ней рассматривается задача определения точных значений различных п-поперечников классов аналитических функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана Д?, 751 < д < оо. Прежде чем сформулировать основные результаты второй главы, напомним необходимые обозначения и определения, приведенные в первом параграфе второй главы.

Пусть X — произвольное банахово пространство- 5 — единичный шар в нем- 9Я — некоторое выпуклое центрально-симметричное множество в X;

Ln С X-n — мерное линейное подпространствоLn С X — подпространство коразмерности nС (Х, Ln) — множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в LnCL (X, Ln) — подмножество проекторов в.

Цх, ьп).

Приближение фиксированного множества 9Я С X фиксированным подпространством Ln С X определяется величиной.

Еп (Ш)х = Е (Ш, Ln) x sup {inf{||/ - tp\x: tp? Ln}: f G Ш}. (12).

Величина sn{m)x = s{dK, Ln) xdM inf{sup{||/ - A (f)\x: fem}: Л С C (X, Ln)} (13) характеризует наилучшее линейное приближение множества 9Я элементами подпространства Ln С X. Линейный оператор А*(А* С ?(X, Ln)), если он существует и реализует в (13) точную нижнюю грань, является наилучшим для Ш линейным методом приближенияinf{suP{||/ - Af\x: / G Ш}: А С CL (X, Ln)} (14).

— наилучшее приближение множества Ш1 С X проекторами в пространстве X. Очевидно, что для величин (12)-(14), согласно определению, выполняется соотношение.

Еп{Ш)х < еп{Ш)х < ?i (Wl)x. (15).

Величины.

Ьп{т, Х) = sup{sup{? > 0: eSfl Аг+i С Ш}: Ln+1 С X}, (16) <�Г (Ш, Х) = inf{suP{||/|U :feWlf]Ln}:Ln С X}, (17) dn (m, X) inf{Е (Ш, Ln) x :Ln d X}, (18).

6п (ЯП, X) = Ы{8(Ш, Ьп) х: Ьп С X},.

19).

7ГП (Ш1, X) = т^рШ, £п) ¦. Ьп, а X} (20) называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмого-ровским, линейным и проекционным п-поперечниками.

Если существует подпространство Ь*п+Ъ на котором достигается точная верхняя грань в (16), и существуют подпространства ЬП} на которых достигаются внешние точные нижние грани в (17)-(20), то такие подпространства называют экстремальными для соответствующих п-поперечников (16)-(20). Очевидно, что между величинами (16)-(20) выполняются соотношения.

Ьп (Ш: X) < X) < х) < ^ х) и, если X — гильбертово пространство, то ьп (ш, х) < ап{ш, х) < ап (т, х) = 5п (ж, х) = х).

Введем классы функций, которые естественным образом появляются из результатов о наилучшем приближении аналитических функций в параграфах 1.1−1.5 первой главы.

Пусть Ф (£),£ > 0 — произвольная возрастающая непрерывная функция, такая, что Ф (0) = 0. Исходя из результатов третьего параграфа, для т, п, г Е М, п > г, 0 < V < 2пп[п/(п — г)], 0 < /г < 7г/п, 0 < /5 < 7 г определим классы функций.

Т{Л-) Т{т, п, г, V, /3,7- К) = г) 6 Я2г, 7: /]<: о о.

Ф) := Т (т, п, г, и, /3,7- Л, Ф) =.

1 /I.

М € Ва: //< Ф (Л) о о.

Через И^ (Ф), г € N обозначим класс аналитических функций /(2:) 6 г).

2,7, удовлетворяющих условию х½.

0 /.

Для т 6 М, г 6 через И^а (Ф) обозначим класс аналитических / функций /(2) 6 #2,7,а> Для которых при любом? > 0 выполняется условие ½ а через И^^Ф), т? М, г? 1/г < р < 2 обозначим класс аналитических функций /(г)? удовлетворяющих условию.

Наконец, в заключительном четвертом параграфе второй главы, для любого шбМи1<�р<�оо, вводим в рассмотрение класс аналитических в круге х < Я, Я > 1 функций {/: /(т, М 6 Яр, Я, ||/(т)||яр, д < 1} •.

Вычислению точных значений п-поперечников классов аналитических в круге функций в различных банаховых пространствах функций посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских поперечников в пространстве Харди Нр (1 < р < со), принадлежат В. М. Тихомирову [47] и Л. В. Тайкову [46]. Указанные исследования нашли дальнейшее развитие в работах Н. Айнуллоева [1], М. З. Двейрина [16], С. Д. Фишера и М. И. Стесина [52], А. Пинкуса [32], Ю. А. Фаркова [50], С. Б. Вакарчука [6], М. Ш. Шабозова и Х. Х. Пирова [59], Г. А. Юсупова [77] и многих других.

Во втором параграфе второй главы вычислены точные верхние грани наилучших приближений функций и ^(Ф, К) в пространстве -62,7- Введя обозначение, к ^ -½.

ЛК) =.

Iъш2т (пг/2) Б^фь/Ь)^ сформулируем основной результат этого параграфа.'.

Теорема 2.2.1. При всех натуральных т, п, г, п > г, и > 0, 0 < к < 7г/п, 0</3<7г справедливы равенства 2-т. • ЛК), SL{HK ф), Тп-1)в2п = 2″ т ¦ а" 1 ¦ ЛК) ¦ Ф{К).

Третий параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников классов аналитических функций И⁰(Ф) и $р (Ф) в пространстве ??2,7.

Теорема 2.3.1 Для любых п, г? К, п > г и 1 < р < оо, р 6Е (0,1) имеет место равенство ап (В (%а, ВРП) = рп ¦ п-, где <уп{') — любой из п-поперечников (16)-(20).

Следуя С. Б. Вакарчуку [12], через обозначим величину аргумента х? (0, оо) функции этж/гс, при которой она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, есть наименьший из положительных корней уравнения х = tgж (4,49 < < 4, 51). При этом полагаем.

Л этаЛ Г этаЛ ^ эт^ «I.

I 1—] := < 1—, если 0 < х < ?*- 1—, если х > т* >. х / * х J.

Теорема 2.3.3. Пусть при некотором п? N мажорирующая функция.

Ф (£) удовлетворяет ограничению ni / ч.

Ф2(тг/2п) — тг/2 — 5 г (тг/2) где Зг{Ь) = J х 1вт хв, х — интегральный синус. Тогда для этого п и всех о г? N выполнены равенства 1 ф (^) апг ^/тг — 25 г (тг/2) 2п).

Здесь 7п (-) — любой из поперечников (16)-(20). Множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (21), не пусто.

Теорема 2.3.4. Пусть т, п? N. Если при любых? 6 (0, оо) мажоранта Ф (£) удовлетворяет условию т.

Ф (7г/та) то для г € справедливы равенства 7п")а (Ф)>В2|7)=2-т/2.п" г+½.

½.

22) гп.

— ½.

• Ф * где 7п (-) — любой из п-поперечников (16)-(20). Множество мажорант {Ф (£)}, удовлетворяющих ограничению (22), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция.

7 Г / • 1 Ш.

1-^) Л.

В следующей теореме положено эт^)* — {вт^, если 0 < ^ < 7г/2- 1, если? > 7г/2}. Теорема 2.3.5. Пусть т, п € М, г? 1/г < р < 2. Если для 0 <? < 7г/п мажоранта Ф (£) удовлетворяет ограничению фр{г) Фр (тг/п).

— / Гт) тпр

— 1.

К)>

23) то справедливы равенства.

2″ ' |Г ((т.р + 1)/2) } '.

ПГ V Н' / где Г (а) — гамма-функция Эйлера, а 7П (-) ~~ любой из п-поперечников (16)-(20). Условию (23) удовлетворяет, например, функция.

7 Г ф**й = где, а := тг/ /^т — j.

Четвертый параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников (16)-(20) классов аналитических в круге радиуса В > 1 и построению наилучших линейных методов приближения для класса И^(1<�р<�оо, Д>1).

Предварительно введем некоторые определения и обозначения, касающиеся этого параграфа. Пусть А (11л) — множество аналитических в круге Не = {г? С: г < Я}, (С/х := и) радиуса В > 1 функций. Для произвольной функции / 6 А{и^) при р? (О, В) полагаем.

Мр{1, Р) й~.

2тг 1/Р если 1 < р < ОО, гпах {|/(рег*)|: Е [0, 27г]}, если р = оо. Символом Нрд, 1 < р < оо, Л > 1 обозначим банахово пространство Харди, состоящее из функций / е А (С/д), для которых конечна норма яр, л = рНтоМр (/, р).

Через Ьр = Ьр (и) обозначим множество функций / Е /7, имеющих конечную норму.

— 12. 1/Р.

11/1к = о-// = -// р|/(ре")|^, (У) У V 0 о / где интеграл понимается в смысле Лебега.

Пусть 7(|г|) — некоторая неотрицательная измеримая в и функция. йе /.

Через Ьр)7 = Ьр (и, 7), 1 < р < оо обозначим множество комплекснозначных в и функций /, для которых 7Х/р • / е Ьр (17) и Ц/Ц^ = ||71/рЛирПод Врл *= Вр (и, 7), 1 < р < оо понимаем банахово пространство функций /? таких, что / € При этом.

ВРП.

1 I/ Р7 {р)Щи, р)(1р

Определенный интерес представляет вычисление вышеперечисленных п-поперечников (16)-(20) классов И^д, Л > 1, 1 < р < оо, т 6 N в пространствах Вр)7 и Конкретизируем экстремальные подпространства 1 и наилучший линейный метод приближения Л*, полагая л ^ П=1 а*. ь. с/е/ п.

М-Го1,.

3= о 3=ГП.

771 — 1 гг-1 ь- ^ {/ Е врл: /<*>(0) = о, А- = 0¹}, аз, т.

2п-з, т V).

3=т).

2 (п-Я Тп = 1рп{г): Рп{г) =? «аД При получении основного результата понадобится следующая лемма, которая представляет и самостоятельный интерес.

Лемма. Для любого полинома рп (г) Е ВРП, 1 < р < ооу которого производная р^ (г) Е 1 < р < оо при любом п > г и Я > 1, справедливо неравенство.

Лнр, п < Яп~г ¦ <*пг • \Рп\вр". (24).

Неравенство (24) является точным в том смысле, что существует полином цп (г) Е Тп, для которого оно обращается в равенство.

Теорема 2.4.1. Пусть В, > 1, 1 < р < оо, г Е N. Тогда имеют место п равенства.

Ъп (УУр){] Врл) = Ъп (уГрд] Ьрл) = г). ^{У/^ЪВрл) = с1п{У/^ ЬРЛ) = ^(И^- Ьрл) = г).

А"*) = Ь*п)Ьрп = Ь*п)Ьр" =.

Лг). г) оо, яг~п а.

ВТ пг —п р^ЧШР і /р, а п < г п > г, 1 < р < оо, п > г, р = оо. пг.

Дри этом:

1) в случае п-поперечников (іп{у/рд Ьрл) и ^піУ^р^ю подпространство Ь*п является экстремальным для класса И^д в пространстве Ьра;

2) линейный непрерывный оператор Л*.! является наилучшим для класса г) д линейным методом приближения в пространстве.

3) подпространство VI будет экстремальным для п-поперечника.

4) подпространство Ьп+і = Тп является экстремальным для Врл).

Теорема 2.4.2. При выполнении условий теоремы 2.4.1 имеет место следующее равенство зир{К (/)|:/Є<>} = ІГ" «где п > гп, г Є МЯ > 1, 1 < р < оо. а пг.

ГЛАВА І.

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА.

1. Айнуллоев H., Тайков J1.B. Наилучшие приближения в смысле А. Н. Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Матем. заметки, 1986, т.40- № 3, с.341−351.

2. Бабенко К. И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР, 1958, т.22, № 5, с.631−640.

3. Белый В. И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр.мат.журнал, 1967, т. 19, № 2, с.104−108.

4. Bergman S. The cernel function and conformai mapping // Math. surveys, N.Y.: Amer.Math.Society., 1950, 163 pp.

5. Вакарчук С. Б. О неравенствах типа Колмогорова для некоторых банаховых пространств аналитических функций. В сб. «Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии». Киев, 1988, с.4−7.

6. Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Укр.мат.журнал, 1989, т.41, № 26, с.799−802.

7. Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр.мат.журнал, 1990, т.42, № 7, с.873−881.

8. Вакарчук С. Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем. заметки, 1995, т.57, № 1, с.30−39.

9. Вакарчук С. Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций / / Матем. заметки, 1999, т.65, № 2, с.186−193.

10. Вакарчук С. Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки, 2002, т.72, № 5, с.665−669.

11. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости // Укр.мат.журн., 2004, т.56, № 9, с.1155−1171.

12. Вакарчук С. Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из Ь2 // Матем. заметки, 2005, т.78, № 5, с.792−796.

13. Vakarchuk S.B., Zabutna V.l. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East Journal on Approximation. Bulgarian Academy of Sciences: Sofia, 2008, v. 14, № 4, p.29−39.

14. Гварадзе М. И. О пространствах B (p, д, Л) аналитических функций // Сообщ. АН ГССР, 1975, т.77, № 2, с.273−276.

15. Гварадзе М. И. Об одном классе пространств аналитических функций // Матем. заметки, 1977, т.21, № 2, с.141−150.

16. Двейрин М. З. Поперечники и е-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып.23. Изд-во Харьк. ун-та, 1975, с.32−46.

17. Двейрин М. З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория приближения функций М.: Наука, 1977, с.129−132.

18. Двейрин М. З., Чебаненко И. В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка, 1983, с.62−73.

19. Джурахонов O.A. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, № 10, с.759−764.

20. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М: Наука, 1977, 151 с.

21. Duren P.L., Shields A.L. Properties of Hp, 0 < p < 1 and its containing Banach space // Frans.Amer.Math., 1969, 141, July, p.255−262.

22. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals of Hp spaces with 0 < p < 1 // I. reine und angew fur Math., 1969, 238, p.32−60.

23. Корнейчук H.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976, 320 с.

24. Корнейчук Н. П., Лигун A.A., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями Киев: Наукова думка, 1982, 252 с.

25. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения М.: Наука, 1987, 424 с.

26. Корнейчук Н. П. О наилучшем равномерном приближении дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1961, т.141, с.304−307.

27. Лангаршоев М. Р. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана Вч // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, № 2, с.63−69.

28. Лангаршоев М. Р. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2005, т.48, № 3−4, с.12−17.

29. Лангаршоев М. Р. О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №, с.798−802.

30. Лангаршоев М. Р., Саидусайнов М. С. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.50, № 8, с.653−659.

31. Лангаршоев М. Р., Саидусайнов М. С. Поперечники некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, № 3, с.165−171.

32. Pinkus А. п-width in approximation theory Berlin: Springer — Verlag., 1985.

33. Руновский K.B. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах 0 < р < 1 // Матем. сборник, 1994, т.185, № 8, с.81−102.

34. Саидусайнов М. С. Наилучшее полиномиальное приближение и значения поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, № 9, с.661−668.

35. Саидусайнов М. С. О точных значениях n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, № 6, с.420−423.

36. Саидусайнов М. С. Значения n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана / / Изв. АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.п., 2010, № 2(139), с.18−21.

37. Смирнов В. И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функции комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964, 438 с.

38. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова думка, 1981, 324 с.

39. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки, 1967, № 1, вып.2, с.137−148.

40. Стороженко Э. А., Кропов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах LP, 0 < р < 1 // Матем. сборник, 1975, т.98, № 140, с.395−415.

41. Тайков JI.B. О наилучших линейных методах приближения функций классов Вг и Нг // Усп.мат.наук, 1963, т.18, Ш, с.183−189.

42. Тайков JI.B. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки, 1967, т.1, № 2, с.155−162.

43. Тайков JI.B. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Матем. заметки, 1968, Ne4, вып.2, с.233−238.

44. Тайков JI.B. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77−85.

45. Тайков JI.B. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Z/2 // Матем. заметки, 1976, т.20, № 3, с.433−438.

46. Тайков JI.B. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки, 1977, т.22, № 2, с.285−295.

47. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Усп.мат.наук, 1960, т. 15, вып.З., с.81−120.

48. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М.:МГУ, 1976, 324 с.

49. Тихомиров В. М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фундам. направления / ВИНТИ, 1987, т.11, с.103−260.

50. Фарков Ю. А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Сп, Усп.мат.наук, 1990, т.45, № 25, с.197−198.

51. Fisher S.D., Micchelli С.A. Duke Math Journal, 1980, V.47, № 4, р.789−801.

52. Fisher S.D., Stessin M.J. The n-width of the unit ball of Hq, J.Approxim.Theory, 1991, V.67, 3, p.347−356.

53. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е и Полиа Г. Неравенства. М., 1948, 456 с.

54. Hardy G.H. The mean value of the modulus of an analytic function. Proc. London Math Soc., 1915, 14, p.32−60.

55. Hardy G.H., Littlewood I.E. Some properties of fractional integrals II // Math. Z., 1931, 34, № 3, p. 403−439.

56. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций // ДАН Республики Таджикистан, 1997, т.40, № 9−10, с.54−61.

57. Шабозов М. Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Республики Таджикистан, 1998, т.41, № 9, с.48−53.

58. Шабозов М. Ш. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // Вестник ХоГУ, 1999, № 1, серия 1, с.35−44.

59. Шабозов М. Ш., Пиров Х. Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 1999, т.42, № 4, с.19−24.

60. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Матем. заметки, 2000, т.68, № 5, с.796−800.

61. Шабозов М. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // ДАН России, 2002, т.383, № 2, с. 171 174.

62. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН России, 2002, т.382, № 6, с.747−749.

63. Шабозов М. Ш., Пиров Х. Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Нр: 1 < р < 2 // ДАН России, 2004, т. 394, № 4, с.19−24.

64. Шабозов М. Ш, Шабозов О. Ш. О наилучшем приближение и точные значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо // ДАН России, 2006, т.410, № 4, с.461−464.

65. Шабозов М. Ш., Джурахонов O.A. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, № 9, с.787−797.

66. Шабозов М. Ш., Саидусайнов М. С. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №, с.14−19.

67. Шабозов М. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, № 3, с.205−211.

68. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. О наилучшем приближение некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана // ДАН России, 2007, т.412, № 4, с.466−469.

69. Шабозов М. Ш., Мамадов Р. О наилучшем полиномиальном приближении целых функций в весовых пространствах Бергмана Д^, l.

70. Шабозов М. Ш. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в весовом пространстве Бергмана / / ДАН Республики. Таджикистан, 2008, т.51, № 5, с.323−330..

71. Шабозов М. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, № 8, с.564−572..

72. Шабозов М. Ш., Саидусайнов М. С. О поперечниках классов аналитических в круге функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, № 2, с.85−92..

73. Шабозов М. Ш., Лангаршоев М. Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана / / Изв АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.н., 2009, № 3(136), с.7−23..

74. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Изв АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.н., 2009, № 4(137), с.7−17..

75. Шабозов М. Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве Х20, 27 г. // Матем. заметки, 2010, т.87, вып.4, с.616−623..

76. Юсупов Г. А. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов аналитических функций / / ДАН Республики Таджикистан, 2000, т. ХЫН, № 4, с.12−15..

77. Юсупов Г. А. Наилучшие полиномиальные приближения в протранстве ?2(0, 27 г. и точные значения п-поперечников // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, № 11, с.803−809..

78. Юсупов Г. А. О наилучшем линейном методе приближения аналитических в круге функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, № 3, с.172−179.с.88−89..