Дифференциальные уравнения Каратеодори

Уравнение Каратеодори — обыкновенное дифференциальное уравнение:

в котором правая часть (т.е. компоненты вектор-функцииf) удовлетворяет не классическому условию, обеспечивающему существование и единствен-ностьрешения с заданным начальным значением (непрерывность по совокупности аргументов иусловие Липшицапоx), а некоторому существенно более слабому условию, называемомуусловием Каратеодори:

• вектор-функцияfопределена и непрерывна поxдляпочти всех (в смыслемеры Лебега) tв областиDпространства (t, x).

• вектор-функцияfизмеримапоtдля каждогоxв областиD.

• для каждого ограниченного интервала осиtв областиDвыполняется неравенство гдеm (t) — суммируемая (т.е.интегрируемая по Лебегу) функция.

Решениемуравнения Каратеодори (*) с начальным условиемx (t0)=x0называется измеримая вектор-функцияx (t), удовлетворяющая интегральному уравнению:

Уравнения Каратеодори находят применения в различных областях математики. Кроме того, они обладают многими свойствами, присущим классическим уравнениям с непрерывной правой частью.

В представленной работе дается оценка точности приближения реше-ний дифференциального уравнения типа Каратеодори с начальным условием с помощьюдискретной схемы, построенной на основании интегрального метода

Эйлера.

…