О функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения

Исследование аналитического продолжения непрерывных функций /, заданных на границе ограниченной области D в многомерном комплексном пространстве, со свойством одномерного голоморфного продолжения является одной из актуальных задач теории функций многих комплексных переменных. На комплексной плоскости С результаты о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тривиальны, поэтому результаты существенно многомерны.

Начало данных исследований было положено в работе М. J1. Аграновского и Р. Е. Вальского 1971 г. в [1], изучившими функции с одномерным свойством голоморфного продолжения в шаре. Они показали, что если непрерывная функция, заданная на границе шара, обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых, пересекающих шар, то она голоморфно продолжается во внутренность шара как функция многих комплексных переменных. Доказательство основывалось на свойствах группы автоморфизмов шара.

В 1977 г. Э. J1. Стаутом в [33], использовавшим комплексное преобразование Радона, теорема Аграновского и Вальского была перенесена на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Альтернативное доказательство теоремы Стаута получено А. М. Кытмановым в [3], [12], применившим интеграл Бохнера — Мартинелли. Идея использования интегральных представлений (Бохнера — Мартинелли, Коши — Фантаппье, логарифмического вычета) оказалась полезной при изучении функций с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых [16], [31]. Обзор результатов, относящихся к данной теме, можно найти в [32].

После работы [33] Э. Л. Стаута, встал вопрос о нахождении классов комплексных прямых ?, достаточных для голоморфного продолжения. Более узкое семейство комплексных прямых, достаточное для голоморфного продолжения, было рассмотрено М. J1. Аграновским и А. М. Семеновым [2]. Оно состоит из множества 2, у комплексных прямых, пересекающих некоторое открытое множество V из В. Аналогичное утверждение справедливо, если множество V лежит вне замыкания ?).

Вопрос о нахождении других различных семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения, был поставлен в [30]. Ясно, что семейство комплексных прямых, проходящих через одну точку, не является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций. Более того, как показано в работе [14], семейство всех комплексных прямых, проходящих через любое конечное число точек, лежащих на комплексной гиперплоскости, также, вообще говоря, не является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.

В работе [14] А. М. Кытманова и С. Г. Мысливец рассмотрено множество £р всех комплексных прямых, проходящих через росток порождающего многообразия Г, лежащий вне замыкания области Б. Они показали, что данное множество комплексных прямых является достаточным для того, чтобы непрерывная функция /, заданная на границе ограниченной области Б С С&tradeсо связной гладкой границей и обладающая свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль прямых из £г, голоморфно продолжалась в ?) как функция многих комплексных переменных. Как показано теми же авторами в работе [15], утверждение остается верным (для некоторых классов областей) в случае, если росток порождающего многообразия Г лежит в области ?>.

Семейства комплексных прямых, проходящих через конечное число точек, было рассмотрено в работах [25], [26]. В работе [25] М. Л. Аграновского рассмотрены семейства комплексных прямых, проходящих через две различные точки, лежащие в замыкании шара. Показано, что данное семейство является достаточным для голоморфного продолжения вещественно — аналитических функций, заданных на границе шара. В работе [26] Л. Баракко рассмотрено семейство комплексных прямых, проходящих через граничную точку комплексного шара. Им было показано, что данное семейство комплексных прямых является достаточным для голоморфного продолжения вещественноаналитических функций с границы шара. В работе [13] А. М. Кытманов и С. Г. Мысливец рассмотрели семейство комплексных прямых, проходящих через конечное число точек в шаре, не лежащих на комплексной гиперплоскости в С". Показывается, что данное семейство является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций с границы шара. Различные другие семейства комплексных прямых изучались Глобев-ником и приведены в работе [29].

Таким образом, в работах Р. Е. Вальского, Э. Л. Стаута, Дж. Глобевника, А. М. Семенова, М. Л. Аграновского, Д. Говекар, А. М. Кытманова, С. Г. Мысливец, Л. Барак-ко (1990;2012 г. г.) исследованы различные семейства? комплексных прямых и других классов областей, достаточные для голоморфного продолжения функций из различных классов. Тем не менее вопрос о нахождении других достаточных семейств комплексных прямых остается актуальной задачей многомерного комплексного анализа.

Цель диссертации.

Целью диссертационной работы является исследование функций с одномерным свойством голоморфного продолжения и нахождение семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций из различных классов с границы ограниченных областей в многомерном комплексном пространстве.

Методика исследования.

В основу исследования положены методы многомерного комплексного анализа, а также теоремы и приемы классического вещественного анализа. Одним из подходов к исследованию можно выделить идею использования интегрального представления Бохнера-Мартинелли и его граничных свойств.

Научная новизна.

Основные результаты работы являются новыми, представляют научный интерес и состоят в следующем.

1. Получен граничный аналог теоремы Форелли для вещественно — аналитических функций.

2. Доказан аналог теоремы Лиувилля для решений уравнения Гельмгольца.

3. Показано, что семейство комплексных прямых, проходящих через росток комплексной гиперповерхности, является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Теоретическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, в исследовании граничных свойств голоморфных функций многих комплексных переменных, вопросов аналитического продолжения функций, в исследовании уравнения Гельмгольца.

Практическое применение полученных результатов состоит в их включении в учебные программы специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Степень достоверности и апробация работы.

Все утверждения диссертации снабжены строгими математическими доказательствами.

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях: международной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий» (Красноярск, Россия, 2008) — региональных студенческих конференциях по математике (Красноярск, Россия, 2009, 2010) — международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных» (Красноярск, Россия, 2009) — международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, Россия, 2009) — международных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, Россия, 2010, 2012) — молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 2010) — международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, 2011) — международной школе — конференции по геометрии и анализу (Кемерово, Россия, 2011) — VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, Россия, 2011) — IV российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, Россия, 2012);

Результаты работы неоднократно докладывались на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2008;2013 г. г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34−53], из них 3 работы [34−36] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 11 публикаций [37−47] в материалах конференций, 6 публикаций [48−53] являются тезисами конференций.

Личный вклад автора.

Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В соавторстве выполнены две работы [34, 35]. В работе [35] вклады авторов равнозначны. Из работы [34] взяты результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 53 наименований, содержит 1 рисунок. Общее число страниц диссертационной работы — 109.

Заключение

.

Основными результатами диссертационной работы являются следующие утверждения.

1. Получен граничный аналог теоремы Форелли для вещественно — аналитических функций, т. е. показано, что всякая вещественно — аналитическая функция /, заданная на границе ограниченной строго выпуклой области Б в многомерном комплексном пространстве и обладающая свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль семейства комплексных прямых, проходящих через некоторую граничную точку и пересекающих область Б, голоморфно продолжается в Б как функция многих комплексных переменных.

2. Доказан аналог теоремы Лиувилля для решений уравнения Гельмгольца, заключающийся в том, что функция, удовлетворяющая уравнению Гельмгольца (с отрицательным параметром) в верхнем полупространстве, имеющая там рост не выше, чем степенной, и равная нулю на гиперплоскости есть тождественный ноль во всем пространстве.

3. Показано, что семейство комплексных прямых, проходящих через росток комплексной гиперповерхности, является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.