Золотое сечение

Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Таблица 1.

Ряд чисел Фибоначчи Месяцы 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 и т. д. Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т. д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д. известен как ряд Фибоначчи.

Ряд Фибоначчи — это числовая последовательность, в которой в неявном виде содержится золотая пропорция. Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 … называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи. В данной числовой последовательности каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.

Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Особенность последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение — 0,618: 0,382 — дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Таким образом, при делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.

61 803 398 875… и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция.

Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и отношение вертящихся квадратов. Kеплеp назвал это соотношение одним из сокровищ геометрии. В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой «фи».

Ф = 1.618.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает десятую проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16… на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, во втором — это сумма двух предыдущих чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2… Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого — единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS (n), то получим общую формулу φS (n) = φS (n — 1) + φS (n — S — 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 — ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 — xS — 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 -знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э. М. Сороко в книге «Структурная гармония систем». Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезе о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики — новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения — числа рациональные. И лишь позже — после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков — на свет появились иррациональные числа.

Например, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа — 10, 5, 2, — из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной — а не бесконечной, как думали ранее — суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

Как видим, проблема золотого сечения активно изучалось не только в плане эстетики, не только, как некий критерий красоты, но и в области математики. В математике золотое сечение нашло свое отображение в числовом ряду Фибоначчи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Итак, в данной работе мы попытались решить те задачи, которые были определены во введении.

Прежде всего, мы установили, что проблема золотого сечения волновала как ученых, так и людей, занимающихся творчеством, на протяжении многих сотен лет. Интерес к данной проблеме то угасал, то возникал с новой силой. В результате к настоящему времени накоплен достаточно обширный материал, раскрывающий различные аспекты проблемы золотого сечения.

Наблюдения и анализ изученной литературы показывают, что с эстетической точки зрения золотое сечение имеет определенные достоинства. Это подтверждается и экспериментом, который был проведен в конце прошлого века: из десяти прямоугольников, среди которых был и «золотой» (со сторонами, отношение длин которых давало золотое сечение), испытуемый должен был выбрать один. И вот, около 22% общего числа испытуемых выбрало именно «золотой прямоугольник». Нельзя обойти молчанием и то, что книги, почтовые открытки, бумажники, шоколадные плитки и множество других предметов имеют форму золотого прямоугольника. Отметим также, что если от «золотого» прямоугольника отрезать квадрат или к большей стороне «золотого» прямоугольника пристроить квадрат, то получится снова «золотой» прямоугольник.

Оно отчётливо просматривается в архитектурном решении Парфенона, храма Вознесения в Коломенском, Покрова на Нерли, в композиции музыкальных произведений, при организации частотных соотношений в благозвучных аккордах, кульминация мелодии также часто приходятся на точку золотого сечения ее общей продолжительности и т. д.

Астроном К. П. Бутусов отмечает, что соотношение периодов обращения соседних планет в Солнечной системе, частоты их обращений и разности этих частот также построены на основе золотого сечения.

Таким образом, эта эстетическая закономерность имеет естественную материальную основу, и везде, где присутствует данная пропорция, она сообщает гармонию целому и приятна глазу, ибо лежит в самой основе структурирования природы.

Золотое сечение обнаруживается не только в ряде предметов, но и в пропорциях человеческого тела. Так, Т. Кун в книге «Кривые жизни» при анализе картины Боттичелли «Рождение Венеры» находит многократное использование принципа «золотого сечения» при построении тела Венеры. Немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг также рассматривал его проявления в строении тела человека.

Золотое сечение рассматривалось и рассматривается как критерий красоты. Однако, важно отметить, что это не единственный критерий.

Возможно, что золотое сечение есть частный случай ритма, который, в свою очередь, придает или сообщает правильность и регулярность функционированию самых разных объектов, будучи законом в способе организации также живых существ и их бытия. Очевидно, в этом один из секретов положительного восприятия «золотого сечения», когда осуществляется возврат к одной и той же пропорции в рамках одного предмета, одного объема, одного целого; ощущение и новизны, и узнаваемости возникает в законченности и сгущенности переживания ритма. Этот ритм внутреннего движения делает золотое сечение похожим на своеобразную рифму в поэзии.

И, наконец, в работе мы обратили внимание на особенности выражения золотого сечения в математике. В частности, золотое сечение отражено в числовых рядах Фибоначчи. Кроме того, золотое сечение проявляется во многих геометрических фигурах.

Библиография.

Аристотель. Сочинения в 4-х тт.: Т.

1. — М.: Мысль, 1976.

БСЭ. — М.: Государственное научное издание «Большая советская энциклопедия», 1955. — Т. 17.

Бендукидзе А. Д. Золотое сечение//Квант. — 1973. — № 8.

Б.Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. — М.: Физматгиз, 1959.

Борев, Ю. Б. Эстетика. — М.: Высш. шк., 2002.

Борисов П.А. 1000 известных имен. — Воронеж, 2001.

Винкельман И. И. История искусств древности. — Л., 1933.

Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — М.: Наука, 1969.

Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1983.

Киященко Н. И. Современные концепции эстетического воспитания. — М.: Искусство, 1998.

Кривцун О. А. Эстетика. — М.: Аспект Пресс, 2000.

Лукьянов А. В. Идея метакритики «чистой» любви (Философское введение в проблему соотношения диалектики и метафизики). — Уфа: Изд-е Башкирского ун-та, 2001.

Платон. Собрание сочинений в 4-х тт.: Т.

3. — М.: Мысль, 1994.

Современные концепции эстетического воспитания/Под ред. Л. П. Печко. — М.: АСТ, 1998.

Теория эстетического воспитания /Отв. ред. Киященко Н. И., Лейзеров Н. Л. — М.: Высш. шк., 1979.

Тимердинг Г. Золотое сечение. — Л.: Знание, 1974.

Шевелев И.Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. П Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. М, 1990.

БСЭ. — М.: Государственное научное издание «Большая советская энциклопедия», 1955. — Т. 17, с. 157.

Бендукидзе А. Д. Золотое сечение//Квант. — 1973. — № 8. — С. 24 — 25.

Бендукидзе А. Д. Золотое сечение//Квант. — 1973. — № 8. — С. 23.

Б.Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. — М.: Физматгиз, 1959, с. 139.

Борисов П.А. 1000 известных имен. — Воронеж, 2001, с. 306.

Тимердинг Г. Золотое сечение. — Л.: Знание, 1924, с. 28.

Современные концепции эстетического воспитания/Под ред. Л. П. Печко. — М.: АСТ, 1998. — с. 207.

Современные концепции эстетического воспитания/Под ред. Л. П. Печко. — М.: АСТ, 1998. — с. 211.

Киященко Н. И. Современные концепции эстетического воспитания. — М.: Искусство, 1998, с. 475.

Платон. Собрание сочинений в 4-х тт.: Т.

3. — М.: Мысль, 1994, с. 104.

Аристотель. Сочинения в 4-х тт.: Т.

1. — М.: Мысль, 1976, с. 249.

Борев, Ю. Б. Эстетика. — М.: Высш. шк., 2002, с. 44.

Винкельман И. И. История искусств древности. — Л., 1933.

Кривцун О. А. Эстетика. — М.: Аспект Пресс, 2000, с. 14.

Теория эстетического воспитания /Отв. ред. Киященко Н. И., Лейзеров Н. Л. — М.: Высш. шк., 1979, с. 118.

БСЭ. — М.: Государственное научное издание «Большая советская энциклопедия», 1955. — Т. 17, с. 157.

Бендукидзе А. Д. Золотое сечение//Квант. — 1973. — № 8. — С. 22.

Лукьянов А. В. Идея метакритики «чистой» любви (Философское введение в проблему соотношения диалектики и метафизики). — Уфа: Изд-е Башкирского ун-та, 2001, с. 91.

Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — М.: Наука, 1969, с. 8.

Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1983, с. 19.

Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1983, с. 22.