Системы сдвигов и экспонент как бесселевы последовательности и фреймы

Актуальность работы. Наряду с методами классического гармонического анализа в последние десятилетия большое внимание стало уделяться негармоническому анализу, в котором информация (сигналы) представляются в виде рядов по неортогональным или линейно зависимым (избыточным) системам. Такие представления имеют ряд преимуществ: неограниченный объем, возможности выбора оптимальных представлений по разным критериям и т. д. Например, широко используются фреймовые представления для удаления шумов, использующие нетривиальность ядра оператора синтеза.

Понятие фрейма впервые было введено в 1952 году Даффином и Шеффе-ром [47], в связи с изучением негармонических рядов Фурье. Следует отметить, что ранее в работах Бари, Наймарка [32] была развита теория фреймов. В последние годы фреймы получили широкое распространение в различных научных направлениях. В квантовой механике фреймы помогают представлять когерентные состояния. Цифровая обработка сигналов использует фреймы для борьбы с шумами. В общем, фреймы — это «избыточное» множество векторов в гильбертовом пространстве, для которого сохраняется ослабленное равенство Парсеваля-Стеклова. Именно свойство избыточности обеспечивает в цифровой обработке сигналов устойчивость к потерям информации. Базисы Рисса являются фреймами, но образуют лишь малую часть во множестве фреймов. Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости. что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Общая теория фреймов подробно описывается в работах О. Christensen [45]. И. Добеши [18], К. Блаттера [3]. Ряд прикладных задач потребовал изучения фреймов специального вида, таких как фреймы, полученные сдвигами одного элемента гильбертова пространства, а также фреймы комплексных экспонент. Естественной является задача сравнения критериев базисности Рисса и фреймовое&tradeразличных систем, таких как системы сдвигов, системы комплексных экспонент, весовых экспонент. Для того, чтобы применять фреймы, скажем, в цифровой обработке сигналов, желательно, чтобы элементы фрейма обладали похожей структурой, иными словами, являлись когерентными. В этом смысле, целесообразно строить и изучать фреймы, которые получаются из одного элемента некоторого гильбертова пространства при помощи оператора сдвига. Данной задаче посвящены работы О. СИи^епвеп, СНеувИ А. 53], Терехина П. А. [37]. Базисные свойства систем экспонент {егХпХ}п^ изучались на протяжении многих десятилетий и являлись объектами исследований таких выдающихся математиков, как Н. Винер и Р. Пэли [5], Даффин, Шеффер, М. И Кадец [20], А. Ф. Леонтьев [30], А. М Седлецкий [36] и др. В диссертации получены некоторые аналоги этих результатов при замене свойств базисности Рисса на свойства бесселевости и фреймовости соответствующих систем.

Цель работы. Построение фреймов из сдвигов вектора в конечномерном пространстве над полем вещественных чиселнахождение критерия бесселевости системы векторов, построенной из сдвигов вектора в конечномерном пространствеисследование систем весовых экспонент в конечномерном пространстве над полем комплексных чиселнахождение необходимых и достаточных условий на вес, для того, чтобы система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву системуопределение фрейма для конечномерного пространства над полем радических чисел и доказательство основных теорем о фреймовом представление, построение фреймов в пространстве над полем радических чиселисследование систем, образованных с помощью целых и произвольных сдвигов функции в пространстве Ь2 (М), построение фреймовой последовательностинахождение критериев фреймовости систем экспонент {егХпХ}пе1, весовых экспонент {д (х) егХпХ}п€ 1 в пространстве Ь2 (—7г, 7г) — исследование устойчивости фреймов.

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы комплексного анализа и преобразования Фурье.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.

1. Найдены необходимые и достаточные условия фреймовости и бесселе-вости системы весовых экспонент в конечномерном пространстве.

2. Введено определение фрейма в Д^-мерном пространстве над полем р-адических чисел, построены фреймы Парсеваля-Стеклова и исследованы свойства соответствующих фреймам операторов.

3. Найдены критерии фреймовости и бесселевости системы сдвигов функции в пространстве Ь2 (М).

4. Найдены необходимые условия на последовательность вещественных чисел {Лп}пе%, чтобы соответствующая система экспонент образовывала фрейм, являлась бесселевой.

5. Получены условия на весовую функцию, для того, чтобы соответствующая система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву последовательность.

6. Введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {п}п?%, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент {егХпХ}п?%, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел Ап. Доказано, что переход от базисов Рисса к фреймам не увеличивает радиус притяжения, что является обобщением классической теоремы Кадеца об.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации могут быть использованы для дальнейшего изучения фреймов сдвигов и экспонент, а также найти применение в частотно-временном анализе.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университетана семинарах кафедры Математических моделей и информационных технологий Самарской академии государственного и муниципального управленияна международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы «в г. Воронеж (2009, 2011) — на международной Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2010, 2012) — на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» в г. Самара (2010) — на 2-ой всероссийской научно-практической конференции «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы «в г. Самара (2010) — на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань (2011);

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [7] —[16], [25] — [27]. Статьи [12], [16] и [27] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации 120 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.

1. Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях / Н.И. Ахие-зер. — X.: Вища школа, 1984. 121 с.

2. Бабенко К. И., О сопряженных функциях/ К. И. Бабенко. Доклады академии наук СССР, в.62, № 2, 1948. С. 157−160.

3. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — М.: Техносфера, 2004. 280 с.

4. Голубов Б. И. Об аппроксимации свертками и базисах из сдвигов функций / Б. И. Голубов // Analysis Mathematica. — 2008. — № 34. — С. 9−28.

5. Голубева Е. С. Определение фреймов в N-мерном р-адическом пространстве. / Е. С. Голубева // Тезисы докладов 35 Самарской областной студенческой научной конференции. — Из-во Артель —2009. — С. 140−141.

6. Голубева Е. С. Конструкция фреймов в пространстве Q^. / Е. С. Голубева // Материалы докладов Саратовской зимней математической школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». — Из-во Саратовского университета —2010. — С. 57.

7. Голубева Е. С. Конструкция фреймов над полем р-адических чисел. Фреймовый оператор. / Е. С. Голубева // Вестник Самарского муниципального института управления. — вып.2(13). — Из-во: Самарский муниципальный институт управления —2010. — С. 88−93.

8. Голубева Е. С. Бесселевы системы экспонент {егХпХ}п?% в пространстве Ь2—тт, 7г]. / Е. С. Голубева // Материалы десятой международной Казанской летней научной школы-конференции. — Из-во: —2011. — С. 94−96.

9. Голубева Е. С. Фреймы экспонент со степенным весом / Е. С. Голубева // Вестник Самарского государственного университета .Сер. Естественнонаучная. 2011. — № 2(83) — С. 15−26.

10. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт // Наука. 1973. 228 с.

11. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — М.-Ижевск: РХД, 2004. 464 с.

12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды/ А. Зигмунд, М: Мир — 1965. — 530 с.

13. Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея-Винера / М. И. Кадец // Доклады Академии наук СССР 1964, -вып. 155(6) -С. 1253−1254.

14. Каток С. Б. р-адический анализ в сравнении с вещественным / С. Б. Каток — М.: МЦНМО, 2004. 112с.

15. Кацнельсон В. Э. Обобщение теоремы Винера-Палея о представлении целых функций конечной степени/ В. Э. Кацнельсон // Теория функций, функц. анализ и их прилож. 1965. N® 1. С. 99−110.

16. Кашин B.C. Замечание об описании фреймов общего вида / B.C. Кашин, Т. Ю. Куликова // Матем. заметки. 2002. — Т. 72, вып. 6. — С. 941−945.

17. Кашин Б. С. Ортогональные ряды / B.C. Кашин, A.A. Саакян, Москва АФЦ, 1999. 560 с.

18. Климова Е. С. Системы сдвигов функции. / Е. С. Климова // Материалы Саратовской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». — Из-во:Научная книга —2012. — С. 85.

19. Климова Е. С., Новиков С. Я. Теорема Кадеца об и фреймы. / Е. С. Климова, С. Я. Новиков // Материалы Саратовской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». — Из-во:Научная книга —2012. — С. 86.

20. Климова Е. С. Система сдвигов функции / Е. С. Климова // Вестник Самарского государственного университета .Сер. Естественнонаучная. — 2011. № 8(89) — С. 37−45.

21. Козырев С. В. Методы и приложения ультраметрического и р-адического анализа: от теории всплесков до биофизики. / С. В Козырев. Современные проблемы математики вып. 12/Математический институт им. В. А. Стеклова Москва, 2008.С. 3−168.

22. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

23. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев — М. :Наука, 1976. — 536 с.

24. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М.: Мир, 2005. — 671 с.

25. Наймарк М. А. Спектральные функции симметрического оператора / М. А. Наймарк // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1940. — Т. 4, № 3. — С. 277−318.

26. Новиков С. Я. Бесселевы последовательности как проекции ортогональных систем / С. Я. Новиков // Математические заметки. — 2007. — Т. 81, вып. 6. С. 893−903.

27. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт — пер. с англ. Д. С. Лебедев. М. Мир, 1982.

28. Садовничий В. А. Теория операторов: учеб. для вузов с углубленным изучением математики / В. А. Садовничий. — М: Дрофа, 2004. — 384 с.

29. Седлецкий A.M. Аппроксимация свертками и первообразными / A.M. Седлецкий // Математические заметки. — 2006. — Т. 79, вып. 5. — С. 756−766.

30. Терехин П. А. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представление по элементам системы сжатий и сдвигов / П. А. Терехин // Известия вузов. Сер. Математика. —1999 — № 8(447). — С.74−81.

31. Терехин П. А. Базисы Рисса, порожденные сжатиями и сдвигами функции на отрезке / П. А. Трехин // Математические заметки. — 2002. — Т.72, вып. 4. С. 547−560.

32. Терехин П. А. Системы представления и проекции базисов / П. А. Терехин // Математические заметки. — 2004. — Т. 75, вып. 6. — С. 944−947.

33. Терехин П. А. Проекционные характеристики бесселевых систем / П. А. Терехин // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. — № 9:1. — С. 44−51.

34. Фейзер М.

Введение

в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фейзер. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 487 с.

35. Чуй К.

Введение

в вейвлеты / К. Чуй. — М.: Мир, 2001.

36. Casazza P.G. The art of frame theory / P.G. Casazza // Taiwanese Journal on Mathematics. 2000. -Vol. 4, № 2. — P. 129−202.

37. Casazza P.G. Density results for frames of exponentials // P.G. Casazza, O. Christensen, S. Li, A. Lindner // Harmonic Analysis and Applications in honor of John Benedetto, C. Heil Ed., — BIrkhauser — 2006 — p.359−370.

38. Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. — Boston: Birkhauser, 2002.

39. R.J.Duffin, J.J.Eachus Some Notes on an Expansion Theorem of Paley and Wiener // Bull.Amer.Math.Soc. V.48. — 1942. — 850−855.

40. Duffin R.J. A class of nonharmonic Fourier serues / R.J. Duffin, A.C. Schaeffer // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. — Vol. 72. — R 341 366.

41. C. Heil and Gitta Kutyniok, Density of frames and Shauder bases of windowed exponentials, Houston Jornal of Mathematics, vol .34, No.2, 2008.

42. Kovacevic J. An Introduction to frames / J. Kovacevic, A. Chebira // Foundations and trends in signal processing. — 2008. — Vol. 2, № 1. — P. 1−94.

43. Landau H.J. Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions// Acta Math. —Vol. 117, — 1967, — p.37−52.

44. Levinson N. On non-harmonic Fourier series // Annals of Math. —Vol. 37, — No. 4, 1936, — p. 919−936.

45. Odell E. Systems formed by translates of one element in Lp (M) // E. Odell, B. Sari, Th. Schlumprecht, B. Zheng//http://www.arxiv.org/abs/0906.1162vl.

46. Olevski A. Completness in L2 (M) of almost integer translates // C.R.Acad.Sci.Paris Ser. I Math. -Vol. 324, 1997, — p. 987−991.

47. Seip K. On the connection between exponential bases and certain related sequences in L2(-tt, tt). //Funct.Anal. Vol.130, — 1995, -p. 131−160.

48. V.M. Shelkovich and M. Skopina p-adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators.

49. Young R.M. An introduction to non-harmonic fourier series // Academic Press 1980.

50. Young R.M. On the stability of exponential bases in L2 (—7r, ir)//Proceedings of the AMS 100, -№ 1, — 1987.