Подпоследовательности и последовательности нулей для весовых пространств голоморфных функций и их устойчивость

Классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Н°° ограниченных голоморфных функций в единичном круге Ю> = {z G С: z < 1} комплексной плоскости С (см. [1], [2]) и аналогичные результаты для классов Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных функций. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры C.B. Шведенко [3], A.B. Александрова [4], X. Хеденмальма [5], П. Колвела [б], монографии А. Джрбашяна и Ф. А. Шамояна [7], X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу [8], результаты законченного характера Ф. А. Шамояна [9], [10], существенно развившего исследования M. М. Джрбашяна, и Ч. Горовица [11] (алгебры функций умеренного «степенного» и быстрого роста), а также на работы Б. Коренблюма [12], Е. Беллера и Ч. Горовица [13], [14], К. Сейпа [16]-[17], X. Бруны и X. Массанеды [18], Д. Льюкинга [19], О. Бласко, А. Кукурики и М. Новак [20] (алгебры и пространства функций медленного «логарифмического» роста). Введения и списки литературы в этих работах могут дать представление о состоянии тематики до недавнего времени.

Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек Л := {Хк}шь N — множество натуральных чисел, в области QcC или в D является подпоследовательностью нулей или точной последовательностью нулей для некоторой ненулевой функции в fi или в Ю> из весового пространства H голоморфных функций, выделяемого ограничением на рост этих функций вблизи границы этой области (круга) через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант. Значительные продвижения для случая, когда Я — алгебра, т. е. содержит в себе произведение любых функций из Н, в исследовании подобных условий для подпоследовательностей нулей принадлежат Л. Ю. Чередниковой [21]—[23]. Изучение точных последовательностей нулей для весовых пространств в единичном круге при условии умеренного роста функций вблизи единичной окружности было проведено Е. Г. Кудашевой в [24]—[26]. Важная отличительная особенность наших исследований в том, что рассматриваются и весовые пространства Н, которые не являются алгебрами, т. е. гораздо более «жесткие», нежели у Л. Ю. Чередниковой, а U не обязательно круг или односвязная область.

Всюду положительность числа, функции, меры и т. п. понимаем как ^ 0- аналогичное соглашение ^ 0 предлагается и для отрицательности. Если функция или отображение / на множестве, А тождественно равна некоторому значению Ь, то пишем «/ = b на А», а если f (a) ф Ъ при некотором, а 6 А, то «/ ф Ь на А» .

Векторное пространство над полем С всех голоморфных в области Q сС функций обозначаем Ilol (ft).

Рассматриваем последовательности точек.

Л = {AfcbeA-С ii, КС N, (1.0.1) бесконечные, конечные или пустые, где возможны повторяющиеся точки.

Пусть /? Hol (ft), / ф 0. Последовательность нулей Zero/ функции / ф 0 определяется как последовательность, в которой каждая точка, А б ft повторяется ровно столько раз, какова кратность нуля (корня) функции / в этой точке Л.

Последовательность Л в ft называем подпоследовательностью нулей функции / (в записи /(Л) = 0) и говорим, что / обращается в нуль на Л, если последовательность Zero/ включает в себя последовательность Л с учетом кратности, т. е. число повторений каждой точки, А € П в Zero/ не меньше числа повторений той же точки Л в последовательности Л.

Пусть Я С Hol (il), а Л — последовательность в П из (1.0.1). Если существует функция / G Я, для которой Zero/ = Л, то Л — последовательность нулей для Н. Если существует функция / ф 0 из Н, для которой Л — подпоследовательность нулей для /, то Л — подпоследовательность нулей для класса Н. Каждая последовательность нулей Л для Н является подпоследовательностью нулей для Я. Обратное часто оказывется неверным (см., к примеру, работы Ф. А. Шамояна [9], [10]).

Пусть класс Я замкнут относительно вычитание или, в частности, векторное пространство над С или над полем вещественных чисел М. В этом случае подпоследовательность нулей для Я называем также последовательностью неединственности для Я. Если последовательность Л из (1.0.1) не является подпоследовательностью нулей для Я, то Л — последовательность единственности для Я.

Через sbh (O) обозначаем класс всех субгармонических функций в области ft С С, включая в него и функцию и = —оо на ftsbh+(ft) — подкласс всех положительных функций из sbh (ft) — har (ft) — пространство гармонических функций в ft.

По произвольной функции (весовой функции, весу).

М: П [-оо,+оо] (1.0.2) построим весовое пространство голоморфных функций Но1(ПМ) е Hol (fi): f (z) < CfeMM, Cf ^ 0 — постоянная, z € П} (1.0.3e) = {/ G Hoi (SI): log |/| < M + cf на tt, cf — постоянная}. (1.0.31).

Такое векторное пространство над полем С будет модельным на протяжении всей работы. Именно в такого вида пространствах и образованных из них всевозможных объединениях и будут исследоваться (под) последовательности нулей и их устойчивость при «малых шевелениях» этих (под) последовательностей. При этом вполне естественно рассматривать субгармонические весовые функции (см. версию (1.0.31)), поскольку для любого локально ограниченного семейства голоморфных функций поточечная точная верхняя грань логарифмов модулей этих функций после полунепрерывной сверху регуляризации становиться субгармонической функцией.

Пусть CP — семейство функций из sbh (!Q), не содержащее функцию = —оо, которое далее называем системой весов на О, а функции из У — весовыми, или весами. Положим.

Holu (i7- У) = (J Но1(ЗД. (1.0.4) рбУ.

Во всех известных описаниях (под)последовательностей нулей для различных весовых классов типа (1.0.4) ограниченная область — это, как правило, круг В или односвязная область с «хорошей» границей, а система весов 7 предполагалась состоящей из положительных функций, радиальных, т. е. зависящих только от z, z g В, в случае О, = D. Особо подчеркнем, что в наших исследованиях требования положительности и радиальности весов для круга часто снимаются.

Отметим также, что в ряде вопросов теории функции, к примеру в вопросах полноты, интерполяции, экстраполяции, представления рядами, в задачах локального описания идеалов и подмодулей, в проблеме спектрального синтеза и др., как необходимое или достаточное условие часто фигурирует требование того, что заданная последовательность Л с П — (под) последовательность нулей для некоторого весового класса типа (1.0.4). Все это дополнительно актуализирует исследование (под)последовательностей нулей для весовых классов.

Основные результаты диссертации новы уже для весовых классов типа (1.0.4) в круге Ю, определяемых даже только радиальными весами р? У достаточно общего вида и хорошо стыкуются с известными описаниями (под)последовательностей нулей для некоторых таких классов с более или менее конкретными весами р.

Структура диссертации следующая.

В дальнейшей части Введения определяются основные понятия и вводятся некоторые соглашения (подраздел 1.1), формулируются полученные ранее результаты других авторов диссертации (подраздел 1.2), формулируются основные выносимые на защиту теоремы (подраздел 1.3), зачастую в упрощенном и ослабленном виде в целях большей наглядности и обозримости.

В разделе 2 доказываются достаточно общие подготовительные теоремы для дальнейшего их применения как к получению теорем о подпоследовательностях нулей, так и об их устойчивости. Эти подготовительные теоремы (подраздел 2.2) охватывают произвольные области, но недостаточно наглядны. В дальнейшем применении их мы ограничиваемся пространствами функций в ограниченных областях О. Их доказательства (подраздел 2.1) потребовали трудоемких вспомогательных усилий в области теории потенциала (выметание, меры и потенциалы Йенсена), в исследовании некоторых геометрических объектов на плоскости (звезды подмножеств, вздутия множеств).

Главные результаты о подпоследовательностях нулей и их устойчивости сосредоточены в разделе 3. Здесь также важную роль сыграли некоторые нетривиальные геометрические факты, сконцентрированные в разделе 3.1.

В разделе 3.2 дается Теорема 3.1 о подпоследовательностях нулей для наиболее «мягкого» случая пространств Щ, если отойти от алгебр функций, в разделе 3.3 — Теорема 3.3 для наиболее «жесткого» случая пространств Яр°6, а раздел 3.4 занят исследованиями в промежуточном типе пространств Нр+§-. Для этих пространств в разделе 3.5 получены Теоремы 3.4 и 3.5 устойчивости подпоследовательностей нулей (последовательностей единственности) при малых «шевелениях «этих последовательностей.

В последнем разделе 4 даются условия, при которых заданная последовательность точек являетя точной последовательностью нулей для некоторой голоморфной в единичном круге функции из определенных весовых классов функций, определяемых, вообще говоря, нерадиальной мажорантой умеренного роста вблизи единичной окружности. Тем не менее результаты новы даже для радиальных мажорант. В подразделе 4.1 исследуются последовательности нулей для алгебр голоморфных функций, даются примеры нерадиальных весовых субгармонических мажорант, приводятся наглядные следствия для конкретных весовых классов (Теорема 4.1, Примеры, Следствия 4.1, 4.2). В подразделах 4.2 и 4.3 рассматриваются уже более тонкие ситуации (Теоремы 4.2, 4.3, Следствие) по исследованию последовательностей нулей для весовых пространств голоморфных функций по существу не являющихся алгебрами, т. е. пространства не замкнуты относительно произведения функций. Наконец, в подразделах 4.4 и 4.5 исследуется следующая задача. Пусть последовательность точек является (под)последовательностью нулей для алгебры или весового пространства голоморфных функций и подвергается определенным сдвигам. Для каких, возможно несколько больших пространств, новая последовательность точек становится уже точной последовательностью нулей? Эти результаты трактуются как теоремы устойчивости (Теоремы 4.4, 4.5, 4.6).

Основная часть результатов диссертации опубликована в 9 работах [60]-[68]. Из двух работ с соавторами [60]-[61] на защиту выдвигаются только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту Ф. Б. Ха-бибуллину. Из тезисов совместных докладов на конференциях, объединяющих нескольких авторов (см. [64], [68]), включены в диссертацию также только части, разработанные лично диссертантом. Таким образом, все основные положения диссертации принадлежат Хабибуллину Ф. Б. и доказаны им. Четыре работы [60], [61], [62], [63] опубликованы в журналах, входящих в список, рекомендованный ВАК.

Конец доказательства обозначается символом • («жирная» точка). Но завершение доказательства (например, леммы), входящего как составная часть в доказательство другого утверждения, отмечается символом о (пока еще «дырявая» точка). Ссылка на номер формулы или утверждения над знаком (не-)равенства, включения и т. п. означает, что при переходе к правой части этого выражения применялись, в частности, и отмеченная формула или утверждение.

Основные результаты этого раздела касаются уже весовых пространств голоморфных функций, не являющихся алгебрами, т. е. произведение двух функций из пространства может уже и не принадлежать этому пространству.

Сначала рассмотрим более «мягкое» пространство Яр (0).

Теорема 4.5. Пусть для положительной субгармонической функции р еВя выполнены условие умеренного роста (1.3.22) и ограничение (ЬБ^) из начала подраздела 4.2. Если для двух последовательностей точек, А = (Аа-)&6М и Г = (7 В В выполнено условие их близости (1.3.33) и, А — подпоследовательность нулей для пространства то найдутся постоянные с < 1 и Вс ^ 0, с которыми Г — последовательность нулей для пространства Но1(0- М) при.

М = ср + ВсЬИ. (4.5.2).

В частности, если р — логарифмический вес вида [Ь] с, а > 1, то второе слагаемое в правой части (4.5.2) исчезает и, А — последовательность нулей для пространства Нр (Щ.

Доказательство. В Теореме устойчивости 3.4 (см. также и [60, Теорема 0.2(8з)]) доказано, что именно в условиях теоремы 4.5 последовательность точек Г является последовательностью неединственности, или подпоследовательностью нулей, для пространства := и0^с<1 Но1(В, ср) (даже без эквивалентных условий (1.3.22)—(1.3.23)), т. е. при некотором с' < 1 для пространства Но1(©— с’р). Кроме того, для функции с’р и для ее меры Рисса ис’р по-прежнему выполнены эквивалентные условия (1.3.22)-(1.3.23) с заменой р на dp. При этих условиях в [24, теорема 2, п. (U)] утверждается, что каждая подпоследовательность нулей для пространства Hol (Bdp) при любом е € (0,1) будет уже последовательностью нулей для пространства.

Но1(В-ауги +с?бир).

Очевидно, bl. Кроме того, в силу условия регулярности (LDJ) при достаточно малом значении числа b > 1, для которого выполнено ограничение с = db < 1, имеет место неравенство.

Avrjj,(z) < cp{z) + С, гбВ. где С — постоянная. Таким образом, пространство (4.1.10) вложено в весовое пространство Но1(Ю>- М) с весом М из (4.5.2), а Г — последовательность нулей для этого пространства, что и требовалось. В частном случае логарифмического веса (4.2.5) выполнены условия (1.3.22) и (LDq), а из оценки (4.1.24) для логарифмического веса (4.2.5) имеем.

Ь®(г) = о (оёа-1т±щ), Z-+9B.

Отсюда при том же выборе веса р можно найти постоянную d € (с, 1), с которой неравенство cp (z) + Bcbv}(z) ^ dp (z) выполнено при всех z Е В D (t) при определенном i < 1. В силу ограниченности голоморфных функций в круге D (t) этого достаточно, чтобы пространство Hol (Bср + Bcbvj) включалось в Hol (О: dp) С Щ. Теорема доказана. •.

Выведем из теоремы 4.5 часть (Si) Теоремы устойчивости 1.4 из Введения. В силу возрастания функции р условия на нее, при которых имеет место (1.3.14), даже сильнее условия регулярности (LDq) теоремы 4.5. Условие (1.3.22) для радиальной функции — это (1.3.24). Согласно п. 1.1.4 продолженная на В функция р субгармонична. Наконец, справедлива оценка (4.1.12) Предложения 4.1. Это и показывает, что часть (Si) Теоремы устойчивости 1.4 — прямое следствие Теоремы 4.5. Завершим рассмотрение устойчивости пространством Нр+iog.

Теорема 4.6. Пусть для субгармонической в В функции р ф —оо выполнены условия умеренного роста (1.3.22) и условие регулярности веса.

LDq) из начала подраздела 4.3. Если для двух последовательностей точек Л =^Г = (7k)k€® в©выполнено условие их близости (1.3.34) и К — подпоследовательность нулей для пространства Hp+og, то най-дутсятся постоянные С, В ^ 0, с которыми Г — последовательность нулей для пространства Но1(Ш>- М) при.

М (г)=р (г)+Соёт±щ +Bb®(z), z? l. (4.5.3).

В частности, если р — логарифмический вес вида [L] са) 1, то Г — последовательность нулей для пространства Hol (D) — М), где.

M (z) := p{z) + Са logmax{1'Q!-1> —^, z 6 Ю>, (4.5.4).

1 — z где Ca — постоянная.

Доказательство. В Теореме 3.5 (см. и [60, Теорема 0.2(S4)]) доказано, что именно в условиях теоремы 4.6 последовательность точек Г является последовательностью неединственности, или подпоследовательностью нулей, для пространства Нр+iog (даже без эквивалентных условий.

1.3.22)—(1.3.23)), т. е. при некотором С ^ 0 для пространства Hol (BМ), где M (z) := p (z) + Dlog-^щ, z € Ю>, — субгармоническая функция, D постоянная. Кроме того, для функции М и для ее меры Рисса и^ по-прежнему выполнены эквивалентные условия умеренного роста (1.3.22).

1.3.23) с заменой р на М. При этих условиях в [24, теорема 2, п. (U)] установлено, что каждая подпоследовательность нулей для пространства Но1(Ю>- М) при любом е 6 (0,1) будет уже последовательностью нулей для пространства Hol (DAvr^j Из условия регулярности (LDq) легко следует, что последнее пространство вложено в пространство Но1(Ш>- М) с весом М из (4.5.3), а Г — последовательность нулей для этого пространства, что и требовалось установить.

В частности, для логарифмического веса р функция из (4.5.3) мажорируется согласно (4.1.24) функцией (4.5.4), что доказывает заключительную часть Теоремы 4.6. Теорема доказана. •.

Выведем из Теоремы 4.6 часть (Siog) Теоремы устойчивости 1.4 из Введения. В силу возрастания функции р условия на нее, при которых имеет место (4.0.2), даже сильнее условия регулярности (LDq) Теоремы.

4.6. Условие (1.3.22) для радиальной функции — это (1.3.24). Субгармоничность продолженной на В функции р отмечалась в п. 1.1.4. Наконец, справедливо неравенство (4.1.12). Это и показывает, что часть (Б^) Теоремы 1.4 — прямое следствие Теоремы устойчивости 4.6.