Задача 3У мальчика было 50 р., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 р. и по 3 р., но у киоскера совсем не было сдачи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося затруднения. Решение
Пусть марок по 4 р. х штук, по 3 р. — у штук. Всего имеется 50 р., отсюда уравнение: 4х + 3 у = 50у = (50 — 4х): 3у = (48 — 3х): 3 + (2 — х): 3у = 16 — х + (2 — х): 3Эта задача имеет не одно, а несколько решений.
х2 5 8 11 у14 10 6 2 Задача 4Найти двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Решение
Пусть, а — количество десятков, b — количество единиц. Тогда a = (10a + b) — (10b + a) Откуда получим: b=8/9a.Выбирая a=9, получаем число 98.
5.Заключение
В ходе выполнения работы был получен ответ на вопрос о разрешимости неопределенных (диофантовых) уравнений первой степени в целых числах. Решены текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения.
Список использованных источников
1. Аксёнова, М. Д. Энциклопедия для детей Т. 11 (Математика) / М. Д. Аксёнова — М.: «Аванта +», 1998. — 688 с.
2. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики 10 — 11 класс. / Н. Я. Виленкин — М.: Просвещение, 1996. — 319 с.
3. Деревянкин, А. В. Числа и многочлены: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ / А. В. Деревянкин. — М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008. — 72 с.: ил.
4. Матисеевич, Ю. В. Десятая проблема Гильберта / Ю. В. Матисеевич. — М.: «Физмат лит», 1973. — 224 с. 5 Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: учеб. пособие 7−9 кл.
сред. шк. / И. Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991. — 383 с.: ил.
6. Стройк, Д. Я. Краткий очерк истории математики / Д. Я. Стройк. — М.: «Наука», 1990 г. — 256 с. Приложение 1Алгоритм Евклида
Чтобы найти наибольший общий делитель двух данных натуральных чисел можно действовать по определению: выписать все делители этих чисел, выделить среди них общие и выбрать среди всех общих делителей наибольший. Но этот способ можно порекомендовать лишь для совсем небольших чисел, поскольку он весьма трудоёмок. А если надо найти НОД (41 450, 3 687 135)? В таких случаях гораздо более эффективным оказывается алгоритм Евклида. Действие алгоритма Евклида основано на приведённых ниже лемме и теореме.Лемма. Для любых двух целых чисел a и b, хотя бы одно из которых не равно нулю, верно равенство НОД (a, b)=НОД (a−b, b).Доказательство. Покажем, что множество M общих делителей чисел a и b совпадает с множеством N общих делителей чисел a−b и b. Пусть m — произвольный общий делитель чисел a и b.
Тогда (a−b)m, т. е. m является общим делителем чисел a−b и b. Обратно, пусть n — произвольный общий делитель чисел a−b и b. Тогда a=((a−b)+b)n, т. е. n является общим делителем чисел a и b.
Таким образом, множество M общих делителей чисел a и b совпадает с множеством N общих делителей чисел a−b и b; следовательно, и наибольшие элементы этих двух множеств (т.е. НОД (a, b) и НОД (a−b, b)) совпадают, что и требовалось доказать. Докажем теорему, которая является обобщением леммы.Теорема. Пусть a=qb+r, где a, b, q, r∈Z, причём хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю. Тогда НОД (a, b)=НОД (b, r).Доказательство. В соответствии с леммой выполним следующие переходы: НОД (a, b)=НОД (a−b, b)=НОД ((a−b)−b, b)=НОД (a−2b, b)=…=НОД (a−qb, b)= НОД (r, b)=НОД (b, r), что и требовалось доказать [см.: 3, с. 15−16].
Пример. Найдите НОД (1014, 273).Решение. Выполним ряд делений с остатком: 1014=273· 3+195; 273=195· 1 + +78; 195=78· 2+39; 78=39· 2. По алгоритму Евклида НОД (1014, 273)= =НОД (273, 195)=НОД (195, 78)= =НОД (78, 39)=39.Ответ: 39.
