Липшицевы свойства реализаций случайных процессов

Локальные свойства траекторий случайных процессов представляют собой интенсивно развивающуюся область в теории случайных процессов. Основная задача, возникающая здесь, заключается в выяснении условий (необходимых, достаточных, или тех и других одновременно), при которых реализации случайных процессов принадлежат определенным функциональным пространствам. Такая задача представляет интерес и для теории меры в бесконечномерных пространствах, поскольку самым непосредственным образом связана с вопросом о продолжении меры с б" -алгебры цилиндрических множеств до б" -алгебры борелевских множеств.

Изучение локальных свойств случайных рядов Фурье восходит к работам Р, Дэли, А. Зигмунда, Н.Винера. Начиная с классической теоремы А. Н. Колмогорова значительное число работ было посвящено исследованию непрерывности почти всех траекторий различных классов случайных процессов и полей. При решении этой задачи в работах Ю, К. Беляева [ 3,4 ], В. Н. Рудакова [47 ], Р. Дадли &б, 5б], Л. Дель-порта С 55 ], К. Ферника [ 50 3 были созданы новые методы исследования, позволившие в конечном счете установить критерий непрерывности стационарных гауссовских процессов (полей).

Изучению различных аспектов локального поведения траекторий случайных процессов и полей посвящено большое количество работ, среди которых (помимо уже указанных) наиболее близкими к теме диссертации являются работы Г. Ханта [48 ], Ж. П. Кахана [ 24 ], М. Й. Ядренко 151, 52 3, И. А. Ибрагимова ?^223, Ю. В. Козаченко?26,28],.

В.В.Булдыгина [5,7 В. И. Питербарга [43 ], Н. Джейна и М. Маркуса С 581″ М. Маркуса и Г. Пизьера [ 67,68 1″ И. К. Мацака [ 38 ], М. Акбарова и М. А. Мирзахмедова С 2 ], В. А. Дмитровского Ci8,193и ряда других математиков. Отметим, что щпробный обзор результатов и обширная библиография имеются в работах Р. Дадли [16], К. Ферника [50 1, В. И. Питербарга [ 42, 431, а также в известной книге Г. Крамера и М. Лидбеттера (с дополнением Ю.К.Беляева) [ 33 ].

По сравнению с условиями непрерывности менее изученным является вопрос о более тонких локальных свойствах траекторий случайных процессов и, в первую очередь, свойство липшицевоети. Известные результаты Ю. К. Беляева [4,53]дают в спектральных терминах достаточные условия того, что почти все реализации стационарного гауссовского процесса удовлетворяют условию Липшица. В терминах моментов приращений обобщением условия А. Н. Колмогорова на случай липшицевоети являются условия М. И. Ядренко [51 ], И.А.Ибрагимова[21, 22 ], Ю. В. Козаченко [28]. Изучению свойства липшицевоети случайных процессов и полей посвящены также работы [29,54,64,66, 69 ]. Однако, до сих пор даже для стационарных гауссовских процессов не известен критерий принадлежности почти всех траекторий пространствам Липшица. (В диссертационной работе в определенной мере устраняется этот пробел).

Исследование локальных свойств случайных процессов тесно связано с изучением условий плотности семейств вероятностных мер в функциональных метрических пространствах. Последние же, согласно классической теоремы Ю. В. Прохорова С 41 ] играют важную роль при изучении предельных теорем для различных классов функционалов от реализаций случайных процессов. Условие (типа условия Колмогорова) плотности семейства вероятностных мер в пространстве непрерывных функций широко известно и установлено в работе Ю. В. Прохорова [ 41](см. также книгу Л. Биллингсли С12 ])• Расширение класса функционалов, для которых можно устанавливать предельные теоремы, приводит к необходимости изучения плотности семейств распределений в пространствах Липшица. Среди таких функционалов, например, можно выделить сингулярные интегралы типа интеграла Коши, возникающие в различных теоретических и прикладных задачах. Условия плотности семейства вероятностных мер в пространствах Липшица рассматривались в работах Дж. Ламперти [ 60,61 ], А.А.Бо-ровкова [10 ], В. М. Бородихина [ II ].

Изучению свойств липшицевости и условий плотности семейств распределений случайных процессов в пространствах Липшица и уточнению некоторых известных в этом направлении результатов посвящена диссертационная работа. Целью работы является установление достаточных условий плотности семейств вероятностных распределений в пространствах Липшица (и некоторые их модификации), связанных с различными модулями непрерывности и ориентированных на широкие классы случайных процессов и полейисследование вопросов дробного интегрирования и дифференцирования реализаций стационарных гауссовских процессовописание необходимых и достаточных условий принадлежности почти всех реализаций стационарных гауссовских процессов пространствам Липшицаисследование характера сходимости разложений в ряд Фурье стационарных гауссовских процессов в нормах Липшица.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Мы не будем повторять определения некоторых понятий, указывая в соответствующих местах номер страницы, на которой они приведены. Кроме того, опущен ряд утверждений и следствий, играющих вспомогательную или второстепенную роль, а некоторые утверждения формулируются в несколько измененном виде.

В § I вводятся различные модификации пространств Липшица.

Это пространства A^S), связанные с модулем непрерывности f и состоящие из функций, определенных на метрическом компакте сS, cL) с. 18) — пространства A°$(S) (c.jg) — пространства Липшица A^CS) порядка ol (oie (o, i)) (с. 19) — пространства Xip^CS) (с. 24).

Кроме того, если не является компактом, то рассматривало с (.ос ются пространства A^ (S), (S) (с. 26/50. Даются определения этих пространств при S = JR и оС>{ (с. 27).

Введение

пространств A°f (S) и gipJS) связано с тем, что пространство Aj. CS), будучи банаховым, не является сепарабельным, в то время, как пространство А°р (S) является сепарабельным банаховым подпространством пространства A^CS"). Кроме того, имеет место (лемма I. I) аналог теоремы Асколи-Арцела, дающий простой критерий относительной компактности подмножеств в A^CS"). Пространствопространство функций, удовлетворяющих условию Липшица порядка р для всех jbe (0,cC). Это пространство (более широкое, чем пространство A^(S)) является пространством Фреше и, как показано в лемме 1.2, при естественных ограничениях на параметрическое множество Sc Rm оно является сепарабельным. Пара пространств А° CS), оL tflp^CS) аппроксимирует пространство A^CS) в том смысле, что.

A°JS)<=Ad (S)<= gip^S) и функции, принадлежащие пространствам A^CS) «Kip^S) близки по своим локальным свойствам к функциям из пространства A^CSV Выделение пространств A^YJO «$?ip^C (JR) связано с тем, что при изучении локальных свойств стационарных гауссовских процессов по ряду соображений их удобно рассматривать на всей числовой прямой.

Подробно о пространствах Липшица см. [10,15,20,23,34 ].

В § 2 изучаются условия принадлежности почти всех реализаций случайных процессов пространствам CS) и условия плотности семейств распределений в этих пространствах. Методы, применяемые в этом параграфе, традиционные и связаны с установлением подходящих оценок для вероятностей г |? (f) —? (s) 1 чс1.

Р { sup f (dcs, t)) у L s, teS оЫО, в)<�Б.

Большинство из указанных в списке литературы работ посвящено, в той или иной мере, оценкам для указанных вероятностей. Предварительно (лемма 2.1) приводится критерий плотности семейства распределений в пространстве aJ (S) • Отметим, что если семейство распределений плотно в пространстве aJ (S)" то оно будет плотным и в пространстве. Такой подход к изучению плотности семейств распределений по-существу применялся в работе А. А. Боровкова [ ю! и является более эффективным, чем подход Дж. Ламперти [ 60^{основанный} для. пространств A^(S). на изучении условий равномерной концентрации мер на шарах в пространстве a^cs") с использованием затем свойства компактного вложения пространства А^СS) в пространство A^CS") при /Ь>сС .

На основании оценок И. А. Ибрагимова [22 ] получено следующее утверждение.

Теорема 2.1. Цусть se S^nH, — последовательность центрированных сепарабельных случайных полей, заданных на замкнутом ограниченном поданожестве Sb, |. клидова норма в JR^ - р?(0,со) — o?€(0,D. Тогда, если.

I) (Зб? S) sup м |? (s)|p < «з, п» 1 л.

2) lm sup S^f о и p i p где cp Ш) = sup M (SV^C^ I, то для каждого пи lt-slw

О ^ жат пространству У (S)h семейство распределений случайных полей о плотно в пространстве Далее установлены общие условия (лемма 2.2), выраженные в терминах энтропийных характеристик, при которых семейство распределений случайных процессов плотно в пространствах, где модуль f удовлетворяет условию: оо.

-(п. + к у.

2 f (2) sap 0- < оо. и>А иг'*).

Используя лемму 2.2 для субгауссовских случайных полей доказаны следующие теоремы. Отметим, что понятие субгауссовских процессов (с. 40) было введено в работе Ю. В. Козаченко [26 ], и локальные свойства субгауссовских процессов изучались в ряце работ (см., например, [8,9,19,26]).

Теорема 2.2. Пусть — последовательность сепарабельных субгауссовских случайных полей, заданных на S= [О, О, (т"1), еС &euro-(0Д). Если.

I) (3 s? s) lim sup Р (> С} = 0 ,.

Wt где V^isftz'cC^CD-Zfi)) — штандарт приращения —, то для каждого реализации случайного поля принадлежат с вероятностью единица пространству л° (S) и семейство распредеоС лений полей плотно в пространстве A^CS).

Если поля (.п>, 1) являются центрированными гауссовскими полями, то условие 2) теоремы 2.2 имеет следующий вид р8 sup Ml^-V^-C-i^.

It-Sl^d.

Если в теореме 2.2 положить «ив условии 2) заменить о на 0, то согласно утверждению Ю. В. Козаченко [26 ], полученное условие будет достаточным условием принадлежности почти всех реализаций субгауссовского поля? пространству д (S). Такое условие Л является неулучшаемым даже в классе всех гауссовских полей (см. Ю. К. Беляев [4 ]), что иллюстрирует точность условий теоремы 2.2.

Теорема 2.3. Пусть (S, d) — метрический компакт- ®-п>{ ~ последовательность сепарабельных субгауссовских случайных полей, заданных на $ ;

Ьuil2 ч.

Ьууь supг—-du = о, h-o n>, i? tcu) где Н"тс$, и) — энтропия S относительно полуметрики Т, то.

IX" для любого почти все реализации поля^{принадлежат} пространству aJ (S) и семейство распределений случайных полей.

0 С ч плотно в пространстве Л^ (о, Г^).

Отметим, что ограничения на модуль непрерывности f, приведенные в теореме 2.3, менее жесткие, чем соответствующее ограничение в лемме 2.2. Утверждение сформулированной теоремы согласуется с теоремой Р. Дадли [16 1о непрерывности гауссовского поля, утверждениями В. В. Булдыгина и Ю. В. Козаченко [ 8 1'о непрерывности субгауссовского поля и утверждением В. В. Булдыгина [7 ] о плотности семейства распределений субгауссовских полей в пространстве непрерывных функций.

Для того, чтобы получать необходимые и достаточные условия принадлежности реализаций случайных процессов пространствам A (S), оL сузим класс рассматриваемых процессов до стационарных гауссовских процессов. Основной метод исследования, применяемый в дальнейшей части работы, существенно опирается на понятие дробных интегралов и производных и теоремы вложения типа теорем Г. Харди и Дж. Литтл-вуда. Отметим, что в известной работе Г. Ханта С 48 1 были исполь~ зованы методы, по-существу, основанные на введении дробных интегралов и производных от стационарных гауссовских (и даже более общих) процессов. Кроме того, дробные интегралы и производные в среднеквадратическом смысле рассматривались в работе А.М.Секре-тарева [441.

В § 3 приводятся определения и необходмые для дальнейшего свойства дробных интегралов и производных, определенных на подмножествах числовой оси. Хорошо известны классические интегралы и производные дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля и Г. Вейля [20,35,57,71 ]. Дробные интегралы Римана-Лиувилля определяются для функций, заданных на ограниченных промежутках, и существенно зависят от выбора начала интегрирования. Поэтому в теории тригонометрических рядов используются дробные интегралы в смысле Вей-ля, которые определены для периодических функций, заданных на всей числовой оси. Интегралы Вейля обладают рядом примечательных свойств. В частности, имеет место теорема вложения Г. Харди, Дж. Литтлвуда [20,573: если периодическая функция х = (xct), te JR^e? то дробный интеграл Вейля s^k^fyteJlOeA^ (110, оС+ji<l • Теоремы вложения Харди-Литтлвуда оказываются эффективными при изучении условий принадлежности пространствам Липшица периодических функций. Однако требование периодичности в задачах, которые мы будем рассматривать, оказывается излишне жестким. Поэтому в § 3 рассматриваются дробные интегралы и производные Рима-на-Лиувилля, определенные для функций, заданных на интервалах JR^C-^Ct], и быстро убывающих на-00. Для таких интегралов и производных устанавливаются аналоги теорем вложения Харди-Литтлвуда. Из утверждений, приведенных в этом параграфе, отметим леммы 3.1, 3.4Б, 3.5−3.9. Отметим также, что различные модификации дробных интегралов и производных изучались в работах [25,46,62,63 1 .

В § 4 рассматриваются дробные интегралы и производные от реализаций процессов, являющихся простыми преобразованиями от стационарных гауссовских процессов. Пусть? = (£С£), t£JO — стационарный комплекснозначный гауссовский процесс со спектральной функцией (РШ, децО. Для б>0 рассмотрим процесс ?<�ё>= (e^Ztt), teJR4). Процесс не является стационарным, однако, его локальные свойства такие же, как у процесса. Кроме того, принадлежит п.н. классу быстро убывающих на — со функций и для опреб 6 делены дробные интегралы Ц >и дробные производные D, 4< >. оL.

Устанавливается вид корреляционных функций дробных интегралов и р производных от процессов ?><0>. Например, справедливо такое утверждение .

Лемма 4.7. Пусть? — стационарный гауссовский процесс с ограниченным спектром (т.е. dP (A) = Q для всех|д|>д >oV д 0 '.

6>Q — сСе (0,О. Тогда для любого 6>0 процесс ((D^ >)(t>, teJP) является центрированным гауссовским процессом с корреляционной функцией r ' Ci, s) = е J (о + я) е dFm.

В § 5 установлены необходимые и достаточные условия принадлежности почти всех реализаций стационарного гауссовского процесса пространствам, (IR).

Пусть? = teJR) — сепарабельный стационарный комплекс-нозначный гауссовский процесс со спектральной функцией FCA") Для р?0 положим оо {fe.

0 (k) = (f 1Д|2рб"и2 -^-dFOo) .

I оо.

Рассмотрим условия со I со г '/2 К.

2 В.

Ul dF (A) < со, (I) bL (u)du < со, (2) о.

I5 где Яметрическая энтропия интервала [0,1] относительно Р полуметрики б^. Известная теорема Дадли-Ферника [ 16,50] утверждает, что при |Ъ=0 условия (I), (2) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы почти все реализации процесса? были непрерывными. При jb=i эти же условия, согласно утверждению И. К. Мацака С38 3, являются необходимыми и достаточными для того, чтобы почти все реализации процесса? принадлежали пространству непрерывно дифференцируемых функций или, что в рассматриваемой ситуации эквивалентно, пространству Л^ос ®. Промежуточной между этими утверждениями является теорема 5.1, которая является центральным утверждением работы.

Теорема 5.1. Для того, чтобы почти все реализации toe процесса 4 принадлежали пространству Л^ (00 (0<ы.<{)^ достаточно, чтобы при |ЗгоС, и необходимо, чтобы при всех p,.

Доказательство этой теоремы опирается (кроме теоремы Дадли-Ферника) на теоремы вложения для интегралов и производных дробного порядка, установленных в § 3,и некоторые утверждения о характере сходимости функциональных рядов с независимыми слагаемыми (В.В.Булдыгин [ 5 ]).

В теореме 5.1 необходимые и достаточные условия не совпадают между собой. Приводятся примеры, показывающие, что для пространств ff^CR4) этот зазор устранить нельзя. Однако, для пространств имеется следующий критерий.

Теорема 5.2. Для того, чтобы почти все реализации процесса? принадлежали пространству необходимо и достаточно, чтобы условия (I), (2) выполнялись при всех |2>е (о,°0.

Опираясь на утверждения Н. Джейна и М. Маркуса С 58, 66 ] энтропийные условия в теоремах 5.1 и 5.2 можно переформулировать непосредственно в терминах спектральной функции F. В частности, имеет место такое утверждение.

Следствие 5.5. Пусть (f (-0, НПО спектральная плотность процесса? «которая убывает при достаточно больших.

IAI. Тогда для того, чтобы почти все реализации процесса? toe. принадлежали пространству Ж СоСеС0,1У), необходимо и достаточно, чтобы для всех |Ь?(ОД) выполнялось условие с>о р (^иЛшя) /р Ni 12 du <�С°-м u (Uu).

Утверждения следствий 5.2−5.5 вполне согласуются с результатами Ю. К. Беляева [ 4 1 и Г. Ханта [4 8] о липшицевых модулях стационарных гауссовских процессов. Отметим, что все утверждения § 5 справедливы и при любом оС > 0 .

В § б приведены условия плотности семейства распределений ioc. стационарных гауссовских процессов в пространствах, А. ®. При об доказательстве используются методы, развитые при доказательстве.

Ioc теоремы 5.1,и непрерывность оператора: CAR) А^ (Л?") (лемма 6.1).

Теорема 6.1. Дусть e~ последовательность сепарабельных стационарных гауссовских процессов со спектральными функциями (Р^Ш, AeJJO^i ' Дусть обе (ОД) и.

ОО J.

II2.

Если.

У и.

I) sup j ш dFllm ft Я — с*э, fkI Ь к —0 я>Л оо к.

2) Im sup J H^(n)cu)du = 0,.

3) C3t€jR) lint sup P{U (t)>c} = a.

0 c^oo n>i * 0 то для каждого n i почти все реализации процесса? принадле * жат пространству, А be плотно в СЮinr жат пространству A CR) и семейство распределений процессов (?). ioc ^ лли.

В § 7 изучается сходимость случайных рядов Фурье в пространствах Липшица. Следует отметить, что характер сходимости рядов Фурье с независимыми коэффициентами остается предметом интенсивного исследования. Наиболее существенные результаты здесь в последнее время были получены в работах Ж. Кахана [24], Н. Джейна и М. Маркуса 058 ], М. Маркуса и Г. Пизьера [67,68 ]. Следующие утверждения дополняют эти исследования.

Цусть j ~ последовательность независимых NiO, i) — распределенных случайных величин, (Д^)^ э ~ последовательности вещественных чисел. Положим.

6* (к) = I a2 U,|2/bsin2^ .

Р Ы k 2.

Теорема 7.1. Для того, чтобы ряд.

I О) k=1 ы сходился с вероятностью единица в топологии пространства л^. GR), достаточно, чтобы при jb=oC, и необходимо, чтобы при всех |Ъ?(0,оО выполнялись условия :

4) f HJ/2 (и) du < ~ • (5) о.

Теорема 7.2. Цусть oL?(0,i). Следующие утверждения эквивалентны:

1) условия (4), (5) выполнены при всех (О,"О;

2) ряд (3) сходится в топологии пространства «2/р ¦ СЮ п.н.- со <*¦

Z. аt < 00 и почти все реализации процесса ?,, опредеk=0 Inn ленного рядом (3), принадлежат пространству.

Если стационарный гауссовский процесс ?, периодический (с периодом 2 Я), то его ряд Фурье представим в виде оо.

J:

ЫЬ = I (6) где — последовательность независимых центрированных гауссовс-ких случайных величин. В этом случае теоремы 7.1 и 7.2 дают достаточно подробную информацию о сходимости п.н. ряда (6) в пространствах Липшица. Если? ~ непериодический, то случайные величины уже не будут, вообще говоря, независимыми. Тогда (так же, как и в случае сходимости по вероятности в пространстве непрерывных функций (см. В. В. Булдыгин [7 ])), удается доказать утверждение о сходимости по вероятности в норме пространства, А ([а, 6]) cL для любого С а, 61 с •.

Теорема 7.3. Пусть — вещественный сепарабельный гауссовский стационарный процесс, S^ частичные суммы ряда Фурье процесса? на [-5ГД]. Тогда, если выполнены условия оо I A2cLdF ()<°о, J Н² (и) du < ,.

О О oL то ряд (6) сходится по вероятности в норме пространства Л^([а, 6]), для любого [а, 6] с (-3[,!К).

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах по теории случайных процессов в Институте математики АН УССР и Киевского госуниверситета им. Т. Г. Шевченко, на конференциях молодых ученых Института математики АН УССР (1982,1984гг.) и на всесоюзной конференции по предельным теоремам (Фергана, 1983 г.).

Основные результаты опубликованы в работах [72−74].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Валерию Владимировичу Булдыгину за постановку задачи, поддержку и помощь при выполнении настоящей работы.

1. Акбаров М., Булдыгин В. В. О локальных свойствах случайных функций на компакте в метрических пространствах.- Ташкент: Изв. АН УзССР, сер.физ.-мат.наук, 1974. (депонировано в ВИНИТИ 1974, № 2318−74).

2. Акбаров М., Мирзахмедов М. А. О локальных свойствах некоторых случайных функций. Докл. АН УзССР, № 6, 1975, с. 3−4.

3. Беляев Ю. К. Аналитические случайные процессы. Теория веро-ятност. и ее примен., 1959, 4, № 4, с. 437−444.

4. Беляев Ю. К. Локальные свойства выборочных функций стационарных гауссовских процессов. Теория вероятн. и ее применения, I960, 5, № I, с. I28−131.

5. Булдыгин В. В. Сходимость случайных элементов в топологических пространствах. Киев: Наук. думка, 1980. — 240 с.

6. Булдыгин В. В. Сходимость случайных элементов в бесконечномерных пространствах и представления случайных процессов и полей. Диссератция на соиск. ученой степени доктора физ.-мат.наук. Киев, 1982. — 305 с.

7. Булдыгин В.В.О сходимости разложения гауссовского поля.- Укр. мат.журн., 1982, 34, № 2, с. 137−143.

8. Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. О субгауссовских случайных величинах. Укр.мат.журн., 1980, 32, № 6, с. 723−730.

9. Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. О локальных свойствах реализаций некоторых случайных процессов и полей. Теория вероятн. и мат. статистика, 1974, вып.10, с. 39−47.

10. Боровков А. А. Сходимость мер и случайных процессов. Успехи мат. наук, 1976, 31, № 2, с. 3−68.

11. Бородихин В. М. Условия компактности семейства мер на некоторых метрических пространствах. Теория вероятн. и мат. статистика, 1970, вып. З, с. 16−28.

12. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.-М.:Наука, 1977.-252 с.

13. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи.- М.: Наука, 1970. 379 с.

14. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. T.I. М.: Наука, 1971. — 664 с.

15. Гусейнов А. И., Мухтаров Х. Ш.

Введение

в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1980. 414 с.

16. Дадли P.M. Выборочные функции гауссовского процесса.- В сб.: Математика. Сер. «Новое в зарубежной науке», № 10.Случайные процессы. М.: Мир, 1978, с. 7−62.

17. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.: ИЛ, 1962. 895 с.

18. Дмитровский В. А. Условие ограниченности и оценки распределения максимума случайных полей на произвольном множестве.-Докл.АН СССР, 1980, 253, № 2, с. 271−274.

19. Дмитровский В. А. Исследование свойств выборочных функций случайных процессов и полей.- Автореферат дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат.наук. М., 1981. 14 с.

20. Зишувд А. Тригонометрические ряды. М.: ИЛ, 1939.-324 с.

21. Ибрагимов И. А. Свойства реализаций случайных процессов и теоремы вложения. Теория вероятн. и ее применения, 1973, 18, № 3, с. 468−480.

22. Ибрагимов И. А. Об условиях гладкости траекторий случайных процессов.-Теория вероятн. и ее применения, 1983, 282, с.229−250.

23. Канторович Л. В., Акилов Г. П. функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1977. — 744 с.

24. Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973. 302 с.

25. Киприянов И. А. 0 пространствах дробно дифференцируемых функций.- Изв. АН СССР, I960,24, с. 865−882.

26. Козаченко Ю. В. Локальные свойства траекторий некоторых случайных функций. Укр.мат.журн., 1967, 19, № 2, с. I09-II6.

27. Козаченко Ю. В. Локальные свойства сумм некоторых случайных рядов. Математ. заметки, 1968, 3, № 3, с. 261−269.

28. Козаченко Ю. В. Локальные свойства выборочных функций одного класса случайных процессов. Теория вероятн. и мат. статистика, 1970, вып. I, с. I09-II7.

29. Козаченко Ю. В., Ядренко М. И. Локальные свойства выборочных функций случайных полей.- 1, П.- Теория вероятн. и мат. статистика, I, 1976, вып.14, с.53−66- П, 1976, вып.15, с.82−87.

30. Колмогоров А. Н., Тихомиров В. М. £-энтропия и^{-емкость} множеств в функциональных пространствах. Успехи мат. наук, 1959, 14, № 2, с. 3−86.

31. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. — 496 с.

32. Коновалов В. М. Аппраксимационные характеристики типа теорем Вейерштрасса функций многих переменных. -Докл.АН УССР, 1975, 12, с. I074−1076.

33. Крамер Г., Лидбеттер М. Р. Стационарные случайные процессы.- М.: Мир, 1969. 398 с.

34. Крейн С. Г., Петунин Ю. Й., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. — 400 с.

35. Летников А. В. Исследования, относящиеся к теории интеграловвида J (x-и) f (u)duТеория дифференцирования с произвольным ауказателем.-Мат.сб., 1868, № 3, вып, 1, с.1−68- 1874,№ 7, вып.1, с. 7−108.

36. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. — 720 с.

37. Малевич Т. Л. Некоторые оценки для вероятностей событий, порождаемых гауссовскими процессами и полями и применение к вопросам пересечения уровня.- Теория вероятн. и ее применения, 1974, 19, вып. I, с. I40−151.

38. Мацак И. К. Дифференцируемость и условия Липшица гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и мат. статистика, 1976, вып.' 15, с. 131−135.

39. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. — 456 с.

40. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. — 798 с.

41. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее применения, 1956, I, № 2, с. 177−238.

42. Питербарг В. И. Некоторые направления в исследовании свойств траекторий гауссовских случайных функций. В кн.:Математика, Сер. «Новое в зарубежной науке», № 10. Случайные процессы.-М.: Мир, 1978, с. 258−280.

43. Питербарг В. И. Гауссовские случайные процессы. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Т.19 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ). М., 1981, с.155−199.

44. Секретарев A.M. 0 существовании среднеквадратических производных дробного порядка для гильбертовых случайных функций.-Теория вероятн. и мат. статистика, 1982, вып. 27, с Л26−130.

45. Скороход А. В. Замечание о гауссовских мерах в банаховых пространствах. -Теория вероятн. и ее применение, 1970,15,№ 3,с.519−520.

46. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. — 342 с.

47. Судаков В. Н. Гауссовские случайные процессы и меры телесных углов в гильбертовом пространстве.- ДАН СССР, 1971, 197, № 1, с. 43−45.

48. Хант Г. А. Случайные преобразования Фурье. Математика, 1958, 2:6, с. 87−114.

49. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.-М.: ИЛ, 1962. 829 с.

50. Ферник К. Регулярность траекторий гауссовских случайных функций. В кн.: Математика. Случайные процессы. М.: Мир, 1978, с. 63−132.

51. Ядренко М. Й. Локальн1 властивост1 виб1ркових пол1 В.-В1сник Ки1вського Ун1верситету. Сер.матем. та мех., 1967, № 9,с. I03-II2 .

52. Ядренко М. И. Спектральная теория случайных полей.- Киев: Вища. школа, 1980. 208 с. 53# Beljaev J.K. Continuity and Holder conditions for samplefunctions of stationary Gaussian process.- Proc. 4-th Berkeley Symp., v. 2, 1961, p. 23−33.

53. Ciesielski Z. Holder condition for realization of Gaussian processes.- Trans.Amer.Math.Soc., 1961,99,N3, p.403−413.

54. Delport 1. Ponctions aleotoit*es presque surement continues surun intervalle ferme.- Ann.Inst.Henri Poincare, 1964, v.1, p. 111−215.

55. Dudley R.M. The sizeB of compact subsets of Hilbert space andcontinuity of Caussian processes.J.Punc.Anal., 1967, v.1, N2, p. 290−330.

56. Hardy G.H. and Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals.I. Math.Z., 1928,27, p. 565−606.

57. Jain N.C., Markus M.B. Sufficient conditions for the continuity of stationary Gaussian processes and applications to random series of functions.-Ann.Inst.Fourier, 1974,24,112,p. 117−141.л.

58. Kawata Т, Continuity of stochastic processes on metric spaces.-Proc.Jap., 1970, 46, N 7, p. 784−788.

59. Lamper&i J. On convergence of stochastic processes.- Trans. Amer.Math.Soc., 1962, 104, N 3, p. 430−435.

60. Lamperti J. Ол limit theorems for Gaussian processes.- Ann. Math, Statist, 1965, 36, p. 304−360.

61. Love E.R. Fractional integration and almost periodic functions, Proc. London Math.Soc., 1938, 44, N 5, p. 363−397.

62. Love E.R., Vong L.C. On fractional integration by parts.-Proc. London Math. Soc., 1938, 44, N 1, p. 1−35.

63. Marcus M.B. Holder conditions forGaussian processes with stationary increments.Trans. Amer.Math.Soc., 1968, 134, N1, p. 29−62.

64. Marcus M.B. Holder conditions for continuous Gaussian processes.- Osaka.J.Math., 1970,7, N 2, p. 483−493.

65. Marcus M.B. Continuity of Gaussian processes and random Fourier series.- Ann. of Probability, 1973, N1, p.968−981.

66. Marcus M.B., Pisier G. Necessary and sufficient conditios for the uniform convergence of random trigonometric series. Lect.-Notes.Ser.Math, in Aurhus univ., 1977;78, v.50. 38 p.L.

67. Marcus M.B., Pisier G. Random Fourier series with applications to harmonic analysis.- Ann.Math.Stud., 1981, 101, p. 150.

68. Nobelis Ph. Fonctions aleatoires lipschitziennes." — Lect.Notes. Math., 1981, N 850, p. 38−43.

69. Paley R.E.A.C., Winer N., Zigmund A. Notes on random functions. Math. Zeitschrift, 1932, 37, p. 647−668.

70. Tamarkin J.D. On integrable solutions of Abel’vs integral equation Ann. Math, 1930, 31, N2, p. 219-^228.

71. Шерматов А. А. О плотности вероятностных распределений в пространствах Липшица. В кн.: Вероятностный бесконечномерный анализ. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. I08−115.

72. Булдыгин В. В., Шерматов А. А. О дробном дифференцировании и принадлежности пространствам Липшица реализаций стационарных гауссовских процессов. В кн.: Проблемы теории вероятностных распределений. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 9−25.

73. Шерматов А. А. О плотности распределений стационарных гауссовских процессов в пространствах Липшица. В кн.:Некоторые вопросы теории случайных процессов. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 113—117.

.