Элективные курсы

Введение

Глава 1. Элективные курсы, как неотъемлемая часть профильного обучения. Психолого-педагогические особенности старшеклассников

§ 1. О профильном обучении

§ 2. Элективные курсы в системе образования профильной школы

§ 3. Элективные курсы, их ориентация на различные группы учащихся. Классификации учащихся с точки зрения математики

§ 4. Психолого-педагогические особенности старшеклассников

§ 5. Мышление и его развитие. Особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте

§ 6. Необходимость развития мышления, абстрактного мышления учащихся старших классов средствами современной алгебры Глава 2. Содержание элективного курса по алгебре. Тема: «элементы теории конечного поля»

Пояснительная записка элективного курса Занятие 1−2. Вводное занятие Занятие 3. Конечное поле, вычисление в конечном поле Занятие 4. Характеризация конечных полей Занятие 5−6. (практика) Занятие 7−8. (лекция) Критерии подполя. Таблицы операций конечного поля. Самостоятельная работа Занятие 9. Корни неприводимых многочленов Занятие 10−11 (практика) Занятие 12. Основная конструкция конечных полей Занятие 13. Контрольная работа Заключение Библиография

В настоящий момент современная школа стремиться к модернизации школы, внедрению в нее профильного обучения. Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

В течение многих столетий математика является неотъемлемым элементом системы общего образования. Объясняется это уникальностью роли учебного предмета «Математика» в формировании личности. Образовательный и развивающий потенциал математики огромен. В современном обучении математика занимает весьма значительное место.

Изучение основ математики в современных условиях становится все более существенным элементом общеобразовательной подготовки молодого поколения. В настоящее время внимание к школьному математическому образованию усиливается.

Содержание школьного курса математики и методика его преподавания — извечный предмет незатихающих и подчас бурных споров. Чему и как учить в школе, по-видимому, всегда будет принадлежать к числу вечных проблем, которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. И это неизбежно, поскольку непрерывно пополняются наши научные знания и подходы к объяснению окружающих нас явлений. Несомненно, что содержание школьного преподавания должно изменяться с процессом науки, несколько отставая от него и давая возможность новым научным идеям и концепциям принять приемлемые в психологическом и методическом отношении формы. Периодическое обновление содержания школьного курса математики — необходимый элемент развития общего образования. Совершенно ясно, что начальное и среднее математическое образование со своими неизменными программами и методами полностью оторвано от современной математической науки, от ее фундаментальных концепций, идей, от ее приложений. Современная школьная программа по математики сложилась в прошлом веке. Она катастрофическим образом отстает от требований современной жизни. [19]

Бурное развитие всех отраслей техники и связанный с этим новый этап в развитии математики как науки начинает настоятельно влиять на школу. В рамках профильного обучения момент обновления содержания возможен по средствам элективных курсов, такие курсы позволяют не изменять целиком школьной программы, а пополнять ее новым содержанием. Которое, в той или иной степени, может быть интересно учащимся.[16]

Учащиеся, стоящие на этапе становления своей профессиональной жизни должны иметь право выбора тех, или иных знаний. Математика, действительно полезная в настоящее время, — это современная математика. Она имеет наибольший шанс быть созвучной умственным запросам современных детей. Поэтому, особенно назрела необходимость внедрения в школьное обучение элементов современной математики.

На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в профильную школу, преподавание элементов современной абстрактной алгебры в качестве элективных курсов.

Начавшийся в нашем веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий.[6]

Необычайно широкая сфера теории конечных полей сочетаются с простотой ее основных положений — понятий поля, кольца и т. д., целый ряд важных теорем в теории можно сформулировать и доказать, на основе знаний элементов основной алгебры, которые могут ранее быть изучены на других элективных курсах. Поэтому элементы теории конечных полей подходят для того, чтобы показать школьникам образец современной математики.

Кроме того, изучение элементов этой теории полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математической науке.

В связи с этим проблема нашего исследования заключается в разработке элективного курса «элементы современной алгебры для учащихся старших классов, обоснование возможности и целесообразности внедрения элементов современной алгебры в школьное математическое образование на основе элементов Теории конечного поля».

Цель исследования — возможностей введения элементов современной алгебры в программу профильной школы элективных курсов для учащихся 10−11-х классов, обоснование целесообразности и доступности данного учебного материала и влияние его на развитие абстрактного мышления школьников.

Объект исследования — элементы современной алгебры в программе элективных курсов по математике.

Предмет исследования — элементы теории конечного поля и рассмотрение этой темы на элективных курсах. Влияние этой теории на развитие абстрактного мышления школьников.

Введение элементов современной алгебры в программу элективных курсов по математики для учащихся старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися.

В ходе исследования решались следующие задачи:

1) на основе анализа литературы обосновать возможность и целесообразность использования элементов современной алгебры на элективных курсах;

2) провести психолого-педагогический анализ развития абстрактного мышления учащихся старших классов;

3) выяснить какое место занимают элективные кусы в профильной школе.

4) разработать программу небольшого элективного курса «элементы теории конечных полей»;

Методы исследования: анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы по данной теме; отбор учебного материала для использования на элективных занятиях.

Структура дипломной работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии.

Глава 1. Элективные курсы, как неотъемлемая часть профильного обучения. Психолого-педагогические особенности старшеклассников

§ 1. О профильном обучении

алгебра элективный профильный учебный Введение профильного обучения на старшей ступени общего образования в настоящее время поддерживается подавляющим большинством педагогической общественности и органами управления образованием субъектов Российской Федерации. Профильное обучение является составной частью общей проблемы модернизации содержания школьного образования. Решение данной проблемы позволит снизить непомерную учебную нагрузку на учащихся основной школы и одновременно обеспечить полноценное образование старшеклассников в соответствии с их индивидуальными способностями и наклонностями.

Профильное обучение — это система специализированной подготовки в старших классах общеобразовательной школы, ориентированная на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда. Профильное обучение — особый вид дифференциации и индивидуализации обучения; форма организации учебной деятельности старшеклассников, при которой учитываются их интересы, склонности и способности, создаются условия для максимального развития учащихся в соответствии с их познавательными и профессиональными намерениями. 1]

Главная цель профильного обучения заключается в том, чтобы обеспечить общедоступность для учащихся получения полноценного образования в соответствии с их индивидуальными склонностями и потребностями. [4]

Основные задачи профильного обучения: [11], [12]

· обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;

· создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

· способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

· расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования. В классах с профильным обучением изучаются:

1) базовые общеобразовательные предметы, они являются обязательными для всех учащихся во всех профилях обучения: математика, история, русский и иностранный языки, физическая культура.

2) профильные общеобразовательные предметы, это предметы повышенного уровня, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения и являющиеся обязательными для учащихся, выбравших данный профиль обучения.

Профильное обучение включает в себя три компонента: [15],[16]

1. Федеральный базовый инвариантный компонент (обеспечивающий подготовку к сдаче ЕГЭ);

2. Профильный вариативный компонент — обязательный для изучения (обеспечивающий к сдаче профильного ЕГЭ);

3. Элективный компонент, содержащий ряд модульных курсов, расширяющих базовые и профильные курсы и позволяющих выявить специфику деятельности и требования, предъявляемые к специалистам в различных сферах деятельности.

Принципы организации профильного обучения:

· принцип региональности;

· принцип вариативности;

· принцип индивидуализации, который подразумевает свободу выбора учащимся типа профильного обучения, реальную возможность смены профиля на любом этапе, самостоятельное определение целей и задач профильного обучения с учетом своих возможностей, способностей, жизненных планов.

С введением профильного обучения появится реальная возможность ликвидировать существующий разрыв и обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием.

Введение

профильного обучения не предусматривает каких-либо резких революционных изменений существующей системы общего образования. В настоящее время школьная математика может предложить для включения в профильные учебные планы в качестве элективных курсов алгебраические основы, многочлены (в более глубоком рассмотрении), элементы теории колец и полей, т. д. Данная дипломная работа рассматривает преемственность введения в качестве элективного курса для учеников 11 класса профильной школы, тему: «элементы теории конечного поля».

§ 2. Элективные курсы в системе образования профильной школы

На данный момент в школе можно наблюдать разновидности курсов трех типов: базовые, профильные, элективные. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Многие из нас знакомы с понятием факультатива (базовый курс), факультатив — отражает обязательную для всех школьников часть образования и направлен на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся. Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы, в первую очередь, на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию.

Одной из важнейших составных частей системы предпрофильной подготовки учащихся основной школы являются курсы по выбору. 22]

Основные цели, стоящие перед курсами по выбору:

— создать условия, способствующие осознанному выбору профиля обучения в старшей школе,

— способствовать формированию личной ответственности учащихся за сделанный выбор профиля обучения в старшей школе.

Элективные курсы — обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Реализуются за счет школьного компонента учебного плана. 18]

Они играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, т.к. в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. 8]

По назначению можно выделить несколько типов элективных курсов. Одни из них могут являться как бы «надстройкой» профильных курсов и обеспечить для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения того или иного учебного предмета.

Другие элективы должны обеспечить межпредметные связи и дать возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне. Примером таких элективных курсов могут служить курсы: «Математическая статистика» для школьников, выбравших экономический профиль, «Компьютерная графика» для индустриально-технологического профиля.

Третий тип элективных курсов поможет школьнику, обучающемуся в профильном классе, где один из учебных предметов изучается на базовом уровне, подготовится к сдаче ЕГЭ по этому предмету на повышенном уровне. Познавательные интересы многих старшеклассников часто могут выходить за рамки традиционных школьных предметов, распространяться на области деятельности человека вне круга выбранного ими профиля обучения. Это определяет появление в 10 и 11 классах элективных курсов, носящих «внепредметный» или «надпредметный» характер. 4]

Оценивая возможность и педагогическую целесообразность введения тех или иных элективных курсов следует, помнить и о таких важных их задачах, как формирование при их изучении умений и способов деятельности для решения практически важных задач, продолжение профориентационной работы, осознание возможностей и способов реализации выбранного жизненного пути и т. д.

Элективные курсы могут реализоваться в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения.

Применение в обучении элективных курсов возможно при воплощении идеи профильного обучения. Ведь профильное обучение — это не только дифференцирование содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный процесс.

Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10−11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности.

Особую роль в успешном внедрении элективных курсов сыграет подготовка учебной литературы по этим курсам. Подчеркнем, что в качестве учебной литературы по элективным курсам могут быть использованы также учебные пособия по факультативным курсам, для кружковой работы, а также научно-популярная литература, справочные издания. Также возможны личные разработки преподавателей, построенных на тех или иных разделов различных школьных предметов и наук. Создание элективных курсов — важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения. Поэтому их разработка и внедрение должны стать частью программ перехода к профильному обучению. Набор профильных и элективных курсов на основе базовых общеобразовательных предметов составит индивидуальную образовательную траекторию для каждого школьника. Важно отметить, что в любом случае по элективным курсам единый государственный экзамен не проводится. [22]

[22], Можно условно выделить следующие типы элективных курсов.

I. Предметные курсы, задача которых — углубление и расширение знаний по предметам, входящих в базисный учебный школы.

В свою очередь, предметные элективные курсы можно разделить на несколько групп:

1) элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубление того или иного учебного предмета, имеющие как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне. В этом случае все разделы углубляются курса более или менее равномерно.

2) элективные спецкурсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета.

Ясно, что в элективных курсах этого типа выбранная тема изучается более глубоко, чем это возможно при выборе элективного курса типа «курс повышенного уровня».

3) элективные спецкурсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу данного предмета. Примерами из области математики могут служить: «Комбинаторика», «Элементы теории вероятностей», «Элементы математической логики», «Элементы теории множеств», «Элементы теории полей» и др.

4) Прикладные элективные курсы, цель которых — знакомство учащихся с важнейшими путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству. Приведем возможные примеры таких курсов; «Геометрия и компьютер», и др.

5) Элективные курсы, посвященные изучению методов познания природы. Примерами таких курсов могут быть: «Учимся проектировать на компьютере», «Компьютерное моделирование», «Компьютерная графика», «Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов», «Математические модели и методы в естествознании и технике» и др.

6) Элективные курсы, посвященные истории предмета, как входящего в учебный план школы (история математики).

7) Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т. д.).

II. Межпредметные элективные курсы, цель которых — интеграция знаний учащихся о природе и обществе. Примерами таких курсов естественнонаучного профиля могут быть: «Основы космонавтики», «Алгебра Космоса», «Естествознание» и др.

III. Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план.

Это курсы, посвященные психологическим, социальным, психологическим культурологическим, искусствоведческим проблемам.

Элективные курсы, хотя и различаются целями и содержанием, но во всех случаях они должны соответствовать запросам учащихся, которые их выбирают.

В связи с этим появляется возможность на примере учебных пособий по элективным курсам отработать условия реализации мотивационной функции учебника.

Поиски путей оптимизации содержания учебных предметов, обеспечения его соответствия меняющимся целям образования могут привести к новым подходам к структурированию содержания учебных предметов. Традиционный подход основывается на логике базовой науки. Другой подход может заключаться в отборе проблем, явлений, процессов, ситуаций, изучение которых соответствовало бы познавательным запросам учащихся. Такой подход может способствовать формированию учащихся как субъектов образовательной деятельности. С другой стороны, нельзя забывать о главной задаче российской образовательной политики — обеспечения современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства. Таким образом, современная школа не должна отказываться от знаний умений и навыков, но считать приоритетным направлением деятельности — способствовать развитию школьников, научить его решать учебные и жизненные проблемы, научить учиться. При воплощении идеи элективных курсов полезно опираться на 30-летний опыт существования системы факультативных занятий в СССР. 21] Было создано более 100 программ разных факультативных курсов и, хотя не все из них получили широкое распространение в школах страны, среди них было много достойных курсов, обеспеченных учебными пособиями для учащихся и методическими пособиями для учителей. При изучении элективных курсов наиболее наглядно проявляется тенденция развития современного образования, заключающаяся в том, что «усвоение предметного материала обучения из цели становится средством такого эмоционального, социального и интеллектуального развития ребенка, которое обеспечивает переход от обучения к самообразованию».

§3. Элективные курсы, их ориентация на различные группы учащихся. Классификации учащихся с точки зрения математики

Среди школьных предметов математика занимает совершенно особое место. Впрочем, любой учитель утверждает то же самое о преподаваемом им предмете. И это совершенно справедливо.

Хотелось бы обсудить вопрос специфики математики как науки, об особенностях математики как учебного предмета. В середине прошлого века в старших классах отечественной школы много внимания и, как следствие, учебного времени уделялось математике. Школьный учебный план содержал три предмета, относящихся к образовательной области «Математика»: алгебра, тригонометрия и геометрия. Изменения учебного плана, произошедшие в ходе реформы 1960;х, привели к тому, что тригонометрия была интегрирована с алгеброй и частично геометрией. Эта ситуация сохранилась до наших дней. В старших классах школы изучаются два предмета, составляющих образовательную область «Математика», — алгебра и основы математического анализа и геометрия. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область"Математика"/Министерство образования РФ — Национальный фонд подготовки кадров. — М.: Вита-Пресс, 2004. — 96 с

Возможно, предположить, что в профильной школе математика занимает весьма важное место, учитель математики независимо от профиля будет, так или иначе, стремиться к увеличению числа учебных часов по своему предмету. Поэтому, как нам представляется, большинство учителей математики будет заинтересовано в ведении элективных курсов.

С другой стороны, очень важен вопрос о том, какие это будут элективные курсы, как учителя распорядятся отведенным на этот элемент образовательной программы временем. 22]

Можно прогнозировать, что очень многие преподаватели математики захотят, так или иначе, вольно или невольно, явно или неявно, использовать элективные курсы для закрепления содержания основной программы.

На наш взгляд, интерес к математике за годы обучения, предшествующие профильному, в основном уже сформирован. Рассматривая причины интереса к математике у своих учеников, учителю не стоит путать интерес к ней как к средству поступления в высшее учебное заведение с интересом к ней как собственно учебному предмету, как к науке.

Одной из важных задач введения элективных курсов является именно развитие у учащихся интереса собственно к математике. Ученик должен чувствовать эстетическое удовлетворение от красиво решенной задачи, от установленной им возможности приложения математики к другим наукам. Поэтому возникает вопрос: кого мы учим или кто и на какой элективный курс может и должен прийти.

Отметим одну общую особенность элективных курсов. Элективный курс проводится для сравнительно небольшого числа учащихся, изъявивших желание его выбрать. При этом очевидно, что практически уровень учебных достижений учеников одного класса и одной школы весьма различен, исключений здесь нет. Поэтому одной из важных особенностей элективных курсов является их ориентация на различные группы учащихся. Остановимся на некоторой, весьма условной, конечно же, классификации учащихся будущей профильной школы с точки зрения математики. 22]

Первую, естественно, весьма немногочисленную группу учеников составляют математические вундеркинды, учащиеся-звезды, победители олимпиад высокого уровня. Представители этой группы овладевают школьной программой «играючи». Для них вообще нет проблемы «преодоления» выпускного экзамена или ЕГЭ. Их математические аппетиты требуют все новой и новой пищи. Им интересно изучать то, «что в школе никто не изучает». В работе с этими учениками важно не навредить, не помешать.

Ко второй группе отнесем учеников, которые в течение всех прежних лет постоянно и с увлечением изучали математику, участвовали в олимпиадах, занимались в кружках. Тех, у кого, по всей видимости, как в начальной школе, так и в среднем звене были добросовестные учителя, достаточно требовательные, с одной стороны, и поощряющие творческий подход и самостоятельность решения, с другой стороны. Классы, в которых они учились, были достаточно хорошо подготовлены по математике. То есть включали тех, из кого в идеале и должны состоять классы профильного обучения. [22]

Третья группа. Старшеклассники, хорошо занимающиеся по математике на протяжении предыдущих лет обучения в силу врожденной старательности. Их учитель был чрезвычайно строг и развивал главным образом технику математических вычислений, а не свободу математического мышления. Решаемые в классе и задаваемые на дом задачи были весьма однообразны, отрабатывали технику, их трудность заключалась главным образом в громоздкости вычислений. Прошедшие такую «школу» ученики с первых шагов обучения в профильных классах затрудняются в решении «хитрых» задач, тех, решение которых требует не только знаний и умений, но и интуиции. Эти ученики очень долго готовят уроки, для них является катастрофой невыполнение домашнего задания, чрезвычайно болезненно реагируют на тройки и даже двойки, которые могут появиться в их дневниках на первых порах обучения. Практика показывает, что через некоторое время они либо развиваются, преодолевая «препятствие», и становятся лучшими, либо «опускают руки», признав себя неспособными к обучению в классах с углубленным изучением математики. Возможно, что первые полгода этим детям не стоит рекомендовать посещать какой-либо элективный курс вообще. [22]

К четвертой группе отнесем школьников, которым легко давалась математика. У них развита интуиция «от природы», они быстро чувствуют, что хочет от них преподаватель. Учитель, у которого они обучались, свои уроки вел как игру, недолго оставаясь на «нудных» вычислительных упражнениях, щедро ставил пятерки за оригинальные решения, поощрял решивших первыми и т. п. (доводя порой все это до крайности). У таких учащихся возникают прямо противоположные трудности по отношению к тем, о которых шла речь в предыдущем пункте. Их утомляют, раздражают встречающиеся громоздкие вычисления, пугают не получающиеся с ходу задачи и т. д. и т. п. Они тянут руки на уроках и на первых этапах обучения также получают пятерки, опередив своих товарищей; по-прежнему чрезвычайно быстро делают (или убеждают себя и окружающих, что делают) домашние задания. Эти учащиеся не засиживаются над изучением теории, невнимательно слушают ответы своих товарищей и объяснения учителя, особенно если чувствуют, что тут нельзя быстро получить пятерку. У таких старшеклассников, конечно же, возникают большие трудности в первый период обучения. Учитель должен проявить к ним определенную терпимость, так как среди них много талантливых подростков, просто не владеющих техникой и навыком систематической работы. Эти учащиеся, скорее всего, выберут сразу несколько элективных курсов, но могут быстро к ним охладеть и прекратить посещать занятия. Поэтому, возможно, и им первые полгода профильного обучения стоит обойтись «минимумом» элективных курсов (конечно же, такое решение должно «родиться» в голове ученика в результате переговоров). Затем, если первое полугодие прошло удачно, они смогут освоить любую из вышеперечисленных программ. 22]

Пятую группу составляют ученики, которые были сильными в очень слабых классах; тех, кто учился у учителя, ставящего перед собой задачу в первую очередь обучить всех всему, подробно растолковать всем все, что он знает. Такие ученики за предыдущие годы обучения привыкли выслушивать порою скучные и ужасающие ответы своих соучеников, и им уже надоело даже смеяться над такими ответами. Они привыкли во время этих ответов разговаривать с товарищами, наблюдать за какими-то посторонними вещами, происходящими либо в классе или за окном… Им свойственна чрезвычайно завышенная самооценка (это не их вина, но беда). На первых порах они и объяснения учителя слушают урывками, им кажется все ясным, кажется, что основные идеи они подхватили на лету, а все остальное уже слушать не надо. Трудность работы с этими школьниками заключается в основном в том, что математика уже не дает им возможности, как раньше, самоутвердиться и почувствовать свою исключительность. Из-за постигших их на первых порах неудач (а они неизбежны) и желая рационализировать ситуацию, в которой они оказались, многие из таких учащихся начинают думать, что:

либо изучаемый материал неинтересен;

либо новый учитель плохо объясняет и специально запутывает простые вещи, да еще специально придирается к учащимся.

Работа с такими учащимися достаточно сложна. Они, эти ученики, могут оказаться как хороши, так и плохи на любом элективном курсе, но привлечь их к занятиям, безусловно, стоит. Правда, курсы лучше выбрать не очень сложные. 22]

Следующая группа школьников состоит из подростков, которые пришли в профильный класс как в еще одну секцию, кружок. Просто в этот класс шло много учеников, и они пришли туда «за компанию». Математика их интересует постольку, поскольку они занимаются еще в музыкальной школе, спортивной секции или еще каком-либо кружке. Постепенно они могут начать не успевать все это делать одновременно, что становится серьезной проблемой. Они очень не хотят бросить обучение в музыкальной школе и т. п. Эти старшеклассники, скорее всего, не будут посещать никаких элективных курсов, и, возможно, им и не надо их активно предлагать. Элективными курсами для них как бы являются те внеурочные кружки и секции (в школе или вне ее), в которых они достигли уже весьма высоких результатов. Конечной целью таких учащихся совершенно необязательно являются профессиональные занятия спортом или музыкой. Поэтому они активно занимаются общешкольной профильной программой и, как правило, успешно поступают в вузы. [22]

Заключительную группу учеников профильных классов могут составить откровенно слабые либо «натасканные на поступление» ученики, неспособные освоить профильную программу по математике вообще. Очевидно, что такие ученики будут. Вопрос выполнения ими учебного плана, составной частью которого являются элективные курсы, видимо, в каждом отдельном случае будет решаться индивидуально.

Любая из вышеописанных групп требует специфической работы учителя. Если эта работа правильно организована, то, как показывает практика, в большинстве случаев она приводит к успеху. Уже к началу второго года профильного обучения состав учащихся в большей степени уравнивается, причем значительно увеличивается слой хорошо подготовленных, интересующихся предметом учащихся. Так что, на наш взгляд, самое продуктивное время для элективных курсов — это второй год обучения в профильной школе. 22]

Успешность профильного обучения и проведения элективных курсов, в частности, во многом зависит от личности и квалификации ведущего эти курсы учителя. Заметим, к слову, что не только учитель формирует ученика, но и ученики в большой степени формируют учителя. 12]

§ 4. Психолого-педагогические особенности старшеклассников

В настоящее время школа испытывает значительные трудности, одна из причин которых видится в том, что обучение и воспитание недостаточно опираются на комплекс имеющихся психолого-педагогических знаний о формировании и развитии личности ученика. Формирование личности происходит прежде всего в школьные годы, поэтому педагогам надо изучать индивидуальные особенности учащихся, создавать условия для реализации их творческих устремлений. 7] Эффективность работы педагогов и психологов проверяется тем, насколько психологически и морально готовыми к взрослой жизни оказываются старшеклассники, насколько правильный выбор пути они сделали.

В старших классах школы развитие познавательных процессов детей достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы взрослого человека, включая самые сложные. Подростки и юноши уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. Они относительно свободно размышляют на нравственные, политические и другие темы, практические не доступные интеллекту младшего школьника. У старшеклассников отмечается способность делать общие выводы на основании частных посылок и, напротив, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок, т. е. способность к индукции и дедукции. Важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста — это умение оперировать гипотезами. [10]

К старшему школьному возрасту дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического или словесно-логического мышления. Одновременно наблюдается интеллектуализация всех остальных познавательных процессов [14, с.150−153]. Долгое время развитием таких сторон интеллекта, как здравый смысл, смекалка, интуиция школа пренебрегала или сводила их главным образом к приобретению учащимися трудовых умений и навыков. В структуру практического интеллекта, на совершенствование которого следует обращать особое внимание в старших классах, входят такие качества ума, как предприимчивость, экономность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи. Предприимчивость проявляется в том, что в сложной жизненной ситуации человек способен находить несколько решений возникшей проблемы, а главное в том, что какая бы проблема перед ним не возникала, он всегда готов и в состоянии отыскать ее оптимальное решение в практическом плане. Предприимчивый человек из любой ситуации сможет найти выход. Экономность как качество практического ума состоит в том, что обладающий этим качеством человек в состоянии найти такой способ действия, который в сложившейся ситуации с наименьшими затратами и издержками приведет к нужному результату. Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Умение оперативно решать поставленные задачи — динамическая характеристика практического интеллекта, проявляющаяся в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения [14, с.200−201]. Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой альтернативы при решении одних и тех же задач. Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности — стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию — характерная особенность и подросткового, и юношеского возраста. Развитие самосознания старшеклассников выражается в применении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда, в проявлении ощущения взрослости. Все это приводит к переосмыслению содержания целей и задач деятельности.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). На этом этапе развитии подросток способен самостоятельно выбирать нужную ему ту, или иную информацию. Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям. Одновременно с этим складывается новое отношение к учению, особенно в последних классах школы. Ее выпускников привлекают предметы и виды знаний, где они могут лучше узнать себя, проявить самостоятельность, и к таким знаниям у них вырабатывается особенно благоприятное отношение. Специфика юности заключается в том, что именно в эти годы идет активный процесс становления мировоззрения, и к окончанию школы мы имеем дело с человеком, более или менее определившимся, со взглядами хотя и не всегда правильными, но стабильными.

Как отмечал Р. С. Немов, интеллектуальная зрелость, в том числе нравственно-мировоззренческая, готовность старших школьников ставить и решать, различные жизненные задачи в этом возрасте очевидна, хотя здесь говорить о ней пока что приходится в общем виде, имея в виду сравнительно невысокий уровень интеллектуального развития немалого числа современных юношей и девушек. Немов Р. С. «Психология развития"Москва, 1998 г.

Речь идет о возможностях, которые имеются у всех старшеклассников, и многими из них практически реализуются. Значительны и индивидуальные различия, существующие между старшеклассниками, причем в настоящее время даже наблюдается тенденция к их увеличению в связи с дифференциацией учебных программ, учебных заведений, относительной свободой выбора в них учебных предметов. Большинство старших школьников к окончанию школы самоопределяются в будущей профессии. У них складываются профессиональные предпочтения, которые, однако, не всегда являются достаточно продуманными и окончательными. [17]

Будущие профессиональные успехи детей в немалой степени определяются трудовыми умениями и навыками, которые активно формируются в школьные годы. Без достаточно высокого уровня общего интеллектуального развития немыслимы сколько-нибудь значительные успехи в любом виде деятельности. Не менее важны и специальные способности, проявляющиеся в трудовых умениях и навыках, являющихся базой для многих различных видов профессиональной деятельности. Подростковый и ранний юношеский возраст — это время профессионального самоопределения. Очень важно именно в эти годы окончательно выявить и по мере возможности развить те способности, на основе которых юноше можно было бы разумно и правильно осуществлять выбор профессии. 7] Начиная со средних классов школы наряду с общеобразовательным должно быть организовано и специальное обучение детей, профессионально ориентирующее их в соответствии с имеющимися задатками и способностями на выбор вида и рода занятий, причем на добровольной основе. Т. е. профессионализация обучения с одновременной его дифференциацией по способностям должна вводиться параллельно и в дополнение к общеобразовательной программе, т.к. основной направленностью личности старшеклассника является, ни что иное как, выбор своего жизненного пути, который в свою очередь неразрывно связан с выбором профессии.

§ 5. Мышление и его развитие. Особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте

Развитие мышления школьников является одной из главных задач обучения, так как высокая результативность обучения школьников достигается прежде всего тогда, когда проявляется должная забота о развитии мышления учащихся.

Мышление является продуктом исторического развития общественной практики, особой теоретической формой человеческой деятельности. С точки зрения психологии, мышление — это специально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза.

Критерий истинности мышления — общественная практика. Она служит также той основой, на которой строятся логические законы и правила. Поэтому мышление не может быть сведено только к совокупности мыслительных операций и манипулировании с ними. Развитое мышление тесно связано с речью, то есть способностью говорить, выражать свои мысли.

В задачи мышления входит правильное определение причин и следствий, которые могут выполнять функции друг друга в зависимости от обстоятельств и времени.

Развитие мышления — это изменения его содержания и форм, которые образуются в процессе познавательной деятельности ребенка. В психологии обычно рассматриваются три вида мышления: 1) практически-действенное, 2) наглядно-образное и 3) словесно-логическое. Самым ранним (у ребенка до 3 лет) является практически-действенное. В 4−7 лет развивается наглядно-образное. В первые годы обучения в школе происходит развитие словесно-логического (понятийного) мышления. У школьников среднего и старшего возрастов этот вид мышления становится особенно важным.

В процессе развития мышление предшествующий вид не отбрасывается последующим. Каждый вид продолжает и дальше развивается и совершенствоваться.

Таким образом, развитие мышления — это не простая смена видов и форм мышления, а их изменение, совершенствование в ходе усвоения все более абстрактной и обобщенной информации [7],.

Развивать мышление — это значит:

1) развивать все виды и формы мышления и стимулировать процесс перерастания их из одних в другие;

2) формировать и совершенствовать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификацию и другие);

3) развивать умения: выделять существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных; находить главные связи и отношения вещей и явлений окружающего мира; делать правильные выводы из фактов и проверять их; доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения; раскрывать существо основных форм правильных умозаключений; излагать свои мысли определенно, последовательно, непротиворечиво и обоснованно;

4) вырабатывать умения осуществлять перенос операций и приемов мышления из одной области в другую; предвидеть развитие явлений и делать обоснованные выводы;

5) стимулировать процесс перехода от мышления, основанного на формальной логике, к мышлению, основанному на диалектической логике; совершенствовать умения и навыки по применению законов и требований формальной и диалектической логики в учебной и внеучебной познавательной деятельности учащихся.

Указанные компоненты тесно взаимосвязаны.

Особо подчеркивается значение мыслительных операций, которые лежат в основе любого из этих компонентов: формулируя и совершенствуя их у учащихся, мы тем самым способствуем развитию их мышления вообще.

Таким образом, под развитием мышления учащихся в процессе обучения понимается формирование и совершенствование всех видов, форм и операций мышления, выработка умений и навыков по применению законов мышления в познавательной и учебной деятельности, а также умений осуществлять перенос приемов мыслительной деятельности из одной области знаний в другие.

В настоящее время особое внимание уделяется развитию мышления старшеклассников. Производительный труд и производственное обучение в системе трудового воспитания предъявляют к учащимся серьезные требования. У них вырабатывается активная жизненная позиция, более сознательное отношение к выбору будущей профессии, к самоопределению и самопознанию, прививаются навыки трудовой и учебно-познавательной деятельности. Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений принять на практике приемы и операции мышления. Резко возрастает потребность в самоконтроле и самовоспитании, в знаниях своих способностей и возможностей их реализации, развивается инициатива. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приемами умственной деятельности моделируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения.

Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять ее на практике.

Для старшеклассников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Изменение значимости учения оказывает решающее влияние на отношение ученика не только к учебе, но и к самому себе. Старшеклассник проявляет углубленный интерес к самому себе, к своему мышлению. Это во многом способствует развитию таких качеств, как наблюдательность, избирательность, критичность. Изменяются и мотивы учения, так как они приобретают для старшеклассников важный жизненный смысл. Характерно также неуклонное возрастание сознательности, усиление роли обобщений и абстракций в мыслительной деятельности: старшеклассники понимают общее значение конкретных фактов, понимают, что конкретный образ выступает не только как факт, взятый сам по себе, но и как выразитель общего. Речь идет здесь о понимании связи между отдельными, особенным и общим, которая лежит в основе познавательной деятельности человека.

В основе развивающихся способностей человека лежит активность и саморегуляция. Потребность в саморегуляции, то есть в правлении и развитии личности, — важная особенность старшеклассников. Психологи утверждают, что старшеклассникам доступно управление своими психическими процессами и действиями, поэтому они не только проявляют активность в интеллектуальной сфере, анализируют те или иные явления, высказывают суждения, но и сознательно формируют свое мировоззрение, для чего требуется достаточно высокий уровень развития мышления.

§ 6. Необходимость развития мышления, абстрактного мышления учащихся старших классов средствами современной алгебры

В современной школе задача развития мышления решается попутно с усвоением учащимся программного материала и не выделяется как самостоятельная. Дидактические основы развития мышления учащихся — это законы и закономерности процесса обучения, в особенности закон единства обучения и развития и закон активности учащихся в обучении и воспитании. Они находят отражение в ряде дидактических принципов, которые при благоприятных условиях способствуют управлению развитием мышления учащихся.

В процессе овладения знаниями школьники усваивают определенные операции и приемы мыслительной деятельности, но такой стихийный путь явно недостаточен. Нужно так организовать обучение, чтобы оно стимулировало самостоятельное мышление, вызывало активную переработку новой информации, способствовало установлению связей между старым и новым материалом, направляло на специальное усвоение рациональных приемов умственной деятельности. Школьники должны ясно осознавать мыслительные задачи, знать основные пути их решения, уметь проводить поиски решения конкретной задачи. Для этого необходима специальная работа учителя по формированию и совершенствованию умственной деятельности учащихся. Учить учиться, учить правильно мыслить, самостоятельно выполнять различные задания — вот в чем суть задач, стоящих перед современной общеобразовательной школой. А умение мыслить заключается прежде всего в правильном использовании мыслительных операций. Учитель любого предмета, формируя научное понятие, сравнивает между собой предметы, явления и события, анализирует и синтезирует их, абстрагирует существенные признаки, классифицирует и обобщает; излагает учебный материал, рассуждает; доказывает, формулирует выводы. «Прибавка» в мышлении учащихся характеризуется степенью самостоятельности их в решении предполагаемых задач, в овладении основными материалами, операциями и примами мышления, в способности комбинировать знания, проявляющийся при выполнении трудных заданий. 14]

Если обучение организовано системно, логично, целенаправленно, то оно обогащает детей чувственным опытом, развивает их речь, наблюдательность стимулирует любознательность, стремление к поискам и открытиям. Особенно сильное воздействие оказывает деятельность, в которой объединяются учебные и трудовые, теоретические и практические задачи.

Педагогическое управление процессом развития мышления школьников может достичь своей цели лишь тогда, когда общается единство рационально отобранного и дидактически обработанного содержания, адекватных и хорошо отработанных мыслительных операций и действенных, специально значимых мотивов учебно-познавательной деятельности учащихся при учете индивидуальных различий в их мышлении [10],.

Мышление старшеклассников (а значит, и умение пользоваться мыслительными операциями) необходимо не только стимулировать, но и специально развивать на протяжении всех лет обучения в школе.

Ведущее значение в мышлении старшеклассников занимает абстрактное мышление.

Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной операцией, называемой абстрагированием. Абстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).

Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению.

Абстрактное мышление можно подразделить на:

1) аналитическое мышление;

2) логическое мышление;

3) пространственное мышление.

Аналитическое мышление характеризуется четкостью отдельных этапов в познании, полным осознанием как его содержания, так и применяемых операций. Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа.

Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы.

Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образцы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами.

Овладение абстрактными знаниями приводит к изменению у учащихся старших классов самого течения мыслительного процесса. Такой мыслительных процесс может проявиться только на элективных курса по алгебре, так как этот материал подразумевает серьезное абстрагирование. Мыслительная деятельность отличается у учащихся высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществлять перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий.

На наш взгляд, развитию абстрактного мышления старшеклассников способствует изучение элементов современной алгебры. Обучение современной алгебре стоит на более высокой ступени абстракции, чем обучение элементарной математике. Например, такое основное понятие современной алгебры, как группа, кольцо, поле, конечное поле, достаточно абстрактные понятия в отличие от понятий элементарной алгебры и геометрии [10],.

Введение

элементов современной алгебры предъявляет большие требования к абстрактному мышлению школьников. При изучении современной алгебры понятия даются в столь абстрактной и обобщенной форме, что для учащихся представляет трудность умение видеть за этими общими и абстрактными понятиями все то множество конкретных образов, обобщением которых они являются.

Кроме того, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории конечных полей следует рассматривать на элективных занятиях, так как данный материал достаточно труден для школьников. Здесь требуются предварительные знания по алгебре, должно быть введено на других занятиях понятие поля, кольца, группы, так же необходима чрезвычайно высокая культура работы с даваемыми определениями, необходима, если можно так сказать, потребность в определениях. Теоремы этого курса так же сложны для полного понимания, поэтому многие из них в разработке элективного курса даны без доказательства. Применение всех предоставленных элементов теории в элективном курсе позволяют немного погрузиться в мир современной алгебры, а на практических занятиях. При решении различных простых задач, поучиться применять небольшую часть теории.

На основе выше изложенного можно сделать вывод что, профильное обучение все больше и больше встречается в наших школах, учащиеся старшей школы на пороге поступления в ВУЗы, стали более заинтересованы в знаниях и умениях, которые они выносят их школы. Дети стремятся узнать что-то новое, необычное, тем более, что в профильной школе появилась возможность выбирать. Такая возможность появляется, конечно, при наличии элективных курсов, ведь эти курсы хоть и обязательные для посещения, но по выбору учащихся. Как мы уже отметили, они входят в состав профиля обучения на старшей ступени школы и реализуются за счет школьного компонента учебного плана. А значит, учащиеся могут выбирать, что они будут изучать глубже: алгебру, физику и т. д. Тогда разработка элективных курсов необходима по разным предметам.

Глава 2. Содержание элективного курса по алгебре. Тема: «элементы теории конечного поля»

В этой главе, мы увидим несколько занятий элективного курса по алгебре для классов старшей школы с углубленным изучением математики. Этот материал может изучаться, только в том случае, если у учащихся уже есть некоторые алгебраические основы, на которых строиться этот курс. Другими словами учащиеся должны иметь представления о полях, кольцах, группах и т. д. В главе разработаны несколько теоретических и практических занятий связанных с теорией конечных полей. Конечно, возраст и знания обучаемых, не дают целиком погрузиться в теорию, но введение ключевых определений и формулировок теорем, доказательство некоторых, решение элементарных примеров позволяют лишь немного «прикоснуться «к ней.

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс предназначен для реализации в старших классах школ математического профиля. Направлен на знакомство учащихся с элементами теории конечных полей, развитие абстрактного мышления.

Этот курс может обеспечить мотивацию учащихся для более глубокого и осознанного изучения математики, и алгебры в частности. Вообще курс ориентирован на рассмотрение элементов высшей алгебры в профильной школе. Курс служит для внутрипрофильной дифференциации и углубленное изучение ряда вопросов. Постепенно методика обучения в профильных классах, на элективных курсах, должна постепенно развивать у учащихся навыки организации умственного труда и самообразования. Здесь и умение воспринимать объясняемый материал, достаточно быстро его конспектировать, с одной стороны, и умение работать с учебниками и иной литературой, с другой стороны. Так же учащиеся смогут научиться решать простые задачи из этого курса, в дальнейшем это умение понадобится для дальнейшего обучения в ВУЗах. Курс позволяет развивать умения учащихся мыслить и решать задачи в нестандартных ситуациях.

Кстати, одной из целей обучения является развитие уважения к книге (в первую очередь — учебной) вообще.

Цели курса:

§ важной целью обучения является: знакомство учащихся с математикой как с наукой, общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя;

§ знакомство с элементами теории конечных полей. А также может послужить базой для продолжения математического образования в вузах различного профиля;

§ реализация поставленных целей будет способствовать овладению учащимися некоторыми знаниями и учениями в этой области.

Материал курса предназначен как для учеников, склонных к практическому, так и для тех, кто склонен к теоретическому мышлению.

При проектировании содержания курса, методов и форм его реализации мы исходили из того, что одной из основных задач образования является создание условий для формирования у учащихся представлений о современной алгебре. Эта наука может быть, не такой как ее преподают в школе, что для овладения ее необходимы не только вычислительные навыки, но и абстрактное мышление, знание определений и теорем.

Развитию познавательных интересов способствует возможность выбора различных видов деятельности (учебные теоретические исследования (отыскание того или иного доказательства), решение прикладных задач, поиск различной информации).

В курсе имеются задания для состоятельного решения, которые способствуют эффективному освоению предлагаемого материала.

Основные формы организации учебных занятий: лекции, беседы, практические занятия и самостоятельные работа учащихся.

Возможно также, что ученики самостоятельно, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий, рефератов и т. п.

Задачами курса являются:

§ знакомство учащихся с таким алгебраическим понятием, как конечное поле;

§ актуализация знаний понятийно-терминологической базы алгебры;

§ формирование умений решения задач по алгебре внутри этой темы;

§ повышение математического уровня учащихся.

Элективный курс имеет большой образовательный и развивающий потенциал, так как формирует представление об элементах современной алгебре, а так же способствует развитию абстрактного мышления.

Доминантной формой учения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, которая реализуется как на практических занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Средствами для ее осуществления являются теоретические знания, которые предлагаются в разработке данного курса. И необходимо также отметить, что изучение этого курса невозможно без знания алгебраических основ, которые учащиеся могут изучить на других элективных курсах — например: понятие числового множества, группы, кольца, поля, класс вычетов по простому модулю и т. д. И конечно же формулировки теорем относящихся к этим понятиям. (см приложение) На изучение курса целесообразно отвести 14 аудиторных (академических) часа по два часа в неделю, всего 7 недель, распределив их по темам следующим образом:

Занятие 1−2. Вводное занятие [13]

Занятие 3. Конечное поле, вычисление в конечном поле. [13]

Занятие 4. Характеризация конечных полей. 13]

Занятие 5−6. (практика) Занятие 7−8. (лекция) Критерии подполя. Таблицы операций конечного поля. 13] Самостоятельная работа.

Занятие 9. Корни неприводимых многочленов. 13]

Занятие 10−11 (практика).

Занятие 12. Основная конструкция конечных полей.

Занятие 13. Контрольная работа.

Занятие 14. Зачет.

Данный курс лучше проводить в начале 3 четверти.

Организация и проведение аттестации учеников:

Самостоятельная работа.

Контрольная работа.

Зачет.

Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определенный набор умений, а также приобретение опыта исследовательской деятельности, содержательно связанных с предметным полем — математикой.

После изучения предложенного курса, учащиеся пишут контрольную работу, и сдают зачет по теории.

Список основной литературы:

Рудольф Лидл, Конечные поля В 2 т. /Перевод с англ. А. Е. Жукова, В. И. Петрова; Под ред. В И. Нечаева; Т1 М.: Мир, 1988 — 428 с. 13]

Методические рекомендации:

Все теоретическое содержание разделено на два уровня сложности:

Простой уровень сложности и усложненный уровень.

Основное отличие простого от усложненного состоит в том, что при изучении элективного курса простого уровня, учащиеся изучают теоремы и леммы без доказательств, а на сложном доказываются некоторые из них. В описании содержания курса усложненный материал будет отмечаться пометкой (усложненный уровень).

Занятие 1-2. Вводное занятие

Вводное занятие содержит обзор некоторых основных алгебраических понятий, которые, изучались ранее на другом элективном курсе. В элементарной алгебре применение арифметических операций (например, сложения и умножения) с заменой конкретных чисел символами обеспечивает возможность получения формул, которые при подстановке чисел вместо символов дают решение частных числовых задач. В современной алгебре уровень абстракции возрастает: от обычных операций над действительными числами переходят к общим операциям — процессам образования в некотором множестве общего вида из двух или более данных элементов некоторого нового элемента. При этом ставится цель изучить общие свойства всевозможных систем, состоящих из множества и некоторого числа, заданных на нем и определенным образом взаимодействующих операций, например множества с двумя бинарными операциями, взаимодействующими подобно сложению и умножению действительных чисел.

Основная задача этого занятия: вспомнить ранее известные определения тех понятий, которые будут использоваться в теории. А также привести ряд примеров.

Мы рассмотрим лишь самые основные определения, сознательно ограничим себя тем минимумом теории, необходимым для нашей основной цели — изучения конечных полей.

Будем использовать следующие числовые множества: IN — множество натуральных, Z — целых, Q — рациональных, R — действительных и С — комплексных чисел.

Определение 1. Группой (G, *) называется некоторое множество G с бинарной операцией * на нем, для которых выполняются следующие три условия:

1. Операция * ассоциативна, т. Е. для любых а, b, с G ;

а (Ь с) = (а Ь) с.

2. В G существует единичный элемент (или единица) е, такой, что для любого, а G;

a e = e a = a

3. Для каждого, а G существует обратный элемент а¹ G такой, что а

* а¹ = а¹ * а = е.

Если группа удовлетворяет также следующему условию:

3. Для любых a, b G

а * b = b * a,

то она называется абелевой (или коммутативной).

Группу (G, *) будем обозначать просто G. Легко показать, что единичный элемент е группы G, а также обратный элемент а^-1 для каждого данного элемента, а G определяются однозначно указанными выше условиями. Далее, для всех a, b G имеет место равенство

(а * b)^-1 = b^-1 * а^-1.

Для простоты мы часто для групповой операции используется мультипликативное обозначение * (как для обычного умножения) и вместо, а * b пишут а*b или просто ab (называя этот элемент произведением элементов, а и Ь). Но необходимо подчеркнуть, что при этом мы отнюдь не предполагаем, что операция и в самом деле является обычным умножением. Иногда, однако, для групповой операции бывает удобно использовать аддитивную запись и писать, а + b вместо, а * b (называя этот элемент суммой элементов, а и Ь). 0 вместо е (называя этот элемент нулем) и —а вместо а^-1. Такие (аддитивные) обозначения обычно резервируются для абелевых групп.

Для п =0 Z полагаем а⁰ = е в мультипликативных обозначениях и 0а = 0 в аддитивных (здесь второй нуль является единичным элементом группы G).

Приведем пример групп:

1. Пусть G — множество целых чисел с операцией + (обычным сложением). Известно, что это ассоциативная операция и что сумма двух целых чисел — однозначно определенное целое число. Легко убедиться, что G — группа, в которой единичным элементом является нуль 0, а обратным для целого числа, а — противоположное числоа. Эту группу обозначают через Z.

2. Множество, состоящее из единственного элемента е с операцией *, определенной условием е * е = е, образует группу.

3. Пусть G — множество {0, 1, 2, 3, 4, 5} остатков от деления целых чисел на 6, и для a, b G пусть, а * b — остаток от деления на 6 обычной суммы чисел, а и b. Существование единичного элемента и обратных здесь очевидно, но для установления ассоциативности операции * требуются некоторые вычисления. Полученную группу можно непосредственно обобщить, заменив целое число b любым натуральным числом п.

Вспомним следующее определение.

Определение 2. Абелевой Группой (или коммутативной) (G, *) называется некоторое множество G с бинарной операцией * на нем, если группа удовлетворяет также следующему условию: для любых a, b G:

а * b = b * a,

Определение 3. Кольцом (R, +,) называется множество R с двумя бинарными операциями, обозначаемыми символами «+» и ««, такими, что

1. R — абелева группа относительно операции «+».

2. Операция ассоциативна, т. Е. для всех а, b, с R,

(а b) с= а (bс).

Выполняются законы дистрибутивности, т. Е. для всех а, b, с R:

а (b + с) = аb + ас и (b + с) а = bа + с а.

Следует обратить внимание на то, что операции + и * не обязательно являются обычными сложением и умножением. Единичный элемент аддитивной группы кольца R называется нулевым элементом (или нулем) кольца R и обозначается символом 0, а обратный к элементу, а этой группы обозначается череза.

Из определения кольца получается общее свойство a0 = 0а = 0 для всех, а R. Из этого в свою очередь следует, что (—a) b = а (—b) = —ab для всех a, b R.

Примеры колец:

1. Пусть R — абелева группа с групповой операцией +. Определим умножение условием ab = 0 для всех a, b R. Тогда R становится кольцом.

2. Целые числа образуют целостное кольцо, но не поле.

3. Четные числа образуют коммутативное кольцо без единицы.

Выше мы видели, что поле, в частности, является целостным кольцом. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 2), однако верно в случае, когда указанное целостное кольцо состоит из конечного числа элементов (т. Е. является конечным кольцом). Порядком конечного кольца называется число элементов этого кольца.

Определение 4. а) кольцо называется коммутативным, если операция «» коммутативна.

б) кольцо называется целостным кольцом, если оно является коммутативным кольцом с единицей е 0, в котором равенство ab = 0 влечет за собой, а = 0 или b = 0.

в) коммутативное тело называется полем.

Вспомним определение идеала.

Определение 5. Подмножество J кольца R называется идеалом этого кольца, если оно является подкольцом кольца R и для всех, а J и r R имеет место аrJ и rа J.

Пример идеала:

Пусть R — коммутативное кольцо, а R, и пусть J= {raРrR}. Тогда J — идеал кольца R.

Так как идеалы являются нормальными подгруппами аддитивной группы кольца, то каждый идеал J кольца R определяет некоторое разбиение множества R на смежные классы по аддитивной подгруппе J, называемые классами вычетов кольца R по модулю идеала J. Класс вычетов кольца R по модулю J, содержащий элемент, а R, будем обозначать через [а] = a+J, так как он состоит из всех элементов R вида а+с, где с J. Элементы a, b R, принадлежащие одному и тому же классу вычетов по модулю J (т. Е. такие, что, а — b? J), называем сравнимыми по модулю J и записывать это так: а b (mod J) .

Определение 6. Кольцо классов вычетов кольца R по модулю идеала J относительно операций (a+J)+(b+J)=(a+b)+J и (a+J)(b+J)=ab+J называется факторкольцом кольца R по идеалу J и обозначается через R/J.

Домашнее задание.

Найти примеры: групп, идеала, колец, поля. Уметь объяснить почему этот пример подходит.

Занятие 3. Конечное поле, вычисление в конечном поле

Основные задачи этого занятия: ввести определение конечного поля. Привести пример конечного поля. Так же рассмотреть вычисления в конечном поле.

Содержание занятия.

Определение. Поле называется конечным, если оно состоит из конечного количества элементов. Для любого простого числа р и любого натурального числа n существует поле, состоящее из рⁿ элементов.

Наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, т. Е. факторкольцо Z/(p), где р — простое число. Многие свойства этого поля сохраняются и для произвольных конечных полей. Множество Zn классов вычетов по модулю n образует кольцо. Если р — простое число, то Zp образует поле, т. е. в нем можно производить сложение, вычитание, умножение и деление. Мы будем работать со следующими представителями смежных классов: 0, 1, 2, …, р-1 .

Задача. Пусть мы находимся в поле Z₁₁, рассмотрим в этом поле несколько примеров операций.

2 + 10 = 1, так как 2 + 10 = 12 = 1 (mod 11)

56−21=2, так как 56−21=35= 2(mod11)

2 · 10 = 9, так как 2 · 10 = 20 = 9 (mod 11)

2: (-1) = 6, так как 2· 6 = 12 = 1 (mod 11)

5: (-1) = 9, так как 5 · 9 = 45 = 1 (mod 11)

Из выше сказанного возникает потребность в формулировке следующего утверждения.

Теорема 1. Факторкольцо Z/(p) кольца Z целых чисел по главному идеалу, порожденному простым числом р, является полем.

Теорема 2. Каждое конечное целостное кольцо является полем.

Для большего понимания приведем следующий пример.

Пример. Пусть p = 3. Тогда факторкольцо Z/(p) состоит из трех элементов [0], и. Операции в этом кольце можно задать таблицами (сложения и умножения).

Факторкольцо Z/(p) — пример конечного поля, т. Е. поля, содержащего конечное число элементов. Общая теория таких полей будет развита позже.

Задача 1. Составьте таблицы операций сложения и умножения, для факторкольца Z/(p), где p=5.

Решение. Если p=5, тогда фактор кольцо состоит из пяти элементов [0], [1], [2], [3],.

Домашнее задание.

1. Найти доказательство теоремы 1. Разобраться в нем до следующего занятия.

(Доказательство. >В силу теоремы о том, что (каждое конечное целостное кольцо является полем) достаточно показать, что Z/(p) является целостным кольцом. Ясно, что его единицей является и что равенство [a][b]=[ab]=[0] выполняется в том и только том случае, когда ab= kp для некоторого целого числа k. Но поскольку р — простое число, то оно делит произведение ab тогда и только тогда, когда оно делит по крайней мере один из сомножителей. Следовательно, либо [a]=[0], либо [b] = [0], так что кольцо Z/(p) не имеет делителей нуля.<)

2. Задача 1. Составьте таблицы операций сложения и умножения, для факторкольца Z/(p), где p=6.

3. Вычисли в Z₈

а) 135+47 в) 9· 9

б) 198 -109 г)15· 6

Занятие 4. Характеризация конечных полей

Данное занятие включает в себя материалы (усложненного уровня).

Основные задачи этого занятия:

o вспомнить определение коммутативного кольца, кольца с единицей, целостного кольца, что называется телом.

o сформулировать определения: характеристики кольца, простого поля,

o сформулировать теорему про n простое число, если кольцо R без делителей нуля.

o Сформулировать основную теорему этого занятия, о том, что порядком каждого конечного поля является некоторая степень простого числа

Содержание занятия.

Как уже говорилось, что наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, т. Е. факторкольцо Z/(p), где р — простое число. Многие свойства этого поля сохраняются и для произвольных конечных полей.

Установим то, что порядком каждого конечного поля является некоторая степень простого числа и, наоборот, для каждой степени простого числа

q = рⁿ, п N,

существует конечное поле, состоящее из q элементов.

Вспомним следующее определение:

Определение.

1) Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативную единицу, т. Е. если существует такой элемент еR, что

ае = еа = а для любого, а R.

(II) Кольцо называется коммутативным, если операция коммутативна.

(III) Кольцо называется целостным кольцом (или областью целостности), если оно является коммутативным кольцом с единицей е 0, в котором равенство ab = 0 влечет за собой, а = 0 или b = 0.

(IV) Кольцо R называется телом, если R {0} и ненулевые элементы в R образуют группу относительно операции .

(V) Коммутативное тело называется полем.

Ранее, мы уже приводили примеры некоторых из выше перечисленных колец (см занятие 1).

Определение 1. Пусть R — произвольное кольцо. Если существует такое натуральное число п, что для каждого rR выполняется равенство пr = 0, то наименьшее из таких чисел п (скажем, n₀) называется характеристикой кольца R, а само R называется кольцом (положительной) характеристики п₀. Если же таких натуральных чисел п не существует, то R называется кольцом характеристики 0.

Теорема 1. Если кольцо R {0} с единицей е и без делителей нуля имеет положительную характеристику п, то п —простое число.

Следствие теоремы 1. Характеристикой конечного поля является простое число.

Конечное поле Z/(p) (т. Е. F_p), очевидно, имеет характеристику р, в то время как кольцо Z целых чисел и поле Q рациональных чисел имеют характеристику 0. Заметим, что в кольце R характеристики 2 имеет место равенство 2а =а + а = 0, откуда следует, что, а = -а для всех, а R.

Поле F_p играет важную роль в общей теории полей, так как, каждое поле характеристики р должно содержать изоморфное f_p подполе и потому может рассматриваться как расширение поля F_p. Это замечание играет основную роль в классификации конечных полей, поскольку характеристика каждого конечного поля является простым числом.

Установим одно простое предложение о числе элементов конечного поля.

Лемма 1. Пусть F — конечное поле, содержащее подполе К из q элементов. Тогда F состоит из q^т элементов, где т = [F: К].

Следующая теорема поможет нам в утверждении, что:

Теорема 2. Пусть F — конечное поле. Тогда оно состоит из р^п элементов, где простое число р является характеристикой поля F, а натуральное число п является степенью поля F над его простым подполем.

На основе выше изложенного мы можем сформулировать главную характеризационную теорему ля конечных полей.

Теорема 3. (существование и единственность конечных полей). Для каждого простого числа р и каждого натурального числа п существует конечное поле из р^п элементов. Любое конечное поле из q = pⁿ элементов изоморфно полю разложения многочлена х^q — х над полем F_p. (Без доказательства)

Домашнее задание.

Чтобы установить, что для каждого простого р и каждого натурального п существует конечное поле из р^п элементов, мы используем подход, подсказываемый следующей леммой.

Лемма. Если F — конечное поле из q элементов, то каждый элемент аF удовлетворяет равенству а^q = а.

Найти доказательство этой леммы, переписать его и разобраться.

(Доказательство. > Для, а = 0 равенство а^q = а выполняется тривиально. Что же касается ненулевых элементов поля F, то они образуют мультипликативную группу порядка q — 1, так что для каждого ненулевого элемента, а F выполняется равенство a^q-1=1, умножение которого на, а приводит к требуемому результату. <) (усложненный уровень)

Доказательство леммы 1. >Поле F можно рассматривать как векторное пространство над полем К. В силу конечности F это пространство конечно мерно. Если [F:К]=т, то F имеет базис над полем К, состоящий из т элементов, скажем, b₁,…, b_m. Таким образом, каждый элемент поля F может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации a₁b₁ + … + a_mb_m, где a₁,…, а_т К. Так как каждый коэффициент a_i может принимать q значений, то поле F состоит в точности из q^m элементов.<

Доказательство теоремы 2. >Так как поле F конечно, то его характеристика — некоторое простое число р (по следствию 1 теоремы 1). Поэтому простое подполе K поля F изоморфно F_p, согласно теореме 2, и, значит, содержит р элементов. Остальное вытекает из леммы 1. <

Занятие 5−6. (практика)

Основные задачи этого занятия:

o сформулировать терему о том. что фактор кольцо является полем.

o доказать, что в поле вычетов F_p по простому модулю p, a^p-1=1.

o научиться находить порядок элементов в поле вычетов.

o Найти НОД многочленов в конечном поле.

Содержание занятия

Начнем наши практические занятия с повторения.

Теорема. Факторкольцо Z/(p) кольца Z целых чисел по главному идеалу, порожденному простым числом р, является полем. (См. занятие 1)

Задача1. Пусть p — простое число. Докажите, что в поле вычетов F_p по модулю p для любого элемента a, отличного от нуля a^p-1=1.

Вспомним, что порядок группы — это число ее элементов (*)

Доказательство. Не нулевые элементы поля образуют группу по умножению (по определению группы). Всего элементов в поле вычетов p. Порядок этой группы p — 1, в любой конечной группе порядок элемента является делителем порядка группы (по следствию теоремы Лагранжа). Следовательно, элемент в степени порядка группы равен 1.

Задача2. Найти порядки элементов 2, 10 в F₁₉ .

Решение: порядки этих элементов являются делителями 18 (19 — 1=18 по теореме Лагранжа), следовательно находим делители 18, а это числа: 2, 3, 6,9, 18, а значит возведем в теперь а)2 и б)10 в степени 2, 3, 6, 9, 18 помня о том, что, мы находимся в поле F₁₉.

Получим: а), ,

вычтем из 64 19 три раза и получим, что

По определению порядка элемента, если при возведении в степень состоящую из делителей (в данном случае это делители числа 18) число дает 1, то порядком элемента является эта степень. Ответ: порядок 2 в F₁₉=18

б) решение: аналогично используя рассуждения задачи (а) определим порядок элемента 10 в F₁₉:

,

Ответ: порядок 10 в F₁₉=18

Задача3. Решить уравнение в F₃₇ .

9х = 1. помножим оби части уравнения на 4.

38х = 4 так как мы находимся в поле F₃₇, тогда 36х заменим нах получимх = 4,

х= -4 или 33 mod (37). Ответ: -4, 33

Задача4. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₂.

А) f (x)= x⁵+ x+1

g (x)= x⁶+x⁵+x⁴+ x+1.

Решение: поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида.

1)_ x⁶+x⁵+x⁴+ x+1 x⁵+ x+1 2)_ x⁵+x+1 x⁴-x²

x⁶+x²+x x+1 x⁵-x³ x

_ x⁵+x⁴-x²+ x+1 x³+x+1

x⁵+ x+1

x⁴-x²

3)_ x⁴-x² x⁵+ x+1

x⁴+x²+1 x

— 2x²+1

Рассмотрим полученное выражение, так как мы находимся в поле F₂, то -2 это 0, тогда останется только 1, а значит, 1 является наибольшим общим делителем многочленов f (x) и g (x).

Ответ: НОД (f (x), g (x))=1.

Задача5. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₃.

F (x)= x⁸+2x⁵+x³+x²+1

g (x)= 2x⁶+x⁵+ 2x³+2x²+2

Решение:

так как мы находимся в поле F₃, то все коэффициенты при x равные 2 заменятся на -1, тогда многочлены f (x) и g (x), примут вид:

f (x)= x⁸-x⁵+x³+x²+1

g (x)= -x⁶+x⁵-x³-x²-1

поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида

1)_x⁸-x⁵+x³+x²+1 -x⁶+x⁵-x³-x²-1 2)_-x⁶+x⁵-x³-x²-1 -x⁵+x⁴-x³-x²+x

x⁸-x⁷+x⁵+x⁴+x² — x²-x-1 -x⁶+x⁵-x⁴-x³+x² x

_ x⁷+x⁵-x⁴+ x³ x⁴-2x²-1 x⁴+x²-1

x⁷-x⁶+ x⁴+x³+x

_x⁶+x⁵+x⁴+x+1

x⁶-x⁵+x³+x²+1

— x⁵+x⁴-x³-x²+x

3)_ -x⁵+x⁴-x³-x²+x x⁴-x³ +x²-1 4) _ x⁴+x²-1 -x²

— x⁵-x³+x — x+1 x⁴-x² x²-1

_ x⁴-x² _-x²-1

x⁴+x²-1 -x²+1

— 2 x²-1 x²-1 -2 1

Ответ: НОД (f (x), g (x))=1.

Домашнее задание.

Задача 1. Найти порядки элементов 2, 10 в F₁₇ .(Самостоятельное решение) Задача 2. Решить уравнение в F₃₇ 5х =7

(решение аналогично решенному уравнению выше: 5х =-30, х = -6 Ответ: -6, 31.)

Задача3. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₃.

F (x)= x⁷+1

g (x)= x⁵+x³+ x+1.

(Решение: поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида.

1)_ x⁷+1 x⁵+ x³+x+1 2)_ x⁵+x³+x+1 -x²+x-1

x⁷+x⁵+x³+x² x²-1 x⁵-x⁴+x³ -x³-x²-x

_- x⁵-x³-x²+1 _ x⁴+x

— x⁵— x³-x-1 x⁴-x³+x²

— x²+x+2 -x²+x-1 _ x³-x²+x

x³-x²+x

Ответ: НОД (f (x), g (x))=1.)

Занятие 7−8. (лекция) критерии подполя. Таблицы операций конечного поля

Основные задачи этого занятия:

o Сформулировать критерий описывающий возможные подполя для конечного поля.

o Решить задачу о составлении списка всех делителей числа 30.

o Построить таблицы сложения и умножения для некоторого конечного поля.

Теорема 1. (критерий подполя). Пусть F_q — конечное поле из q = р^п элементов (р — простое число). Тогда каждое подполе поля F_q имеет порядок р^т, где т является положительным делителем числа п. Обратно, если т — положительный делитель числа п, то существует ровно одно подполе поля F_q из р^т эле_ое_ов.

Теорема 1 показывает, что если т — положительный делитель числа п, то в поле имеется единственное подполе порядка р^т, и это подполе состоит в точности из корней многочлена

в поле .

Пример 1. Подполя конечного поля F₂³⁰ можно найти, составив список всех положительных делителей числа 30.

Согласно теореме 1, эти отношения включения равносильны отношениям делимости соответствующих делителей числа 30.

Задача 1. найти подполя конечно поля F₅²⁵ составив список всех положительных делителей числа 25. (решить самостоятельно)

Определение 1. Пусть К — некоторое подполе поля F и F. Если удовлетворяет нетривиальному уравнению с коэффициентами из поля К, т. Е. если, где элементы а_i лежат в К и не равны нулю одновременно, то элемент называется алгебраическим над К. Расширение L поля К называется алгебраическим расширением поля К.

Определение 3. Пусть L — некоторое расширение поля К. Если L, рассматриваемое как векторное пространство над К, имеет конечную размерность, то L называется конечным расширением поля К.

Теорема 3. Пусть F_q — конечное поле и F_r — его конечное расширение. Тогда F_r является простым алгебраическим расширением поля F_q, причем образующим элементом этого простого расширения может служить любой примитивный элемент поля F_r.

Следствие 1. Для каждого конечного поля F_q и каждого натурального числа n в кольце F_q[x] существует неприводимый многочлен степени n.

Самостоятельная работа.

1. Составить таблицы операций сложения и умножения для фактор кольца Z/(p), где p=7.

2. Найди порядки элементов 4 и 20 в F_21.

3. Решить уравнение. А) В F₇₁ 8x=2 б) В F₅₂ 3x+4x=3

4. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₂.

f (x)= x³+x+1, g (x)= 2x⁵+ x²+2

Домашнее задание.

Задача 1. найти подполя конечно поля F₂⁶⁰ составив список всех положительных делителей числа 60.

Занятие 9. Корни неприводимых многочленов

Занятие содержит материал повышенного уровня) Основные задачи этого занятия:

o Сформулировать определение неприводимого многочлена.

o Сформулировать теорему о существовании простого алгебраического расширения поля К.

o Рассмотреть примеры.

Содержание занятия.

На этом занятии мы рассмотрим вопрос о множестве корней неприводимого многочлена над конечным полем.

Определение. Многочлен fF [х] называется неприводимым (точнее неприводим над полем F или в кольце F[x]), если он имеет положительную степень и равенство f = gh, g, h F [x], может выполняться лишь в том случае, когда, либо g, либо h является постоянным многочленом. Многочлен называется неприводимым тогда и только тогда, когда он, не имеет корней.

Определение 1. Если элемент поля F алгебраический над подполем К этого поля, то однозначно определенный нормированный многочлен gК[х], порождающий идеал J = {f К[x] f () = 0} кольца К [х], называется минимальным многочленом элемента над полем К.

Под степенью элемента над полем К понимается степень его минимального многочлена g.

Введенное определение позволяет сформулировать лемму о неприводимом многочлене.

Лемма 1. Пусть f F_q[x]— неприводимый многочлен над конечным полем F_q, и пусть — корень этого многочлена в некотором расширении поля F_q. Тогда для многочлена h F_q [x] равенство h () = 0 выполняется в том и только том случае, если многочлен f делит h.

Лемма 2. Пусть f F_q [x]- неприводимый многочлен степени т над F_q— Тогда f (x) делит многочленx в том и только том случае, если число т делит п.

С помощью следующей теоремы мы сможем решить задачу. Которая будет в контрольной работе. Запишем ее формулировку.

Теорема 1. Пусть многочлен f К[х] неприводим над полем К. Тогда существует простое алгебраическое расширение поля К, образующим элементом которого является некоторый корень многочлена f.

Приведем пример характеризующий теорему. В качестве примера формального процесса присоединения корня, описанного в теореме, рассмотрим простое поле F₃ и многочлен f (х) = х² + х+2 F₃ [х], который неприводим над F₃ [х]. Пусть и = [х] -некоторый «корень» многочлена f, т. Е. класс вычетов х + (f) из фактор кольца L =F₃ [x]/(f).Другим корнем многочлена f в L является тогда 2и + 2, поскольку,

f (2и + 2) = (2и + 2)² + (2и + 2)+2 = и² + и + 2 = 0. Простое алгебраическое расширение L=F₃(и) состоит из девяти элементов: 0, 1, 2, и, и+1, и+2,2и, 2и+1, 2и+2. Для L можно построить таблицы операций.

Заметим, что в рассмотренном примере мы могли бы вместо и, присоединить к полю F ₃ корень 2и + 2 того же многочлена f и получили бы то же самое поле L.

Домашнее задание.

Построить таблицы операции для L.

(усложненный материал)

1) Доказательство леммы1. > Пусть, а — старший коэффициент многочлена f. Положим g (х)=а^-1f (x). Тогда g — нормированный не приводимый многочлен из F_q [x], причем g ()=0, а значит, g — минимальный многочлен элемента над F_q в смысле определения 1. Остальное вытекает из утверждения, что для многочлена fК [х] равенство f () = 0 выполняется в том и только том случае, когда многочлен g делит f.<

Занятие 10−11 (практика)

Основные задачи этого занятия:

o Доказать неприводимость многочленов в конечном поле.

o Построить таблицу операций для простого расширения.

o Решить ряд задач на доказательство неприводимости.

o Решить задачу о наличии кратных корней.

Содержание занятия.

Задача1. Доказать неприводимость над F₂ многочлена f (x)=x⁴+x+1 F₂ [x] и построить таблицу операций для простого расширения F₂(), где — корень многочлена f.

1) Искомая таблица состоит из 16 элементов по вертикале, и таких же элементов по горизонтали, следовательно, всего буде 256 произведений. Укажем сначала все 16 элементов таблицы:

0; 1;; 1+; ²; 1+²; +²; 1++²;

³; 1+³; +³; 1++³;

²+ ³; +²+³; 1+²+³; 1++²+³.

Умножение на 0 и 1 тривиально, из этого следует, что тривиальны 60 произведений, далее по принципу симметрии будем искать произведение центральной диагонали и 91+14=105 произведений.

Отметим еще раз, что элементы поля имеют такой вид:

а₀+а₁+ а₂ ²+ а₃ ³,

где а₀, а₁, а₂, а₃=0 или 1, и 1, ², ³— линейно порождают F₂() над F₂.

Посчитаем произведение некоторых из 105 элементов.

(1+) (1+³) = 1+ + ³+ ⁴ =

Так как ⁴ = - -1, то равенство примет вид:

= 1+ +³— -1=³

Перемножим ³ на ³, получим:

^{3 3} = ⁶ = ^{4 2} = ² (- -1) = -³ —²=² +³

Учащимся предлагается посчитать все оставшиеся элементы таблицы.

Найдем обратный элемент ^-1

⁴ ++1=0

⁴ += -1 в F₂ ⁴ +=1

⁴(³ +1)=1

^-1=1 +³ по определению обратного элемента:

Определение1. для каждого, а G существует обратный элемент а¹ G такой, что

а * а¹ = а¹ * а = е.

2) Теперь докажем неприводимость F (x) над F₂ .

Для доказательства неприводимости, достаточно показать, что нет линейных делителей, если найдется хотя бы один линейный делитель, то в таком случае есть и корень, а значит, многочлен не является неприводимым.

Рассмотрим наш многочлен f (x)=x⁴+x+1 F₂ [x] так как мы находимся в F₂, то проверим равен ли многочлен f (x) нулю, при подстановки вместо x 0 и 1.

А) f (0)=1, 10 следовательно 1 не корень.

F (1)=1+1+1=3, 30 следовательно 3 не корень.

Значит линейных делителей нет.

Б) если нет линейных делителей, то могут быть два множителя второй степени, они имеют такой вид:

пусть x⁴+x+1= (x²+аx+1) (x²+bx+1) где [ a, b F₂ (0 или 1) и а+ b=0](*)

Тогда: (x²+аx+1) (x²+bx+1)= x⁴+bx³+x²+аx³+abx²+аx+x²+bx+1=

x⁴+bx³+ аx³+2x²+abx²+аx+ bx+1=

bx³+ аx³=0, аx+ bx=0

А из того, что 2=0 в F₂ следует, что: 2x²=0

Тогда наше уравнение примет вид: = x⁴+abx²+1, но x⁴+x+1 x⁴+abx²+1 следовательно многочлен f (x)=x⁴+x+1 F₂ [x] не приводим по определению неприводимости.

Задача2. Выяснить вопрос, имеет ли кратные корни многочлен

f (x)=x⁶+x⁵+x⁴+x³+1 F₂ [x]

Решение: не нулевой многочлен f над полем F имеет кратные корни, тогда и только тогда, когда f и не взаимно просты.

Найдем f'(x) многочлена f (x)=x⁶+x⁵+x⁴+x³+1 F₂ [x]

f'(x)=6x⁵ +5x⁴ +4x³ +3x² так как мы в F₂ [x], то 6x⁵=0; 5x⁴=1; 4x³=0; 3x²=1,а значит f'(x)=x⁴+x²= x²(x²+1) множитель x² не имеет с f (x) общих корней. Поделим уголком f (x) на f'(x)= x²+1

1)_ x⁶+x⁵+x⁴+ x³+1 x²+1

x⁶+x⁴ x⁴+x³

_ x⁵+x³+1

x⁵+ x³

1(остаток) Ответ: НОД =1, следовательно: нет кратных корней.

Домашнее задание.

Задача. Построить таблицу операций для простого расширения F₂(), где — корень многочлена f (x)=x⁴+x+1 F₂ [x]

Занятие 12. Основная конструкция конечных полей

Основные задачи этого занятия:

o Составить основную конструкцию конечного поля.

o Решить задачу на нахождение корней многочлена в конечном поле.

Содержание занятия.

F_p [x]- кольцо многочленов над полем вычетов F_p по модулю p. Пусть f (x) F_p [x]- неприводимый многочлен степени n 2

a (x) b (x)(mod f (x)), если f (x) a (x) — b (x) или тоже самое, что a (x) и b (x) имеют одни остатки при делении на f (x).

Вводим отношение эквивалентности через сравнение a (x) b (x)(mod f (x)), обозначим — класс эквивалентности, содержащий a (x)

.

— кольцо с нулем и единицей, тогда введем операцию. Докажем, что класс эквивалентности обратим.

не делиться на так как f (x) неприводим, следовательно, а следовательно — обратный к g (x).

Посчитаем число элементов. Остатки от деления определяют классы эквивалентности. Остатки имеют вид:, c_iF_p.

Таких различных остатков всего pⁿ, состоит из pⁿ элементов вида .

Задача1. F₂[x]-кольцо над полем вычетов и g (x)=x³+x+1-неприводимый многочлен. Найти корни многочлена g (x) в конечном поле из 8 элементов.

Решение:

— элементы поля L, и а₀, а₁, а ₂ {0,1}.

Пусть — корень g (x)=x³+x+1 в, и — другие корни x³+x+1=

_,

Проверим, что — корень.

_x⁶+x²+1 x³+x+1

x⁶+x⁴+x³ x³-x-1

_ -x⁴+x²-x³

— x⁴-x²— x

_ -x³+x+1

— x³-x-1

2x+2 0остаток равен 0.

Задача2. F₃[x]-кольцо над полем вычетов и g (x)=x³-x-1. Найти корни многочлена g (x) в конечном поле из 3 элементов.

Решение:

В корни f (x)=x³-x-1 — это, ,

1) _x³ x³-x-1

x³-x-1 1

x³+1- остаток.

2)

3)

Ответ:, , корни x³-x-1

Домашнее задание. Подготовиться к контрольной работе.

Занятие 13. Контрольная работа

Основные задачи этого занятия:

o Провести контрольную работу.

Содержание занятия.

Задания для контрольной работы.

1. Решить уравнение. а) В F₆ 5x=20

б) В F₅ 6x=6

в) В F₇₇ 4x=5

2. Доказать неприводимость над F₂ многочлена f (x)=x³+x+1 F₂ [x]

3. Построить таблицы сложения и умножения для поля L=F₃ (и), f (х) = х² + х+2 F₃ [х],

4. Найти НОД для многочленов f и g из поля F₂, f (x)= x⁴+x³+1, g (x)= x⁴+ x²+x+1

5. Найдите дискриминант и кратные корни многочлена f (x)= 2x⁴+x³+x²+2x+2F₃ [х].

6. F₃[x]-кольцо над полем вычетов g (x)=x³+x-1 неприводимый многочлен. Найти корни многочлена g (x) в конечном поле из 3 элементов.

7* Пусть Fполе и f, g, h, F[x]. Доказать, что если f делит g h и НОД (f, g)=1, то f делит h.

Занятие 14. Зачет

Учащиеся к зачету должны выучить все формулировки теорем и определений. изученных в элективном курсе.

Зачет проводиться в устной форме. Сначала защищается контрольная работа, исправляются ошибки, а затем учащиеся устно отвечают на вопросы учителя.

Оценка в виде зачет или незачет.

Заключение

В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела проблема внедрения в школьное математическое образование элементов современной математики. На сегодняшний момент это возможно в рамках профильной школы, на элективных курсах.

Изучение школьных программ и программ элективных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории конечных полей в них не включены. В качестве элективного курса нами был разработан курс «Элементы современной алгебры» для учащихся 10−11-х классов.

В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов современной алгебры в программу элективных курсов, обоснованы целесообразность данного учебного материала.

Было разработано содержание занятий элективного курса по теме: «Элементы теории конечные поля».

В ходе исследования были изучены основные понятия теории конечных полей, решены задачи по данной теме. На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана характеристика старшеклассника, его процесса, развития мышления, сформулированы особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления старшеклассников.

Элективные курсы — дело для отечественной школы новое, опыта их проведения практически нет. Это означает, что учителя, преподающие эти курсы, исходят в основном из своего личного опыта.

Как уже говорилось выше, одной из основных целей обучения в профильных классах является развитие личности ребенка, распознавание и раскрытие его способностей. Было бы неверно считать, что целью обучения в математическом профиле является «выращивание» математиков. Очень немногие выпускники математических школ станут профессионалами в этой области.

Если в результате занятий в профильной школе, и в частности занятий элективным курсом, ученик выбирает путь продолжения образования, связанный с математикой, — ориентационная цель достигнута. Но если выпускник математического класса осознанно не выбирает «математическое будущее», то цель также достигнута. Недостигнутой она может считаться лишь в том случае, если ученик так и не понял, нравится ему математика или нет.

Все поставленные цели и задачи исследования выполнены.

Библиография

1. Артемова Л. К. Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения.//Педагогическое образование и наука-2003;1-с.46

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10−11 классов средней школы. //Ш.А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 1992.

3. 5. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа для 10−11 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1992.

4. Воронина Г. Профильные классы: решение дидактических проблем в практике общеобразовательных школ.//Школа-2001;6-с.84

5. Выготский Л. С. «Педагогика подростка» Москва, 1984 г.

6. Гузеев В. Содержание образования и профильное обучение в старшей школе. //Народное образование-2002;9-с.113

7. Дубровина И. В. «Формирование личности в переходный период от подросткового к юношескому возрасту» Москва, 1987 г

8. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. //Управление школой «ПС» -2002;20-с.8;Учительская газета-2002;42-с.13; Дидакт-2002;5-с.3

9. Крылова Н. Как организовать профильный продуктивный класс в школе. //Школьные технологии-2003;2-с.32

10. Кулагина И. Ю. «Возрастная психология» Москва, 1998 г.

11. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. — М., 2002.

12. Лернер П. Профильное образование: взаимодействие противоположностей. //Школьные технологии-2002;6-с.75

13. Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля: перевод с англ. А. Е. Жукова, В. И. Петрова по ред. Нечаева В. И. М: Мир, 1988. Т1 428с.

14. Немов Р. С «Психология развития» Москва, 1998 г.

15. Пинский А. Подготовка перехода старшей школы на профильное обучение. //Управление школой" ПС" -2003;8-с.2

16. Профильное обучение.//Вестник образования-2002;декабрь/весь номер/

17. «Психология личности» под редакцией В. М. Николаенко, Новосибирск, 1998 г.

18. Рекомендации об организации предпрофильной подготовки учащихся основной школы в рамках эксперимента по введению профильного обучения учащихся в общеобразовательных учреждениях на 2003/2004 учебный год: Приложение к письму Министерства образования РФ от 20.08.03. — М., 2003

19. Успехов вам, 120-я!//Учительская газета-2002;6-с.18

20. Цели, содержание и организация предпрофильной подготовки в выпускных классах основной школы: Рекомендации директорам школ, руководителям региональных и муниципальных управлений образованием. — М., 2003.

21. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учебное пособие для 11 класса средней школы. — М.: Просвещение, 1991.

22. Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область «Математика"/ Министерство образования РФ — Национальный фонд подготовки кадров. — М., 2004.