Исследование системы регистрации быстрых сигналов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Физико-технический институт Кафедра электроники и автоматики физических установок

Отчёт по лабораторной работе на тему:

«Исследование системы регистрации быстрых сигналов»

Выполнил: студент группы 0712 Столповский Алексей Евгеньевич Принял: преподаватель Михалевич Сергей Сергеевич Томск 2014

Теоретическая часть

Определение функционала:

Переменная величина V называется функционалом, определенным на некотором классе функций M, если каждой функции y (x) из класса M ставится в соответствие определенное число V? R (v? C), а сам класс M называется областью определения функционала. Для значений функционала v на элементе y = y (x)? M используется символ V = V[y (x)].

Здесь в качестве функционального пространства M рассматривается пространство Ck([a, b]), состоящее из всех функций, определенных на отрезке [a, b] и имеющих непрерывные производные до k-го порядка включительно. Здесь k — некоторое фиксированное число. При k = 0 пространство C0([a, b]) = C([a, b]) есть пространство всех непрерывных на [a, b] функций.

Нормой элемента y(x)? Ck([a, b]) называется неотрицательное число Две функции y1(x) и y2(x) из пространства Ck[a, b] называются близкими в смысле близости k-го порядка, если норма их разности мала на отрезке [a, b]. Другими словами, близость функций y(x) и y1(x) в пространстве Ck ([a, b]) с заданной точностью д > 0 означает, что, т. е. что близки не только сами функции, но и их производные до k-го порядка включительно.

Функционал называется линейным, если для любого л? R (л? C) и любых y1(x), y2(x)? K справедливо называется действием, а — функцией Лагранжа (или лагранжианом).

Каждой функции (траектории) ставится в соответствие действие. Здесь — непрерывная функция вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Свойства именно этого функционала и его обобщений обычно изучаются.

Исследуем поведение данного функционала при изменении функции y(x). Пусть y(x) — некоторая исходная функция, а y1(x) — некоторая другая функция, близкая (например, в смысле близости k-го порядка) к y(x). Функцию y1(x) будем называть проварьированной (изменённой, от латинского variatio — изменение) функцией. Существует несколько представлений проварьированной функции y1(x).

Можно, например, ввести понятие вариации аналогично тому, как вводится понятие дифференциала в дифференциальном исчислении.

Приращением, или вариацией, «аргумента» y(x) функционала V[y(x)] называется разность между функциями y1(x) ? y(x), y(x), y1(x) ? M. Для обозначения используется символ Тогда проварьированную функцию можно записать как Символ, согласно определению следует понимать как единый, причём, поскольку производная разности равна разности производных:

Другой подход состоит в том, что функция y(x) в функционале V[y(x)] рассматривается как однопараметрическое семейство в котором изменение параметра б меняет функцию y(x), т. е. варьирует её. В этом случае сам функционал становится функцией от б, т. е, и его изменение в зависимости от вариации функции y(x) определяется параметром б. При этом вариацию можно определить как:

и для её произвольности семейство предполагать произвольным, а не фиксированным.

Обозначим через где — линейный по отношению к функционал, а для функции при выбранной справедливо соотношение Этот предел соответствует оценке Фнукционал, имеющий вариацию при, называется дифференцируемым при. Для обозначения вариации функционала используется символ

Теорема

Если функционал дифференцируем в точке, то при любом функция как функция числа (при фиксированных и) дифференцируема по при. Причём вариацию функционала можно определить равенством

Доказательство

Что и требовалось доказать. Здесь мы воспользовались свойством линейности функционала по .

Ход работы вариационный исчисление wolfram mathematica

Задание № 1

В первом задании мы нашли в символьной форме и вычислили приращение функционала, определённого на пространстве C1([a, b]) при различных и

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

при и .

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Очевидно, что на промежутке данный интеграл расходится за счёт слагаемых с в знаменателе.

Задание № 2

Во втором задании мы доказали, что функционал, определённый на пространстве C1([a, b]) является дифференцируемым в каждой точке этого пространства, то есть он имеет линейную относительно часть в своём приращении (вариацию).

Вычисляем приращение функционала:

Очевидно, что в силу свойства линейности определённого интеграла, приращение функционала линейно относительно, а значит, данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.

Вычисляем приращение функционала:

Снова используя свойство линейности определённого интеграла, можно показать, что из приращения данного функционала возможно легко выделить линейную часть:

а следовательно данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.

Можно справедливо заметить, что изучаемый в данной лабораторной функционал — действие (см. теоретическую часть) является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, а следовательно, достаточно рассмотреть общий случай.

Задание № 3

В третьем задании мы вычислили и графически изобразили приращение и вариацию функционала.

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно, а следовательно и относительно б часть):

Вычисляем значение данных функций при различных б:

Таблица 1. Значения функций в точках

Рисунок 1. График приращения и вариации функционала

.

Вычислем :

Вычислем

Вычислем приращение функционала:

Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно, а следовательно и относительно б часть):

Вычисляем значение данных функций при различных б:

Таблица 2. Значения функций в точках

Рисунок 2. График приращения и вариации функционала Из полученных данных следует, что при малых б, а следовательно, при малых приращениях аргумента функционала (подробнее — см. вывод), приращение функционала можно заменить вариацией с незначительной погрешностью.

Задание № 4

При помощи теоремы, описанной в теоретической части нашли вариации заданных функционалов.

:

Здесь и в дальнейшем предполагаем, что функция является непрерывной в области определения и имеет непрерывную первую производную по б. Это необходимое условие внесения операции дифференцирования под знак интеграла.

:

Положив, записываем вариацию функционала:

:

Итак, вариация функционала имеет вид:

Вычисляем

:

Вычисляем

:

Положив записываем вариацию функционала:

Вычисляем

:

Вычисляем

:

Положив записываем вариацию функционала:

.

Вычисляем

:

Вычисляем

:

Положив записываем вариацию функционала:

Вывод В ходе данной работы были изучены и проверены на практике основные постулаты вариационного исчисления, а также закреплены навыки работы с программным пакетом Wolfram Mathematica, то есть, цели работы были достигнуты. Более конкретные выводы приведены ниже:

1. Как мы убедились функционал — действие не всегда имеет приращение. Например в случае, если на заданном пространстве интеграл функционала расходится. Однако это не означает, что при этом он не имеет вариации.

2. Можно доказать, и мы убедились на частных случаях, что функционал — действие является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, то есть, имеет вариацию.

3. При достаточно малых приращениях аргумента функционала (в нашем случае при приращении аргумента в 1% и менее) его нелинейное приращение может быть с достаточной степенью точности (до 4 знака после запятой) заменено линейной вариацией. Этот факт может быть использован при выведении теоретических закономерностей и при практических вычислениях.

4. Взяв во внимание результаты вычисления вариаций функционалов 4 и 5 четвёртого задания, можно заметить, что функционал, линейную часть приращения которого выделить нельзя, всё равно может иметь вариацию. Иными словами, как написано в методическом пособии, «второе определение [вариации] является более широким».

5. Все данные примеры также были посчитаны в пакете Mathematica, их с подробными комментариями можно увидеть в приложении к данной работе. Сразу замечу, что все результаты полностью повторили полученные в данной работе. Для большей наглядности помимо вариаций функционалов четвёртого задания были посчитаны также их приращения.