Нестационарная задача группового преследования

Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, которой предполагает наличие двух или более сторон с противоположными или несовпадающими целями, способных воздействовать на процесс. Динамические процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют также дифференциальными играми.

Предлагаемая работа посвящена дифференциальным играм преследования-убегания двух сторон, представленных группой преследователей с одной стороны, и как одного убегающего, так и группы убегающих, с другой. Потребность изучения таких задач возникает при решении ряда прикладных задач из механики, экономики, военного дела, радиоэлектроники, биологии и некоторых других областей.

Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования как дифференциальную игру преследования. Становление теории дифференциальных игр связано с исследованиями Р. Айзекса, А. Брайсона, У. Флеминга, Б. Н. Пшеничного.

Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли академики H.H. Красовский и Л. С. Поитрягин.

К настоящему времени теория дифференциальных игр получила существенное развитие.

В работе [77] Б. Н. Пшеничного рассматривалась задача простого преследования группой преследователей одного убегающего, при условии, что скорость убегающего и преследователей по норме не превосходят единицы. Были получены необходимые и достаточные условия поимки.

Ф.Л. Черноусько в работе [94] рассматривалась задача уклонения управляемой точки, скорость которой ограничена по величине, от встречи с любым конечным числом преследующих точек, скорости которых также ограничены по величине и строго меньше скорости уклоняющейся точки. Был построен такой способ управления, который обеспечивает уклонение от всех преследователей на конечное расстояние, причём движение уклоняющейся точки остаётся в фиксированной окрестности заданного движения.

Указанные работы, по существу, были первыми, посвящёнными задаче группового преследования группой преследователей одного убегающего.

Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх из любых начальных положений на полубесконечном интервале времени впервые была поставлена и решена в линейном случае Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко [71−74].

В работе [23] Н. Л. Григоренко получены необходимые и достаточные условия уклонения от встречи одного убегающего от нескольких преследователей при условии, что убегающий и преследователи обладают простым движением, и множество управлений каждого из игроков — один и тот же выпуклый компакт.

Работа [20] обобщает результат Б. Н. Пшеничного на случай I-поимки. В работе [113] Б. К. Хайдаров рассмотрел задачу позиционной I-поимки одного убегающего группой преследователей при условии, что каждый из игроков обладает простым движением.

В работах [38,80] получены условия оптимальности времени преследования в дифференциальной игре одного убегающего и нескольких преследователей, движение которых является простым.

В работе [37] Р. П. Иванов рассмотрел задачу простого преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что убегающий не покидает пределы выпуклого компакта с непустой внутренностыо. Было доказано, что если число преследователей меньше размерности множества, то будет уклонение, иначе — поимка и получена оценка времени поимки.

Работа [59] Н. Н. Петрова обобщает результат Р. П. Иванова на случай, когда убегающий не покидает пределы выпуклого многогранного множества с непустой внутренностью.

Задачи простого преследования с «линией жизни» рассмотрены Л. А. Петросяном в [68].

А. М. Ковшов в [40] рассмотрел задачу простого преследования одного убегающего группой преследователей на сфере.

По всей видимости, первой работой, посвящённой задаче преследования группой преследователей группы убегающих была работа [58]. В данной работе рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы и целью преследователей является поимка всех убегающих. Были получены достаточные условия уклонения от встречи и получены оценки сверху и снизу минимального числа убегающих, уклоняющихся от заданного числа преследователей из любых начальных позиций.

Работа [111] обобщает результаты предыдущей работы на линейные дифференциальные игры.

В работе [60] рассматривалась задача простого преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что скорости всех участников по норме не превосходят единицы, каждый преследователь ловит не более одного убегающего, а убегающие в начальный момент времени выбирают своё управление на интервал [0, +оо). Были получены необходимые и достаточные условия поимки.

В работе [89] Н. Ю. Сатимов и М. Ш. Маматов рассмотрели задачу преследования группой преследователей группы убегающих, при условии, что преследователи и убегающие обладают простым движением с единичной по норме максимальной скоростью и, убегающие, кроме того, используют одно и то же управление (жёстко скоординированные убегающие). Цель группы преследователей — поймать хотя бы одного убегающего. Были приведены достаточные условия поимки.

Работы Д. А. Вагина и Н. Н. Петрова [18,67] дополняют предыдущую работу.

На сегодняшний день разработано достаточно много идейно различных методов и маневров уклонения от встречи: например, метод маневра обхода [71−74] и его модификации [26−28,30,52,53,76,79], методы постоянных и переменных направлений [48,75,84,96−103,106], метод инвариантных подпространств [78,83,100], методы, использующие исчисление Микусинского [49,51,120], рекурсивные методы [25,32,95,109, 117−119,121−123] и так далее. Между этими методами, безусловно, существуют глубокие связи, многие из которых до сих пор не выяснены.

Среди других работ, посвящённых задаче простого преследования, отметим работы [1,15,21,31,44,46,47,69,86,87,107,114,115].

Обобщением задачи простого преследования является пример Понт-рягина [71]. Данному примеру посвящена обширная литература, так как он является модельным для анализа полученных различных условий поимки и убегания.

В работе [63] H.H. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей одного убегающего в примере Понтрягииа с равными динамическими возможностями игроков. Были получены достаточные условия поимки.

В работе [66] рассмотрена задача о многократной поимке одного убегающего группой преследователей в примере Понтрягина с фазовыми ограничениями.

Задача преследования жестко скоординированных убегающих группой преследователей в примере Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях участников рассмотрена в [19]. Получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего.

В работе [64] H.H. Петров рассмотрел задачу преследования группой преследователей группы убегающих в примере Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков, прир условии, что каждый преследователь ловит не более одного убегающего и убегающие выбирают свои управления при t — 0 сразу на [0, оо) и не покидают пределы многогранного множества D. Были получены достаточные условия поимки.

Мягкая" поимка одного убегающего группой преследователей для инерционных объектов рассматривалась Р. П. Ивановым в работе [39].

Пример Понтрягина с различными инерционными и динамическими возможностями участников рассматривался также в работах [24,33−36, 56,70,71,85,108].

Квазилинейные динамические процессы представляют естественное обобщение разссмотренных выше задач.

При условии дискриминации убегающего в работах Н. JI. Григорен-ко [24], A.A. Чикрия [108] рассмотрены различные различные методы группового преследования одного убегающего в квазилинейных динамических процессах. Получены достаточные условия поимки и г-поимки.

В работе [70] Ю. В. Пилипенко и А. А. Чикрий рассматривали квазилинейные процессы, для которых условие JI. С. Понтрягина. [71] выполнено лишь на некоторых интервалах числовой полуоси, последнее обстоятельство может иметь место, например, если однородная система осуществляет периодические колебательные движения. При дискриминации убегающего получены достаточные условия поимки группой преследователей.

Среди других работ, посвященных задачам преследования и убегания в квазилинейных процессах со многими участниками отметим [22,29,41, 62,65,88,90,104,105,112].

Ниже приведены краткий обзор данной работы и список публикаций автора по теме диссертации.

Краткий обзор работы.

Работа состоит из двух глав и шести параграфов. В первой главе рассматриваются задачи конфликтного взаимодействия групп преследователей и убегающих. Цель преследователей — переловить всех убегающих, цель убегающих — хотя бы одному избежать поимки. Для однотипных линейных систем даны условия взаимного расположения преследователей и убегающих, достаточные для убегания на бесконечном полуинтервале. В случае простых матриц рассмотрен вопрос о соотношении числа преследователей и убегающих, при котором разрешима глобальная задача уклонения. Все дифференциальные игры рассматриваются в пространстве (к ^ 2).

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит описание некоторых свойств границы множества управляемости, связанных с условием максимума. Рассматривается управляемый объект, поведение которого описывается уравнением вида и{г), и е и. (1).

Пусть х (£) — решение уравнения (1), соответствующее управлению и начальному условию х (?о) € Мо, где Мо — выпуклый компакт. Обозначим через Х{Ь] ¿-о, Мо, и) множество достижимости управляемого объекта в момент? ^ ¿-о из множества Мо.

Определение 1. Говорят, что пара х ({}} удовлетворяет условию максимума на отрезке [¿-о, ?1] и условию трансверсальности на множестве Мо, если существует такое решение сопряженной системы ф ({) = — А*(Ь)ф ({) с начальным условием ф (?о)? дБ, что выполнены следующие условия:

• (/и (?), ф{?)) = С (11 для почти всех? е [¿-о,^],.

Лемма 1. Пусть пара (й (£), ?(?)} удовлетворяет условию максимума па отрезке [¿-о, ?1] и условию трансверсальности па множестве М0 й (£), ф (£)) = С (иф (£)) для почти всех? € [£о, ?1], (2) х (10), ф (г0)) = С (М0-ф (к)). (3).

ТЫа ?(?1) €дХ (Ь]Ъ, М0, и).

Лемма 2. Пусть Мо — выпуклый компакт. Точка х{Ь) принадлежит множеству дХ (1,\?о, Мо, ?7) при ?1 > ¿-о тогда, когда пара |г/(£), ж (£)} удовлетворяет условию максимума па отрезке [?0,^1] и условию трансверсальности на множестве Мо — и (1), ф (Ь)) = С (идля почти всех? € [¿-о, ?1],.

Лемма 3. Пусть Мо—выпуклый компакт. Если ^(¿-о) ф ^(¿-о), каэ/с-(?ая из пар^глг (^), г = 1,2. удовлетворяет условию максимума на отрезке [?о^Ь Ь > Ьо, и условию трансверсальности па множестве Мо. а кроме того, опорная функция С (иф) дифференцируема, по ф вдоль фг^) для почти всех? ? [?0,^1] - то х^х) ф ?2(^1) •.

Во втором параграфе рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей и т убегающих. Закон движения каждого из преследователей Д, г — 1,., п, имеет вид: хг (г) = + щеи.

Закон движения каждого из убегающих Ец, ] = 1,., т, имеет вид:

Ш = + ^)> щ е и. ю.

В момент времени? = £о заданы начальные условия х^о) = х®-, = У°, причём х®ф у®для всех г, Здесь С/ С М^ — выпуклый компакт, ~ действительная квадратная матрица порядка к, измеримая на всей оси норма ||А (£)|| интегрируема на любом компактном подмножестве оси I. Управлениями игроков являются измеримые функции Мг (^), у^Ь), принимающие при? ^ ¿-о значения из множества и.

Определение 2. Будем говорить, что в дифференциальной игре Г из начального состояния = (х^,.,, у®-. у^) разрешима на полубесконечном интервале [¿-о, +оо) локальная задача уклонения, если существуют такие управления ., Ут{£) убегающих, что при любых управлениях щ{Ь),., ип{Ь) преследователей найдется номер 5 6 {1,., ш}, такой, что у8{1) ф для всех % € {1,., п} при всех? ^ ¿-о •.

Пусть (2 — некоторое непустое подмножество пространства. Полагаем х{£) = ., хп (Ь)), у ($) = (шМ, • ¦ •, УтМ) и определим множества индексов.

1(х{г), С) = {?I г € {1,. • •, п}, е С}, = %¦(*)€ С}, причем, если существуют индексы ^ 6 J (y (t)1 дй), I = 1,., й, Л < < • • • < ¿-з, такие, что = уь (г) = • • • =, то считаем, что ^ ^ J (y (t), дG) для / = 2,., 5. Обозначим через |/| количество элементов конечного множества /.

Предположим, что С — выпуклый компакт. Обозначим через решение сопряженной системы.

4) соответствующее начальному условию 'фj (to) ——-, где ^ - единичный опорный вектор к множеству С в граничной точке у®-, у? J (y (to), дС).

Теорема 1. Пусть существует выпуклый компакт С, что.

7(у (*о), ЗС)|> 1(х (г0), ШкС), и для любого у? 7(у (?о),<9С) опорная функция С{иф^) дифференцируема по ф^ вдоль траектории ф^) системы (4) для почти всех Ь ^ ¿-о? тогда в дифференциальной игре Г из начального состояния го разрешима локальная задача уклонения.

Теорема 2. Пусть II — строго выпуклый компакт с гладкой границей. Если существуют выпуклые компакты С, С^, такие, что х®е и С?2 для любого г 6 {1,., 1у], и.

7(®(*о), С?1уг2)| < ^(у (10)Лп (О1^С2)) +^у (и), дС2)1 (5) то в дифференциальной игре Г из начального состояния разрешима локальная задача уклонения.

В третьем параграфе рассматривается случай, когда А{Ь) = —а{{)Еь, где а (Ь) — действительная измеримая функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве оси ?, а С/ — строго выпуклый компакт. Тогда закон движения преследователей принимает вид = -а (?)жг (?) + ж"(£0) = и* е С/.

Закон движения каждого из убегающих принимает вид: 0.

Пусть, а некоторое разбиение = < Т < • ¦ ¦ < промежутка [¿-о, +оо), не имеющее конечных точек сгущения. у№) = + Уз{и) = у^ ^ е и.

Пусть далее г.

Определение 3. Назовём кусочно-программной стратегией Vj убегающего Ej, отвечающей разбиению а, семейство отображений {blj}flQ, ставящих в соответствие величинам.

Ы Xl{Tl), ., Xn (Ti), yi (Ti),. .. , ут (Т[), min min \xi{r) — yi®||,., min min ||ж*(т) — ут{т)\) г=1.пте[т0,п] г=1.пгб[г0,г/] измеримую функцию vlj (t), определенную на [77,77+1) и такую что vlj (t) Е U для всех t Е [77, 77+1).

Определение 4. В дифференциальной игре Г (п, m, z°) разрешима глобальная задача уклонения, если из любого начального состояния z° разрешима локальная задача уклонения.

Сначала рассматриваются три леммы, содержащие достаточные условия разрешимости локальной задачи уклонения.

Лемма 4. Пусть в игре Г (п, m, z°) существует гиперплоскость Н, такая, что х Е Я~, г = 1,., п, у®Е Я+, j = 1 Тогда в игре Г (п, т, z°) разрешима локальная задача уклонения.

Замечание 1. Если начальная позиция хотя бы одного убегающего не принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей, то в силу леммы 4 разрешима локальная задача уклонения.

Лемма 5. Пусть в игре Г (n, т, существуют гиперплоскости Н. Я2, множества I С {1,., n}, J С {1 ,., т}, такие, что выполнены следуюище условия:

1. Я1ЦЯ2, Щ с я+, J>i + i,.

3. е Я2+, iE I, ж? 6 яг, у^ЕНг+ПЩ-, j eJ,.

4- для любой пары индексов в, I Е 3, 8 / I, выполнено у° — уЦ' у (р) — у (—р), р — единичный вектор нормали Н, направленный в #!+.

Тогда в игре Г (п, т, г°) разрешима локальная задача уклонения.

Лемма 6. Пусть в игре Г (п, т, Ло = 0, существуют гиперплоскости #1, #2, • множества Д, • • ¦, -Л, Л, такие, что выполнены следующие условия:

1. #1 || #2 || ••• || Щ С #/!,.? = 2, ., 21, р — единичный вектор нормали гиперплоскости Н, направленный в.

2. 18 С {1,., п}, 7дс{1,., т}, = 1,. /вП/9 = 0, 33п3д = ф, I.

3. х*еНГ, г£ и /а,.

5=1.

6Л?ПЯ2-+1, ¿-&euro-/в, 5 = 1, ^е^г, «е/г,.

5- ^еЯ+^ПЯз", ¿-ел, 8 = 1,.,/,.

Л1 + [|з2 — 1ЛЦ+ +. + [щ — (1Л1 +½| + • • • +1//1|)]+ ^ |Л| + к + ••• + где а+ = тах (а, 0), I.

1. для любой пары индексов г, ]? и З3, 2-, выполнено.

5=1.

Тогда в игре Г (п, т, 2°) разрешима локальная задача уклонения.

Основываясь на леммах 4, 5, 6 о достаточных условиях разрешимости локальной задачи уклонения доказывается следующая.

Теорема 3. Пусть Ло — О, С/ — строго выпуклый компакт с гладкой границей. Тогда для любых натуральных р, т, таких, что т ^ р2р+2 в игре Г (2Р + 1, ш, го) разрешима глобальная задача уклонения.

Введем функцию /: N —> N вида n) = min{m: в Г (n, m, z°) разрешима глобальная задача уклонения}.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы. Тогда существуют константы С > 0, С2 > 0 такие, что для всех п G N. п ф 1 справедливо неравенство Cinlnn ^ f{n) ^ C^nlnn.

Пример 1. Пусть a (t) = а ^ 0 для всех t ^ io, А — положительно определенная квадратная матрица порядка к, U — {х (Ах, х) ^ 1}. Тогда Ао = О, U — строго выпуклый компакт с гладкой границей и поэтому для любых натуральных р, т, таких, что т ^ р2р + 2 в игре Т{2Р + 1, тп, Zq) разрешима глобальная задача уклонения.

Вторая глава состоит из трёх параграфов, в ней рассматриваются задачи группового преследования одного убегающего.

В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра п + 1 лиц: п преследователей Pi. и убегающего Е.

Закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид i (t) = a (t)ui (t), Xi (t0) = ж0, щ G Q. (6).

Закон движения убегающего Е имеет вид y{t) = a (t)v (t), y (t0) = y°, veQ, (7) причем zf = х®- — y° ^ Mj, i = 1,., n, Mi — заданные выпуклые компактыa (t) — измеримая по Лебегу функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве оси t, = +ооQ— выпуклый строго выпуклый компакт с гладкой границей, О G Q.

Предполагается, что убегающий Е в процессе игры не покидает пределы множества D вида.

D={yyeRk j = l,., r}, (8) где pi,., рг — единичные векторы, /ii,., щ — вещественные числа такие, что Int D ф 0.

Пусть Т > ¿-о ~ произвольное число и, а — некоторое конечное разбиение отрезка [£о, Т]: £о = то < т <. < т3 < г3+1 = Т.

Определение 5. Кусочно-программной стратегией V убегающего Е, заданной на [Ьо, Т], соответствующей разбиению а, называется семейство отображений Ь1, I = 0,1,., .з, ставящих в соответствие величинам.

П, х1(т1),., хп (т1), у (т1)) (9) измеримую функцию г>/(£), определенную для? 6 [77,77+х), и такую, что ^(?) € д, у (£) € Д? е [77,77+1).

Определение 6. Кусочно-программной контрстратегией £7г преследователя Рг, соответствующей разбиению о, называется семейство отображений с1, I = 0,1,., в, ставящих в соответствие величинам (9) и управлению г-/(£) измеримую функцию, определенную на полуинтервале [72,77+1) и такую, что «](?) е <2,? € [77,77+1).

Пусть г° — (х®-,. ., х^, у0) — Обозначим данную игру Г = Г (п, г°, V).

Определение 7. В игре Г возможно уклонение от встречи, если для любого числа Т >? о существует разбиение, а интервала [¿-о, Т], стратегия V убегающего Е, соответствующая разбиению <т, такие, что для любых траекторий игроков Д имеет место.

— у (*) <£Ми? € [?0, Т], % = 1,., п, где г/(£) — реализовавшаяся в данной ситуации траектория убегающего Е.

Определение 8. В игре Г происходит поимка, если существует момент времени Т > ?0 и для любого разбиения, а интервала (£о, Т], любой траектории у{£) игрока Е существуют кусочно-программные контрстратегии игроков Рг, соответствующие разбиению а, существует момент г 6 [£о, Т] и номер те {1,2,., п} такие, что — у{т)? Мт, 16 где xm (t) — реализовавшаяся в данной ситуации траектория преследователя Рт.

Вместо систем (6) и (7) будем рассматривать систему.

Zi{t) = a (t)(ui (t)-v (t)), Zifa) = 2 $ = x°i — у0. (Ю).

Введем функции Aj следующим образом:

Лi (v, Tili) = max{A | v — X (zf — rrii) e Q, v e Q}, A i (v) = max, А ¿-(-и, mi), i — 1,., n, rrii&Mi.

X~(w, mi) = max{A w — Ami) E —Q, w E — Q}, А?~(гу) = max А?~(гу, m^), г = 1,., п. rrii^Mi.

Так как Q — выпуклый строго выпуклый компакт с гладкой границей, то функции Ai непрерывны на Q, А~ непрерывны на —Q, (см. [108]) и существуют.

6(z°) = min max, А ¿-(и), = min max А~(гу), г=1,., п w€—Q i=l,., n причем п.

6(z°) = о 0 Е Int conv У (лг0 — Mi) i=l z°) = 0 Г {z°) = 0.

Обозначим.

A±(t) = {re [to, t] I ±a® >0}, A± = A±{+oo),.

A°(t) = {т e [to, t] I а{т) > 0}, = A°(+oo), a±(i) = J |a (s)|ds.

A±(t).

Рассмотрим случай, когда D = Жк, то есть на траекторию убегающего не наложено никаких фазовых ограничений.

Теорема 4. В игре Г (п, z°, D) происходит поимка тогда и только тогда, когда S (z°) > 0.

Предполагая, что убегающий Е в процессе игры не покидает пределы множества D вида (8), Q — шар радиуса R > 0 с центром в начале координат, получаем необходимые и достаточные условия поимки. Пусть.

Л n+j (v) = (v, pj), j — l. r = min max Xs (v), oi (z°) — max Xs (—v). veQ s=l,., n+r veQ s=l,., n+r.

Величина oi (z°) — 0 в том и только том случае ([8]), когда.

О? Intconvj^ -Mh., z°- Мп, ри ., рг}.

Учитывая, что по определению 5(z°) ^ 0, получаем, что.

S^z0) > 0 О? Intconv{z[ - Мь. — Mn, pu. ., pr} ^(z0) > > 0. n.

Теорема 5. Пусть число элементов множества |J {?? — Mi) не менъг=1 ше к. Тогда для того, чтобы в игре Г происходила поимка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие > 0.

Во втором параграфе рассматривается задача позиционной поимки одного убегающего. Показывается, что если преследование может быть завершено за конечное время в классе позиционных контрстратегий, то при информированности преследователей только о позиции игры, оно может быть закончено за то же самое время в сколь угодно малой окрестности терминального множества.

В конечномерном евклидовом пространстве Ш. к (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 -го лица: п преследователей., Рп и убегающего Е. Законы движения каждого из преследователей Pi и убегающего Е имеют вид:

Pi Xi (t) = a (t)ui (t), Xi (tо) = ж?, Щ? Q, Е: V (t) = a (t)v (t), y{t0) = у0, v € Q, причём z = x°i — y0 ф Mi, i G Nn = {1,., n}, М{ с Rk — заданные выпуклые компакты, a (t): [¿-о, +00) R — измеримая по Лебегу функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве полуоси [to, +00), Q С Rk — строго выпуклый компакт с гладкой границей.

Пусть Zi (t) = Xi (t) — y (t), i G Nn, z (t) = (zi (t),., zn (t)). Тогда.

Zi{t) = a (t) (mit) — v (t)), Zi (to) = zl (11).

Для каждой из систем (11) рассмотрим систему-поводыря [93].

Wi (t) = a (t) (щ (г) — v (t)), Wi (t0) = ui: veQ, i G Nn. (12).

Определение 9. Будем говорить, что в игре Г происходит поимка из заданной начальной позиции z° = z (t0), если существуют момент времени То = T (z°), позиционные стратегии управления с поводырём Ui = {JJi^itXi) преследователей Рг, г G Nn такие, что для любой измеримой функции v (-), v (t) G Q, t G [?сь^о] существуют момент времени r G [to, To] и номер s G Nn такие, что имеет место включение Zs{T) G Ms.

Здесь U-i — функция, которая будет формировать управление преследователя Pi в исходной системе (11).

Ui:[t0,T0xRk xRk^Q, функция фг есть переходная функция iго поводыря ф^.Тх Rnk х Rnk Rk (ri = {(tu t2) G [to, T0}21 tx ^ ¦

Значение переходной функции ^(?i, ?2, z, w) есть позиция Wi — Wi (t2), в которой г-й поводырь окажется в заданный момент времени i2 ПРИ условии, что в момент t = t управляемая система и поводыри находились в точках z = z (t) и w = w (ti) соответственно.

Третья функция Хг ставит в соответствие позиции (t, z) положение поводыря Xi (t, z)=Wi = Wi (t).

Введём функции Aj следующим образом:

Лi (v, rrii) = max{A|t- - A (w/° — rrii) е Q, v € Q}, АДи) = max.

ГПгёМг v, mi) — тах{А|г> - A (iu° — пц) 6 — Q, v e —Q}, A~(i-) = max A^mf). mieMi w° = (wl., w°n), i e Nn.

Так как Q — строго выпуклый компакт с гладкой границей, то существуют.

S (w°) = minmaxAj (f) ^ 0, S~(w°) = min тахА7(г>) ^ О, veQ ieNn ve-Q ieNn 1 причём (?(w0))2 + {5~(w0))2 >0^0e Intconv (J (iuJ — Mi). Введём обозначения: j% ieNn.

А+(г) = {т6 ма (т) > 0}, А~(г) = {те Ма{т) < 0},.

С'{С}] Ь) — градиент опорной функции, Вк — единичный шар в В^ с центром в начале координат.

Теорема 6. Пусть начальная позиция и функция а (-) таковы, что = T (z°) = min {t^t06{z°) J a (s)ds + o~(z°) J a (s)ds = nJ.

Т = Г (2°) = тт^><�о|5(г0) J а (в)<1з + 8~(ги) у |а (з)| & = п !> < +оо. а+(£) л-(4).

Тогда для любого г > 0 в игре Г происходит поимка с терминальными множествам, и = М^ 4- еВк.

В третьем параграфе рассматривается задача уклонения убегающего от группы преследователей в случае, когда игроки распоряжаются ускорениями (инерционные объекты).

Закон движения каждого из преследователей Р{, г = 1,., п, имеет вид: г) = щ е и.

Закон движения убегающего Е имеет вид: у (*) = а (*М*), ьеи, причем, в начальный момент х^о) —, ¿-¿-(¿-о) = измеримая функция, интегрируемая на любом компактном подмножестве оси ?, а (£) Ф 0 почти всюду на [?о,+оо). Управлениями игроков являются измеримые функции г^(£), и (£), принимающие при? ^ £о значения из множества II.

Обозначим данную игру через Г (п, .г (?о)), где г{г) = (?1 (£)Л (£),. ., 2П (?),^П (?)), = -2/(0, г = 1,., п.

Определение 10. Позиционной контрстратегией V убегающего Е назовем измеримое отображение.

Тогда при заданных управлениях щ{&euro-) преследователей Д, г = 1,., п стратегия V определяет управление v (t) = V (t, z (t), ui (t),., un (t)), которое будет измеримой функцией.

Определение 11. В дифференциальной игре Г (п, z (to)) изначального состояния z (to) разрешима локальная задача уклонения, если для любых измеримых функций существует стратегия V убегающего Е, такая, что Zi{t) ф 0 для всех? £о, г = 1,., п.

Считаем, что управления преследователей формируются на основе информации о состоянии z (t) дифференциальной игры. пого состояния z (to) разрешима локальная задача уклонения. о, +оо) х Ж2пк х Un U. ui{t),? > £о, щви, г = 1,., п,.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009. — № 4. — С. 29−34.

2. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Известия вузов. Математика. — 2009. — № 5. — С. 3−12.

3. Банников А. С. Об одной задаче простого преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2009. — Вып. 3. — С. 3−11.

4. Банников А. С., Петров H. Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды Института математики и механики УрО РАН, — 2010. Т. 16, mi. — С. 40−51.

5. Банников А. С. Уклонение от группы нестационарных инерционных объектов // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2010. — Вып. 1. — С. 3−10.

6. Банников А. С. О задаче позиционной поимки одного убегающего группой преследователей // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — Вып. 1. — С. 3−7.

7. Bannikov A., Petrov N. About Some Non-Stationary Problem of Group Pursuit with the Simple Matrix // Contributions to game theory and management — Успехи теории игр и менеджмента: collected papers presented on the Fourth International Conference Game Theory and Management. — SPb, 2011. — Vol. IV. — P. 47−62.

8. Банников A. С. Нестационарная задача группового преследования // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан, математ. о-во, 2006. Т. 34. С. 26−28.

9. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Проблемы теоретической и прикладной математики: тр. 39-й Всерос. молодеж. конф., 28 янв. — 1 фев. 2008 г. Екатеринбург: УрО РАН, 2008. С. 221−223.

10. Банников A.C. Нестационарная задача группового преследования // Итоговая студенческая научная конференция (36- Апрель, 2008) XXXVI итоговая студенческая научная конференция, посвященная 450-летию добровольного вхождения Удмуртии в состав Российского государства: материалы конф., Ижевск, апр. 2008 г. / Удмурт, гос. ун-т — отв. ред. Н. И. Леонов. — Ижевск, 2008. — С. 4−5.

11. Банников A.C., Петров H.H., Сахаров Д. В. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов // Актуальные проблемы теории устойчивости и управления: тез. докл. междунар. конф., 21−26 сент. 2009 г., Екатеринбург.

12. Банников А. С. Об одной задаче группового преследования // Динамические системы, управление и наномеханика: тез. докл. Всерос. конф., г. Ижевск, 24−28 июня 2009 г. / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, Ин-т математики и механики УрО Рос. акад. наук, Междунар. науч. журн. «Регуляр. и хаот. динамика». — Ижевск: РХД, 2009. с. 31.

13. Банников A.C. Групповое преследование одного убегающего с фазовыми ограничениями // Проблемы теоретической и прикладной математики: тез. 41-й Всерос. молодеж. конф., 31 янв. — 5 февр. 2010 г.

14. Банников А. С. К задаче позиционной поимки убегающего группой преследователей // Современные проблемы математики: тез. 42-й Всерос. молодеж. шк.-конф., 30 янв. — 6 февр. 2011 г. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. — С. 6−7.

1. Азамов А. О. О задаче убегания по заданной кривой // Прикладная математика и механика. 1982. вып. 4. С. 694−697.

2. Банников A.C. Нестационарная задача группового преследования // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, математ. о-во, 2006. Т. 34. С. 26−28.

3. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Проблемы теоретической и прикладной математики: тр. 39-й Всерос. молодеж. конф., 28 янв. 1 фев. 2008 г. Екатеринбург: УрО РАН, 2008. С. 221−223.

4. Банников А. С., Петров Н. Н., Сахаров Д. В. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов //' Актуальные проблемы теории устойчивости и управления: тез. докл. междунар. конф., 21−26 сент. 2009 г., Екатеринбург.

5. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009. — № 4. — С. 29−34.

6. Банников А. С. Нестационарная задача группового преследования // Известия вузов. Математика. — 2009. — JYe5. — С. 3−12.

7. Банников А. С. Об одной задаче группового преследования // Вестник Удмурт, ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. вып. 3. С. 3−11.

8. Банников А. С. Групповое преследование одного убегающего с фазовыми ограничениями // Проблемы теоретической и прикладной математики: тез. 41-й Всерос. молодеж. конф., 31 янв. 5 февр. 2010 г.

9. Банников А. С., Петров H. Н. К нестационарной задаче группового преследования // Труды ИММ УрО РАН. 2010. — Т. 16, № 1. -С. 40−51.

10. Банников А. С. Уклонение от группы нестационарных инерционных объектов // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2010. — Вып. 1. — С. 3−10.

11. Банников А. С. К задаче позиционной поимки убегающего группой преследователей // Современные проблемы математики: тез. 42-й Всерос. молодеж. шк.-конф., 30 янв. 6 февр. 2011 г. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. — С. 6−7.

12. Банников А. С. О задаче позиционной поимки одного убегающего группой преследователей // Вестник Удмуртского университета. Сер. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — Вып. 1. С. 3−7.

13. Бардадым Т. А. Задача преследования с простым движением и разнотипными ограничениями на управления // Кибернетика. 1982. № 2. С. 80−84.

14. Благодатских В. И.

Введение

в оптимальное управление (линейная теория). — М.: Высшая школа, 2001. — 240 с.

15. Благодатских А. И., Петров Н. Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Изд-во Удмурт, ун-та, 2009. 266 с.

16. Вагин Д. А., Петров Н. Н. Задача преследования жестко скоординированных убегающих // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 75−79.

17. Вагин Д. А., Петров Н. Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66, вып. 2. С. 234−241.

18. Васильева JI. Г. Об одной дифференциальной игре убегания // Дифференциальные, бескоалиционные, кооперативные и статистические игры. Калинин.: Изд-во Калининск. ун-та. — 1979. С. 26−33.

19. Вшиневицкий J1. С., Меликян А. А. Оптимальное преследование на плоскости при наличии препятствия // Прикладная математика и механика. 1982. вып. 4. С. 613−621.

20. Григоренко Н. Л. О квазилинейной задаче преследования несколькими объектами // ДАН СССР. 1977. -Т. 259, № 5. — С. 10 401 043.

21. Григоренко H.JI. Игра простого преследования-убегания группы преследователей и одного убегающего //' Вестн. МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн. — 1983. — № 1. — С. 41−47.

22. Григоренко Н. Л. Математические методы управления несколькими динамическими объектами // М.: Изд-во Московского ун-та. 1990.

23. Губарев Е. В. Убегание от группы преследователей // Автоматика. 1992. № 5. С. 66−70.

24. Гусятников П. Б. Убегание одного нелинейного объекта от нескольких более инертных преследователей // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 2. С. 1316−1324.

25. Гусятников П. Б. Дифференциальная игра убегания т лиц // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. — № 6. — С. 2232.

26. Гусятников П. Б. Дифференциальная игра убегания // Кибернетика. 1978. № 4. С. 72−77.

27. Гусятников П. Б., Половинкин Е. С. Простая квазилинейная задача преследования // Прикладная математика и механика. — 1980. Т. 44, вып. 5. С. 771−782.

28. Гусятников П. Б. Теория дифференциальных игр//М.: МФТИ. 1982.

29. Жимовский В. Два следствия решения одной задачи уклонения от многих преследователей // Bull. Acad. Sei. Ser. math. 1980. Т. 28. № 3−4. С. 155−159.

30. Зак В. Л. Об одной задаче уклонения от многих преследователей // Прикладная математика и механика. 1979. 43. № 3. С. 57−71.

31. Зак В. JI. Кусочно-программная стратегия уклонения от многих преследователей // Ин-т проблем механики АН СССР. Препринт. 1982. № 199.

32. Зак В. Л. Построение стратегии уклонения от нескольких преследователей для динамических систем /'/ Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 4. С. 143−147.

33. Зонневенд Д. Об одном методе преследования // ДАН СССР. 1972. Т. 204. № 6. С. 1296−1299.

34. Зонневенд Д. Об одном типе превосходства игрока // ДАН СССР. 1973. Т. 208. № 3. С. 520−523.

35. Иванов Р. П. Простое преследование-убегание на компакте // ДАН СССР. 1980. — Т254, № 6. — С. 1318−1321.

36. Иванов Р. П., Ледяев Ю. С. Оптимальность времени преследования в дифференциальной игре многих объектов с простым движением //Труды математическ. ин-та АН СССР. 1981. Т158. С. 87−97.

37. Иванов Р. П. К вопросу о мягкой поимке в дифференциальных играх со многими догоняющими и одним уклоняющимся игроком // Труды Математического ин-та АН СССР. 1988. — Т185. -С. 74−83.

38. Ковшов А. М. Параллельные стратегии в играх преследования на сфере // Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. канд. наук. СПб. — 1996. 12 с.

39. Константинов Р. В. О квазилинейной дифференциальной игре с простой динамикой при наличии фазового ограничения // Математические заметки. — 2001. Т. 69, вып. 4. — С. 581−590.

40. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М: Наука, 1974. 456 с.

41. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972. 576 с.

42. Малофеев O.A., Петросян Л. А. Игра простого преследования на плоскости с препятствием /'/' Сб. трудов ин-та математики Сиб. отд. АН СССР. 1971. — вып. 9. — С. 31−42.

43. Мезенцев A.B. О некоторых классах дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971.№ 6. — С. 3−7.

44. Меликян A.A., Овакимян Н. В. Игровая задача простого преследования на многообразиях // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. вып. 1. С. 54−62.

45. Меликян A.A., Овакимян Н. В. Игровая задача простого преследования на двумерном конусе // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. вып. 5. С. 741−750.

46. Мищенко Е. Ф., Никольский М. С., Сатимов Н. Ю. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц // Труды математич. ин-та АН СССР. 1977. Т. 143. С. 105−128.

47. Никольский М. С. О линейной задаче убегания // ДАН СССР. 1974. Т. 218. № 5. С. 1024−1027.

48. Никольский М. С. Нестационарные линейные дифференциальные игры I. Кибернетика. 1970. № 6. С. 98−101.

49. Никольский М. С. О квазилинейной задаче убегания // ДАН СССР. 1975. Т. 221. № 3. С. 539−542.

50. Остапенко В. В. О нелинейной задаче убегания // Кибернетика. — 1978. № 3. С. 106−112.

51. Остапенко В. В. Задача уклонения от встречи // Автоматика и телемеханика. — 1980. № 4. С. 16−23.

52. Панкратова Я. Б. Решение кооперативной дифференциальной игры группового преследования // Дискретный анализ и исследование операций. 2010. Т. 176 № 2. С. 57−78.

53. Партхасаратхи Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. М: Мир, 1974. 296 с.

54. Патланжоглу О. М. О потенциале игрока в обобщенном контрольном примере Л. С. Понтрягина // Автоматика. 1992. № 6. С. 17−26.

55. Петров Н. Н. Об управляемости автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, № 4. С. 606−617.

56. Петров H.H., Петров Н. Никандр. О дифференциальной игре «казаки-разбойники» // Дифференциальные уравнения. — 1983. Т. 19. № 8. С. 1366−1374.

57. Петров H.H. Простое преследование при наличии фазовых ограничений //' Деп. в ВИНИТИ 20 марта 1984 г. № 1684. 14 с.

58. Петров H.H., Прокопенко В. А. Об одной задаче преследования группы убегающих // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 4. С. 724−726.

59. Петров H.H. Одна задача простого преследования с фазовыми ограничениями // Автоматика и телемеханика. 1992. № 5. С. 22−26.

60. Петров H.H. Квазилинейные конфликтно-управляемые процессы с дополнительными ограничениями // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57, вып. 6. С. 61−68.

61. Петров Н. Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Математика. Изв. вузов. 1994. № 4(383). С. 24−29.

62. Петров H.H. Об одной задаче преследования группы убегающих // Автоматика и телемеханика. 1996. № 6. С. 48−54.

63. Петров H.H. Теория игр: учеб. пособие. // Ижевск: Изд-во Удм. ун-та. 1997. 197 с.

64. Петров H.H. Многократная поимка в примере JI.C. Понтрягина с фазовыми ограничениями // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. вып. 5. С. 747−754.

65. Петров Н. Н. Простое преследование жесткосоединенных убегающих. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С. 89−95.

66. Петросян JI.A. Дифференциальные игры преследования. // Л.: Изд-во ЛГУ. 1977.

67. Петросян Л. А., Томский Г. В. Динамические игры и их приложения. // Л.: ЛГУ. 1982.

68. Пилипенко Ю. В., Чикрий A.A. Колебательные конфликтно-управляемые процессы // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. вып. 3. С. 3−14.

69. Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука. 1988. 576 с.

70. Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра убегания // Труды математического ин-та АН СССР. 1971. Т. 112. С. 30−63.

71. Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого // ДАН СССР. 1969. — Т. 189. № 4. -С. 721−723.

72. Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1971. — Т. 7. № 3. — С. 436−445.

73. Пшеничный Б. Н., Чикрий А. А. Задача об уклонении от встречи в дифференциальных играх // ЖВМ И МФ. — 1974. — Т. 14, № 6. — С. 416−427.

74. Пшеничный Б. Н. О задаче убегания // Кибернетика. — 1975. — № 4. С. 120−127.

75. Пшеничный Б. Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. — № 3. — С. 145−146.

76. Пшеничный Б. Н., Чикрий А. А. Дифференциальная игра уклонения // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1977. № 1. С. 3−9.

77. Пшеничный Б. Н., Остапенко В. В. Дифференциальные игры // Киев: Наук, думка. 1992.

78. Рихсиев Б. Б. Об оптимальности времени преследования в дифференциальных играх многих лиц с простым движением // Известия АН УзбССР. Серия физ-мат. наук. 1984. — № 4. — С. 37−39.

79. Рихсиев Б. Б, Кучкаров А. Ш. О решении одной задачи преследования с фазовыми ограничениями // Автоматика и телемеханика. 2001. — № 8. — С. 41−45.

80. Рихсиев Б. Б, Кучкаров А. Ш. Об одной задаче убегания от многих преследователей на римановом многообразии //С. 85−87.

81. Сатимов Н. Ю. Задача убегания в дифференциальных играх с нелинейными управлениями //' Автоматика и телемеханика. — 1974. № 5. С. 26−33.

82. Сатимов Н. Ю. Об одном способе уклонения в дифференциальных играх // Мат. сб. 1976. 99(141). № 3. С. 432−444.

83. Сатимов Н. Ю., Маматов М. Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих /'/ Дифференциальные уравнения. — 1978. Т. 14. № 7. С. 1208−1214.

84. Сатимов Н. К)., Азамов А. О. Хайдаров Б. К. Простое преследование многими объектами одного убегающего // ДАН УзбССР. — 1981. — № 12. С. 3−5.

85. Сатимов Н. Ю. О задачах избежания взаимных столкновений // ДАН УзбССР. 1981. -т.- С. 3−5.

86. Сатимов Н. Ю. Задача преследования и убегания для одного класса линейных дифференциальных игр многих лиц // Прикладная математика и механика. Ташкент: Изд-во Ташкент, ун-та. — 1981. -№ 670. С. 64−75.

87. Сатимов Н. К)., Маматов М. Ш. О задачах преследования и уклонения от встречи в дифференциальных играх между группами пресдедоввателей и убегающих // ДАН УзбССР. — 1983. — № 4. — С. 3−6.

88. Сатимов Н. Ю., Рихсеев Б. Б. Методы решения задачи уклонения от встречи в математической теории управления // Ташкент: Фан. 2000.

89. Сатимов Н. Ю, Кучкаров А. Ш. Уклонение от встречи со многими преследователями на поверхности. // Узбекский математический журнал. 2001. — № 1. — С. 51−55.

90. Сатимов Н. Ю, Тухтасинов М. Об игровых задачах на фиксированном отрезке в управляемых эволюционных уравнениях первого порядка. // Математические заметки. — 2006. — Т. 80, вып. 4. — С. 613−626.

91. Субботин А. И., Чепцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М: Наука, 1981. 288 с.

92. Черноусько Ф. Л. Одна задача уклонения от многих преследователей // Прикладная математика и механика. — 1976. — Т. 40. вып. 1. С. 14−24.

93. Черноусько Ф. Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска // М.: Наука. 1978.

94. Чикрий А. А. Задача уклонения в нелинейных дифференциальных играх // Кибернетика. 1975. — №, 3. — С. 65−69.

95. Чикрий A.A. Задача уклонения в нестационарных дифференциальных играх // Прикладная математика и механика. — 1975. —5. С. 780−787.

96. Чикрий A.A. Линейная задача убегания от многих преследователей // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика — 1976. — 4. — С. 46−50.

97. Чикрий А. А. О задаче уклонения в линейной дифференциальной игре // Автоматика и телемеханика. — 1977. — № 9. — С. 24−29.

98. Чикрий А. А. Об одном способе убегания от нескольких преследователей // Автоматика и телемеханика. — 1978. — № 8. — С. 33−38.

99. Чикрий А. А. Достаточные условия в нелинейных дифференциальных играх // ДАН СССР. 1978. — Т. 241, №, 3. — С. 547−551.

100. Чикрий А. А. Достаточные условия в нелинейных дифференциальных играх нескольких лиц // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. №, 6. — С. 14−21.

101. Чикрий А. А. Нелинейные дифференциальные игры убегания // ДАН СССР. 1979. — Т. 246, №, 5. — С. 1051−1055.

102. Чикрий A.A. Квазилинейные дифференциальные игры со многими участниками // ДАН СССР. 1979. — Т. 246, №, 6. — С. 13 061 309.

103. Чикрий A.A. Квазилинейная задача сближения с участием нескольких лиц // Прикладная математика и механика. — 1979. -Т. 43, вып. 3. С. 451−455.

104. Чикрий А. А. Метод переменных направлений в нелинейных дифференциальных играх нескольких лиц // Кибернетика. — 1984. —1. — С. 48−54.

105. Чикрий А. А., Шишкина Н. Б. О задаче группового преследования при наличии фазовых ограничений // Автоматика и телемеханика. 1985. — № 2. — С. 59−69.

106. Чикрий A.A. Конфликтно управляемые процессы. — Киев: Наук, думка, 1992. 384 с.

107. Чикрий A.A., Губарев Е. В. Достаточные условия разрешимости глобальной задачи убегания для нелинейных дифференциальных игр // Киев. 1992. 38 с.

108. Чикрий A.A., Перекатов А. Е. Поочередное преследование по позиции // 1993. С. 86−95.

109. Чикрий A.A., Прокопович П. В. Линейная задача убегания при взаимодействии групп управляемых объектов // Прикладная математика и механика. — 1994. — Т. 58. вып. 4. — С. 12−21.

110. Чикрий A.A., Матичин И. И. Квазилинейные конфликтно управляемые процессы с переменной структурой // Проблемы управления и информатики. — 1998. № 6. — С. 31−41.

111. Хайдаров Б. К. Позиционная /-поимка в игре одного убегающего и нескольких преследователей // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48, вып. 4. С. 574−579.

112. Шевченко И. И. Простейшая модель поочередного преследования // Автоматика и телемеханика. — 1982. — № 4. — С. 38−42.

113. Шевченко И. И. Поочередное преследование трех убегающих // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 7. — С. 70−75.

114. Шишкина Н. Б. О задаче преследования по позиции в дифференциальной игре со многими преследователями // Кибернетика. —1987. — № 1. С. 47−50.

115. Chodun W. Avoidance of many pursuers in differential games described by k-order differential equations // J. Math. Anal, and Appl.1988. P. 76.

116. Chodun W. Avoidance of many pursuers in differential games described by differential inclusions // J. Math. Anal, and Appl. 1988. P. 135.

117. Chodun W. Differential game of evasion with many pursuers // J. Math. Anal, and Appl. 1989. Y. 142, № 2. P. 370−389.

118. Gamkrelidze R. V., Kharatishvili G. L. A differential game of evasion with nonlinear control // SIAM. J. Control. 1974. V. 12, № 2. P. 332 349.

119. Rzymowski W. On the game of n + 1 cars // J. Math. Anal, and Appl. 1984. P. 99.

120. Rzymowski W. Method of construction of the evasion strategy for differential games with many pursuers // Dissertationes Math. CCXLVII. 1986. P. 3−44.

121. Rzymowski W. Avoidence of one pursuer // J. Math. Anal, and Appl. 1986. P. 120.