Прогнозирование в регрессионных моделях

Прогнозирование в регрессионных моделях

Введение

Глава 1. Сущность прогнозирования

1.1 Понятие прогнозирования и его особенности

1.2 Точечное и интервальное прогнозирование

1.3 Условное и безусловное прогнозирование

1.4 Прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок Глава 2. Пример построения прогноза по эконометрической модели

2.1 Точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии Заключение Библиографический список

Процесс прогнозирования достаточно актуален в настоящее время. Широка сфера его применения. Прогнозирование широко используется в экономике. Прогнозирование позволяют управлять массовыми экономическими явлениями и процессами и предвидеть их развитие.

В современном быстро меняющемся мире, когда рыночная конкуренция становится все более жесткой, основной проблемой для предприятий является проблема выживания и обеспечения развития. В наши дни ни одно предприятие не может обойтись без прогнозирования и планирования своей дальнейшей деятельности. В условиях ожесточенной конкурентной борьбы, особенно на мировом рынке, уже недостаточно только поддержания высокого качества реализуемой продукции. Необходимы тщательный учет специфики требований потребителей в различных странах, анализ деятельности основных фирм-конкурентов, широкая рекламная компания, выбор оптимальных форм и методов сбыта, т. е. деятельность предприятия необходимо планировать и прогнозировать.

Современные условия рыночного хозяйствования предъявляют к методам прогнозирования очень высокие требования, в виду все возрастающей важности правильного прогноза для судьбы предприятия, да и экономики страны в целом.

Прогнозирование следует рассматривать как важнейшую функцию управления любой экономической системой, в том числе экономикой рыночного типа, поскольку формирование рыночных отношений связано с предпринимательской деятельностью, стратегического менеджмента и систем прогнозирования.

Прогнозирование является важным связующим звеном между теорией и практикой во всех областях жизни общества.

Обычно термин «прогнозирование» используется в тех ситуациях, когда требуется предсказать состояние системы в будущем. Для регрессионных моделей он имеет более широкое значение. Данные могут не иметь временной структуры, но и в этих случаях вполне может возникнуть задача оценить значение зависимой переменной для некоторого набора независимых, объясняющих переменных, которых нет в исходных наблюдениях. Именно в этом смысле — как построение оценки зависимой переменной — и следует понимать прогнозирование в эконометрике.

Общественные явления находятся не только во взаимной связи, но и в непрерывном движении, изменении, развитии — именно это обусловливает необходимость прогнозирования.

Предметом прогнозирования в сфере является система, воспроизводящая объект исследования так, что на ее основе могут быть изучены структура и размещение социально-экономических явлений, их изменения во времени, связи зависимости.

Объектом прогнозирования является модель, интересующая исследователя.

Целью курсовой является выявление перспектив ближайшего будущего в области потребления домохозяйством в зависимости от располагаемого дохода и установление основных тенденций развития.

Для достижения поставленной цели представляется необходимым в рамках данной работы решение следующих задач:

1. Определить понятие «прогнозирование» и исследовать его особенности.

2. Рассмотреть точечное и интервальное, условное и безусловное прогнозирование.

3. Проанализировать прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок.

4. Провести точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии.

Глава 1. Сущность прогнозирования

1.1 Понятие прогнозирования и его особенности

Прогнозирование — это вид познавательной деятельности человека, направленной на формирование прогнозов развития объектов, на основе анализа тенденций и закономерностей его развития.

Прогнозирование — это научное, основанное на системе установленных причинно-следственных связей и закономерностей, выявление состояния и вероятностных путей развития явлений и процессов.

Оно предопределяет оценку показателей и дает характеристику явлений и процессов в будущем. Прогнозирование распространяется на такие процессы управления, которые в момент выработки прогнозов можно определить в весьма малом диапазоне, либо совсем невозможно, либо возможно, но требует учета действия таких факторов, влияние которых не может быть полностью или однозначно определено. 5]

Прогнозирование определяет реальность и благоприятность для хозяйственной структуры поставленных перед ней целей. Разумеется, что некоторые приемы и средства прогнозирования применяются и в процессе определения целей, особенно долгосрочных, но при выборе целей и определении степени их достижения главную роль играют субъективные факторы, в то время когда прогноз опирается на объективные процессы и явления.

Прогноз носит вероятностный характер, но обладает определенной достоверностью. Прогноз на практике — это предплановый документ, фиксирующий вероятную степень достижения поставленной цели в зависимости от масштаба и способа будущих действий Задачи прогнозирования связаны с тем, что прогноз, помимо анализа возможностей, является основой для разработки стратегии, планирования и управления предприятием.

Прогноз должен определять:

— основные технические и организационно-экономические проблемы и сроки их решения;

— материалы, технологические процессы и оборудование, предназначенные для изготовления новой перспективной и традиционной продукции;

— ожидаемые объемы производства продукции у конкурентов и потребность в ней на рынках;

— ожидаемую себестоимость разработки и производства этой продукции;

— мощность предприятия, необходимую для разработки и изготовления новой продукции;

— потребность в трудовых ресурсах с учетом изменения их структуры, квалификации и ожидаемого роста производительности труда. Прогноз должен включать:

— краткий анализ развития прогнозируемого направления производства и характеристику его современного состояния;

— выявление перспективных технических и экономических проблем, уже решенных, но не получивших практического применения;

— оценку важности проводящихся исследований, требующих внимания и затрат для решения будущих проблем. 4]

Прогнозы можно подразделять в зависимости от целей, задач, объектов, времени упреждения, методов организации прогнозирования, источников информации и т. д. Большое количество таких признаков и отсутствие их строго определенных характеристик затрудняют создание единой классификации. [1]

Выбор методов прогнозирования осуществляется в соответствии с характером объекта, требований, предъявляемых к информационному обеспечению, а также на основе сравнения эффективности и оптимальности решения аналогичных задач. Отличительной чертой социально-экономических явлений и процессов является инерционность, проявляющаяся, с одной стороны в сохранении взаимосвязей прогнозируемого явления с другими явлениями, а с другой — в сохранении тенденции во времени. 5]

Проблема прогнозирования имеет много различных аспектов. Можно различать точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка — это конкретное число, во второминтервал, в котором истинное значение переменной находится с заданным уровнем доверия. Выделяют также безусловное и условное прогнозирование в зависимости от того, известны ли интересующие нас объясняющие переменные точно или приближенно. Кроме того, для временных рядов при нахождении прогноза существенно наличие или отсутствие корреляции по времени между ошибками.

1.2Точечное и интервальное прогнозирование

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (у_p) значение как точечный прогноз при х_p=х_k, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки, т. е. и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у*)

-<�у*< + (1.1)

Чтобы понять, как строится формула для определения величин стандартной ошибки, обратимся к уравнению линейной регрессии:

(1.2)

Подставим в это уравнение выражение параметра b₁:

b₁₌ -b₀

тогда уравнение регрессии примет вид:

= -b₀+b₀ x=+b₀(x-) (1.3)

Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии b₀, т. е.

² = (1.4)

Из теории выборки известно, что. Используя в качестве оценки у² остаточную дисперсию на одну степень свободы S², получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной у:

(1.5)

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой

? (1.6)

Считая, что прогнозное значение фактора х_p=х_k, получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, т. е.

? = (1.7)

Соответственно имеет выражение:

(1.8)

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении х_k характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки как видно из формулы, достигает минимума при х_к =, и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между х_к и х, тем больше ошибка с которой предсказывается среднее значение у для заданного значения х_k. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признакфактор х находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении х_к от. Если же значение х_к оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько х_к отклоняется от области наблюдаемых значений фактора х.

Фактические значения у варьируют около среднего значения Индивидуальные значения у могут отклоняться от на величину случайной ошибки е, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S². Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку, но и случайную ошибку S.

Рис. 1 Доверительный интервал линии регрессии: а — верхняя доверительная граница; б — линия регрессии; в — доверительный интервал для при х_к; г — нижняя доверительная граница Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения у составит:

(1.9)

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного фактора. Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака у () может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели. 6]

1.3 Условное и безусловное прогнозирование

Безусловное прогнозирование

Термин безусловное прогнозирование означает, что вектор независимых переменных x_n+i известен точно.

Пусть есть еще один набор x_n+1 = (х_n+1,1,…, x_n+1,k)' объясняющих переменных и известно, что соответствующая зависимая переменная удовлетворяет модели у=Хв+е, т. е.

У_n+1 = х'_n+1в+е_n+1 (2.0)

где, Eе_n+1= 0, V (е_n+1) = у², и случайная величина е_n+1 не коррелирована с е. Требуется по (у, Х, x_n+1) оценить y_n+1. Подчеркнем, что в данном случае надо построить оценку не параметра, а случайной величины.

Предположим, что мы знаем значения параметров в и у². Тогда естественно в качестве оценки y _n+1= y величины y_n+1 взять Е (y_n+1) = x'_n+1в. Среднеквадратичная ошибка такого прогноза есть E (y_n+1 —y)² = Е (е²_n+1) = у².

Пусть параметры в и у² неизвестны, что, как правило, и бывает на практике. Обозначим и s² их МНК-оценки на основании модели у=Хв+е: = (Х'Х)^-1Х’у, s² = е’е/(n — к). Возьмем в качестве оценки у_n+1 величину

y =x'_n+1 в (2.1)

Нетрудно проверить, что поскольку Е = в, то Е y = Еу_n+1, т. е. оценка y является несмещенной. Оказывается, в классе линейных (по у) несмещенных оценок она обладает наименьшей среднеквадратичной ошибкой. 3]

Нетрудно проверить, что среднеквадратичная ошибка прогноза есть Е (y -у_n+1)² = у²(1+ x'_n+1 (Х'X)^-lx_n+1). (2.2)

Заменим у² на ее оценку s² и обозначим Получаем, что если ошибки (е_,е_n+1) имеют совместное нормальное распределение, то случайная величина (y -y_n+1)/д имеет распределение Стьюдента с nк степенями свободы. Поэтому доверительным интервалом для y_n+1 с уровнем доверия б будет интервал (y — д t_б, y — д t_б) где t_б — двусторонняя бквантиль распределения Стьюдента с n — к степенями свободы.

Можно показать, что в случае парной регрессии, т. е. когда система у=Хв+е имеет вид

y_t = в₁ +в₂x_t + е_t t= 1,.. ., n,

формула (2.2) выглядит так:

(2.3)

где x=1/n ?x_t. Из (2.3) следует, что среднеквадратичная ошибка прогноза минимальна при x_n+1=, и чем дальше x_n+1 от, тем шире соответствующий доверительный интервал (см. рис. 2).

Рис. 2 доверительный интервал

Условное прогнозирование

В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что независимая переменная x_n+1 известна точно. Однако на практике встречаются ситуации, когда в x_n+1 содержатся ошибки. Так, при прогнозировании временных рядов часто приходится прогнозировать значения независимых переменных, что неизбежно приводит к отклонениям от истинных значений. Поэтому рассмотрим задачу условного прогнозирования. Пусть выполнены соотношения у=Хв+е и (2.0), но вектор x_n+1 наблюдается с ошибкой

z = x_n+1+ u, (2.4)

где u — k х 1 случайный вектор, не зависящий от (е_,е_n+1).

Прогноз (2.1) заменяется теперь на

y = z'. (2.5)

Пусть е = y- y_n+1 — ошибка прогнозирования. Тогда Ее = Е (z') — x'_n+1 в = Е[(x_n+1 + u)'] - x'_n+1 в

= Е (x'_n+1) + Е (u') — x'_n+1 в = 0,?

так как и u и в независимы и Еu = 0. Иными словами, оценка (2.5) является несмещенной. Из этого следует, что Ее² = у² [l + x'_n+1 (X'X)^-lx_n+1+ у²_u tr ((X'X)^-l)]+ у²_uв' в. (2.6)

Таким образом, при наличии ошибок в независимой переменной к ошибке прогнозирования (2.2) добавляются два новых положительных слагаемых, пропорциональных дисперсии у²_u.

В случае условного прогнозирования нельзя так же просто, как при безусловном прогнозировании, построить доверительный интервал для y_n+1. Это связано с тем, что при нормально распределенных ошибках (е,е_n+1, u) оценка у есть скалярное произведение двух независимых нормальных векторов. Поэтому доверительный интервал нельзя найти аналитически, однако существуют численные процедуры, позволяющие строить его приближенно. 3]

1.4 Прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок

Остановимся на задаче прогнозирования, когда ошибки в исходной модели у=Хв+е, (2.0) коррелированы по времени, а именно, образуют авторегрессионный процесс первого порядка:

е_t = p е_t+1 + v_t, t = 1,. ., n, n+ 1, (2.7)

где {v_t, t = 1,…, n, n + 1} — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и постоянной дисперсией у², |р| < 1. Покажем, как можно использовать информацию об ошибках (2.7) для улучшения прогнозирования. Предположим, как и в начале этого раздела, что все параметры (в, р) известны. Но теперь в качестве оценки y величины У_n+i возьмем не x'_n+1 в, как раньше, а

y = x'_n+1 + p е_n = x'_n+1 в + р (y_n-x'_n). (2.8)

Нетрудно проверить, что

е = у_n+1 — y =v_n+1,

Откуда сразу следует, что Ее=0 и Ее²= у²_v=(1-p²) у²_е (2.9)

Таким образом, удается уменьшить ошибку прогноза по сравнению со случаем некоррелированных ошибок. 3]

Реально параметры регрессии неизвестны, поэтому при прогнозировании величины y_n+1 в формуле (2.8) значения в и р заменяют их оценками:

Y= x'_n+1 в + r (y_n— x'_nв) (3.0)

Мы не можем дать аналитическое выражение для среднеквадратичной ошибки прогноза. На практике используют формулу (2.9) с заменой величины у²_v на ее оценку, получаемую из регрессии, при t=1.

Глава2. Пример построения прогноза по эконометрической модели

2.1 Точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии

Проведем регрессионный анализ зависимости объема потребления (руб.) домохозяйства от располагаемого дохода (руб), отобрана выборка n=12 (помесячно в течение года).

Данные и расчеты представлены в таблице 1.

Табл.1 Исходные данные и расчеты.

Согласно

Таким образом, уравнение парной регрессии имеет вид:. Можно сделать вывод, что объем потребления в среднем увеличивается на 81.8511 руб.

Рис. 3 Линейная регрессионная модель Для оценки дисперсии рассчитаем, а ряд фактических ошибок также, которые представлены в таблице.

Стандартная ошибка оценивания S=191, те в среднем наблюдаемые значения отличаются от расчетных на 191 руб.

Найдем стандартные ошибки оценок параметров

; .

;

Рассчитаем коэффициент детерминации :

Получаем, что оцененное уравнение на 99% объясняет поведение зависимой переменнойобъема потребления домохозяйства.

Проверим статистическую значимость коэффициентов регрессии и :

и .

Критическое значение при уровне значимости равно. Так как, то гипотеза о статистической значимости коэффициента отклоняется.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии по формуле прогнозирование регрессионный модель

где s (

которые с надежность 95% будут следующими:

для

для

Проверка гипотезы о статистической незначимости осуществляется с помощью критической статистики

F_набл.=(n-2)*(R²/(1-R²)= 485 717>F_б=(p, p-n-1)=4,96

То есть гипотеза отвеграется с вероятностью ошибки б.

Произведем точечный прогноз по формуле:

Таб.2 Точечный прогноз

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных объемов потребления

Где Табл.3 Интервальный прогноз.

Таким образом с доверительной вероятностью 0,999 (или 99,9%) можно утверждать, что сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Заключение

Прогнозирование позволяет заглянуть в будущее и увидеть наиболее вероятные изменения в исследуемой области.

Анализ методов прогнозирования, изучение этих методов, использование их в разных сферах деятельности является мероприятием рационализаторского характера. Степень достоверности прогнозов можно затем сравнить с действительно реальными показателями, и, сделав выводы, приступить к следующему прогнозу уже с существующими данными, т. е. имеющейся тенденцией. Опираясь на полученные данные, можно во временном аспекте переходить на более высокую ступень развития и совершенствовать деятельность определенной сферы.

Изучив результаты работы можно признать цель работы в основном достигнутой. В нынешней ситуации, когда объем потребления и располагаемый доход является неотъемлемыми в нашей повседневной жизни, без контроля и планирования этой сферы нормальное функционирование национальной экономики практически невозможно. Поэтому нельзя не признать актуальность решаемых в курсовой работе задач.

По результатам проведенного исследования, решены следующие задачи:

1. Определены понятие «прогнозирование» и исследованы его особенности, позволяющие более глубже понять интересующую нас тему.

2. Рассмотрены точечное и интервальное, условное и безусловное прогнозирование.

3. Проанализировано прогнозирование при наличии авторегрессии ошибок.

4. Проведено точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии.

Библиографический список

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 2003. — 479 с.

2. Дорошенко О. В.

Введение

в эконометрику: практикум.-Краснодар: Кубан.гос.ун-т, 2012

3. Мангуст Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А., Эконометрика. Начальный курс.-М.:Дело, 2005

4. Нанивская В. Г., Андронова И. В. Теория экономического прогнозирования: Учебное пособие. — Тюмень: ТюмГНГУ, 2010. — 98 с.

5. Садовникова Н. А. Шмойлова Р.А., Анализ временных рядов и прогнозирование Выпуск 2 Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины, Москва 2004

6.Эконометрика/ под ред. И. И. Елисеевой.-М.:Финансы и статистика, 2014