Интерполирование в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что
b «' = а «— а «', b «= а' — а «…с «= b «— b «'…
Для вычисления величины функции, а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.:
Формула Ньютона.
a = ao + {(b' + b1)/2 — 1/6[(d' + d1)/2] +… }n + {co/2 — eo/24 +… }n2 + {1/6[(d' + d1)/2] —… }n3 +…
Формула Бесселя.
a = ao + nb1 + [n (n — 1)/1.2]. (co + c1)/2] + [n (n — 1)(n — ½)/1.2.3]d1 + [(n + 1).n (n — 1)(n — 2)/1.2.3.4]. (eo + e1)/2] +…
Формула Стирлинга.
a = ao + [(b' + b1)/2]n + co (n2/1.2) + [(d' + d1)/2]. (n — 1) n (n + 1)/1.2.3] + eo[(n — 1) n2(n + 1)/1.2.3.4] +…
Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.
Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится, а = 12°58'59,4 «.
Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = ao + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.
При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается n = (a — a0)/b. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.
Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов х1, х2… хп, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:
F (x) = U1{[(x — x2)(x — x3)… (x — xn)]/[(x — x2)(x1 — x3)… (x1 — xn)]} + U2{[(x — x1)(x — x3)… (x — xn)]/[(x2 — x1)(x2 — x3)… (x2 — xn)]} +… + Un{[(x — x1)(x — x2)… (x — xn-1)]/[(xn — x1)(xn — x2)… (xn — xn-1)]} +…
где U1 = F (x1), U2 = F (x2)… Un = F (xn).
Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.
Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.
Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.
