Проблема расчета траекторий движения многих тел, взаимодействующих между собой, часто встречается в различных областях физики и техники. Эта классическая задача возникает при изучении химических процессов, протекающих в природе, например, в задачах астрокатализа [72, 61]. В этих задачах объектом изучения являются допланетные этапы и условия химических превращений вещества, ставшего основой для формирования солнечной системы н органических соединений на поверхности Земли. Одним из главных инструментов этого изучения является математическое моделирование с решением в качестве первого шага задачи динамики многих тел. Математическая модель этой задачи состоит из уравнений Власова-Лиувилля для функции распределения тел по пространству и скоростям и уравнения Пуассона для действующей на тела гравитационной силы. Эта задача решалась методом частица-сетка РМ [5, 6]. В этом методе на введенной сетке по распределению в пространстве большого числа частиц вычисляются значения плотности вещества. Затем, по этим значениям из решения уравнения Пуассона находятся сеточные значения потенциала и соответствующие силы, действующие на тела-частицы [6]. Следом из уравнений движения для частиц определяются их новые координаты. Тем самым, распределение частиц в пространстве изменяется под действием самосогласованного поля, а также из-за других сил. Практически метод частиц представляет собой прямое моделирование динамики многих тел под воздействием собственного и внешнего полей.
Реализация такой модели в трехмерном случае называется 3D3V программой, поскольку используется три пространственные «D» и три скоростные «V» независимые переменные. Для эксплуатации этих программ с достаточно большим числом частиц, требуются значительные вычислительные ресурсы, поскольку необходимо отслеживать миллионы и миллиарды отдельных траекторий частиц. Размер вычислительной сетки в трехмерных расчетах должен быть не менее 1003 узлов. Поэтому такие программы должны использовать ресурсы суперЭВМ. Но для этого необходимо создать высокоэффективные параллельные алгоритмы pi программы, спроектированные так, чтобы в будущем их можно было относительно легко расширять.
При моделировании динамики многих тел РМ-методом возникает проблема постановки граничного условия для уравнения Пуассона. В исходных задачах оно ставится как нулевое значение гравитационного потенциала на бесконечности. При моделировании в области конечного размера возникает проблема определения значения потенциала на границах при появлении гравитирующих тел вблизи границ.
Цель работы заключается в разработке комплекса программ для решения задач динамики многих тел с применением суперЭВМ. В частности, необходимо было решить следующие задачи:
— разработать метод, позволяющий вычислять потенциал, используя фундаментальное решение уравнения Пуассона;
— реализовать эффективную параллельную процедуру данного метода как в декартовой, так и в полярной системе координат;
— разработать параллельную программу для решения 3D3V задачи многих тел в декартовой системе координат, использующую реализованную процедуру для задания граничных условий.
— использовать эту параллельную процедуру в задачах 3D2V для вычисления потенциала на плоскости. Сравнить результаты, полученные этой модифицированной реализацией 3D2V задачи с уже имевшимися программами 3D2V;
— разработать программу визуализации, ориентированную на представление динамики многих тел.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Разработан метод, реализующий дискретный аналог фундаментального решения уравнения Пуассона. Показано, что метод может быть востребован для решения уравнения Пуассона при использовании суперЭВМ с большим, свыше 20, числом процессоров.
2. Разработаны эффективные параллельные реализации этого метода в декартовой и полярной системах координат, которые используют свойство регулярности вычислительной сетки, сокращающее количество операций. Эти реализации использованы в программах 3D3V и 3D2V для решения трехмерных задач динамики многих тел.
3. Разработана параллельная программа для решения нестационарных трехмерных задач многих тел 3D3V.
4. Разработанная программа 3D3V использована для практических расчетов на суперкомпьютерах с целью поиска квазистационарного решения для диска с вращением. Установлено существование такого численного решения для самогравитирующего бесстолкновительного диска и определены его параметры.
Защищаемые положения:
1. Метод решения уравнения Пуассона, который основан на дискретном аналоге его фундаментального решения в декартовой и полярной системах координат, является эффективным при параллельной реализации.
2. Параллельная программа 3D3V для решения нестационарных задач многих тел в трехмерном пространстве.
3. Существует квазистационарное решение задачи о вращении частиц в виде диска, которое получено численно с помощью программы 3D3V на параллельных системах.
Достоверность результатов подтверждена решением ряда модельных задач, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами.
Научная и практическая ценность работы.
Разработанные программы использовались для установления пространственно трехмерных распределений параметров в самогравитирующих эллиптических системах и дисках. Было получено квазистационарное решение для задачи 3D3V. Работа велась в рамках программы. Президиума РАН «Происхождение и эволюция звезд и галактик», «Происхождение и эволюция биосферы» (2004;2008 гг.), интеграционного проекта СО РАН № 148 (2003;2005 гг.).
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 126 страницах, включает библиографический список из 91 наименований работ. Рисунки, формулы и таблицы нумеруются по главам. Библиографические ссылки имеют сквозную нумерацию по всей работе.
4.7. Выводы.
Создана параллельная реализация задачи 3D2V, в которой уравнение Пуассона вычисляется методом, основанным на его фундаментальном решении.
Проведены расчеты на суперЭВМ по обеим программам с широким изменением счетных и физических параметров.
В результате выполненных исследований можно заключить, что смена вычислительного метода для уравнения Пуассона в задаче 3D2V влияет на детали получаемых результатов. Но в целом поведение системы сохраняется: при одинаковых входных параметрах по обеим программам получаются одинаковые с физической точки зрения результаты.
BICSSRAS V5m*nik<.v. VVihK^ov. EKukihM о BIC 5B PAS V Str^n&ov. WshMtov. E Kukshevd
T .1 В BIC SB RA5 V.5rrXr*oV. V. VjhiUtov,? Kukrfmu о BIC 50 RAS V Snvtmlfoi, V.vjhvltov.? K (*iheve
Рис. 4.6. Расчет «спирали». Распределение плотности пыли в зависимости от времени (по горизонтали) и программы (по вертикали).
ГЛАВА 5 ПРОГРАММА ВИЗУАЛИЗАЦИИ.
Работа над моделированием динамики гравитирующих систем ведется уже достаточно давно [2, 59, 13]. Нужно отметить, что проведение численных экспериментов на суперЭВМ обладает некоторой спецификой, особенно, если речь идет о нестационарных задачах. Прежде чем получить заветную «картинку» приходится выполнить массу различных манипуляций: удаленно запустить приложение, удаленно получить файлы-результаты (часто это сотни), которые нужно заархивировать и «скачать» с удаленного кластера. Затем нужно настроить программу визуализации для своих данных. Иногда требуется переформатировать данные и т. д. Все это необходимо проделывать много раз. Поэтому, в какой-то момент возникла потребность максимально автоматизировать этот процесс, создав программное обеспечение. Желательно было визуализировать нестационарные процессы не в виде отдельных статических изображений, а в виде фильмов. Был проведен анализ доступных на тот момент систем визуализации и не было найдено той, которая в точности подходила бы под наши нужды, а более менее подходящие программы были достаточно дорогими. Решено было создать собственную программу визуализации для представления результатов моделирования задач гравитационной физики. Она должна быть простой в использовании, уметь быстро работать с большими объемами информации (сотни и тысячи Мб), уметь производить фильмы в распространенных форматах. Это и было реализовано в программе Gala. Нужно подчеркнуть, что Gala — это межплатформенная реализация, то есть ее можно откомпилировать и под платформу Windows и под X Windows Unix-систем, потому что Gala реализована на межплатформенной библиотеке Qt.
Gala интенсивно используется в настоящий момент и автором и коллегами, работающими в данной области. Изображения полученные Gala использовались в оформлении данной работы, в опубликованных статьях ([13], [14]), в презентациях конференций, отчетах, на семинарах.
5.1. Как работает программа Gala.
Суть работы программы: на вход подаются файлы данных, а результатом являются соответствующие изображения в графическом формате. Входные данные могут быть как в текстовом формате, так и в бинарном. Выходные изображения могут быть в различных графических форматах. Форма выходного изображения также может быть различной и определяется понятием «графический режим». Для задания всех этих параметров работы программы существует файл конфигурации. Анимация в Gala создается в формате MNG и MPEG2 (MNG — это более новый, свободный в распространении и более экономичный чем GIF формат, нацеленный на использование в интернете).
5.2. Интерфейс Gala.
После запуска программы пользователь видит типичное окно приложения с меню и окно редактирования входного списка файлов.
Все важные функции дублированы в панели инструментов. Пункт меню Windows/File list и Windows/Config editor позволяет переключаться между окном редактирования файла конфигурации и окном редактирования входного списка файлов. Ж Shew
Name j Ext | Size | Date | Time | Path |
File Edit Windows Help
Рис. 5.1
5.2.1. Выбор файлов. Если входные файлы в нужном формате, то можно начать работу с выбора файлов, пункт меню File/Open directory или Ctrl-О или значок панели инструментов. Выберите в появившемся окне директорию с Вашими файлами, и все файлы из этой директории окажутся в списке файлов. Далее Вы можете удалять ненужные файлы из списка с помощью Edit/Del selected files или Ctrl-X, выделяя файлы мышью или SHIFT-стрелки. Отменить выделение можно с помощью Edit/Unselect all или Ctrl-U. В полученный список можно добавить другие директории аналогичным образом через Edit/Add, directories или Ctrl-А.
Можно открыть директорию рекурсивно с помощью меню File/Open directory recursively, в результате в списке окажутся все поддиректории и файлы поддиректорий, выбранной директории.
Список файлов можно отсортировать по: имени, расширению, размеру, дате, времени выбрав соответствующий заголовок мышью. Если в список попадут «неправильные файлы», то при обработке эти файлы будут пропущены.
5.2.2. Файл конфигурации. После выбора директории файлов данных, необходимо выбрать файл конфигурации. Предположим, мы уже имеем отредактированный файл, тогда его просто открываем через File/Load config или Ctrl-L или значок
После этого он появляется в нашем редакторе, и если какие-то настройки в нем пользователя не устраивают, его можно отредактировать и сохранить изменения либо File/Save config либо Ctrl-S. Отредактированный файл можно сохранить с новым именем File/Save config as. Если нужно создать новый файл конфигурации, то выбираем File/New config file/N, где N графический режим". Будет создана «рыба» файла, которую затем можно будет изменить под нужды пользователя.
Очередность операций выбора файлов данных и файла конфигурации не имеет значения.
5.2.3. Создание анимации. Запуск визуализации. Когда файлы данных в списке уже имеются, файл конфигурации тоже в наличии и отредактирован, можно приступать к визуализации (созданию анимации). Но перед этим пользователь может задать имя будущему файлу анимации, если конечно, он намерен получить именно анимацию, а не просто набор графических файлов. Имя задается через File/Save animation as. Если имя не задать, то оно будет равно имени первого файла данных + «.mng». Запуск анимации/визуализации осуществляется через File/Create animation или Ctrl-R или кнопкой панели инструментов. Если Вы хотите видеть как протекает процесс, то необходимо нажать кнопку
Это позволит видеть окно с формирующимися изображениями. Если Вы не желаете видеть процесс формирования изображений, то кнопка должна быть отжатой. После работы, в соответствующих директориях появятся графические файлы в соответствии с выбранными опциями заданного файла конфигурации.
5.2.4. Помощь и подсказки. По мере возможности все кнопки программы снабжены выпадающими подсказками желтого цвета. Работает кнопка «что это». Пункты меню Help/about F1 вызывает окно с документацией пользователя, Help/What's this равносилен кнопке «что это».
5.3. Графические режимы.
Графическим режимом (ГР) здесь называется то, в каком виде мы видим наши данные. Gala имеет б ГР, то есть умеет шестью способами отображать входные данные. Некоторые из них представлены на рисунке 5.2
5.4. Файл конфигурации.
Каждый ГР имеет параметры, изменяющие изображение, которое будет генерироваться. Эти параметры задаются в файле конфигурации. Файл конфигурации — это текстовый файл с древовидной, XML-подобной формой записи параметров. Он задает параметры для работы визуализатора программы Gala. Без указания файла параметров программа ничего не делает. Для разных графических режимов необходимы разные файлы конфигурации. Обычно файл конфигурации состоит из нескольких логических разделов: общие, связанные с входными данными, с выходными данными и с конкретным графическим режимом. Получить «рыбу» файла конфигурации можно в самой Gala через пункт меню File/New config file. Рассмотрим файлы конфигурации для некоторых графических режимов.
5.4.1. Карта. В таблице 5.4.1. приведены примеры файлов конфигурации для карт, векторов и поверхностей. Пример файла конфигурации для получения изображения, показанного на рисунке 5.2(а,) находится в первой колонке таблицы.
Поясним значения этих строк. — начало тэга с общей информациид
Рис. 5.2. Графические режимы программы Gala.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе исследован дискретный аналог фундаментального решения уравнения Пуассона с точки зрения эффективности его распараллеливания, а также точности по отношению к аналитическим решениям. Показано, что метод может быть востребован для решения уравнения Пуассона при использовании суперЭВМ с числом процессоров свыше 20, особенно для расчета граничных условий в полностью трехмерных задачах. Метод идеально подходит для работы именно на параллельных системах.
Разработана параллельная программа 3D3V для решения трехмерных задач гравитационной физики без столкновений для изолированных систем, которая показала свою эффективность на существующих суперЭВМ. При вычислении гравитационного потенциала, и в этом особенность данной реализации, граничные условия находились с помощью дискретного аналога фундаментального решения уравнения Пуассона.
Для процедуры вычисления гравитационного потенциала на границе был разработан экономичный по времени параллельный алгоритм, использующий регулярность вычислительной сетки, чтобы сократить количество операций. Его применение при вычислении потенциала на границе дает возможность устанавливать границы вычислительной области ближе к моделируемой системе. При этом не нарушается условие убывания потенциала до нуля на бесконечности.
Разработана параллельная программа для решения задач гравитационной физики 3D2V. В этой реализации гравитационный потенциал на плоскости находится с помощью дискретного аналога фундаментального решения уравнения Пуассона, что позволяет уменьшать расчетную область и не находить граничные условия. Эта программа использовалась для сравнения и верификации с результатами других реализаций [2, 3, 13]. Выяснилось, что результаты полученные всеми программами не противоречат друг другу.
Была создана программа визуализации Gala для представления результатов моделирования задач гравитационной физики. Она специализирована на представлении именно таких данных, умеет быстро работать с большими объемами информации (сотни и тысячи Мб), умеет производить фильмы в распространенных форматах. Gala — это межплатформенная реализация, то есть ее можно откомпилировать и под платформу Windows и под X Windows Unix-систем.
Проведен ряд расчетов на параллельных системах, в результате чего было получено численное, квазистационарное решение для самогравитирующего бесстолкновительного диска с вращением. Таким образом, созданный комплекс программ может служить основой для дальнейшей разработки параллельных программ численного моделирования задач динамики многих тел.
Автор выражает благодарность В. А. Вшивкову за внимание и поддержку.
