Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Применение инвариантов в моделях актуарной математики для статистического оценивания и проверки гипотез

Диссертация: Применение инвариантов в моделях актуарной математики для статистического оценивания и проверки гипотез
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Однако, при обработке реальных биржевых данных было замечено, что в действительности наблюдается заметно больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине приращений, чем их должно быть при нормальном распределении (см., например, Ширяев А. Н., 1994, Кендалл М., Самуэльсон П. А. (1965), Бардорфф-Нильсен (1977), Кларк П.). Другими словами, наблюдаемые распределения приращений цен… Читать ещё >

Применение инвариантов в моделях актуарной математики для статистического оценивания и проверки гипотез (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Проверка гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений
    • 1. 1. Модели, основанные на броуновском движении
    • 1. 2. Модели, основанные на гиперболических распределениях
    • 1. 3. Модели, использующие обобщенные процессы Кокса
    • 1. 4. Модели, не зависящие от времени
    • 1. 5. Дополнительные сведения
    • 1. 6. Асимптотическое поведение сопряженного смесителя
    • 1. 7. Численная реализация
  • 2. Различение нормального и смеси нормальных распределений
    • 2. 1. Классические методы различения нормального и смеси нормальных распределений
    • 2. 2. Определение асимптотического поведения сопряженного смесителя для случая нормального распределения
    • 2. 3. Определение коэффициента устойчивости по опубликованным экспериментальным данным
  • 3. НОРМД плотности двухпараметрического семейства гамма
    • 3. 1. Сопоставление эффективности статистических выводов на основе указанных инвариантов с выводами, базирующимися только на выборочных данных на примере распределения Коши
    • 3. 2. Нахождение НОРМД плотности гамма распределения
  • Заключение 120 Библиографический
  • список

Можно без преувеличения сказать, что в последние два десятилетия центр основных интересов финансовой математики, ее более впечатляющие математические результаты и «выходы» в практику связаны со стохастическими аспектами, что и объясняет большой поток работ, опирающихся на результаты стохастического исчисления, теории мартингалов, оптимального стохастического исчисления и новых методов в статистике случайных процессов." [1].

Проблема эквивалентного описания эволюции финансовых индексов (цен акций, величин обменных курсов валют и т. д.) имеет давнюю историю и занимает в теоретических и прикладных исследованиях теории финансов весьма заметное место.

Финансовые модели с момента появления работы Башелье Л. в 1900 году [2], которая была первым опытом описания с помощью математического аппарата эволюции цен акций, привлекали внимание многих математиков.

В 1965 году Самуэльсон П. А. [3] предложил использовать в моделях актуарных расчетов геометрическое броуновсокое движение, таким образом, сделав предположение о нормальности распределения логарифмических приращений стоимостей активов. Модель Блэка-Мертона-ИГоулса, использующая геометрическое броуновское движение, вошла в распространенные пакеты прикладного программного обеспечения для финансовых вычислений (МАРЬЕ, МАТЬАВ).

Однако, при обработке реальных биржевых данных было замечено, что в действительности наблюдается заметно больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине приращений, чем их должно быть при нормальном распределении (см., например, Ширяев А. Н., 1994 [1], Кендалл М. [49], Самуэльсон П. А. [3] (1965), Бардорфф-Нильсен (1977) [49], Кларк П. [49]). Другими словами, наблюдаемые распределения приращений цен на интервалах времени умеренной длины являются более островершинными, нежели нормальные, и при этом имеют заметно более тяжелые хвосты. Такое поведение приращений хорошо описывается с помощью моделей случайных сумм, т. е. сумм случайного числа независимых случайных величин. Класс предельных распределений для случайных сумм весьма богат и содержит как распределения приращений для процессов, базирующихся на геометрическом броуновском движении со случайным сносом и диффузией в макромоделях биржевых цен (исследованием которых занимались Ширяев А. Н. [1,49] (1994), Королев В. Ю. [4,6,7,8,9,10,11,17] (1997), Бенинг В. Е. [6,7,8,9,10,11] (1998), Эберлейн Е., Келлер У., Нейман К. [49] (1992;1994), Первадчук В. П. [20] (2002), так и распределения, возникающие в моделях микроуровня, позволяющих учитывать неоднородность «биржевого времени». Дело в том, что представителями этого класса служат, так называемые, смеси нормального распределения, т. е. усреднения нормальной функции распределения по математическому ожиданию и стандартному отклонению, которые являются случайными и их закон распределения заранее неизвестен. В связи с выше сказанным, проблема определения типа распределения приращения активов по имеющейся реализации представляется весьма актуальной. Часть этой проблемы, касающаяся предельных распределений для обобщенных процессов Кокса рассматривается в моей диссертации. В работах Королева В. Ю., Бенинга В. Е. [7, 8, 9,10, 11] и др. показано, что при определенных ограничениях предельные распределения нормированных обобщенных процессов Кокса принадлежат классу симметричных строго устойчивых распределений.

Аналитическое представление плотностей этих распределений возможно лишь в исключительных случаях, поэтому практический интерес представляет математический аппарат получения статистических выводов, не связанный с компьютерно-интенсивным методом, предложенным в работе Фама и Ролла [27], 1970. Поскольку статистические выводы, реализуемые в работе, базируются на новой выборке, полученной из исходной посредством ее модификации с помощью имитаций стандартной нормальной величины, то для сопоставления эффективности выводов необходимы новые теоретические построения и методы их численной реализации. Один из возможных подходов указан в диссертации. Попутно решена задача нахождения НОРМД (несмещенных оценок с равномерно минимальной дисперсией) неизвестного параметра масштаба гамма распределения, предложенная в свое время Колмогоровым А. Н. и имеющая самостоятельный интерес в различных приложениях.

Целью работы является реализация новых методов, основанных на плотности распределения инвариантов, для решения двух типов задач. К первому типу можно отнести проблему проверки гипотез о принадлежности данному распределению модифицированной выборки. Ко второму — задачу оценивания неизвестного параметра при известном семействе распределений.

В работе построены: аппроксимации функций распределений, графики плотностей и функций распределения для различных значений коэффициента устойчивости. Приведены таблицы критических точек, которые используются для проведения процедуры проверки гипотез с помощью критерия Колмогорова. Численно реализован пример, иллюстрирующий применение метода. Найдена НОРМД для гамма распределения. Кроме того, в работе построены таблицы, позволяющие определить необходимый объем выборки, требуемый для построения удовлетворительных статистических выводов.

Результаты работы докладывались на XXXVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 1998), где доклад был удостоен диплома, на трех Всероссийских школах-коллоквиумах по прикладной и промышленной математике (Самара, 1999, 2001, Ростов-на-Дону, 2002), и на пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004). Полученные в работе результаты обсуждались на научных семинарах кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, кафедры теории вероятностей и математической статистики Пермского государственного университета.

Диссертация общим объемом 125 стр. состоит из введения, трех глав, поделенных на 12 параграфов, 6 таблиц и 26 рисунков, заключения, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Основные результаты работы изложены в статьях [35, 42, 45]. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Численно реализован метод проверки гипотез о типе предельного распределения для математических моделей финансовой математики, построенных на классе строго устойчивых распределений.

2. Найдены предельные плотности распределения сопряженного смесителя для значений коэффициента устойчивости в интервале (1,2−2). Построены таблицы критических точек.

3. Построен критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных, используемый для математических моделей финансовой математики, построенных на коротком периоде наблюдений.

4. Построен метод проверки гипотезы о принадлежности распределению Коши логарифмических приращений наблюдаемых величин.

5. Построены таблицы объемов выборки, необходимых для получения удовлетворительного результата при различении нормального распределения и смеси нормальных распределений.

6. Разобран численный пример, основанный на реальном курсе евро к рублю. Построена математическая модель процесса, найдено предельное распределение для конкретной задачи.

7. Предложен новый алгоритм нахождения оценок неизвестных параметров. Найдена НОРМД параметра гамма распределения с помощью плотности распределения достаточных статистик семейства гамма.

8. Осуществлена проверка гипотезы о параметре гамма распределения. Найдена формула, выражающая необходимый объем выборки для построения критерия удовлетворительной мощности.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А. Н. Стохастические проблемы финансовой математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1994, Т.1, В.5, С. 780−820.
  2. BachelierL. Th’eorie de la speculation. // Ann. Ecole Norm. Sup., 1900, V.17, P. 21−86. (Перепечатка: The random character of stock market prices. Ed. by P.H. Coothner. Cambridge, MA: MIT Press, 1967, P. 17−78).
  3. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Manag. Rev., 1965, P. 13−31.
  4. В. Ю. Вероятностные модели: введение в асимптотическую теорию случайного оценивания. //М.: Диалог-МГУ, 1997.
  5. Grandell J. Doubly Stohastic Poisson Processes. // Lect. Notes Math., 1976, V.529.
  6. Bening V. E., Korolev V. Yu., Shorgin S. Ya. On approximations to generalized Poisson processes. // J. Math. Sci., 1997, V.83, N 3, P. 360−373.
  7. В. E., Королев В. Ю. Асимптотические разложения для квантилей обобщенных процессов Кокса и некоторые их приложения к задачам финансовой и актуарной математики. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1998, Т.5, В.1, С. 23−43.
  8. В. Е., Королев В. Ю. Асимптотические поведение обобщенных процессов Кокса. // Вестник Московского универсситета, серия выч. Мат-ки и кибернетики: 1996, В. З, С. 55−68.
  9. Р. Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Предельное поведение неслучайно центрированных обобщенных процессов Кокса. // Фундаментальная и прикладная математика: 1996, N 4, С. 957−975.
  10. V. Е., Korolev V. Yu. On approximations to generalized Cox processes. // Probab. Theory and Math. Stat., Wroclaw, 1998.
  11. Bening V. E., Korolev V. Yu. Asymptotic behavior of generalized non-ordinary Cox processes. // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics, 1997, VSP, P. 111−129.
  12. В. M. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.
  13. Д. Е. Моделирование динамики финансовых рядов и оценивание производных финансовых инструментов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Тверь. 2001.
  14. Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М.: Наука, 1967.
  15. И. А., Линиик Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.
  16. И. А., Хасъминский Р. Э. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.
  17. В. Ю. Об асимптотической устойчивости распределений обобщенных неординарных процессов Кокса. // Теория вероятностей и ее применение: 1997, Т.42,В.З, С. 359−361.
  18. П. Н. Проверка гипотез о типе предельного распределения обобщенных процессов Кокса. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2001, Т.8, В.1, С. 314−315.
  19. JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука. 1983.
  20. В.П., Тренин Ю. Б. Анализ и прогнозирование финансовых рынков методами теории детерминированного хаоса. // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ, 2002, С.7−11.
  21. И. Н. Планирование эксперимента при сравнении параметров двух нормальных совокупностей. // Теория вероятностей и ее применение: 1973, Т.18, В.1, С. 206−211.
  22. И.Н. О восстановлении аддитивного типа распределения по последовательности независимых испытаний.// Тр. Всесоюз. сов. по ТВ и МС. Ереван, 1960, С. 148−159.
  23. Ю.В. Характеризация класса распределений распределением некоторой статистики. // Теория вероятностей и ее применение: 1965, Т. 10, В. З, С. 479−487.
  24. Sapozhnikov Р. N. Pseudomixers for strong stable mixers of standard normal law. // Seminar on Stab. Problem of stohastic models. Pamplona, Spain, 2003, P. 49.
  25. Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Физматлит, 1995.
  26. Black F., Scholes М. The pricing of option and corporate liabilities. // J. Polit. Econom., 1973, N3, P. 637−659.
  27. Eugene F. Fama, Richard Roll. Parameter Estimates for Symmetric Stable Distributions // Journal of the American Statistical Association: 1971, V. 66, P. 331−338.
  28. Shapiro S. S., WilkM. В., Chen H. J. A Comparative Study of Various Tests for Normality. // Journal of the American Statistical Association, 1968, P. 1343−1372.
  29. Я. П., Сапожников П. Н. Несмещенные оценки для плотностей распределений. // Теория вероятностей и ее применение: 1969, Т. 14, В.2, С. 372−380.
  30. П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. Ленинград: Энергоатомиздат, 1985.
  31. Г., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973, Т.1.
  32. И. Н. О различении распределений гамма и Вейбулла. // Теория вероятностей и ее применение: 1994, Т.39, В.2, С.398−348.
  33. П. Н. Алгебраические методы оптимального статистического оценивания. Пермь: ПТУ, 1997.
  34. Е. Л., Сапожников П. Н. НОРМД плотности двухпараметриче-ского семейства гамма. // Промышленное обозрение. ТВП: 1999, Т.6, В.1, С. 164.
  35. Е. Л., Сапожников П. Н. Получение приближения для НОРМД гамма распределения // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПГУ, 1999, С.26−37.
  36. П. Н. Привлечение алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПГУ, 1993, С. 100−116.
  37. П. Н. Максимальные инварианты в теории оптимального оценивания. Пермь: Вестник ПГУ, 1997, В.1.
  38. А. В. Бета распределение. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С.163−164.
  39. А. Н. Несмещенные оценки // Известия АН СССР, Сер. мат., 1950,14, С. 303−326.
  40. Ю. Н. Бернулли числа. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С.425−426.
  41. Е. Л. Проверка гипотезы о виде гамма распределения. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2001, Т.8, В.1, С. 247.
  42. Е. Л. Применение приближенного распределения инвариантов для проверки гипотезы о типе предельного распределения. // Информационные управляющие системы. Пермь ПГТУ, 2002, С.22−25.
  43. П. И., Кротова Е. Л. Критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 2002, Т.9, В.1, С. 133.
  44. Е. Л. Распределение достаточных статистик для семейства гамма. // Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 1999, С. 83.
  45. Е. JI. Об одной реализации проверки гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений. // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ, 2002, С.96−100.
  46. A.B. Гамма распределение. // Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, Т.1, С. 163−164.
  47. А.И. О влиянии погрешности наблюдений на свойства статистических процедур (на примере гамма распределения). // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: ПТУ, 1988, С.45−49.
  48. В.Г., Никулин М. С. Несмещенные оценки и их применения. М.: Наука, 1989.
  49. А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1995, Т.2.
  50. ., Ранее С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы. // Обозрение прикладной и промышленной математики: 1995, Т.2.
  51. Kozek A. Construction of umv estimators and some problems of partial differential equations. // Trans 7-th Prague Conf. Prague, 1978, P. 279−290.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!