Строение топологической милноровской K-группы двумерного локального поля

Локальными полями называются полные дискретно нормированные поля с конечным полем вычетов. Их структура известна: локальные поля характеристики 0 изоморфны конечным расширениям поля р-адических чисел <0)р, а поля ненулевой характеристики — полям формальных рядов над конечными полями. В работах Г. Вебера и Д. Гильберта в конце 19 века появилось понятие нолей классов, а именно алгебраических расширений поля алгебраических чисел, в которых распадаются те и только те дивизоры из поля алгебраических чисел, которые принадлежат главному классу группы классов дивизорова также теория полей классов, изучающая группы Галуа таких расширений. Было усганавлено взаимно-однозначное соответствие между абе-левыми расширениями локального поля и подгруппами мультипликативной группы поля, являющимися соответствующими норменными подгруппами. Более того, был построен гомоморфизм из мультипликативной группы поля в группу Галуа е! о максимального абелева расширения, который для любого конечного абелева расширения индуцирует изоморфизм между факторгруппой по норменной подгруппе и группой Галуа расширения. Такой гомоморфизм называется отображением взаимности, он описан, в частности, в книге А. Вейля [3]. Отображение взаимности почти биективно: оно инъективно и образ его всюду плотен.

Для расширений куммеровского типа с отображением взаимности связан символ Гильберта, который является спариванием на мультипликативной группе поля. Для него имеются явные формулы. Исторически возникли два типа формул для символа Гильберта. Первый из них появился в работе Э. Артина и Г. Хассе, в которой выведены явные формулы, дающие ответ в определенных частных случаях в терминах следа некоторого элемента. Позднее этот подход был развит в работах К. Ивасавы в круговом случае и Ш. Сена в общем случае. Другой подход был впервые предложен И. Р. Шафаревичем в 1950 году. Окончательные явные формулы для классического символа Гильберта в этом направленрти были независимо получены С. В. Востоковым в 1978 году в [4] и Г. Брюкнером в 1979 году в [20] для случая р ф 2. В начале 1980;х годов появились явные формуля для случая р — 2. Позднее в работе Дж. Нойкри-ха [33] появилась конструкция для отображения взаимности, которую впоследствии удалось обобщить на многомерные локальные поля. Изложение локальной теории полей классов с использованием когомологий групп можно найти в книге Ж. П. Сер-ра [34]. В ней излагается подход Г. Хохшильда, развитый впоследствии Э. Артином и Дж. Тейтом. Конструктивный подход без когомологий изложен в книге И. Б. Фе-сенко и С. В. Востокова [27].

В 70-х годах А. Н. Паршин и К. Като независимо начали изучение многомерных локальных полей, которые представляют собой естественное обобщение классических локальных полей. Они определяются так.

Определение. Полное дискретно нормированное поле F называется гс-мерньш локальным полем, если для него существует последовательность полных дискретно нормированных полей ., F^n удовлетворяющих условиям: р (п).

F^ - конечное поле, для любого г? {1,., п} поле изоморфно полю вычетов поля.

Поле F^-1) называется первым полем вычетов F, а поле F⁰) — последним полем вычетов.

Часто рассматривают многомерные поля над совершенным полем вычетов, то есть вместо условия конечности поля Fтребуют только, чтобы оно было совершенным. Многие свойства остаются верными и для этого класса полей. Однако в настоящей работе для всех многомерных полей мы предполагаем, что их поле вычетов конечно.

Сейчас многомерные локальные ноля достаточно изучены, PL Б. Жуковым в [8] и [39] доказана теорема о классификации. Если характеристика поля F = F^ не равна 0, то F изоморфно полю формальных рядов от п переменных над конечным полем. Поля характеристики 0 разбиваются на классы в зависимости от характеристик полей вычетов. Для любых тип таких, что 0 < m < п — 1, среди? г-мерных полей, удовлетворяющих условию char — 0, char F^' = р, описан тип полей, называемых стандартными, а именно f{{Ti}}. {(Tm}}((Tm+2)). ((Тп)), где / -обычное локальное поле, в частности, если все поля вычетов, кроме последнего, имеют характеристику 0, то стандартное поле — это поле формальных рядов от п — 1 переменной над локальным полем. Доказано, что любое поле является конечным расширением стандартного и для любого поля есть стандартное, которое является его конечным расширением, а в случае char К^ = 0 любое поле стандартно.

На многомерном локальном поле F = F^ определена топология, которая учитывает топологии полей вычетовона была описана А. Н. Паршиным в [17]. Это сильнейшая топология, для которой любой элемент F однозначно раскладывается в сходящийся ряд, в котором каждое слагаемое является произведением локальных параметров в некоторых степенях и представителя элемента из Такая топология определена однозначно, если первое ноле вычетов имеет ненулевую характеристику. Мультипликативная группа F* = Z" х U, где U — группа единиц, снабжается топологией произведения дискретной топологии на Ъп и индуцированной с F на U.

В теории нолей классов многомерных локальных полей вместо мультипликативных групп используются милноровские if-группы. В частности, для двумерного поля отображение взаимности строится из второй милноровской /•('-группы в группу Га-луа максимального абелева расширения. Как и в случае обычного локального поля для любого конечного абелева расширения отображение взаимности индуцирует изоморфизм между факторгруппой по норменной подгруппе и группой Галуа. Однако оно не инъективнофакторгруппа по ядру была описана Фесенко в [25] в терминах топологических образующих. Аналогичные утверждения верны также для п-мерных локальных полей и милноровских групп п-го порядка.

Есть и другие подходы к изучению многомерных локальных полей. Например, в [26] строится альтернативная теория полей классов, в которой используются абе-левы вполне разветвленные расширения и не используются милноровские .ЙТ-группы.

Для обычных локальных полей строение^{Г-групп} хорошо известно. Про вторую милноровскую^{-группу} К. Муром было доказано, что символ Гильберта Н8: К? Р —/?.5 индуцирует расщепляющуюся последовательность.

О -5- зКг¥К2Р ¿-¿-в 1, где 5 — число корней из единицы в поле Р, и группа нК^Р является делимой. А. С. Меркурьев [31] показал, что на самом деле группа зК2Р является однозначно делимой. При этом использовались частные случаи гипотезы Тейта, которая утверждает, что если Р содержит первообразный корень 1-й. степени из единицы и 1х = О для х € КпР, то х = {й}у Для некоторого у е Р для п = 2 эта гипотеза была доказана А. А. Суслииым в [35], для произвольного тг и не делящегося на рДж. Карролом в [21], для произвольного п и I — р — Дж. Тэйтом в [36]. М. Я. Сивиц-кий в [18] и Б. Кан в [30] проверили, что при тп > 3 группа 1СтР является однозначно делимой.

Милноровские группы многомерных локальных полей рассматривались как топологические пространства с различными топологиями, описанными, например, в [9] и [24]. Мы будем использовать топологию, введенную А. Н. Паршиным. А именно это сильнейшая топология на т-й милноровской группе поля Р, для которой непрерывно отображение из (Р*)т в эту группу, а также секвенциально непрерывны групповые операции. Полученная таким образом топология не является хаусдорфо-вой, и чаще вместо исходной группы рассматривается факторгруппа по подгруппе, равной пересечению окрестностей нуля. Эта новая группа обозначается К]: °РР и называется топологической милноровской Л" -группой поля Р. Рассматриваются также топологические группы УКЩРР и и (з)К^рР — подгруппы К)°РР, порожденные символами {и, а, 2,. ¦, ат}, где и принадлежит группе V главных единиц поля Р или, соответственно, группе ¿-7(я) элементов, для которых нормирование и — 1 не меньше, чем з. Для поля ненулевой характеристики топологическая /^-группа К^рР описана А. Н. Паршиным в [17]. Некоторые обобщения получены Б. М. Беккером [1] и И. Б. Фесенко [23], ими рассматривались поля, последнее поле вычетов которых не конечно. Тем самым, основной интерес представляют многомерные поля характеристики 0.

Для топологических /Г-групп определен обобщенный символ Гильберта, связанный с отображением взаимности, а именно это отображение из K^pF/pm х F*/F*p™ в группу корней рт-й степени из единицы такое, что (а,/3)рт = где Ф отображение взаимности поля F. С. В. Бостоновым были получены явные формулы для обобщенного символа Гильберта в серии работ, опубликованных начиная с 1985 года, [5].

В диссертации рассматривается двумерное иоле F смешанной характеристики, то есть такое, что char F = 0, char i¹) = р, и его топологическая ii-rpynna VK^PF. Для такого поля F рассматриваемая iiT-грунпа является топологической.

В первой главе диссертации даются основные определения и доказываются вспомогательные леммы, которые будут использоваться в дальнейшем.

Во второй главе доказывается теорема о топологических образующих VK^VF. Она была сформулирована без доказательства в [9] для VK^PF, где F — произвольное многомерное локальное поле F и т — произвольное положительное число. Мы ограничиваемся доказательством следующего утверждения.

Теорема (2.2.5). Пусть F — двумерное локальное поле смешанной характеристики, -к, t — его локальные параметры, ер — его индекс ветвления, 03 — базис Fнад Fр и вр Е Fэлемент, пороэюдающий над Fp. Тогда любой элемент a G VKl°pF представим в виде ф pi, pj ве<8 ве<�в где а* = ct{l + [0р](Ср — 1) р, ?} + сж{ 1 + [вр](СР ~ 1) р, тг}, если F содероюит корень первообразный р-й степени из единицы и а* = 0 в противном случае, для некоторых Cjj^, q, сж? Ър таких, что множества j I vp (°i, j, e) < п для некоторых г, в} ограничены снизу.

Далее везде предполагается что К — двумерное поле, char К = 0, char К = р, и кроме того, что К содержит первообразный корень р-й степени из единицы.

Основные результаты диссертации содержатся в третьей главе. В § 1 доказываются некоторые свойства вложения произвольного поля в стандартное. Существование такого вложения было доказано X. Эппом в [22]- в [10] И. Б. Жуковым и М. В. Коро-теевым было получено уточнение к теореме Эппа. В настоящей работе как следствие из [10], теорема 1, доказано, что стандартное поле L, содержащее данное поле К, можно выбрать так, что расширение Ь/К будет конечным, разрешимым и константным. Кроме того, доказано, что для данного поля К существуют такие числа т/(К) и тпи (К), что для любого стандартного поля Ь, являющегося конечным константным расширением К, выполнено.

1: К[&bdquo- = т/(К), Ь- = ти (К),.

11: к | где к и I — подполя констант К и Ь. Иначе говоря, если расширение Ь/К разбить в последовательность простых подрасширений, то произведение степеней свирепых подрасширений (то есть слабо неразветвленных подрасширений, для коюрых расширение полей вычетов чисто несепарабельно) будет равно т^/С), а произведение степеней неразветвленных, но не чисто неразветвленных расширений — ти (К). Это позволяег выделить два вида полей: такие, для которых ти (К) = 1, и такие, для которых т/(К) = 1 — второе условие па самом деле равносильно тому, что поле является почти стандартным, то есть из него можно получить стандартное нераз-ветвленными расширениями. Поля этих двух видов более подробно рассматриваются в § 4.

В § 2 для поля К определяется подгруппа Тк группы и (1)К1°рК: в случае стандартного поля Тк — замыкание кручения, а в случае произвольного поля.

Тк = и{1)К^ЬПТь, где Ь — произвольное стандартное иоле, являющееся конечным расширением К. Случай стандартного поля изучался в [9]. Было доказано, что факторгруппа и (1)К/Тк является свободным Ър модулем, ранг которого равен схепепи расширения подполя констант поля К над <0р. Также было получено приложение этих результатов к абелевым группам Галуа. А именно было доказано, что замыкание кручения совпадает с подгруппой норм из композита максимального абелева взаимно-простого с р расширения с композитом всех бесконечных циклических расширений.

Построенная подгруппа Тк для произвольного поля обладает хорошими свойствами, доказать которые для замыкания кручения пока не удалось. Имеет место теорема.

Теорема (3.2.5). 1) Факторгруппа и (1)К1орК/Тк не имеет кручения, причем Тк является наименьшей замкнутой подгруппой группы^и^К⁹ К, факторгруппа по которой не имеет кручения.

2) Пусть Ь/К — конечное расширение. Тогда.

Щк Ть С Тк, П п и (1)К1°рК = Тк.

При этом для произвольного поля подгруппа Тк близка к замыканию кручения: в случае, когда расширение К над его иодполем констант является ручным, она совпадает с замыканием кручения, а в общем случае верно следующее утверждение.

Предложение (3.2.6). Пусть Т — замыкание кручения и{1)К^р К. Тогда 1) Т С Тк;

2) группа Тк/Т является периодической р-группой и порядки ее элементов ограничены.

Из этого предложения и леммы, доказанной в [9], получается следствие, показывающее, что Тк достаточно маленькая подгруппа и в смысле теории нолей классов.

Следствие (3.2.7). Пусть К — двумерное поле, Ь/К — вполне разветвленное расширение Галуа такое, что Са1 (Ь/К) = Ър, и элемент, а 6 и (1)К^рК таков, что р8а принадлео/сит Тк. Тогда Фк (а) действует тривиально на Ь/К.

В § 3 доказывается теорема о конечности ранга факторгруппы по подгруппе Тк.

Теорема (3.3.1). Пусть к — подполе констант поля К. Тогда ранг факторгруппы и (1)К1°рК/Тк как Ър-модуля равен к: <0>р|.

Для доказательства этой теоремы рассматривается подгруппа В группы и (1)К1°рК, порожденная символами {и,/}, где и Е к и? — второй локальный параметр К. В случае стандартного поля в [9] доказано, что подгруппа В + Тк совпадает со всей группой. В общем случае с помощью этого утверждения, примененного к стандартному полю, содержащему К, доказано, что индекс этой подгруппы конечен, и для него получена оценка сверху. Если степень расширения К над к не делится на р, то индекс подгруппы В + Тк оказывается равным единице, то есть подгруппа совпадает со всей группой, и, таким образом, 1}(1)К^РК/Тк является свободным йр-модулем.

Для полей, удовлетворяющих условию ти (К) = 1 или условию т,/(К) = 1 в § 4 получены оценки снизу для описанной подгруппы. В первом случае из полученной оценки следует, что если К/к не является ручным расширением, то подгруппа не совпадает со всей группой. Во втором случае это верно, если дополнительно известно, что к ф <0>р. Кроме того, для полей с условием гп}(К) = 1 доказано, что если Ь — стандартное поле, являющееся неразвегвлеииым конечным константным расширением К, и В^ - подгруппа топологической группы поля Ь, аналогичная В, то и (1)К1°рК/Тк порождается нормами элементов из Для поля с условием тпи (К) = 1 группа и{1)К^Р К /Тк порождается объединением таких же норменных подгрупп для всех стандартных полей Ь, являющихся вполне разветвленными конечными константными расширениями поля К.

В четвертой главе изучаются порядки образующих, описанных во второй главе, то есть.

1 + [0]тг^, 7г}, р | г {1 + [9}тгЧ1,г}, р|г' при 0 < г) < ф^ё-к-, Р з), @? в ф 0 в случае стандартного поля К и униформизирующей 7 г, принадлежащей подполю констант К. Результаты продолжают полученные ранее И. Б. Жуковым: им были вычислены порядки образующих для абсолютно неразветвленного ноля. Порядки элементов не зависят от топологии, поэтому все результаты формулируются для УК^К: как группа она совпадает с УК^К, но топология на ней не вводится.

В § 1 с помощью свойств отображения взаимности и символа Востокова получена лемма, позволяющая получать оценки снизу на порядки образующих, находя подходящие элементы из групп Мики мщк = {птрп)/кк{(-рпу){к*у.

С использованием этой леммы доказана теорема об оценках.

Теорема (4.1.7). Обозначим через п наименьшее целое число, для которого расширение К (С, рп)/К — слабо неразветвленное, и 'через К — скачок расширения К (Срп+0/К (Срп). Положим п + ьр (з), ~ к < г < зфО п + ир{з) + 1, 0 < г < ^ - к, зф О.

Тогда порядок элемента в УК'2К не меньше, чем .

В § 2 доказаны более сильные оценки для случая, когда К получено из абсолютно неразветвленного поля присоединением элемента 7 г = ~ 1 ПРИ Р I-При г = /, з < 0 порядок х^д оценен снизу числом ьр (з) + п + 1, а при.

4 < г < -¿-т> г € М, рг рг 1.

— числом ир (з) + г + п. В § 4 для порядков образующих такого поля получены оценки сверху.

Теорема (4.4.6). Пусть поле К таково, что элемент тг = у/(, рп — 1 при р1 является его униформизирующей. Положим п = 1 р + 1) рп~2, п > 1.

Обозначим через з (г) наименьшее целое неотрицательное число, для которого выполнено р^Ь > (с1+1)1, и положим = + г>Р0) + п. Тогда порядок элемента ??,?, 6 в УК'2К не превосходит р^.

Как видно из этих двух теорем, оценки точны при п — 1 и г > 21 или ~ < г < ^¿-т, г е М, а также при п > 1, % > + р&trade-~2 + 1)/, 0 0. При К = <($р (Ср), У > 0, р порядок образующей {1 +тгР, равен р'2, то есть точной оказывается оценка сверху. Чему равны порядки других образующих, пока неизвестно.

В § 3 получены некоторые соотношения между порядками х^^ для произвольного стандартного поля. Доказано, что порядок х^^ зависит только от г, sgn (s), следовательно, может быть обозначен г^- при р г числа удовлетворяют условию г^ < < ргмножество значений г^- ограничено снизу, причем минимальное значение М () достигается при (г,.у) = (^тр—1) — для любого г = -/Мо, з > 0, существует бесконечно много пар (г,.?), таких, что г^ — г. Кроме того, получена оценка сверху для отношения к МоОсновной способ получения этих соотношений — построение гомоморфизмов из поля в себя, в его подполя и расширения.

1. Б. М. Беккер, Абелевы расширения полного дискретно нормированного поля конечной высоты, Алгебра и анализ 3(1991), 76−84.

2. В. Г. Бойцов, И. Б. Жуков, Продолжимость циклических расширений полных дискретно нормированных полей, Зап. научи, семин. ПОМИ 305(2003), 5 15.

3. А. Вейль, Основы теории чисел Мир, М., 1972.

4. С. В. Востоков, Явная форма закона взаимности Изв. АН СССР. Сер. мат. 42(1978), 1288−1321.

5. С. В. Востоков, Явная конструкция теории полей классов многомерного локального поля Изв. АН СССР Сер. мат. 49(1985), 283−308.

6. С. В. Востоков, Спаривание Гильберта в полном многомерном поле Труды МИ-АН им. В. А. Стеклова 208(1995), 80−92.

7. И. Б. Жуков, Абелевы расширения и топологические К-группы многомерных локальных полей, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ленинградский государственный университет, 1991.

8. И. Б. Жуков, Структурная теорема для полных полей, Тр. С.-Петербург, мат. общ-ва 3(1995), 194−214.

9. И. Б. Жуков, Милноровские и топологические К-группы многомерных полных полей, Алгебра и анализ 9(1997),№ 1, 98−147.

10. И. Б. Жуков, М. В. Коротеев, Устранение высшего ветвления, Алгебра и анализ 11 (1999), N0 6, 153−177.

11. И. Б. Жуков, А. И. Мадунц, Многомерные полные поля: топология и другие основные понятия, Тр. С.-Петербург, мат. общ-ва 3(1995), 4−46.

12. И. Б. Жуков, А. И. Мадунц, Аддитивные и мультипликативные разложения в многомерных локальных полях, Зап. научн. семин. ПОМИ 272(2000), 186−196.

13. О. Ю. Иванова, Топологические K-группы двумерных локальных полей, Зап. научи. семин. ПОМИ 343(2007), 206−221.

14. О. Ю. Иванова, Ранг топологической К-группы как Ър-модуля, Алгебра и анализ 20 (2008), No 4, 87−117.

15. О. Ю. Иванова, Порядки топологических образующих К-группы стандартного двумерного локального поля, Зап. научи, семин. ПОМИ 356(2008), 118−148.

16. С. Ленг, Алгебраические числа, Мир, М., 1966.

17. А. Н. Паршин, Локальная теория полей классов Труды мат. ин-та АН СССР 165(1985), 143−170.

18. И. Я. Сивицкий, Кручение в K-группах Милнора локального поля Мат. сб. 126(1985), 576−583.

19. И. Б. Фесенко, Теория локальных полей. Теория полей классов. Многомерная локальная теория полей классов, Алгебра и анализ 4(1992), № 3, 1−42.

20. Н. Bruckner, Explizites reziprozitatsgesetz und Anwendungen Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universitat Essen, 1979.

21. J. E. Carrol, On the torsion in I<2 of local fields, Lect. Notes Math. 342(1973), 464−473.

22. II. Epp, Eliminating wild ramification, Invent. Math 19(1973), 235−249.

23. I.B.Fesenko, Abelian local p-class field theory, Math. Ann 301(1995), 561−586.

24. I.B.Fesenko, Abelian extension of complete discrete valuation fields, Number Theory Seminar (Paris, 1993;1994), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.

25. I. Fesenko, Topologocal Milnor K-groups of higher local fields, Invitation to Higher Local Fields (Munster, 1999), Geom. Topol. Monogr., vol.3, Geoin. Topol. Publ., Coventry, 2000, pp. 61−74.

26. I. Fesenko, Higher class field theory without using K-groups, Invitation to Higher Local Fields (Munster, 1999), Geom. Topol. Monogr., vol.3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000, pp. 137−142.

27. I. B. Fesenko, S. V. Vostokov, Local fields and their extensions. A constructive approach, Transl. Math. Monographs, vol. 121, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.

28. О. Hyodo, Wild ramification in the imperfect residue field case, Galois Representations and Arithmetic Algebraic Geometry (Kyoto, 1985/Tokyo, 1986), Adv. Stud. Pure Math., vol. 12, North-Holland, Amsterdam, 1987, pp. 287−314.

29. K. Kato, A generalization of local class field theory by using K-groups, I, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. 1A Math 26(1979), 303−376.

30. B. Kahn, L’anneau de Milnor d’un corps local a corps residuel parfait, Ann. Inst. Fourier 26(1984), 19−65.

31. A.C.Merkurjev On the torsion in K2 of local fields Ann. Math. 118(1983), 375−381.

32. H. Miki, On Zp-extensions of complete p-adic power series fields and function fields, J.Fac.Sci.Univ.Tokyo.Sect. 1A Math 21 (1974), 377−393.

33. Л. Neukirch, Neubegriindung der Klassenkorpertheorie Math. Z 186(1984) 557−574.

34. J.-P Serre, Local fields, (1979)Springer-Verlag New York Inc.

35. A.A.Suslin, Torsion in K2 of fields K-theory 1(1987), 5−29.

36. J. Tate, On the torsion in K2 of fields Alg. Number Th., Intern. Symp. Kyoto 1977, 243−261.

37. S. Vostokov, Hilbert pairing on a complete multidimensional field, Труды мат. инст. Стеклова, 208(1995), 72−83.

38. S. Vostokov, Explicit formulas for the Hilbert sympol, Invitation to Higher Local Fields (Munster, 1999), Geom. Topol. Monogr., vol.3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000, pp. 81−89.

39. I. Zhukov, Higher dimensional local fields, (Munster, 1999), Geom. Topol. Monogr., vol.3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000, pp. 5−18.