Алгоритмы и программы рекуррентного оценивания статистических характеристик случайных сигналов в системах реального времени

Математические методы обработки экспериментальных данных играют существенную роль при измерениях. С усложнением методов измерений и повышением требований к точности измерений их роль становится все более важной. Во многих современных измерительных задачах получить требуемую точность результатов удается, лишь с применением более эффективных методов обработки данных, которые, как правило, используются в вычислительных машинах.

В настоящее время вопрос обработки данных с использованием вычислительных машин широко рассмотрен в различной литературе [1,13,24,37,42−48], которая весьма разнородна и освещает отдельные стороны задачи обработки данных. Наиболее полные исследования в этой области произвели следующие авторы: Г. С. Теслер[1], В. А. Грановский [4], Ю. В. Благовещенский [13], А. Н. Тихонов [55], J. С. Nash.

Наиболее часто используемым методом обработки данных является статистический метод. Как правило, при статистической обработке измерений основной задачей является получение оценок параметров, а измеряемой величины (довольно часто этими параметрами являются математическое ожидание и дисперсия, реже — моменты более высоких порядков). Однако в ряде случаев требуется не только найти для параметра, а подходящее численное значение, но и оценить его надежность и точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра, а его точечной оценкой, и с какой уверенностью можно ожидать, что ошибки не выйдут за известные пределы. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки, а, в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Задача построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии в математической статистике решена для классического случая, т. е. когда закон случайной величины X имеет вид нормального распределения. Основными неизвестными, которые необходимо вычислить для построения доверительных интервалов, являются оценки математического ожидания и дисперсии, а также квантили распределения Стьюдента ta и хи-квадрат распределения %2 .

Несмотря на то, что в настоящее время уже предложено значительное количество алгоритмов построения доверительных интервалов, базирующихся на самых разнообразных идеях и подходах [1,13,24], задача разработки новых и совершенствования уже имеющихся актуальна и сегодня. Как правило, предложенные ранее алгоритмы довольно трудоемки, с точки зрения затрат машинных ресурсов, и входят в такие пакеты программ, как Mathcad, MatLab, Lab View и др. Данные пакеты программ требуют для своей работы большого количества машинных ресурсов, что не позволяет ими воспользоваться в некоторых измерительных системах.

В настоящее время становится актуальна задача разработки автоматических систем измерения, работающих в режиме реального времени, причем основными требованиями, предъявляемых к ним — это высокая скорость вычисления и малые габариты устройства. В частности, к таким системам можно отнести портативные устройства, работающие в режиме реального времени, выполненные на базе промышленных компьютеров, микроконтроллеров, программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).

Так как вычислительные мощности небольшой микропроцессорной системы не соизмеримы с вычислительными мощностями персональных компьютеров (процессорное время, память (оперативная и виртуальная), место на жестком диске), то при разработке программного обеспечения необходимо использовать такие алгоритмы, которые позволяли бы обрабатывать данные с минимальными затратами ресурсов вычислителя.

Как известно [24], алгоритмы, необходимые для вычисления квантилей можно условно разбить на два класса: рекуррентные и ретроспективные алгоритмы. Одним из основных факторов, обуславливающих предпочтительность использования рекуррентных алгоритмов в системах с дефицитом вычислительных ресурсов, является то, что они менее трудоемки по сравнению с ретроспективными алгоритмами подобного назначения и, соответственно, их использование позволяет создавать более быстродействующие системы. Таким образом, при разработке рекуррентного алгоритма построения доверительных интервалов возникает возможность одновременно реализовать оба требования, предъявляемые к алгоритму для систем, работающих в режиме реального времени с ограниченными ресурсами, а именно — высокая скорость вычисления и малая трудоемкость.

Актуальность работы обусловлена отсутствием в широкой печати результатов исследования алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии, необходимых при проектировании систем с дефицитом вычислительных ресурсов которые работают в реальном времени. К таким системам можно отнести как большие вычислительные системы, такие как системы управления подводных лодок, космических аппаратов, атомных реакторов и др., так и как системы, в которых основную вычислительную нагрузку несет не персональный компьютер, а микроконтроллер, ПЛИС, промышленный компьютер, и другие вычислители.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является синтез и исследование рекуррентных алгоритмов, позволяющих строить доверительные интервалы оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины, в системах реального времени с дефицитом вычислительных ресурсов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) рассмотреть и проанализировать возможности построения доверительных интервалов следующими методами:

• методом прогнозирования квантилей с использованием разностных уравнений;

• методом, основанном на решении уравнений, в которые входят искомые квантили;

• методом, основанном на приближении соответствующих функций

2) проанализировать возможности использования этих методов для разработки программного обеспечения в системах реального времени с небольшим количеством вычислительных ресурсов;

3) синтезировать алгоритмы, позволяющие вычислять квантили с наименьшими затратами машинных ресурсов и максимальной скоростью;

4) опробовать предложенные алгоритмы в уже существующих системах реального времени.

Методы выполнения исследований. При решении поставленных задач использовались численные методы решения трансцендентных уравнений, методы аппроксимации и интерполяции функций, а также методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Исследование свойств алгоритмов проводилось теоретически с использованием теории вероятностей и математической статистики и экспериментально с использованием пакета программ MATLAB.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что впервые были получены следующие результаты:

1) Предложен оригинальный метод последовательного припасовывания элементарных трапеций справа (Mi ill), предназначенный для решения трансцендентных уравнений относительно квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения;

2) Для систем с дефицитом вычислительных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей ta и Ха-> основанный на синтезе методов Mi 111 и ДРА, что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно — универсальность Ml 111 и скорость вычисления ДРФ.

3) Предложен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения, получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений, который по сравнению с традиционными способами регуляризации подобных систем уравнений позволяет получать более точные и устойчивые решения;

4) Для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (QRS комплексов), что по сравнению с традиционным методом усреднения позволило, существенно сократить время усреднения QRS комплексов и повысить точность диагностики.

Практическая ценность работы заключается в следующем. Предложенные алгоритмы были использованы для обработки ЭКГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечнососудистой системы человека Биоток 5000. Использование алгоритмов позволило организовать адаптивный процесс усреднения фрагментов электрокардиограммы, что привело к сокращению времени анализа в некоторых случаях в 10−15 раз, по сравнению с традиционным (т.е. когда количество усреднений фиксировано, вне зависимости от уровня помехи) методом усреднения.

На основе предложенных алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов была внедрена методика автоматической регулировки хода пружин манометров. Данный результат был применен при проведении на ОАО «Манотомь» НИР в направлении автоматизации процесса настройки манометров.

Кроме того, предложенные алгоритмы были внедрены в учебный процесс в качестве лабораторных работ.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на XI, XII и XIV Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, соответственно 2005 г., 2006 г. и 2008 г.), Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления» (г. Томск, 2005 г.), Всероссийских научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2004;2006 г. г.), а также на научных семинарах кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).

Личный вклад автора в выполнение работы. Определение основных направлений деятельности, постановка задач и выбор методик исследований осуществлялись автором совместно с научным руководителем. Все результаты, описанные в данной работе, были получены автором лично.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано девять печатных работ, из них две работы опубликованы в журналах, рекомендуемых в ВАК для опубликования результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Метод рекуррентного вычисления квантилей хи-квадрат 9 распределения — Ха и распределения Стьюдента — ta, основанный на решении разностных уравнений.

2. Алгоритмы решения трансцендентных уравнений, возникающих при 2 вычислении квантилеи Ха и ta 2

3. Метод вычисления квантилей ta и Ха с использованием аппроксимации и интерполяции соответствующих функций.

4. Результаты исследования предложенных численных методов 2 вычисления квантилеи и

5. Применение предложенных алгоритмов в уже существующих системах реального времени.

В первой главе рассмотрена краткая теория построения доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии, а также существующие на сегодня способы их вычисления.

Во второй главе исследуются возможные алгоритмы рекуррентного построения доверительных интервалов с использованием разностных уравнений. Также в данной главе исследуются вопросы регуляризации СЛАУ.

В третьей главе представлены результаты исследования численных методов решения соответствующих трансцендентных уравнений, такие как метод Ньютона, метод дихотомического деления, метод хорд, а также метода последовательного припасовывания элементарных трапеций справа. Также в главе приведены результаты исследования алгоритма вычисления квантилей ta и Ха' используя интерполяцию алгебраическими многочленами и аппроксимацию различными функциями.

Описаны результаты использования каждого из этих численных методов, а также предложен новый метод вычисления квантилеи ta и Ха •

В четвертой главе представлены результаты применения разработанных алгоритмов: 1) при обработке ЭКГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000, 2) при оценке результатов измерения значений хода пружин манометров, а также 3) в учебном процессе, при исследовании возможности статистической обработки, используя среду графического программирования Lab VIEW 7.0.

В приложениях приведены документы, подтверждающие внедрение и использование результатов диссертационной работы.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 81 наименований. Содержание работы изложено на 175 страницах основного текста, иллюстрировано 38 рисунками и 30 таблицами. В приложении приведены документы, свидетельствующие о практической реализации результатов исследований и разработок автора.

4.5 Выводы

Рассмотренные и синтезированные в предыдущих главах алгоритмы построения доверительных интервалов были успешно применены для решения такой практической задачи, как обработка ЭКГ в мобильном регистраторе Биоток 5000. Применение рекуррентного алгоритма построения доверительного интервала в составе холтера Биоток 5000 позволило производить адаптивное к уровню наводимых на прибор помех усреднение электрокардиограмм, что даёт возможность экономить вычислительные ресурсы микроконтроллера.

Предложенные алгоритмы построения доверительных интервалов для математического ожидания были реализованы в виде программного обеспечения и успешно применены в ходе выполнения НИР по автоматизации процесса регулировки манометров.

Кроме того, на основе предложенных алгоритмов было реализовано две лабораторные работы по дисциплине «Метрология, стандартизация и технические измерения». Рассмотренные в лабораторных работах задания позволяют студентам получить навыки программирования в среде Lab VIEW, а также укрепляют теоретические знания в области статистической обработки измерений и численных методов решения задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1. Предложен новый способ построения доверительных интервалов, основанный на численном методе припасовывания элементарных трапеций справа. Данный метод обладает универсальностью, а именно высокой точностью и не зависимостью от начальных данных, таких как значения доверительной вероятности, а и числа степеней свободы г.

2. Произведен анализ численных методов приближения, которые наиболее подходят для функций Sr (ta) и Sr (%l). Показано, что для вычисления квантилей ta и %~а в системах с дефицитом машинных ресурсов, наиболее рационально с точки зрения точности приближения и скорости вычисления, использовать дробно-рациональную аппроксимацию (ДРА).

3. Рассмотрен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения (СЛАУ), получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений.

4. Для систем с дефицитом машинных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей ta и xl > основанный на синтезе методов МПП и ДРА, что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно — универсальность МПП и скорость вычисления ДРФ.

5. Для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (QRS комплексов), что по сравнению с традиционным методом усреднения позволило, повысить точность диагностики и сократить время усреднения QRS комплексов, в некоторых случаях в 10−15 раз. 6. Практическая ценность полученных результатов подтверждена применением их в ряде практических областей, от обработки измерений в холтере Биоток 5000 и технологических процессов до проведения лабораторных работ.