Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Алгоритмы оценивания локальных параметров моделей с сохранением неоднородностей в задачах анализа сигналов и изображений

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Для разрешения этого противоречия был разработан метод оценивания параметров модели анализируемого сигнала или изображения на основе принципа динамического программирования для случая, когда целевая функция является суммой функций трех упорядоченных аргументов. Критерий такого типа называется ленточно-сепарабельным, а в работе предложена процедура оптимизации подобных критериев, именуемая… Читать ещё >

Алгоритмы оценивания локальных параметров моделей с сохранением неоднородностей в задачах анализа сигналов и изображений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Проблема оценивания параметров моделей сигналов и изображений с сохранением локальных особенностей
    • 1. 1. Примеры прикладных задач оценивания параметров моделей сигналов и изображений
      • 1. 1. 1. Задача сглаживания сигналов и изображений
      • 1. 1. 2. Задача оценивания нестационарной регрессии
      • 1. 1. 3. Спектрально-временной анализ
      • 1. 1. 4. Задача оценивания портфеля инвестиционной компании
      • 1. 1. 5. Выделение контуров объектов и сегментация изображений в задачах распознавания образов и анализа сцен
      • 1. 1. 6. Задача восстановления карты высоты по паре стерео снимков с учетом резких перепадов высот и наложения объектов
      • 1. 1. 7. Локальный текстурный анализ изображений
    • 1. 2. Оптимизационный подход к сглаживанию данных
    • 1. 3. Общий алгоритм динамического программирования
    • 1. 4. Основные задачи исследования
  • 2. Алгоритмы оценивания параметров сигналов на основе принципа динамического программирования
    • 2. 1. Оптимизационные критерии в задаче динамического программирования
      • 2. 1. 1. Оптимизационный критерий с модулем разности значений двух локальных параметров модели
      • 2. 1. 2. Функции связи для трех соседних параметров модели
    • 2. 2. Процедура оценивания параметров сигналов для критерия, содержащего функцию связи двух аргументов
      • 2. 2. 1. Дискретная процедура
      • 2. 2. 2. Параметрическая процедура
    • 2. 3. Процедура оценивания параметров сигналов для критерия с функцией связи трех аргументов
  • 3. Алгоритм оценивания параметров моделей в задачах анализа изображений на основе принципа динамического программирования
    • 3. 1. Оптимизационные критерии для изображений в задаче динамического программирования
    • 3. 2. Алгоритм динамического программирования «вперед и навстречу»
  • 4. Экспериментальное исследование алгоритмов оценивания параметров модели в прикладных задачах
    • 4. 1. Критерии качества изображения
    • 4. 2. Экспериментальное исследование алгоритмов в задаче сглаживания изображений
    • 4. 3. Экспериментальное исследование алгоритмов в задаче совмещения изображений
    • 4. 4. Экспериментальное исследование алгоритмов в задаче оценивания нестационарной регрессии

Сигналы и изображения являются, пожалуй, наиболее распространенными видами информации, ставшими в последние два десятилетия типичными объектами применения компьютеров в области анализа данных. Широко известны системы распознавания речевых команд и даже слитной речи, анализа временных рядов в экономике, а что касается программ автоматического распознавания печатного текста, то их использование стало массовым.

Особый интерес к компьютерной обработке сигналов и изображений в значительной мере определяется тем фактом, что это естественные виды организации потоков информации о внешнем мире, получаемой человеком и другими высшими животными через органы чувств, главным образом, посредством осязания, обоняния, слуха и зрения, и играющей фундаментальную роль в формировании их поведения.

С точки зрения организации компьютерной обработки, когда время вынужденно рассматривается как дискретная переменная, сигнал представляет собой упорядоченную последовательность чисел, либо символов, если физическая величина, несущая информацию, сама имеет дискретный характер. Впрочем, роль оси, упорядочивающей отдельные единицы информации в массив данных, не обязательно должно играть время, это может быть и любая другая ось, например, пространственная координата. Будем полагать, что аргумент ^ е Т пробегает дискретное множество значений в пределах действительной оси Т = с М.

Изображения при компьютерной обработке определены на дискретном множестве элементов Т = ^ = (?, 5/,)} > называемых пикселами, которые в отличие от сигналов упорядочены вдоль двух дискретных осей Т = {1 =: Г, = 1 г = .

Многие современные задачи обработки сигналов и изображений можно рассматривать как задачи оценивания параметров соответствующих моделей X еХ. Для сигналов примерами моделей могут служить регрессионная модель нестационарных сигналов [1,2, 3], модель в виде последовательности мгновенных спектров и т. п. Для изображений — авторегрессионная или спектральная модель текстуры [4, 5, 6, 7], модель на основе законов стереопроецирования для пары изображений [8, 10, 11, 12, 13].

Формально задача может быть поставлена следующим образом: для всех элементов исходных данных У-(у1,(еТ) стоит задача найти оценку параметров х е X некоторой локальной модели х[, которые в свою очередь образуют в совокупности общую модель сигнала или изображения Х-{хп1&Т). Далее будем считать, что модель определена на том же множестве элементов массива данных / е Т и принимает значения л*, е X из множества, специфичного для каждой конкретной задачи.

Моделирование, являясь познавательным приемом и одной из форм отражения, предоставляет возможность переноса результатов исследований на оригинал, при этом успех зависит от наличия обоснованных гипотез, указывающих предельно допустимые при построении моделей допущения. Выбор модели всегда производится из соображений компромисса между двумя требованиями, обычно противоречащими друг другу. С одной стороны, накопленное знание, по крайней мере, основных механизмов изучаемого явления, как правило, дает представление о том, какие модели более естественны и, следовательно, более ожидаемы, чем другие. Соответствующую информацию о предпочтении одних моделей перед другими, имеющуюся еще до того, как сигнал, подлежащий анализу, стал доступен наблюдателю, принято называть априорной информацией. С другой стороны, это же знание позволяет количественно судить, какие модели лучше согласуются с анализируемым сигналом, чем другие модели. При этом модель предполагает наличие некоторых априорных соотношений между значениями отдельных параметров. В качестве априорной информации часто оказывается естественным принять предположение, что параметры локальных моделей изменяются, в основном, достаточно плавно, так что смежные элементы моделиVI и х', скорее всего, близки друг к другу за исключением, быть может, относительно редких скачков.

Универсальный способ построения моделей сигналов и изображений дает оптимизационный подход [15, 18, 21, 23, 26, 27], получивший широкое распространение, который позволяет представить ряд задач из самых разных областей обработки данных в единых терминах, в отличие от ситуации, когда исследователи вынуждены создавать свои методы и алгоритмы для каждой отдельной задачи, основываясь на специфических свойствах и эвристиках, что усложняет использование результатов в смежных областях анализа данных. В данной работе диссертационное исследование проводится в рамках оптимизационного подхода к анализу данных.

Суть оптимизационного принципа заключается в поиске модели из заданного семейства путем минимизации подходящей функции J{XY), играющей роль несоответствия между исходным массивом У и моделью X, и называемой оптимизационным, или целевым, критерием. Важной характеристикой критерия является то, что число оптимизационных переменных равно, как правило, количеству отсчетов сигнала или числу пикселей изображения, что переводит задачу оптимизации в ранг многомерной.

При решении практических задач, таких как оценивание нестационарной регрессии или построение плотной карты сдвигов в стереопроецировании, часто требуется учитывать резкие изменения параметров модели, чтобы сохранить локальные особенности, возможно скрытые шумом в анализируемых данных. Таким образом, задача разработки алгоритмов оценивания локальных параметров моделей с сохранением неоднородностей является актуальной для обработки сигналов и изображений.

Основным противоречием представляется то, что оптимизационный критерий, как правило, является гладкой функцией, что приводит к сглаживанию неоднородностей модели, и поэтому когда предполагается 6 наличие явных скачков или разрывов, которые необходимо оставить, данный вид критерия становится неадекватным решаемой задаче. Так, например, эффективный оптимизационный алгоритм, основанный на принципе динамического программирования, «вперед и навстречу» [25, 31, 38, 42] использует семейство квадратичных функций. Обладая линейной вычислительной сложностью относительно числа целевых переменных, такой алгоритм позволяет при минимальных затратах вычислительных ресурсов получить относительно корректную карту высот в задаче стереопроецирования [38, 42], однако в силу особенностей квадратичных функций в тех областях, где предполагается резкие перепады высот, полученная оценка будет неадекватной [85].

Разрешение противоречия состоит в том, чтобы найти такой критерий, чей вид лучше всего соответствовал бы априорным предположениям о наличии локальных особенностей в модели, и, таким образом, не запрещал бы перепады значений там, где они необходимы для согласования значений параметров модели с исходной информацией, то же время обеспечивая требуемую гладкость во всех оставшихся точках сигнала или растра изображения.

Важным требованием является также то, что процедура оптимизации критерия должна быть эффективной с вычислительной точки зрения, поэтому в работе предложена процедура на основе динамического программирования для оптимизации критериев специального вида, называемых сепарабельными, и показано, что выбор модуля разности значений соседних элементов модели в качестве локальных оценочных функций в составе оптимизационного критерия позволяет решить поставленную задачу.

Другая проблемная ситуация заключается в том, что в некоторых практических задачах, например задаче анализа инвестиционного портфеля [43, 44], необходимо сохранять локальные особенности первой разности значений соседних параметров модели. Однако в этом случае в критерий перестает быть сепарабельным, а задача его оптимизации не может быть решена в рамках классической процедуры динамического программирования.

Для разрешения этого противоречия был разработан метод оценивания параметров модели анализируемого сигнала или изображения на основе принципа динамического программирования для случая, когда целевая функция является суммой функций трех упорядоченных аргументов. Критерий такого типа называется ленточно-сепарабельным, а в работе предложена процедура оптимизации подобных критериев, именуемая процедурой ленточно-сепарабельного динамического программирования, в основе которой лежит идея преобразования графа соседства к сериальному виду, в частности, к цепочечному путем объединения двух и более переменных в одну. Такой критерий содержит меньшее число векторных аргументов и, как будет показано далее, для его оптимизации можно-использовать процедуру, основанную на принципе динамического программирования [29, 36].

Диссертация состоит из 4 глав. В первой главе рассмотрены основные задачи, которые могут быть представлены как задачи оценивания локальных параметров модели с сохранением неоднородностей, и приводящие к необходимости решения задачи сепарабельного динамического программирования, дан краткий обзор методов решения задач многомерной оптимизации, сформулированы основные задачи исследования.

Во второй главе рассматривается алгоритм оценивания параметров моделей сигналов на основе решения задачи многомерной оптимизации с помощью процедуры, построенной на основе принципа динамического программированияпоказано, что существует оптимизационный критерий для эффективного решения задачи парно-сепарабельной оптимизации, который обладает свойством сохранения локальных неоднородностей в моделях сигналов. Для тех задач, где необходимо сохранять неоднородности в первой разности значений параметров моделей предложен эвристический алгоритм, построенный на основе принципа динамического программирования, для случая, когда локальные параметры модели сигнала принимают значения из некоторого конечномерного множества.

В третьей главе рассматриваются критерии и алгоритмы оценивания параметров моделей изображений, построенные на основе оптимизационного подхода, и реализации алгоритмов с использованием принципа динамического программированияпоказано, что разработанный ранее принцип разбиения графа в виде решетки на последовательность поддеревьев [42, 48] также может быть применен при решении задачи оптимизации предложенного критерия, сохраняющего неоднородности модели.

Четвертая глава представляет результаты исследования разработанных алгоритмов на примере прикладных задач сглаживания сигналов, оценивания параметров нестационарной регрессии в задаче восстановления финансового портфеля, рассматривается численная реализация алгоритмов оценивания параметров моделей изображения в прикладных задачах обработки изображений, в частности, задаче сглаживания изображений, задаче совмещения двух изображений, образующих стереопару, с целью последующего построения трехмерной сцены.

Основные выводы и результаты работы

1. Предложена формальная постановка задачи обобщенного сглаживания с сохранением границ для сигналов и изображений как задачи сепарабельной оптимизации с критерием, содержащим модуль разности значений соседних целевых переменных. Данная постановка позволяет применить принцип динамического программирования для решения подобных задач и построить на его основе эффективные с вычислительной точки зрения процедуры обработки информации. В данной работе использование принципа динамического программирования позволило создать ряд процедур для анализа сигналов и изображений, в том числе и в случае, когда оптимизационный критерий является несепарабельным, переводя задачу в ранг несериального динамического программирования.

2. Проведено исследование свойств оптимизационного критерия, содержащего модуль разности значений целевых переменных в соседних элементах упорядоченного массива данных, показавшее, что использование такого критерия позволяет сохранять скачкообразные изменения в массиве данных. Исследование подтвердило фундаментальную гипотезу о том, что форма оптимизационного критерия оказывает решающее влияние на вид модели. Более того, в работе показано, что недифференцируемость критерия в окрестностях небольшого числа точек адекватно тому, что модели сигналов и изображений могут содержать небольшое число локальных неоднородностей.

3. Создана эффективная параметрическая процедура оптимизации целевой функции с модулем первой разности соседних параметров модели сигнала или изображения, имеющая линейную вычислительную сложность относительно числа целевых переменных. Применение оптимизационного критерия с модулем разности двух локальных параметров оправдано в том случае, если форма модели сигнала или изображения предполагается кусочно-постоянной, например, в задаче сегментации изображений.

4. Разработана неитерационная дискретная процедура оптимизации целевой функции с модулем трех аргументов, которая позволяет сохранять особенности первой разности модели сигналов. Подобная процедура позволяет применять принцип динамического программирования для оптимизации целевых функций, которые не являются сепарабельными и, в общем случае, могут быть оптимизированы только стохастическими методами.

5. Опробовано применение разработанных процедур для решения практических задач анализа сигналов и изображений на примере задач сглаживания изображений, задачи совмещения изображений, задачи оценивания состава портфеля инвестиционной компании. Экспериментальное исследование работы алгоритма показало, что наибольшая эффективность достигается при оценивании параметров моделей изображений, включающих «белый» аддитивный шум, в задачах сглаживания.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.П. Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Электронный ресурс. Москва. — 2002. — 254 с.
  2. У. Цифровая обработка изображений. Текст. В 2 т., т.2 / Прэтт У.-М.: Мир. 1982.
  3. Kiiveri Н.Т., Campbell N.A. Allocation of remotely sensed data using Markov models for spectral variables and pixel labels. Technical report. Perth: Division of Mathematics & Statistics, CSIRO, 1986.
  4. Ripley B.D. Statistics, images and pattern recognition (with discussion). Canad. J. Statist., 1986, 14, pp. 83−111.
  5. Paar, and W. Polzleitner, «Robust disparaty estimation in terrain modeling for spacecraft navigation», Proceedings of the 11th International Conference on Pattern Recognition. International Association for Pattern Recognition, 1992.
  6. M.J. Hannah, «A system for digital stereo image matching», Photogrammetric Engineering & Remote Sensing, Vol. 55, № 12, pp. 17 651 770, December, 1989.
  7. Kittler J., Fuglein J. Contextual classification of multispectral pixel data. Image Vision Comput., 1984, 2, 13−29.
  8. J.J. Rodriguez, and J.K. Aggraval, «Matching aerial images to 3-D terrain maps», IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligens, Vol. 12, № 12, Desember, 1990, pp. 1138−1149.
  9. T.C. Pong, R.M. Haralick, and L.G. Shapiro, «Matching topographic structures in stereo vision», Pattern Recognition Letters, Vol. 9, February, 1989, pp. 127−136.
  10. Sage, and J.T. Melse, Estimation Theory and Application to Communication and Control, McGraw Hill, N.Y., 1972.
  11. Г. П. Оптические информационные системы роботов-манипуляторов. М.: Машиностроение, 1977, 272 с.
  12. Г. Л., Залесный А. В. Цифровая обработка изображений, представляемых моделями марковских случайных полей. Киев,
  13. А. Теория фильтрации Калмана: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 168 с., ил.
  14. Terzopoulos D., Multilevel Computation Processes for Visual Surfase Reconstruction, Computer Vision, Graphics and Image Processing, 24, No. 1, 52−96 (1983).
  15. Mottl V.V., Blinov А.В., Kopylov A.V., Zheltov S.U. Quasi-statistical approach to the problem of stereo image matching. // SPIE Proceedings, 1994, Vol. 2363, pp. 50−61.
  16. Mottl V.V., Blinov А.В., Kopylov A.V., Zheltov S.U. Processing stereoscopic images on the basis of random field interpolation. 5th International Workshop on Digital Image Processing and Computer Optic «Image Processing and Computer Optic»
  17. Mottl V.V., Kopylov A.V. Algorithms of image matching for raster disturbances. // Pattern Recognition and Image Analysis. Advances in Mathematical Theory and Applications, 1996, Vol. 6, № 1, P. 164−167
  18. Mottl V.V., Kopylov A.V. Algorithms for matching images with raster distortions. // Pattern Recognition and Image Analysis. Advances in Mathematical Theory and Applications, 1996, Vol. 6, № 4. P. 697−703
  19. Mottl V.V., Kopylov A.V., Kostin A.A. Edge-preserving in generalized smoothing of signals and images. // Proceedings of the 14th International Conference on Pattern Recognition. Brisbane, Australia, August 16−20, 1998. Volume II, pp. 1579−1581.
  20. В.В., Двоенко С. Д., Блинов А. Б., Копылов А. В. Случайные марковские поля с древовидной структурой в задачах анализа массивов упорядоченных данных. Известия Тульского государственого университета, серия «Вычислительная техника. Автоматика.
  21. Управление.» Том 2., выпуск 3 «Управление». : — Тульский государственный университет, 2000 г. стр. 109 -121.
  22. А.В., Ермаков А. С., Киттлер Дж., Моттль В. В. Измерение сходства фотопортретов для безпризнаковой идентификации личности. Доклады 10-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (ММРО-Ю), Москва, 2001, с. 221−225.
  23. Mottl V., Blinov A., Kopylov A., Zabusky N., Muchnik I. Variational approach to the evaluation of motion of coherent structures in fluid dynamic massive data sets. Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 11, 2001, No.3, pp. 583−596.
  24. Harry М. Markowitz, Portfolio Selection, Journal of Finance, — 7, no. 1 (March 1952), pp. 77−91.
  25. Ф. Шарп, Гордон Дж. Александер, Джеффри В. Бейли, Инвестиции: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2003.
  26. Krasotkina O.V., Mottl V.V., Kopylov A.V. Algorithms of Estimation of Nonstationary Regression in Signal Analysis. Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 13, No. 1,2003, pp. 127−131.
  27. Ermakov A. S., Kostin A. A., Kopylov A. V., Mottl V. V., Kittler J. Elastic kernel functions for image recognition. Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 13, No. 1, 2003, pp. 98−100.
  28. A.V. Kopylov, D.A. Dmitriev, V.V. Mottl Algorithms of Approximate Pairwise Separable Optimization for Image Processing. Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 1.3, № 1, 2003, pp. 90−94.
  29. Bellman Functions on Trees for Segmentation, Generalized Smoothing, Matching and MultiAlignment in Massive Data Sets. DIMACS Technical Report 8−15. / Rutgers University, USA. 1998. — P.63
  30. Т. Программирование искусственного интеллекта в приложениях. Пер. с англ. Осипов А. И. М.:ДМК-Пресс. — 2004. -С.245
  31. И. С. Эволюционная оптимизация многомерных функций / И. С. Пожуева, С. А. Субботин, А. А. Олейник // HoBi матер! али i технологи в металургн та машинобудувамнi. 2006. — № 1. — С. 70−72.
  32. Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. / Розанов Ю. А. М.: Наука. — 1989. — С. 495
  33. И.М. Краткий курс теории обработки изображений. / Электронный ресурс. / Консультационный центр MATLAB / http://matlab.exponenta.ru/.
  34. Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2005. 1072 с.
  35. В.А., Гашников М. В., Глумов Н. И. и др. Методы компьютерной обработки изображений. М.: Физ- матлит, 2001. 784 с.
  36. В.А., Лаппа Ю. М., Ярославский Л. П. Методы синтеза быстрых алгоритмов свертки и спектрального анализа. М.: Наука, 1990.- 180 с.
  37. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB Комплект. / Р. Гонсалес, Р. Вудс, С. Эддинс — пер. с англ. В. В. Чепыжова. М.: Техносфера, 2006. — 615 с.
  38. Winkler G. Noise Reduction in Images: Some Recent Edge-Preserving Methods. / Technical report. Institute of Biomathematics and Biometrics GSF, Germany. 1998. — P. 68.
  39. A. Gotchev, Finland K. Egiazarian, J. Vesma, T. Saramaki. Edge-preserving image resizing using modified B-splines. // Proceedings of the Acoustics, Speech, and Signal Processing, 2001. on IEEE International Conference -Volume 03.-2001.-P. 1865−1868.94
  40. Geman S., and Geman D. Stochastic relaxation, Gibbs distributions, and the Bayesian restoration of images. IEEE Trans, on PAMI, Vol. 6, November 1984, pp. 721−741.
  41. Robin Pemantle. A survey of random processes with reinforcement Электронный ресурс. I Robin Pemantle. // Probability Surveys. Volume 4.-2007.
  42. Dron, Lisa. The multiscale veto model: A two-stage analog network for edge detection and image reconstruction / Электронный ресурс, статья. / http://www.springerlink.com/. 2006.
  43. Sylvain Paris, Pierre Kornprobst, Jack Tumblin, Fredo Durand. A Gentle Introduction to Bilateral Filtering and its Applications / Электронный источник, статья. / http://people.csail.mit.edu/- 2008.
  44. Li Weibin, Liu Fang, Jiao Licheng, Zhang Shuling, Li Zongling. Improved MLV filter to remove multiplicative noise / Электронный ресурс, статья. / http://www.springerlink.com/. 2006.
  45. Kopylov. Parametric dynamic programming procedures for edge preserving in signal and image smoothing // Proceedings of the 7th International Conference on Pattern Recognition. and Image Analysis, St. Petersburg October 18−23, 2004. Volume I, pp. 281−284.
  46. Kopylov A.V. Parametric dynamic programming procedures for edge preserving in signal and image smoothing. Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 15, No. 1, 2005. P. 227−230
  47. Kopylov A.V. Dynamic programming procedures for image analysis. Proceedings of the Eight IASTED International Conference INTELLIGENT SYSTEMS AND CONTROL, October 31 November 2, 2005, Cambridge, USA.: ACTA Press, pp. 404−409.- 515 p.
  48. А.В. Алгоритмы обработки изображений на основе древовидных марковских моделей. Искусственный интеллект. ТТТТТТТ МОНI НАН Украши «Наука i освгга», № 2, 2006, С. 164−168
  49. Kopylov. Row-wise aggregation of variables in dynamic programming algorithm for image processing. //7th Open German/Russian Workshop on Pattern Recognition and Image Understanding. August 20—23, 2007. Ettlingen, Germany.
  50. Melnikov P.A., Kopylov A.V. Row-wise aggregation of variables in dynamic programming algorithm for image processing // PRIA-8−2007, 8th International Conference, Yoshkar-Ola, RF, October, 8−13, 2007
  51. A.M., Ангелов М. П., Сырямкин В. И. //Корреляционно-экстремальные системы обработки информации и управления. Томск, 1980, № 5, С. 218−229.
  52. Levine M.D., O’Handley D.A., Yagi G. M. Computer Determination of Depth Maps, Computer Graphics and Image Processing, 2, No. 2, 1973, pp. 131−150.
  53. А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.
  54. В.В., Мучник И. Б. Сегментация и оценивание параметров случайных полей со скачкообразно изменяющимися свойствами. Статистические проблемы управления, 1988, вып. 83. Вильнюс, Институт математики и кибернетики АН Лит. ССР, с. 252−257.
  55. Pincus М. A closed form solution of certain programming problems. Oper. Res., 1968, 16, pp. 690−694.
  56. Pincus M. A Monte-Carlo method for the approximate solution of certain types of constrained optimization problems. Oper. Res., 1970, 18, 12 251 228.
  57. Kirkpatrick S., Gelatt C.D., Vecchi M.P. Optimization by simulated annealing. Science, 1983, 220, 671−680.,
  58. O.A. Методологические аспекты динамического программирования. //Динамические системы. Вып. 22. — 2007. — С. 2136.
  59. А.В., Карцева А. С. Оптимизационные критерии и алгоритмы сглаживания сигналов и изображений с сохранением границ. // Искусственный интеллект. 1ПШ1 МОН I НАН Украши «Наука i освгга», № 2, 2006, С. 80−84
  60. А.В., Карцева А. С. Сглаживание сигналов и изображений с сохранением границ методом динамического программирования // Известия ТулГУ. Технические науки, вып.З. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008, С.211−217.
Заполнить форму текущей работой