Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Численный метод и программный комплекс для поиска экстремали в задачах оптимального управления на основе процедуры продолжения по параметру

Диссертация: Численный метод и программный комплекс для поиска экстремали в задачах оптимального управления на основе процедуры продолжения по параметру
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

На основе предложенного метода разработан программный комплекс для решения задач оптимального управления с линейной и нелинейной динамикой, с функционалами интегрального и терминального вида, с различными типами краевых условий, геометрическими ограничениями на управление и смешанными ограничениями. Програмный комплекс предоставляет возможности для обработки полученных результатов, а также вывода… Читать ещё >

Численный метод и программный комплекс для поиска экстремали в задачах оптимального управления на основе процедуры продолжения по параметру (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Метод продолжения по параметру и его модификации для решения краевых задач для ОДУ
    • 1. 1. Обзор численных методов
    • 1. 2. Обзор программных комплексов
    • 1. 3. Теория гомотопии
    • 1. 4. Численная аппроксимация кривой гомотопии
    • 1. 5. Метод продолжения с коррекцией
    • 1. 6. Применение метода продолжения по параметру к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений
    • 1. 7. Многоточечный подход
  • 2. Алгоритмы решения некоторых классов задач оптимального управления на основе необходимых условий оптимальности
    • 2. 1. Сведение задачи поиска экстремали к краевой задаче
    • 2. 2. Применение к нелинейным по управлению задачам
    • 2. 3. Аффинные задачи со смешанными ограничениями
  • 3. Программный комплекс «Система Optimus»
    • 3. 1. Назначение и структура
    • 3. 2. Интерфейс
    • 3. 3. Базовые объекты
    • 3. 4. Инструментарий
    • 3. 5. Классы задач, решаемые Системой Optimus
      • 3. 5. 1. Уравнение и система уравнений
      • 3. 5. 2. Краевая задача
      • 3. 5. 3. Построение картины синтеза оптимальных траекторий
      • 3. 5. 4. Задачи теории дифференциальных игр
      • 3. 5. 5. Задачи оптимального управления
      • 3. 5. 6. Задача конструирования регуляторов
    • 3. 6. Процедура решения задачи оптимального управления методом продолжения по параметру
  • 4. Примеры решения задач с помощью Системы Optimus
    • 4. 1. Химический реактор
    • 4. 2. Модельная задача 1 из /28/
    • 4. 3. Триинтегратор
    • 4. 4. Серводвигатель
    • 4. 5. Брахистохрона
    • 4. 6. Перевод объекта на круговую орбиту
    • 4. 7. Летательный аппарат
    • 4. 8. Объект в вертикальной плоскости
    • 4. 9. Перевод космического аппарата на орбиту Марса
    • 4. 10. Мостовой кран
    • 4. 11. Прижимное устройство прокатного стана
    • 4. 12. Ракета
    • 4. 13. Ротор с ограниченной мощностью
    • 4. 14. Манипулятор промышленного робота

Актуальность темы

.

В настоящее время бурно развивается математическое моделирование в различных отраслях производства, экономики и науки. Все большую популярность завоевывает моделирование динамических процессов, общепринятым и наиболее распространенным способом описания которых являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Целью исследований в конечном счете, обычно, является увеличение тех или иных показателей процесса. Такие цели реализуют экстремальные задачи, известные в теории оптимального управления. Однако, из-за сложности реальных постановок, в большинстве случаев, аналитическое исследование таких задач если и возможно, то дает лишь качественные результаты. Таким образом, остро ощущается необходимость инструментов численного исследования таких задач, которые могут дать окончательные результаты, готовые к практическому применению.

К сожалению, таких инструментов не очень много, и они не слишком разнообразны. В основном, это программные пакеты, которые для своего функционирования требуют серьезного вмешательства людей, хорошо разбирающихся как в теории оптимального управления, так и в конкретных численных методах, реализованных в данном пакете. Также проблемой является узкая специализация большинства численных методов, т. е. ограниченность рассматриваемых типов динамических систем, функционалов и краевых условий.

Таким образом, актуальной является проблема разработки теоретически обоснованного численного метода решения широкого класса задач оптимального управления и построения на его основе программного комплекса, пригодного для решения практических задач. Цель и задачи работы.

Целью данной работы является разработка эффективного численного метода решения задач оптимального управления в широкой постановке и создание на его основе программного комплекса для решения практических задач.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

• построение теоретически обоснованного численного метода решения нелинейных конечномерных алгебраических уравнений с широкой областью сходимости;

• сведение проблемы построения экстремали для задачи оптимального управления в широкой постановке к решению конечномерного алгебраического уравнения с помощью соответствующих необходимых условий оптимальности (постановки включают нелинейные по фазовой переменной и управлению системы, смешанные ограничения, широкий класс краевых условий и ограничений на управление);

• адаптация метода для особенностей возникающих уравнений, таких как отсутствие гладкости;

• автоматизация решения задачи вплоть до задания пользователем математической постановки и требуемой точности;

• создание программного комплекса с широкими возможностями предварительной обработки информации и вывода результатов.

Основные результаты работы.

1. Предложен и исследован новый метод численного решения нелинейных векторных уравнений на основе схемы продолжения решения по параметру (с коррекцией) с учетом неточного вычисления значений функции и ее производных. Получена и доказана оценка точности аппроксимации решения для предложенного метода. Исследован и обоснован подход «многоточечной редукции» для применения метода продолжения к численному решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Разработана модификация предложенной схемы для задачи поиска регулярных экстремалей Понтрягина в следующих классах задач оптимального управления: нелинейных по управлению задач, с негладкой областью управления, аффинных задач со смешанными ограничениями.

3. На основе предложенных численных методов разработан программный комплекс для решения задач оптимального управления с линейной и нелинейной динамикой, с функционалами интегрального и терминального вида, с различными типами краевых условий, геометрическими ограничениями на управление и смешанными ограничениями. Комплекс апробирован на различных модельных задачах оптимального управления.

Достоверность полученных результатов подтверждается теоремами, леммами, строгими аналитическими выкладками, а также результатами расчетов (глава 4, стр. 102).

Научная новизна работы.

Новизна разработанного метода численного решения нелинейных уравнений на основе продолжения решения по параметру заключается в отсутствии необходимости вычисления точного значения функции и ее матрицы Якоби. Преимуществом предложенного метода перед классическими неточными и квази-ньютоновскими методами заключается в наличии глобальной сходимости при выполнении условий применимости. Учет погрешностей при вычислении значения функции позволил применить метод к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с применением численных методов интегрирования. Использование подхода многоточечной редукции позволило расширить область начальных приближений, для которых возможно применение предложенного метода, в некоторых динамических системахобосновано качество получаемого кусочно-непрерывного решения.

Для численного поиска экстремали в задаче оптимального управления предложена новая методика внедрения параметра сглаживания в метод продолжения, позволившая применить его к широкому классу задач с негладкой областью управления. Построенные алгоритмы вычисления максимизирующей функции и ее производных расширили область применения предложенного метода на классы нелинейных по управлению задач и задач со смешанными ограничениями, часто встречающиеся на практике.

Практическая значимость работы.

Поиск экстремалей является важным шагом в исследовании прикладных задач управления динамическими системами. Разработанный численный метод позволяет вычислять с заданной точностью регулярные экстремали, удовлетворяющие принципу максимума Понтрягина, в достаточно широком классе задач оптимального управления. Практическими преимуществами метода являются: конечное число шагов, возможность исполь-звания аппроксимированных значений функции, отсутствие явных ограничений на начальное приближение.

На основе предложенного метода разработан программный комплекс для решения задач оптимального управления с линейной и нелинейной динамикой, с функционалами интегрального и терминального вида, с различными типами краевых условий, геометрическими ограничениями на управление и смешанными ограничениями. Програмный комплекс предоставляет возможности для обработки полученных результатов, а также вывода их в графическом и табличном виде. Разработанный программный комплекс востребован в учебном и научном процессе и успешно используется на кафедре Оптимального Управления ВМиК МГУ.

Структура и объем работы.

Настоящая диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации — 149 страниц, включая 35 рисунков. Библиография содержит 133 наименования.

Выход fas.

Gamma he hype* ?:dscfve rt n verse поппаЬге set iv’exp вос±гопез.

•ас Апе".

Klf ' хШэбпзн грунм^ии ww команды, содержащей кпо^евое croaqjf X — рЮнапда дги решепия задачи ептимагъпого управления Л.

Слраега.

Q' Вставлять все как хоыентг^адй п f M’t’fr*.

Рис. 3.5. Панели вставки символов и ключевых слов.

Позиция Тип символа.

А1 .D5 малые греческие буквы.

Е5 знак дифференцирования.

Аб .D10 большие греческие буквы.

ЕЮ набла.

All знак стремления.

А12 знак бесконечности.

D11. Е13 показатели степени (верхние индексы).

А14. Е15 индексы элементов векторов (нижние индексы).

Символы с А1 по D10 могут использоваться в идентификаторах объектов.

Заключение

.

На основании результатов настоящей диссертационной работы сделаны следующие выводы:

1. Метод продолжения решения по параметру является обоснованным численным методом решения нелинейных систем уравнений. На основе него разработана эффективная методика решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Проблемы, связанные с особенностями краевых задач для принципа максимума, возникающие при исследовании задач оптимального управления, могут быть разрешены с помощью предложенной методики сглаживания без потери вычислительной эффективности. Предложенные методы могут быть применены для достаточно широких классов задач оптимального управления с помощью специальных алгоритмов, имеющих теоретическое обоснование.

3. Предложенные методы и алгоритмы реализованы в рамках единого программного комплекса, что позволяет эффективно применять их для решения практических задач.

В качестве развития настоящей работы в дальнейшем предполагается исследовать возможности развития предложенных алгоритмов на более широкие классы задач:

• задачи с особыми режимами,.

• нелинейные по управлению задачи с фазовыми и смешанными ограничениями,.

• задачи с фазовыми ограничениями глубины 1 и более.

Показать весь текст

Список литературы

  1. С.Н. Гладкая аппроксимация выпуклых компактов // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург. 1996. Т.4. С. 184−200.
  2. С.Н. Решение гладкой линейной задачи быстродействия методом продолжения по параметру с обратной связью. // Некотор. вопр. вычисл. мат., мат. физ. и прогр. обеспеч. — М.: Изд-во Моск. ун-та. 1988. С. 52−54.
  3. С.Н., Киселев Ю. Н. Некоторые алгоритмы оптимального управления // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. Екатеринбург. 2006. Т.12. №. С. 1−15.
  4. С.Н., Киселев Ю. Н., Орлов М. В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина // Труды Математического Института им. В. А. Стеклова РАН. 1995. Т.211. С. 3−31.
  5. В.Г., Срочко В. А. Решение задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. Т.32, т. С. 979−991.
  6. А.В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями // ДАН СССР. 1989. Т.304, т. с. п-14.
  7. О.В., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений па Фортране. — М.: Изд-во Моск. унта, 1990.
  8. С.М. К теории необходимых условий оптимальности для задач с фазовыми ограничениями // Труды математического Института им. В. А. Стеклова РАН. 1998. Т.220. С. 35−44.
  9. М., Фалб П. Оптимальное управление. — М.: Машиностроение, 1968.
  10. А.П. Продолжение траекторий в оптимальном управлении. — М.: Эдиториал УРСС. — Труды Института Системного Анализа РАН. 2005. Т.17.
  11. Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2003.
  12. Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.
  13. В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления / / Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2004. № 1. С. 28−123(http://www.neva.ru/journal).
  14. В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969.
  15. А., Хо Ю. Прикладная теория оптимального управления. — М.: Мир, 1972.
  16. О.В. Методы оптимизации в функциональных пространствах. Иркутск: Изд-во Иркутского Университета, 1979.
  17. О.В., Терлецкий В. А. Оптимальное управление краевой задачей // Труды Математического Института им. В. А. Стеклова РАН. 1995. Т.211. С. 121−130.
  18. Ф.П. Методы оптимизации. — М.: Факториал пресс, 2002.
  19. Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981.
  20. Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1988.
  21. Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1971.
  22. Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах // Изв. АН СССР, сер. мат. 1960. Т.24, № 3. С. 315−365.
  23. Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. — М.: Мир, 1985.
  24. В.Б. Один метод последовательных приближений для решения линейных задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. Т.10, № 1. С. 216−223.
  25. Н.И., Евтушенко Ю. Г. Библиотека программ для решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т.19, № 2. С. 367−387.
  26. Н.И., Фильков А. Н. Алгоритмические основы оптимизации управляемых систем с разрывной правой частью. — М.: ВЦ АН СССР, 1988.
  27. Н.И., Фильков А. Н. Решение задач оптимального управление в системе ДИСО. М.: ВЦ АН СССР, 1986.
  28. Э.И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. — М.: Наука, 1988.
  29. Д.Ф. Об одном новом методе решения систем нелинейных уравнений // Доклады АН СССР. 1953. Т.88. С. 601−602.
  30. Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Украинский мат. журнал. 1953. Т.5. № 2. С. 196−206.
  31. В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. JL: Изд-во Ленинградского Государственного Университета, 1968.
  32. В.В. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Со-росовский Образовательный Журнал. 1999. № 1. С. 117−123.
  33. В.В., Милютин А. А. Качественные и численные методы в принципе максимума. — М.: Наука, 1989.
  34. В.В., Кошька М., Фигура А. Метод продолжения по параметру при решении краевых задач в оптимальном управлении // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, № 4. С. 453−457.
  35. А.В., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Принцип максимума в оптимальном управлении. — М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2004.
  36. А.Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т.5, т. С. 395−453.
  37. Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука, 1982.
  38. Ю.Г., Жадан В. Г. Барьерно-проективные и барьерно-ныотоновские численные методы оптимизации (случай нелинейного программирования). — М.: ВЦ АН СССР, 1991.
  39. Ю.М., Гуленко В. П. О численных методах решения задач оптимального управления // Кибернетика. 1966. NQ1. С. 72−78.
  40. С.С. Применение метода продолжения по параметру для решения сложных задач оптимального управления // Сборник статей молодых ученых факультета ВМиК МГУ, — М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ- МАКС-Пресс. 2006. Вып. 3. С. 65−76.
  41. С.С. Метод продолжения по параметру и его приложение к задачам оптимального управления // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. С. 205−217 (http://num-meth.srcc.msu.ru/).
  42. С.С. Численное решение П-систем для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями // Сборник статей молодых ученых факультета ВМиК МГУ, — М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ- МАКС-Пресс. 2007. Вып. 4. С. 48−56.
  43. С.С. Метод продолжения по параметру для поиска экстремали в задаче оптимального управления // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С. 1460−1469.
  44. С.С. Метод продолжения по параметру с коррекцией и его приложения // Прикладная математика и информатика. Сборник статей, — М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ. 2009. № 30. С. 55−94.
  45. В.К., Сонин В. В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. З, № 6. С. 1114−1116.
  46. B.C. Движение тел в сопротивляющихся средах // Труды Тбилисского гос. ун-та, № 44, 1951, С. 1−20.
  47. Ю.Н. Оптимальное управление. — М.: Изд-во МГУ, 1988.
  48. Ю.Н. Построение точных решений для нелинейной задачи оптимального быстродействия специального вида // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. З, Вып. 3. С. 847−868.
  49. Ю.Н. Схема продолжения по параметру в нелинейной задаче быстродействия // Вестник Моск. ун-та, Сер. 15. 1990. № 2. С. 51−52.
  50. Ю.Н., Аввакумов С. Н., Орлов М. В. Оптимальное управление. Линейная теория и приложения: Учебное пособие. — М.: МАКС Пресс, 2007. 272 с.
  51. Ю.Н., Орлов М. В. Численные алгоритмы линейных быстродействий // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т.31, № 12. С. 1763−1771.
  52. Киселев Ю. Н, Орлов М. В. Метод потенциалов в линейной задаче быстродействия // Дифференциальные Уравнения. 1996. Т.32, № 1. С. 44−51.
  53. С. Д. Красников, Е. Б. Кузнецов. Параметризация численного решения нелинейных краевых задач // Матем. моделирование. 2006. Т.18, № 9. С. 3−16.
  54. М.А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969.
  55. Н.Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968.
  56. В.Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973.
  57. Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривых //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44, № 9. С. 1540—1551.
  58. Ли Э.В., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972.
  59. Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1971.
  60. Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1975.
  61. Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975.
  62. Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. — М.: Мир, 1974.
  63. Л.С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1969.
  64. Л.И. Принцип максимума JI.C. Понтрягина в теории оптимальных систем I—III // Автоматика и телемеханика. 1959. Т.20. № 10, С. 1320−1334. № 11, С. 1441−1458. № 12, С. 1561−1578.
  65. А.Ю., Орлов М. В. Графический пакет ТАЙМЕР для решения линейной задачи быстродействия. — М.: Центр Диалог, МГУ. 1992.
  66. В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. — М.: Физматлит, 2000.
  67. А.С. О невыпуклых задачах оптимального управления // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. 1993. № 1. С. 9−13.
  68. А.С. Поиск глобального решения в невыпуклых задачах оптимизации. Дис. д-ра физ.-мат. наук. — Иркутск, 1992.
  69. А.С. Элементы невыпуклой оптимизации. РАН, сиб. отд. Ин-т динамики систем и теории управления. — Новосибирск: Наука, 2003.
  70. Д., Кус Б. Оптимальное управление и математическое программирование. — М.: Наука, 1975.
  71. А.Н., Галкин В. Я., Заикин П. Н. О прямых методах решения задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т.7, № 2. С. 416−423.
  72. А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992.
  73. Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978.
  74. А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
  75. Фок В. А. Дифракция волн вокруг земной поверхности. — M.-JL: изд. АН СССР, 1946.
  76. Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999.
  77. М.М. Сингулярные дифференциальные уравнения в задачах управления и минимизации // Труды Математического Института им. В. А. Стеклова РАН. 1995. Т.211. С. 411−418.
  78. Э., Лундерштедт Р. Численные методы оптимизации. — М.: Машиностроение, 1981.
  79. Ф.Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. — М.: Наука, 1973.
  80. В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1979. № 4. С. 178−184.
  81. В.И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. — М.: Эдиториал УРСС, 1999.
  82. В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. — Киев: Наукова Думка, 1966.
  83. Н.А. Применение метода дифференцирования по параметру к решению нелинейных уравнений в банаховых пространствах // Уч. зап. Львовского гос. ун-та, сер. матем. н., 1958, № 33, С. 3−17.
  84. Allgower E.L., Bates D.J., Sommese A.J., Wampler C.W. Solution of polynomial systems derived from differential equations // Computing. 2006. V.76, №. P. 1−10.
  85. Allgower E.L., Georg K. Introduction to numerical continuation methods. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1990. (Reprinted as volume 45 of Classics in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, PA, 2003).
  86. Allgower E.L., Georg K. Numerically stable homotopy methods without an extra dimension. 1988.
  87. Balakrishnan A.V. On a new computing technique in optimal control // SIAM Journal on Control. 1968. V.6, № 2. P. 149−173.
  88. Bates D.J. Theory and applications in numerical algebraic geometry. Ph.D. Dissertation, University of Notre Dame, Indiana, 2006. (http://www.nd.edu/~dbatesl/preprints/batesthesis.pdf).
  89. Bates D.J., Sommese A.J., Wampler C.W. Multiprecision path tracking // Submitted to SIAM J. Numer. Anal, (http: //www.nd.edu/~dbatesl / preprints/amp. pdf).
  90. Betts J.T. SOCS: the sparse optimal control software family. Boeing, Tech. Rep., 1996.
  91. Bonnard В., Caillau J-B. Introduction to nonlinear optimal control. Lecture notes, Formation en Automatique a Paris Graduate Paris School on Control, 2005.
  92. Bonnard В., Caillau J-B., Dujol R. Continuation methods and single input time optimal orbital transfer. Institut de Mathematiques de Bourgogne, Preprint, 2006. http: / / math. u-bourgogne.fr/topo/prepub/continuation.pd?
  93. Bosarge W. Infinite dimensional iterative methods and applications. IBM Houston Sci. Center Rept 320. Houston, Texas, 1968.
  94. Catinas E. The inexact, inexact perturbed and quasi-Newton methods are equivalent models // Mathematics of Computation. 2004. V.74, № 249. P.291−301.
  95. Clarke F.H. The maximum principle under minimal hypoteses // SIAM Journal on Control and Optimization. 1976. V.14, № 2. P. 1078−1091.
  96. Decarolis F., Mayer R., Santamaria M. Homotopy Continuation Methods: An Algorithm for the Fixed Point and Newton Homotopy Methods with Some Examples, The University of Chicago, Preprint, 2005.
  97. Dembo R.S., Eisenstat S.C., Steihaug T. Inexact Newton methods // SIAM J. Numer. Anal. 1982. V.19, P. 400−408.
  98. Dunlavy D.M., O’Leary D.P. Homotopy optimization methods for global optimization. 2005. Preprint. (http://www.cs.umd.edu/~oleary/tr/4773.pdf).
  99. Ehtamo H., Raivio Т., Hamalainen R.P. A continuation method for minimum time problems. Helsinki University of Technology, Systems Analysis Laboratory Research Report, E3 March 2000.
  100. Gamkrelidze R.V. On some extremal problems in the theory of differential equations with applications to the theory of optimal control // SIAM Journal on Control. 1965. V.3. P. 106−128.
  101. Gergaud J., Haberkorn T. Homotopy method for mininum consumption orbit transfer problem // ESAIM Control Opt. and Calc. of Var. 2006. V.40, №.
  102. Hartl R.F., Sethi S.P., Vicson R.G. A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints // SIAM Review. 1995. V.37, №. P. 181−218.
  103. Jennings L.S., Fisher M.E., Teo K.L., Goh C.J. MISER3 optimal control software: theory and user manual. 2002. (http: / / www.cado.uwa.edu.au / miser/manual.html).
  104. Keller H.B. Global homotopies and Newton methods // Recent advances in numerical analysis. New York, London: Academic Press. 1978. P. 73−94.
  105. Kelley C.T. Iterative methods of optimization. SIAM: Frontiers in Applied Mathematics 18. 1999.
  106. Kelley C.T., Sachs E.W. Approximate quasi-Newton method // Mathematical programming. 1990. V.48, № 1. P. 41−70.
  107. Klatte D., Kummer B. Nonsmooth equations in optimization. Kluwer Academic Publishers, 2002.
  108. Lahaye M.E. Solution of system of transcendental equations // Acad. Roy. Belg. Bull. CI. Sci. 1948. V.5. P. 805−822.
  109. Lange K. Optimization. New York: Springer-Verlag, 2004.
  110. Makowski K., Neustadt L.W. Optimal control problems with mixed control-phase variable equality and inequality constraints // SIAM Journal on Control. 1974. V.12, №. P. 184−228.
  111. Martinez J.M. Quasi-inexact-Newton methods with global convergence for solving constrained nonlinear systems. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications 30. P. 1−8.
  112. Morini B. Convergence behaviour of inexact Newton methods // Mathematics of Computation. 1999. V.68, № 228. P.1605−1613.
  113. Morrison D.D., Riley J.D., Zancanaro J.F. Multiple shooting method for two-point boundary value problems // Communications of ACM. 1962. P. 613−614.
  114. Nocedal J., Wright S.J. Numerical optimization. Springer-Verlag, 1999.
  115. Percell P. Note on a global homotopy // Numer. Funct. Anal. Optim. 1980. №. P. 99−106.
  116. Polak E. An historical survey of computational methods in optimal control // SIAM Review. 1973. V.15, № 2. P. 553−584.
  117. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical recipes in C. Cambridge University Press, 1992.
  118. Rao A.V. Users Manual for GPOCS: A MATLAB Implementation of the Gauss Pseudospectral Method for Solving Multiple-Phase Optimal Control Problems. Feb. 2008.
  119. Roberts S., Shipman J. Continuation in shooting methods for two-point boundary value problems //J. Math. Anal. Appl. 1967. V.18, P. 45−58.
  120. Rockafellar R.T. Augumented Lagrange multiplier functions and duality in nonconvex programming // SIAM Journal on Control. 1974. V.12, № 2. P. 268−285.
  121. M. Ross. Users Manual For DIDO: A MATLAB Application Package for Solving Optimal Control Problems / / Naval Postgraduate School, Monterey, CA, Tech. Rep. 0401.0, Feb. 2004. http://tomlab.biz/docs/DIDOManualPRl.pdf
  122. Saigal R., Todd M.J. Efficient acceleration techniques for fixed point algorithms // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1978. V.15, № 5. P. 997−1007.
  123. Stryk О. DIRCOL: a direct collocation method for the numerical solution of optimal control problems. 1999. (http://www.sim.informatik.tu-darmstadt.de/sw/dircol/dircol pub. html).
  124. Watson L.T. Numerical linear algebra aspects of globally convergent homotopy methods // SIAM Review. 1986. V.28, № 4. P. 529−545.
  125. Watson L.T. Theory of globally convergent probability-one homotopies for nonlinear programming // SIAM Journal on Optimization. 2000. V.ll. P. 761−780.
  126. Weiser M. Function Space Complementarity Methods for Optimal Control Problems. Dissertation eingereicht am Fachbereich Mathematik und Informatik der Freien Universitat, Berlin, 2001. (http://www.diss.fu-berlin.de/2001/189/index.html).
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!