Аналитические методы и модели управления надежностью систем при неточной исходной информации

Практика производства и эксплуатации высоконадежных малосерийных объектов космической техники показывает необходимость предъявления t требований к надежности космической техники уже на этапе разработки, с тем чтобы технические характеристики проектируемых объектов обеспечивали требуемый уровень надежности. При этом сокращаются как объемы заводских, так и летных испытаний.

В такой постановке задача управления надежностью является «обратной» задачей по отношению к прогнозированию надежности, являющемуся прямой задачей оценивания надежности.

Задача управления надежностью или задача синтеза составляющих комплекса условий испытаний является следствием решения проблемы анализа надежности уникальных и малосерийных объектов, естественным завершением круга вопросов, связанных с созданием технических объектов с заданными эксплуатационными характеристиками, в частности с заданной надежностью.

В математической модели задачи управления надежностью заданными являются классы функций, описывающих законы изменения характеристик надежности, и характеристики условий применения уникальных объектов, а искомыми являются требуемые законы распределения характеристик технического качества.

Под управлением надежностью понимается получение законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности.

Данная задача относится к классу обратных задач математической теории надежности. Обратные задачи являются некорректными, т. е. их решения неустойчивы к изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения.

Однако можно указать некорректно поставленные задачи, относящиеся как к классическим разделам математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач.

К таким задачам относятся задачи создания систем автоматической математической обработки результатов эксперимента, задачи оптимального управления и оптимального проектирования систем, задача управлениянадежностью сложных технических систем с неточно заданными параметрами.

Исходные данные задачи управления надежностью, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при-построении приближенных решений и при оценке их погрешностей, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.

В течение долгого времени считалось, что некорректные задачи*- не1 имеют практического значения и их теория не может привести к содержательным математическим результатам. Такое мнение было распространено' даже после работы, А Н<. Тихонова ! 943 г., в которой впервые была указанапрактическая важность подобных задач и возможность их устойчивогорешения. В конце пятидесятых и, особенно, в начале шестидесятых годов*появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привлекли к ней внимание многих математиков.

В настоящее время по теории некорректных задач имеется обширная литература [41, 65, 76, 96, 97], охватывающая большинство аспектов этой теории.

Основным объектом исследования теории некорректных задач являются операторные уравнения первого рода

Ах=у (1) в линейных нормированных пространствах X (хеХ) и Y (уеУ)> А ~ заданное отображение (оператор), действующий из X в Y (в общем случае X и Y есть произвольные топологические пространства). Многие задачи математической физики сводятся к уравнению (1) с вполне непрерывным (компактным), в частности интегральным оператором А. Уравнения такого вида возникают, например, при исследовании так называемых обратных задач, когда исходя из некоторых характеристик физического поля необходимо восстановить характеристики самой среды, которая порождает это поле [65, 96]. В этом случае по аналогии с интегральными уравнениями (1) называют абстрактным уравнением Фредгольма первого рода. Данный класс уравнений составляет основу математической модели задачи управления надежностью.

Трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны, главным образом, с незамкнутостью области значений оператора, А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В этих условиях обычные методы, используемые для приближенного решения корректных задач, оказываются, как правило, непригодными.

При решении уравнения. типа (1) естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А, у} известны нам лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару {Ah, у$}, аппроксимирующую в, выбранной топологии пару {А, у}. Ошибки можно интерпретировать, например, как неадекватность идеализированной математической модели (1) — и описываемой ею физической реальностикроме того, погрешность может возникнуть как за счет ошибок измерения исходных данных, так и за счет построения приближенной модели для уравнения (1) с целью проведения численных расчетов.

Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {А/&bdquoуд} такой последовательности приближенных решений х/&bdquo-$, которая сходится в пространстве X к точному решению х уравнения

1) при условии сходимости исходных данных {А/&bdquoys}->{A, у). t

В начале XX века французским математиком Адамаром были сформулированы три условия, которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Они известны как условия корректности по Адамару [1] и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного уравнения (^ условия Адамара обычно формулируют в следующем виде:

1) для любого yeY существует элемент хеХтакой, что Ах=у, т. е. область значений оператора R (A)=Y (существование);

2) элементом у решение х определяется однозначно, т. е. существует обратный оператору!" 1 (<�единственность);

3) имеет место непрерывная зависимость х от у, т. е. обратный оператор А" 1 непрерывен {устойчивость).

При выполнении этих условий задача (1) называется корректно поставленной (корректной) (по Адамару). Задачи, рассматриваемые в классической, математической физике (задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Ко-ши для уравнений теплопроводности и волнового уравнения), удовлетворяют условиям корректности Адамара при" естественном-выборе пространств X, Y. Поэтому было высказано мнение, нашедшее широкое распространение в. литературе [1, 78], что задачи, не удовлетворяющие условиям 1)-3) и называемые некорректно поставленными задачами, лишены физического смысла и в принципе не могут быть решены. Мотивировалось это тем, что при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности (неизбежные при численном решении (1)) исходных данных (например, правой части у) могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении и, следовательно, приближенное решение, полученное как решение уравнения Ax=ys, лишено разумного смысла и практической ценности. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений в геофизике, гидродинамике, спектроскопии, т. е. «корректно поставленные задачи — это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления» [67].

Важно отметить, что устойчивость (свойство 3)) задачи (1) зависит от выбранных топологий в X и Y и, вообще говоря, подходящим выбором топологий (например, наделив Y сильнейшей топологией) можно добиться непрерывности оператора^" 1. Но это будет лишь формальным преодолением трудности, так как обычно топологии навязываются нам постановкой задачи и не могут выбираться произвольно. Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии — это топологии нормированных пространств L.2, С, С (т).

Таким образом, если не изменить постановку неустойчивых задач, то-обычные методы, применяемые для решения корректных задач, оказываются, естественно, непригодными для решения некорректных, так как сколь бы малой не была погрешность исходных данных, нельзя быть уверенным в малости погрешности решения. Поэтому потребности практики в решении некорректных задач привели к необходимости пересмотреть классическое понятие корректности и выработать более широкий и приспособленный к реальным нуждам подход. Начало этому было положено в 1943 г. А. Н. Тихоновым [95].

К настоящему времени разработанобольшое число как общих, так и частных методов решения некорректных задач, нашедших разнообразное применение на практике. Применение этих методов, требует в каждом частном случае разработки специальных вычислительных алгоритмов и методов отбора «приемлемых» решений.

Поэтому актуальность данной работы заключается в необходимости разработки аналитических методов решения задачи управления надежностью сложных технических систем с неточно заданными исходными данными позволяющих находить устойчивое решение в аналитическом виде.

Целью исследования является разработка аналитического метода решения широкого класса некорректных задач, возникающих в различных практически важных приложениях, в первую очередь, в задаче управления надежностью сложных технических систем при отсутствии точных исходных данных.

Важность данной задачи заключается в практической невозможности проведения всего комплекса испытаний сложной системы с целью сбора необходимой информации, без которой, в тоже время, невозможно и само проектирование. Т. е. необходимо выбрать на этапе разработки параметры проектируемой системы на основе требуемого закона изменения ее характеристик с течением времени при отсутствии точных значений исходных параметров и законов их изменения. Применяя, разработанный в данном исследовании метод, удалось решить одну из таких задач (выбор характеристик технической системы при заданном законе изменения надежности).

В первой главе данной работы дается постановка задачи управления надежностью сложных технических систем при неточных исходных данных. Математической моделью управления надежностью является система интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Далее в первой главе проводится анализ поставленной задачи с точки зрения определения точности исходных данных, на основе которых получаются параметры, характеризующие состояние системы. Доказываетсянеустойчивость решений, задачи управления надежностью к изменению исходных данных. Более того, в* первой главе показывается, что поставленная задача не может быть решена классическими. методами, т. е. задача некорректна.

Далее в первой главе описывается методика обработки исходной информации в задаче управления надежностью, т. к. от правильности принятых статистических гипотез и качества обработки информации в большой степени зависит эффективность и точность решения основной задачи.

Особенностью задачи управления надежностью является анализ поведения системы на длительном интервале времени (от нескольких месяцев до нескольких лет). В этом случае случайные флуктуации переменных внешних воздействий на систему (внешних нагрузок) «сглаживаются», а сами переменные внешние нагрузки приобретают характер стационарных случайных процессов.

В первой главе приводятся статистические методы получения характеристик внешних воздействий в виде параметров стационарного в широком смысле случайного процесса и анализируются их особенности.

Во второй главе диссертации проводится анализ причин некорректности (неустойчивости) в постановках задач, дается определение корректности по Тихонову и вводится понятие регуляризующего оператора. Рассматриваются также существующие методы решений некорректных задач, проводится их анализ и сравнение.

В начале второй главы приводится постановка задачи регуляризации неустойчивых решений.

В настоящий момент разработано большое число методов решения широкого класса некорректных задач. Эти методы можно условно разделить на два больших класса: вариационные методы и методы, основанные на численных приближениях.

Во второй главе проанализированы вариационные методы решения, некорректных задач, а именно: метод квазирешений, метод регуляризации и метод невязки;

Анализ вариационных методов позволил определить границы ихприменения, трудности, возникающие при их использовании на практикеи вычислительные особенности нахождения устойчивых решений.

В конце второй главы кратко рассматриваются численные методы решения некорректных задач, имеющие более узкую область применимости по сравнению с вариационными методами, на примере метода итераций и ко-нечноразностного (сеточного) метода.

По результатам подробного анализа существующих методов решения некорректных задач делается вывод о необходимости разработки нового метода решения некорректной задачи управления надежностью и формулируются требования, которым он должен отвечать.

Третья глава посвящена разработке метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве, в частности решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, являющегося математической моделью задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

Задача, исследуемая в третьей главе, заключается в построении по приближенным исходным данным такой последовательности приближенных решений, которая сходится в к точному решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода при условиихходимости исходных данных.

На основании свойств гильбертовых пространств в диссертации доказываются необходимые и достаточные условия устойчивости решения задачи управления надежностью к измененению исходных данных.

Устойчивое к малым изменениям исходных данных решение задачи управления надежностью получается в виде конечного ряда Фурье, т. е. в аналитическом виде.

Регуляризация решения некорректной задачи осуществляется при помощи согласования погрешности решения и погрешности исходных данных путем изменения размерности редуцированного конечномерного пространства.

Четвертая глава диссертации посвящена решению задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

С целью определения точности решения задачи управления надежностью методом, разработанным в третьей главе, проводится серия вычислительных экспериментов.

Решение некорректной задачи управления надежностью устойчивое к изменению исходных данных получается в виде отрезка ряда Фурье по данной ортонормированной системе функций.

В диссертации проводится анализ полученного решения, оценка его погрешности, на основе чего сделан вывод о достаточной степени согласованности полученного решения с заданным.

Далее в четвертой главе данного исследования рассматривается практически важная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции (СОК) космических аппаратов (КА) серии «А». Условия функционирования таких объектов отличаются стационарностью или квазистационарностью случайных процессов воздействия, определяющих режимы работы устройств, установленных на борту. Практика показывает, что в процессе эксплуатации беспилотных космических аппаратов (КА) имеют место в основном внезапные отказы, т. е. отказы, не связанные со старением или изменением свойств устройств.

Основными дестабилизирующими факторами или нагрузками, влияющими на работоспособность систем КА в условиях космического полета являются тепловые, радиационные, электрические, механические и др.

Существенную роль среди нагрузок, действующих на бортовые устройства КА, играют тепловые нагрузки. Фактически тепловым воздействиям подвержены все без исключения устройства борта КА. Не все они в равной мере чувствительны к этим нагрузкам и не для всех устройств те значения температуры, которые имеют место в различных режимах эксплуатации КА, опасны в отношении отказов. Для контроля за температурным режимом бортовых устройств вфазличных точках как внутренних отсеков КА, так и на его внешних элементах установлены датчики температуры. Измеренные тепловые нагрузки по каналам телеизмерений передаются наземным станциям и поступают в центральный командно-измерительный комплекс. Данные телеизмерений являются основой для оперативного контроля работоспособности некоторых систем борта.

Анализ показывает, что наибольшей чувствительностью к тепловым нагрузкам отличаются устройства системы ориентации и контроля (СОК), для которых полезным сигналом является радиация, излучаемая различными космическими телами: Землей, Солнцем и др. Источниками случайных флук-туаций температуры на борту КА являются изменения солнечной радиации, работа бортовых тепловыделяющих приборов, длительность и чередование тени и света за один оборот вокруг Земли и т. д.

СОК обеспечивает успокоение, ориентацию и удерживание осей КА относительно орбитальной системы координат. В качестве чувствительных элементов СОК используются датчики ориентации на центр Земли (М56Д, 42Д), датчик ориентации на Солнце (26Д), инфракрасные датчики коррекции на центр Земли (40Д-1). Нормальными условиями эксплуатации, оговоренными в технической документации, для этих датчиков являются определенные диапазоны температур.

Характерными отказами датчиков СОК являются отказы, обусловленные выходом температуры корпуса датчика за допустимые пределы. Повышение температуры датчика приводит к снижению уровня полезного сигнала на фоне шумов, что в конечном счете не позволяет СОК произвести ориентацию антенны ретранслятора в направлении наземной станции. Событие, связанное с потерей связи со спутником, вследствие отсутствия должной ориентации антенны ретранслятора, следует рассматривать как отказ СОК.

Анализ результатов телеизмерений показывает, что тепловое воздействие на датчики СОК имеет характер стационарного случайного процесса:.

В четвертой главе диссертации первоначально проводится проверка статистических гипотез о стационарности и эргодичности тепловых процессов на основе данных телеизмерений.

Для проверки предположения о стационарности процессов по их корреляционным (автокорреляционным) функциям для каждой реализации процесса с помощью компьютера рассчитываются нормированные корреляционные функции центрированных случайных процессов.

Затем проверяется гипотеза о стохастической независимости наибольших значений температуры. Для этого используется критерий серий.

После этого определяются параметры функции распределения наибольшего значения температуры и проверяется достоверность гипотезы о законе экстремальных распределений некоррелированных наибольших значений температур, при помощи критерия со2 (критерий Мизеса).

Поставленная некорректная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и стабилизации космических аппаратов серии «А» решена в четвертой главе разработанным в диссертации аналитическим методом.

В результате расчетов были сформированы рекомендации к характеристикам технического качества датчиков системы ориентации и коррекции. Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия.

В заключении приводятся основные результаты данной диссертационной работы.

Выводы

В результате решения задачи управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космического аппарата серии «А» можно сделать следующие рекомендации к характеристикам их технического качества: датчики должны устойчиво функционировать при значениях температуры не превышающей t ± За = 40,2 ± 1,65° С. Это означает, что при данном уровне технических характеристик датчиков их надежность будет изменяться согласно заданному закону на интервале времени t >2 года. Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия.

Заключение

В диссертации предложен аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации. Данный метод применим к решению некорректных задач в гильбертовом пространстве и позволяет получить решение операторного уравнения 1-го рода, устойчивое к малым изменениям исходных данных, точность которого согласованна с точностью исходных параметров. В основу метода положено фундаментальное свойство изоморфизма (гомеоморфизма) гильбертовых пространств.

Суть метода заключается в перенесении решения задачи из исходного функционального пространства в изоморфное ему пространство комплексных (вещественных чисел) путем разложения функций и оператора в ряд Фурье по той или иной системе ортонормированных функций. Таким образом, вместо исходного функционального уравнения получается бесконечномерное матричное уравнение, общее решение которого некорректно (неустойчиво к малым изменениям исходных данных):

Регуляризация решения полученного бесконечномерного уравнения достигается, его редукцией к конечномерному. При этом погрешность, возникающая, при переходе от бесконечномерного пространства к конечномерному, согласуется с погрешностью исходных данных.

Таким образом регуляризованное решение получается в виде отрезка ряда. Фурье подданной' ортонормированной системе функций.длина.которого зависит от погрешности исходных' данных.

Основным объектом исследования в данной работе является интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода, являющееся математической моделью задачи управления надежностью сложных технических систем, которая заключается в нахождении закона изменения характеристик системы на основе требуемой динамики изменения надежности при наличии нечеткой исходной информации.

В диссертации получены следующие научные результаты:

1) Разработан новый аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

2) Проведен качественный анализ задачи управления надежностью, позволивший получить основные зависимости и проанализировать причины неустойчивости решения.

3) Проанализированы вычислительные особенности решения задачи управления надежностью, связанные со стохастичностью параметров математической модели управления надежностью и наличием случайных погрешностей.

4) Доказана устойчивость решения, получаемого разработанным в диссертации аналитическим методом, к изменениям исходных данных.

5) Решена задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А». В результате чего получена возможность выбора на этапе проектирования оптимальных технических решений, учитывающих заданные законы изменения характеристик надежности.

6) Разработанный метод апробирован вычислительными экспериментами. Приведенные примеры расчетов показали удовлетворительную сходимость полученных решений к заданным.

7) На основе полученных численных результатов решения задачи управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции' космических аппаратов серии «А» выработаны рекомендации к техническим характеристикам датчиков с целью получения заданного закона изменения надежности.