Частотные оценки периодов колебаний нелинейных дискретных систем

Во второй половине двадцатого века в теории устойчивости появилось и получило развитие новое направление — метод априорных интегральных оценок. В его основе лежит применение преобразования Фурье как унитарного оператора в некоторых функциональных пространствах.

В работе показано, что этот метод может дать содержательные аналитические оценки периодов колебаний дискретных систем, имеющих хаотическое по Ли и Йорке [Ы & Уогке, 1975] поведение.

Ниже приводится краткий обзор работ, в которых появлялись и развивались идеи, методы и приемы, используемые в данной диссертации.

В 1949 году М. А. Айзерманом была [Айзерман, 1949] сформулирована проблема, которая стимулировала разработку новых математических методов исследования нелинейных систем на несколько десятилетий вперёд.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений х = Ах + Ыр{с*х), х е Кп, (1) где, А — постоянная вещественная nxn-матрица, Ь, с — постоянные пмерные векторы, с*х = а 6 М, а <�р — дифференцируемая функция, причём у>(0) = 0. Здесь <�р трактуется как вход системы, а —сг как выход. Здесь и далее знак «*» обозначает операцию транспонирования.

Гипотеза Айзермана заключалась в следующем. Если для всех к Е (к, к2) система (1) с (р — ко асимптотически устойчива по Ляпунову, то любая система (1), удовлетворяющая условию кг < ^ < к2, Va ф 0, (2) и устойчива в целом. Позже многократно было показано, что ни гипотеза Айзермана, ни гипотеза Калмана с условием к! <~<�к2 (3) аа вместо (2) в общем случае неверны.

За прошедшие шестьдесят с лишним лет частотные методы превратились в полноценный математический аппарат, которому посвящено огромное количество работ [Jury & Lee, 1964, Cho & Nareridra, 1968, Вавилов, 1970, Шепелявый, 1972, Якубович, 1973, Якубович, 1975, Леонов к, Корякин, 1976, Леонов к. Чурилов, 1976, Леонов к Чурилов, 1982, Корякин к Леонов к Лисс, 1978, Леонов, 1980, Леонов к Буркин к Шепелявый, 1992].

Достаточное условие устойчивости в целом было предложено В. М. Поповым [Popov, 1959, Попов, 1970, Leonov &- Ponomarenko &- Smirnova, 1996]. Пусть для системы (1) выполнено условие:

О < <�к, Миф 0, (4) 7

Пусть матрица, А — гурвицева и существует число 0 такое, что для всех неотрицательных и выполнены неравенства:

1 + к Re[(1 + 6iuj) W{iu))} > О, lim [1 + к Re[{ 1 + 9ico) W (гш)]] > О,

J—>+схз где W (p): С —>• С — передаточная функция линейной части системы (1), определяемая формулой

W (p) = с*{А-р1)-1Ъ, в которой I обозначает единичную матрицу соответствующей размерности. Тогда система (1), (4) устойчива в целом.

Геометрическая интерпретация теоремы Попова такова: существует прямая на комплексной плоскости, проходящая через точку (—-д, 0) такая, что модифицированный годограф частотной характеристики

Х{ш) = ReW{ico), Y{ ш) = uImW (iuj) целиком лежит справа от этой прямой.

Другим известным условием устойчивости является круговой критерий [Гелиг & Леонов &- Якубович, 1978, Ьеопоу к Ропотагепко к, Бгшгпоуа,

1996, Леонов & Смирнова, 2000], который, в отличие от критерия Попова, применим к системам с нестационарными нелинейностями. Пусть дана система х = Ах + bcp (t, с*х), х Е Мп, (5) с нелинейностью

< Ф, < Ver ф 0, tG R+. 7

Здесь х G IRn, Ь, с € R"^, Л — постоянная вещественная nxn-матрица, а? М, а (/? — функция двух скалярных аргументов такая, что для любого t Е М+

Пусть пара (A, b) полностью управляема и выполнены условия:

1. Матрица, А не имеет чисто мнимых собственных значений;

2. Для некоторого к 6 к2) линейная система (5) с

3. Для всех вещественных со выполнено частотное неравенство

ReuhWiiu) + 1]*[k2W{iu) + 1]} > 0. Тогда система (5) абсолютно устойчива.

В случае к = 0 можно переобозначить к = к2, после чего последнее условие переписывается в виде

1 + к Re W (iu>) > 0.

Важным вариантом задачи об устойчивости является задача о глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем. Рассмотрим систему х = Ах + Ь (р (сг), а = - с*х, йеЬ, А — О,

6) р (<�т) = <�р (а + А).

Пусть <�р (0) = 0 и пусть существуют два числа ~ к и к2, для которых выполнено условие к < ^^ < к2, Уст ф 0. <�т

Ясно, что кг <0<�к2 (тривиальный случай к = к2 = 0 мы исключаем).

Пусть передаточная функция ¥-(р) линейной части системы (6) невырождена и имеет на мнимой оси лишь нулевой полюс кратности один и пусть

Яе[ш ¥-(ш)] ф 0, Уае М, и Нт ш2Не[ш ¥-(ш)} ф 0. ш—>оо

Тогда система (6) дихотомична, то есть любое ее решение стремится к какому-либо положению равновесия.

Если в описанных условиях матрица, А имеет п — 1 собственное значение с отрицательными вещественными частями и д

I <�р (<�т) йст — 0, О то система (6) глобально асимптотически устойчива.

Однако данная теорема не решает задачу о глобальной асимптотической устойчивости в общем случае. Специфика возникших здесь задач потребовала специального аппарата. Началом развития такого аппарата следует считать работу [Бакаев к Гуж, 1965].

Параллельно с развитием теории глобальной асимптотической устойчивости систем с непрерывным временем шло развитие аналогичной теории для систем с дискретным временем и импульсных систем. Математическая теория дискретных систем была была развита в работах [Бромберг, 1953, Бромберг, 1967, Цыпкин, 1955, Цыпкин, 1962, Джури, 1963] и многих других работах. В частности, на дискретные системы была перенесена и теория абсолютной устойчивости нелинейных непрерывных систем [Дмитриев, 1965, Цыпкин к Попков, 1973, Цыпкин, 1977, Шепелявый, 1972, Jury к Lee, 1964, Cho к Narendra, 1968]. Получившиеся при этом результаты являются полными аналогами кругового критерия, критерия Попова, более общего критерия устойчивости в случае дифференцируемой нелинейности и т. д.

Наиболее известный из них — критерий Джури-Ли [Jury к, Lee, 1964, Цыпкин к Попков, 1973], являющийся дискретным аналогом кругового критерия.

Рассмотрим систему xt+i = Axt + bip{t, c*xt), жеГ,

7) с нелинейностью (p (t, cr), удовлетворяющей условию о v^o, te ж

8) а

Здесь х Е М&trade-, Ь, с G M. N, А — постоянная вещественная пхп-матрица, все собственные значения которой по модулю меньше единицы, a G М, а ф — функция двух скалярных аргументов такая, что для любого t G Ш+ сp (t, 0) = 0. Пусть для всех си G [0, 7г] выполняется неравенство:

4 1 + kReW{iw) > 0.

Тогда система (7) абсолютно устойчива.

Критерий Чо-Нарендры [Cho & Narendra, 1968] отличается от критерия Джури-Ли условием на нелинейность. Вместо (8) используется ограничение:

О <*>(*, 01)-?>(*,<*) Va^o*. ?p{tt0) = 0? Vi s Ж+.

Ti — cr2

Широкое распространение получил и дискретный аналог [Цыпкин & Попков, 1973] критерия Попова. Рассмотрим систему xt+i = Axt + bip (c*xt), х G IRn, (9) с нелинейностью (р (а), удовлетворяющей условиям р'> 0, 0 < ^^ < к, Маф 0, t G R+. сг

Здесь aG Rn, b, с G М"^, А — постоянная вещественная пхп-матрица, все собственные значения которой по модулю меньше единицы, <�т G М, а <�Р ~ функция двух скалярных аргументов такая, что для любого t G М+ 0) = 0. Пусть для всех со € [0, 27т) выполняется неравенство: + Ле [(1 + <9(1 — е-*")) ¥-{ги) > 0. С

Тогда система (7) абсолютно устойчива.

В отличие от критерия Попова для непрерывных систем, в этом критерии имеется дополнительное условие в виде ограничения на нелинейность: она должна быть монотонной.

Метод априорных интегральных оценок помогает и в исследовании актуального вопроса существования циклов. Первой работой по данной проблематике стала работа [Гарбер, 1967], где рассматриваются критерии несуществования в нелинейных непрерывных автономных системах периодических режимов определенного вида.

Пусть дана автономная система (1) с ограничением на нелинейность (4). Тогда у системы (1) не существует периодических режимов частоты со > со*, если для всех ио > со* выполняется неравенство:

1 + к Яе[(1 + в > 0.

Этот критерий является полным аналогом критерия Попова.

Работа [Леонов & Сперанская, 1985] является логическом продолжением работы Гарбера на случай циклов второго рода в фазовых системах. Рассмотрим многомерную систему х = Ах + Ь (р (а), & = с*х + г</?(сг),

Где, А — постоянная гурвицева п х пматрицабис — постоянные пмерные векторыг — число, — Дпериодическая функция. Введем комплексную функцию W:

W (p) = с* (А — — г.

Пусть W (p) невырождена, ср (а) дифференцируема и удовлетворяет условию (2).

Введем обозначение v =

0А if (a) da

0 v (°)d (J

Пусть для о-* > 0 существуют числа o > 0, г > 0 и к такие, что выполняются условия

2 2 Г

W2(0)-/IW (0) + <7<0,

2 2

W2{iu>)]

— Re kWUlj) + — iuj) (KWiiuj) + -^-iw h J V «2 y ?> < 0, Va- > a-*

Тогда у этой системы не существует предельных циклов второго рода частоты со > со*.

Изложенные идеи можно использовать и для оценки биений в системах с дискретным временем. Аналогами приведенных выше результатов являются критерии отсутствия в дискретных системах циклов некоторого заранее заданного периода. Впервые такой критерий был предложен в работе Г. А. Леонова [Леонов, 2006].

Пусть для системы (7) с нелинейностью </?, удовлетворяющей условию (8), для некоторого натурального N выполнено следующее неравенство: у + Яе?{р) > 0 к для всех N — где IV — передаточная функция системы (7). Тогда не существует нетривиальной ./У-периодической последовательности векторов жг, удовлетворяющей системе (7) и включению с*Х[ = ег^? О, для любого? е Мо