Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения решения обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе

Диссертация: Метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения решения обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Существуют и другие методы решения задач в неограниченных областях. Такими методами являются метод интегральных уравнений и метод интегро-дифференциальных уравнений. Метод интегральных уравнений применялся, например, в работах. Он состоит в том, что рассматриваемая задача сводится к решению интегрального или интегро-дифференциального уравнения. При этом область неоднородности в которой решается… Читать ещё >

Метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения решения обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Постановка задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в прямоугольном волноводе
    • 1. 1. Постановка задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе (прямая задача)
    • 1. 2. Постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения
    • 1. 3. Постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения
  • 2. Численный метод решения обратной задачи
    • 2. 1. Теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента отражения
    • 2. 2. Теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента прохождения
    • 2. 3. Проектирование на конечномерные подпространства
    • 2. 4. Вычислительный алгоритм для решения интегро-дифференциального уравнения
  • 3. Вычислительная сходимость и тестирование итерационного метода
    • 3. 1. Расчеты по коэффициенту отражения
    • 3. 2. Расчеты по коэффициенту прохождения
  • 4. Особенности вычисления матриц на мини-кластере
    • 4. 1. Применение мини-кластера для вычисления матриц
    • 4. 2. Оптимизация программы вычисления матриц

Восстановление электрофизических параметров образцов композитных материалов (в частности, наноматериалов и метаматериалов), с различной геометрией, представляет собой весьма актуальную задачу наноэлектроники и нанотехнологии. Эта задача приводит к решению обратных краевых задач дифракции для системы уравнений Максвелла.

Обратные электромагнитные задачи были рассмотрены в работах ряда авторов. В трудах Д. Колтона и Р. Кресса разработана классическая теория решения обратных электродинамических задач на идеально проводящих телах в свободном пространстве [1] (акустические задачи изучались в [2]). Прямые и обратные задачи дифракции электромагнитных волн на теле в волноводе исследовались в работах В. П. Шестопалова и Ю. К. Сиренко [3], В. П. Шестопалова и Ю. В. Шестопалова [4], A.C. Ильинского и Ю. Г. Смирнова [5,6]. В работах этих авторов впервые было проведено математически строгое исследование данного круга задач. В настоящее время продолжение этих исследований можно найти в работах Ю. Г. Смирнова [9, 10]. В работах [11−15] исследовались задачи в слоистых структурах.

Самохиным А.Б. [16−19] краевая задача дифракции на теле была сведена к объемному интегральному уравнению, получены основные результаты о разрешимости объемных сингулярных интегральных уравнений.

Такие авторы, как A.C. Ильинский [20], А. Б. Самохин, A.A. Цупак [21], М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов [22, 23], Е. М. Карчевский [24], Р. З. Даутов, Е. М. Карчевский [25], В. И. Ивахненко [26], использовали данный подход в своих работах.

В настоящее время существуют различные подходы к решению задачи восстановления магнитных и диэлектрических параметров наноматериалов.

Один из возможных вариантов определения данных параметровэкспериментальные измерения. Но, вследствие композитного характера материалов, применение данного способа к решению рассматриваемой задачи является затруднительным. Другой путь поиска параметров наноматериалов состоит в применении математического моделирования и решении задач численно с помощью компьютеров.

Решение трехмерных векторных краевых задач для системы уравнений Максвелла в полной электродинамической постановке, (к которым приводит рассматриваемая задача), является актуальной проблемой современной электродинамики. Решение таких задач требует большого объема вычислений, охватить который оказывается затруднительным даже для наиболее мощных современных компьютеров. При восстановлении параметров наноматериалов возникает проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе поверхностей и тел в резонансном диапазоне частот. Эта проблема является особенно острой и актуальной. В известных пакетах прикладных программ, предназначенных для решения задач электродинамики, применяются, как правило, конечно-разностные методы и методы конечных элементов. (Решение задач конечно-разностным методом предложено, например в [27,28].) При этом не задействуются суперкомпьютеры. Такие результаты, с точки зрения точности вычислений, не являются удовлетворительными.

Методы, применяемые в пакетах, о которых говорилось выше, встречают определенные препятствия при решении краевых задач в неограниченных областях. Одна из таких трудностей состоит в том, что область, в которой ищется решение, должна быть сделана конечной. Это приводит к возникновению неконтролируемой ошибки. Кроме того, размеры области, для ее редукции, должны быть достаточно велики. При решении задачи рассматриваемыми методами появляется необходимость работать с разреженными матрицами порядка 109 и более.

Существуют и другие методы решения задач в неограниченных областях. Такими методами являются метод интегральных уравнений и метод интегро-дифференциальных уравнений. Метод интегральных уравнений применялся, например, в работах [29, 30]. Он состоит в том, что рассматриваемая задача сводится к решению интегрального или интегро-дифференциального уравнения. При этом область неоднородности в которой решается интегральное или интегро-дифференциальное уравнение на порядки меньше области решения задачи при применении методов конечных элементов и конечно-разностных методов. Дискретизация задачи, решаемой методом интегро-дифференциальных уравнений, приводит к системе уравнений с плотными матрицами. Размеры этих матриц существенно меньше. (Порядка 104).

Численное решение интегро-дифференциальных уравнений с помощью пакетов прикладных программ имеет два основных недостатка. Первый состоит в том, что не принимаются во внимание результаты новейших исследований, как самих интегро-дифференциальных уравнений, так и их численного решения. Вторым недостатком является то, что не учитываются особенности решения рассматриваемых задач с помощью параллельных вычислений. Одной из особенностей матриц СЛАУ, с которыми приходится иметь дело, решая задачу численным методом, является их блочно-теплице-ганкелевая структура. Другая состоит в том, что вычисление интегралов, с помощью которых формируются элементы матриц, может производиться параллельно и независимо друг от друга. Данная специфика расчетов дает возможность применять параллельные вычисления для рассматриваемого круга задач.

Если рассматривать решение обратных задач на сложной системе поверхностей и тел, возникает необходимость решать комплексные СЛАУ порядка 105 с плотными матрицами. Для решения таких уравнений требуется применять методы параллельных вычислений. Однако не всегда бывают доступны такие кластеры как «Чебышев» и «Ломоносов» в МГУ им. М. В. Ломоносова. В настоящее время во многих ВУЗах используются мини-кластеры. В данной диссертации приводятся особенности работы с такими матрицами на мини-кластерах.

Обратная задача определения диэлектрической проницаемости изотропного однородного тела в волноводе была рассмотрена Ю. Г. Смирновым [31, 32], Смирновым Ю. Г. и Медведиком М. Ю. [33], Смирновым Ю. Г. и Мироновым Д. А. [34], Смирновым Ю. Г. и Шестопаловым Ю. В. [35]. Идея применения метода нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для решения обратной задачи была впервые предложена Смирновым Ю. Г. в [31, 32]. В данной диссертации рассматривается метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для решения обратной задачи нахождения эффективной диэлектрической проницаемости тела произвольной геометрической формы, расположенного в волноводе.

Смирновым Ю.Г. и Васюниным Д. И. [36], Смирновым Ю. Г. и Шестопаловым Ю. В. [35] был рассмотрен двухслойный итерационный метод решения обратной задачи определения диэлектрической проницаемости неоднородного тела в волноводе по коэффициенту прохождения. В отличие от этих работ, в которых диэлектрическая проницаемость представляла собой тензорную функцию, в данной диссертационной работе определяется по коэффициентам прохождения или отражения константа — эффективная диэлектрическая проницаемость, являющаяся интегральной характеристикой неоднородного образца.

Смирновым Ю.Г. и Медведиком М. Ю. [33], Смирновым Ю. Г., Шестопаловым Ю. В. и КоЬауаБЫ К. [37] была рассмотрена прямая 7 задача дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле в волноводе и предложены численные методы для ее исследования.

В диссертации применяется субиерархический подход. Он состоит в следующем. (В силу свойств интегро-дифференциальных операторов в уравнениях возможно использование субиерархических методов для численного решения уравнений.) Сначала находим решение задачи для некоторой канонической геометрии, например для прямоугольника или параллелепипеда. Далее будем решать задачу для фигуры с такой сложной геометрической формой, которая полностью содержится в канонической. Матрицу можно получить выбором соответствующих элементов из канонической матрицы. При этом, повторно эти элементы пересчитывать не нужно. Время решения задачи уменьшается на 1−2 порядка. Таким образом, используя субиерархические методы, мы получаем базу данных матричных элементов, которую можно применять для решения задач дифракции на поверхностях и телах сложной геометрической формы. На основе этой базы данных можно построить пакет прикладных программ.

Целями диссертационной работы являются:

1) Корректная постановка обратной краевой задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе по (измеренным) коэффициентам прохождения или отражения и ее обоснование.

2) Разработка численного метода нахождения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения или отражения.

3) Программная реализация численного метода, его тестирование и проведение расчетов для конкретных образцов материалов.

В первой главе приводится постановка задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости образцов материалов сложной геометрической формы в волноводе по коэффициентам прохождения или отражения.

В разделе 1.1 Описываются функции Грина, использованные для перехода к интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям. Задача сводится к решению интегро-дифференциального уравнения. Показывается эквивалентность интегро-дифференциальной и исходной формулировок соответствующих задач. В разделе 1.2 приводится постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения. В разделе 1.3 рассматривается постановка задачи нахождения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения.

Вторая глава является основной в работе. В разделе 2.1 предложен итерационный метод решения нелинейного объемного сингулярного уравнения. Доказана теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента отражения. В разделе 2.2 приведена теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента прохождения. В разделе 2.3 представлена общая схема проектирования на конечномерные подпространства. В разделе 2.4 рассмотрен вычислительный алгоритм для решения интегро-дифференциального уравнения электрического поля.

В третьей главе приведены результаты численного решения нелинейного объемного интегрального уравнения. Для результатов, приведенных в данной главе были разработаны программы для решения обратной задачи восстановления эффективной диэлектрической проницаемости образцов материалов различной геометрической формы.

В разделе 3.1 выполнено тестирование метода решения задачи определения диэлектрической проницаемости образцов композитных материалов различной геометрической формы по коэффициенту отражения. Проведены сравнения результатов расчетов с аналитическими решениями. Также представлены результаты расчетов для фигуры сложной формы. В разделе 3.2 приведены численные результаты определения диэлектрической проницаемости композитных материалов различной геометрической формы итерационным методом по коэффициенту прохождения.

В четвертой главе приведены особенности расчета матрицы, используемой в п. 3.2 и 3.3, на мини-кластерах. Рассмотрены различные способы вычисления коэффициентов матрицы, найден эффективный способ расчета. Распараллеливание решения задачи в настоящей работе достигается использованием системы MPI на мини-кластере и рассмотрено в п. 4.1. Оптимизация кода задачи рассмотрена в п. 4.2.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты работы опубликованы в четырех статьях [38, 39, 40, 41] (в журнале из списка ВАК РФ), в статье [42], докладывались на конференциях [43, 44, 45, 46, 47, 48, 49], и были представлены на научных семинарах кафедры Математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета и кафедры Прикладной математики Казанского (приволжского) федерального университета.

Заключение

.

В Заключении сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Предложена и обоснована корректная постановка обратной краевой задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в волновод по коэффициенту прохождения или отражения. Доказаны теоремы о существовании и единственности решений обратной краевой задачи.

2. Предложен и обоснован итерационный метод для численного решения обратной задачи. Доказаны теоремы о сходимости метода.

3. Численный метод реализован в виде пакета программ на языке Си. Метод и программы тестированы на модельных задачах. Выполнены расчеты для ряда конкретных обратных задач для различных геометрических фигур с разными параметрами. Изучены особенности вычисления коэффициентов матрицы на мини-кластерах, найден эффективный способ расчета.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.
  2. Ramm A. Scattering by Obstacles. D. Reidel Publishing, Dordrecht, Holland, 1986.
  3. В.П., Сиренко Ю. К. Динамическая теория решеток. Киев, Наукова Думка, 1989.
  4. Shestopalov V. and Shestopalov Y. Spectral Theory and Excitation of Open Structures (London: Peter Peregrinus), 1996.
  5. Ilinski A. and Smirnov Y. Electromagnetic Wave Diffraction by Conducting Screens (Utrecht: VSP Int Science Publishers), 1998.
  6. A.C., Смирнов Ю. Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖР, 1996.
  7. Shestopalov Y. and Lozhechko V. Direct and inverse problems of the wave diffraction by screens with arbitrary finite inhomogeneities J. Inverse Ill-Posed Problems, 2003.
  8. Shestopalov Y. and Yakovlev V. Uniqueness of complex permittivity reconstruction in a parallel-plane waveguide Radio Sci, 2007.
  9. Smirnov Y. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation IEE J. Fundam. Mater., 2009.
  10. Nakamura G. and Sini M. On the near field measurement for the inverse scattering problem for ocean acoustics. Inverse Problems, 2004.
  11. Ramm A. Scattering by Obstacles. D. Reidel Publishing, Dordrecht, Holland, 1986.
  12. Samokhin A. Integral Equations and Iteration Methods in Electromagnetic Scattering ed. Y. Shestopalov (Utrecht: VSP Int. Science Publishers), 2001.
  13. А.Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения // ЖВМиМФ. 1992. Т.32, № 5.
  14. А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и Связь, 1998.
  15. А.Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах // ЖВМиМФ., 1990. Т. ЗО, № 1.
  16. А.С., Самохин А. Б., Капустин Ю. Ю. Метод сингулярного интегрального уравнения для решения задачи дифракции на неоднородном теле // Меж. Сб. «Дифракция и распространение радиоволн», М.:МФТИ, 1998.
  17. Ю.Г., Цупак A.A. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. -Т. 44, N12.-С. 2252−2267.
  18. М.Ю., Смирнов Ю. Г. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 4. С. 55−71.
  19. Р.З., Карчевский Е. М. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов. Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. -271с.
  20. Ю.А., Ивахненко В. И. Строгие и приближенные модели царапины на основе метода интегральных уравнений // Дифф. уравнения. 2001. Т.37, № 10. С. 1386−1394.
  21. Eves E., Kopyt P. and Yakovlev V. Determination of complex permittivity with neural networks and FDTD modeling Microw. Opt. Tech. Lett., 2004.
  22. Eves E., Murphy K. and Yakovlev V. Reconstruction of complex permittivity with neural-network-controlled FDTD modeling J. Microw. Power Electromag. Energy., 2007.
  23. Morgenrother K. and Werner P. On the principles of limiting absorption and limit amplitude for a class of locally perturbed waveguides: Part I. Time-independent theory Math. Methods Appl. Sci., 1988.
  24. Werner P. Resonance phenomena in local perturbations of parallelplane waveguides Math. Methods Appl. Sci., 1996.
  25. Smirnov Y. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation IEE J. Fundam. Mater., 2009.
  26. М.Ю., Смирнов Ю. Г. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 4. С. 54−69.
  27. Ю.Г., Миронов Д. А. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов. // ЖВМиМФ. 2010. Т.50, № 9. С. 1587−1597.
  28. Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov Existence and uniqueness of a solution to the inverse problem of the complex permittivity reconstruction of a dielectric body in a waveguide// Inverse Problems. 2010. — V.26,№ 105 002. -P.l-14.
  29. Д.И., Смирнов Ю. Г. Итерационный метод определения диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2011 — № 1 — с. 20−30.
  30. Kobayashi К., Yu. V. Shestopalov, Yu G. Smirnov Investigation of Electromagnetic Diffraction by a Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation// SIAM Journal of Applied Mathematics.- 2009.- V.70,№ 3. P. 969−983
  31. Е. Е. Численный метод решения обратной задачи восстановления эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2012. № 2. — С.76−85.
  32. Е. Е. Особенности использования мини-кластера при расчете параметров наноматериалов // Молодой ученый. 2012. -№ 9. — С.45−50.
  33. Yury G. Smirnov, Mikhail Yu. Medvedik, Elena E. Grishina. Reconstruction of complex effective permittivity of a nongomogenius body of arbitrary shape in rectangular waveguide. PIERS Proceeding. Moscow, Russia, August 19−23, 2012, P. 420−424
  34. Гришина E. E.,. Гурин Е. И. Спецпроцессор для решения задач определения диэлектрических и магнитных параметров материалов. Труды IX международной научно-техническ. конференции «Новые информац. технологии и системы». Ч. 1. -Пенза, 2010.-С. 169−176
  35. Е.Е. Определение электродинамических параметров наноматериалов произвольной геометрической формы, расположенных в волноводе. Труды международного симпозиума «Надежность и качество 2011», Т. II, С. 130−132
  36. A.A. Метод Галеркина для решения интегрального уравнения в задаче дифракции на локально неоднородном теле в случае Н-поляризации // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: НИИММ им. Чеботарева, 2000. Т. 6. С. 240−248.
  37. Tsupak A.A. Vector integral equation method for diffraction problem in a cavity resonator 11 Processing and abstracts of 2001 Far-Eastern school-seminar on mathematical modeling and Numerical Analysis. -Nakhodka, Russia: August 22−28, 2001. P. 200
  38. С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962.
  39. С.Г. Сингулярные интегральные уравнения // Успехи математических наук. 1948. Т. 3, № 3. С. 29−112.
  40. А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и Связь, 1998.
  41. В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. -СПб.: БХВ-Петербург, 2002.
  42. В.П., Стронгин Р. Г. Основы параллельных вычислений для многопроцессорных вычислительных систем: Учебное пособие. Нижний Новгород, 2003.
  43. А. С. Введение в параллельные вычисления. М.: МГУ, 2002.
  44. А. А., Дацюк В. Н., Жегуло А. И. Программирование многопроцессорных вычислительных систем. Ростов-на-Дону. Издательство ООО «ЦВВР», 2003, 208 с.
  45. Г. И., Серикова Н. В. Программирование для многопроцессорных систем в стандарте MPI. Минск: БГУ, 2002.
  46. , К. Техника оптимизации программ. Эффективное использование памяти. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — 464 с.
  47. , Р. Оптимизации ПО. Сборник рецептов / Р. Гербер, А. Бик, К. Смит, К. Тиан. СПб.: Питер, 2010. — 352 с.
  48. , С. Совершенный код. Мастер-класс / Пер. с англ., С. Макконнел. Издательско-торговый дом «Русская Редакция" — СПб.: Питер, 2005. — 352 с.
  49. Reconfigurable Computing: The Theory and Practice of FPGA-Based Computation. Edited by Scott Hauck and Andrre DeHon. Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier Inc., 2008, 908 c.
  50. И.А. Каляев, И. И. Левин, E.A. Семерников, В. И. Шмойлов Реконфигурируемые мультиконвейерные вычислительные структуры. Ростов-на-Дону, Издательство ЮНЦ РАН, 2008, 398 С.
  51. Reconfigurable Computing Accelerating Computation with Field-Programmable Gate Arrays. P. Graham, M. Gokhale, Springer, The Netherlands, 2005, 238 c.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!