Анализ излучения антенн в диэлектрических структурах методом поверхностных интегральных уравнений

В.1 Краткий обзор проблемы.

В настоящее время всё более широкое применение в научной и инженерной деятельности находят универсальные программы электродинамического моделирования. На наш взгляд это вызвано несколькими причинами.

Во-первых, бурное развитие радиоэлектроники с конца 40-х гг. XX века, а в последнее время мобильной связи, навигационных систем (GPS, ГЛОНАСС), спутникового телевидения, систем специального назначения и др. поставило перед учёными и инженерами задачи, которые невозможно решить, используя только строгие аналитические методы теории электромагнитного поля Максвелла. Действительно, большинство научно-технических задач в области радиотехники и радиофизики при теоретическом рассмотрении сводятся к граничным задачам электродинамики. Решение последних наиболее трудно в резонансной области, когда размеры объектов соизмеримы с длиной волны. Методом собственных функций удалось решить задачи для ограниченного числа объектов типа идеально проводящих сферы, цилиндра и клина. Поэтому стали развиваться новые, в основном численные методы.

Во-вторых, широкое внедрение универсальных программ электродинамического моделирования стимулировалось развитием вычислительной техники. Действительно, достижения в микроэлектронике позволили создать достаточно мощные персональные компьютеры. Как результат, стало возможным решение научно-технических задач численными методами за приемлемое время (от нескольких минут до часов).

В-третьих, к моменту создания универсальных программ электродинамического моделирования имелся существенный теоретический задел в виде разработанных численных методов решения соответствующих задач.

Среди разнообразных численных методов стоит особо выделить три, получивших наибольшее распространение в вычислительной электродинамике: метод поверхностных интегральных уравнений (ПИУ), метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей во временной области (МКРВО).

Метод ПИУ является представителем класса непрямых методов решения задач электродинамики. Суть его заключается в том, что граничная задача сводится к интегральному уравнению. Этот приём уже давно используется в математике для доказательства теорем существования решений граничных задач. Его применение к практическим проблемам стало развиваться позже. Оно позволяет уменьшить размерность области, в которой проводится решение, и свести трёхмерную задачу в бесконечной области к двумерной, в частности на ограниченной поверхности.

Если иметь в виду тела с малыми ограничениями на форму поверхности, то впервые задача прикладного характера рассматривалась выдающимся советским учёным В. А. Фоком. Он составил интегральное уравнение для задачи дифракции электромагнитной волны на идеально проводящем теле произвольной формы [1], которое решил приближённо в предположении, что размеры тела велики по сравнению с длиной волны.

Что касается частных задач, которые решались с привлечением интегральных уравнений, то одна из первых и наиболее интересных задач этого плана — возбуждение тонкого вибратора, которой посвящена известная работа Халлена [2].

Дальнейшее развитие метода ПИУ опирается на вычислительную технику. Дело в том, что для интегральных уравнений хорошо разработана методика численного решения и, таким образом, возникает естественный путь: сведение граничных задач к интегральным уравнениям, которые затем решаются численно.

Применение метода ПИУ к решению конкретных задач развивалось в СССР с 50-х гг. XX века. Нельзя не отметить, что первая работа [3], посвященная применению интегральных уравнений для решения задач возбуждения, относится к 1958;1959 гг.- аналогичные статьи за рубежом появились с заметным опозданием [4].

Значительную роль в развитии метода ПИУ в нашей стране сыграли работы профессора E.H. Васильева с соавторами. Можно выделить два основных направления. Во-первых, в связи с развитием бортовой антенной техники возникла необходимость в создании антенн, расположенных вблизи металлических, диэлектрических и слоистых тел вращения. В монографии [5] представлены результаты почти 30-летней работы научной школы профессора E.H. Васильева по решению задач возбуждения тел вращения. Там же дан обширный библиографический список статей по этому направлению.

Другое направление исследований связано с проблемой управления величиной поля рассеяния радиолокационных объектов. В этих задачах характерные размеры объектов значительно больше длины волны, поэтому в качестве моделей рассматриваются идеально проводящие, «черные», диэлектрические структуры с бесконечными или полубесконечными границами [6,7]. Численное решение задач электродинамики для полубесконечных структур весьма актуально в связи с разработкой диэлектрических излучающих систем миллиметрового и терагерцового диапазонов волн.

8−11]. Развитый Е. Н. Васильевым и Солодуховым В. В. с соавторами подход [12−21] к решению подобных задач электродинамики не потерял своего значения и в настоящее время.

Дальнейшее развитие этот вопрос получил в работах А. И. Федоренко и В. Н. Киселя. С помощью комбинированного использования метода ПИУ и метода объёмных интегральных уравнений были решены задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем цилиндре и клине с неоднородными магнитоди-электрическими покрытиями [22, 23]. Проанализировано рассеяние электромагнитной волны на однородном киральном цилиндре [24]. Разработана оригинальная методика учёта полубесконечных границ в задачах дифракции на клиновидных структурах [25]. На основе совместного использования численного решения задач дифракции на канонических структурах и метода краевых волн П. Я. Уфимцева [26] разработана комбинированная методика расчёта полей рассеяния сложных цилиндрических объектов [27].

Существенный вклад в развитие метода ПИУ применительно к решению двумерных задач дифракции электромагнитных волн на цилиндрических телах внесли работы A.C. Ильинского с соавторами. В монографии [28] изложено применение метода и представлены основные результаты авторов в этом направлении. Там же приведена обширная библиография по этому вопросу.

Метод ПИУ применялся и другими отечественными специалистами. В работах А. Г. Давыдова с соавторами решена задача дифракции на тонких незамкнутых экранах [29, 30]. В. И. Дмитриевым с соавторами на основе метода ПИУ предложен способ решения основной задачи теории индукционного каротажа [31]. Не менее важны труды разных авторов, носящие научно-методический и обучающий характер, где метод ПИУ рассматривается как эффективный инструмент решения прикладных задач электродинамики [32−36].

Следует отметить также работы А. Б. Самохина с соавторами по развитию метода объемных интегральных уравнений [37]. Последний метод имеет область перекрытия с методом ПИУ, но наибольшие преимущества по сравнению с методом ПИУ имеет при решении задач электродинамики для неоднородных объектов.

За рубежом благодаря известной работе Harrington R.F. [38] метод интегральных уравнений известен под названием метода моментов (method of moments). Среди зарубежных учёных, разрабатывавших метод ПИУ в своих работах, можно отметить таких специалистов как Richmond I.H., Peterson А., Ray S., Mittra R. [39] и другие.

К настоящему времени метод интегральных уравнений получил самое широкое распространение в вычислительной электродинамике. На его основе разработан ряд программ электродинамического моделирования, среди которых наиболее известны программа А. Г. Давыдова ЭДЭМ (Электродинамика экранов из металла) [40], и система автоматизированного проектирования (САПР) СВЧ устройств FEKO компании EMSS [41, 42].

Нельзя не отметить ещё одно крайне интересное направление развития метода интегральных уравнений. С работ по быстрому мультипольному методу (Fast Multipole Method, FMM) [43−45] и методам на основе быстрого преобразования Фурье (FFT methods) [46, 47] началось бурное развитие так называемых быстрых методов решения интегральных уравнений вычислительной электродинамики [48]. Использование быстрых методов позволяет уменьшить вычислительные затраты по порядку величины с 0(N) до О (N) или 0(NogN), где N — число неизвестных. Программная реализация этих методов на основе графических процессоров (видеоплат) позволяет в настоящее время на стандартных персональных компьютерах проводить расчёты, которые раньше были возможны только на суперкомпьютерах [49]. С применением одного из быстрых методов — многоуровневого быстрого мультипольного алгоритма (Multilevel Fast Multipole Algorithm, MLFMA) [50] - создана универсальная программа электродинамического моделирования Wave3D компанией CEMWorks [51].

МКЭ (Finite Element Method, FEM) представляет собой разновидность проекционных методов [52], основанную на специальном выборе базисных функций. Впервые МКЭ был предложен Р. Курантом в 1943 г., но тогда его важная работа [53] опередила потребности практики и фактически осталась незамеченной. Затем в начале 50-х годов XX в. инженерами — специалистами по строительной механике был разработан новый подход к решению задач упругости. В тех случаях, когда расчётная область имела сложную геометрию, она разбивалась на подобласти простой геометрии, в каждой из которых решение могло быть найдено аналитически. Эти подобласти были названы конечными элементами, а сам подход — методом конечных элементов. На протяжении 60-х и 70-х годов шло бурное развитие теории метода, он завоевывал все более широкие области применения [54−58]. К настоящему времени МКЭ получил широкое распространение в вычислительной практике. На его основе разработана популярная в нашей стране САПР СВЧ устройств HFSS компании Ansoft [59]. С основами проектирования СВЧ устройств с использованием HFSS можно ознакомиться по пособиям [60−62].

МКРВО (Finite-Difference Time-Domain Method, FDTD) относится к классу прямых методов решения граничных задач электродинамики. При численной реализации МКРВО сводится не к системе линейных алгебраических уравнений, а к задаче Коши. История метода началась со статьи Kane Yee в 1966 г. [63]. Бурное развитие метода началось с конца 80-х годов XX века и продолжается до сих пор. К настоящему моменту МКРВО завоевал значительное положение в вычислительной электродинамике [64, 65]. На его основе разработана мощная САПР СВЧ устройств CST Microwave Studio [66]. Использование CST Microwave Studio для проектирования СВЧ устройств изложено в [67].

Итак, к настоящему времени универсальные программы электродинамического моделирования находят широкое применение в научной и инженерной деятельности. Возникает естественный вопрос, является ли наличие таких программ достаточным, чтобы удовлетворить все потребности практики. С точки зрения автора диссертации, ответ на этот вопрос является отрицательным. Аргументируем свою позицию.

Во-первых, существуют практические задачи, в которых время работы программы является критическим моментом. В этих случаях использование универсальных программ неэффективно, поскольку при их разработке использовались самые общие численные алгоритмы. Как следствие, их время работы может быть недопустимо велико. В таких случаях необходимо разрабатывать специализированные программы, в которых на уровне численных алгоритмов могут быть учтены все особенности решаемых задач. В итоге это позволит создать эффективный в вычислительном плане программный продукт.

Во-вторых, есть прикладные задачи, в которых характерные размеры исследуемых объектов существенно больше длины волны. В этих случаях адекватными электродинамическими моделями выступают тела с полубесконечными или бесконечными границами, возбуждаемые сосредоточенными источниками. При решении подобных задач, как правило, прибегают к использованию эвристических высокочастотных методов (геометрическая оптика, физическая оптика, геометрическая теория дифракции, физическая теория дифракции и другие). Однако границы их применимости в сложных электродинамических задачах часто остаются неясными. Альтернативой эвристическим методам выступают специализированные численные методы, сошлемся на уже упоминавшиеся выше работы [12, 13].

В-третьих, оборотной стороной универсальных коммерческих программ электродинамического моделирования является следующий существенный для пользователя недостаток. Эти программы используют закрытые коды, а алгоритмы их реализации излагаются недостаточно для того, чтобы иметь полную информацию о погрешности численного решения. Сошлемся на пример, обсуждавшийся в монографии [68]. В американской программе АЫ8У8 для расчета конструкций используется МКЭ, сводящий исходную задачу к численному решению СЛАУ. Зададимся вопросом, к какому значению сходятся численные результаты при измельчении сетки элементов. При ответе на этот вопрос обычно ссылаются на теорему, доказывающую сходимость численного результата к точному решению краевой задачи. Однако, как отмечено в [68], «доказательство этой теоремы. выполнено без учета того, что с измельчением сетки неизбежно растет спектральное число обусловленности матриц. Это значит, что компьютерные результаты совсем и не сходятся к точному решению краевой задачи». Более того, можно высказать убеждение, что вследствие универсальности программы такого уровня не могут быть верифицированы на все случаи жизни. Выходом из сложившейся ситуации авторы [68] видят в использовании численно — аналитических методов, позволяющих контролировать результаты численного решения в терминах величин, понятных с инженерной точки зрения.

Поэтому в рамках данной диссертации основное внимание уделено развитию методики расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе строгой постановки и разработке эффективных компьютерных программ их расчёта методом ПИУ.

В.2 Общая характеристика работы.

Цели работы:

1. Развитие методики и создание компьютерных программ для расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений и интегрального преобразования Фурье.

2. Анализ процессов дифракции плоской электромагнитной волны на двумерных диэлектрических структурах на основе разработанной методики. Выявление закономерностей в поведении амплитудных и фазовых характеристик полных токов, неравномерных частей токов, поверхностных импедансов, дифракционных полей при различных углах падения плоской волны.

3. Анализ поля излучения и взаимной связи щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной конфигурации с помощью метода поверхностных интегральных уравнений.

Решаемые задачи:

1. Построение тензорной функции Грина в обобщённых цилиндрических координатах на основе принципа эквивалентности. Получение выражений для компонент тензорной функции Грина, удобных для вычислений. С применением тензорной функции Грина вывод выражений, позволяющих вычислять электромагнитное поле, как на конечном расстоянии, так и в дальней зоне.

2. Разработка компьютерной программы расчёта дифракции плоской волны на диэлектрическом клине по методике и алгоритму, предложенным ранее E.H. Васильевым и В. В. Солодуховым. Численное исследование закономерностей дифракции плоской волны на двумерных диэлектрических структурах (прямоугольный диэлектрический клин, диэлектрическая ступенька).

3. Разработка методики, алгоритма и компьютерной программы для расчёта поля излучения и взаимной связи щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной конфигурации. Численные исследования взаимной связи щелевых антенн, расположенных в диэлектрической области, и сравнение полученных результатов с экспериментом. Расчёт диаграмм направленности щелевой антенны, расположенной на идеально проводящем круговом цилиндре и окружённой диэлектрическим цилиндром произвольного поперечного сечения.

Методы исследования.

Для решения поставленных задач использовались методы векторного анализа, функции Грина, поверхностных интегральных уравнений Фредгольма, линейной алгебры, программирования и численные методы.

Новые научные результаты:

1. Детально исследованы амплитудно-фазовые характеристики поверхностных токов, импедансов и рассеянного поля при дифракции плоской электромагнитной волны на прямоугольном диэлектрическом клине с параметрами, характерными для строительных материалов (бетон, кирпич). Фазовые характеристики поверхностных токов и рассеянного поля исследованы впервые.

2. Сравнением результатов расчётов рассеянного поля для импедансного и диэлектрического клиньев показано, что диэлектрический клин может быть заменён импедансным, когда падающей плоской волной освещены обе грани клина. В случае освещения только одной грани диэлектрический клин не может быть заменён импедансным. Вызвано это тем, что на теневой грани диэлектрического клина поверхностный импеданс имеет ярко выраженный колебательный характер на расстояниях от ребра, много больших длины волны. Поэтому описание теневой грани диэлектрического клина постоянным поверхностным импедансом при аппроксимации диэлектрического клина импедансным оказывается некорректным.

3. Выявлены особенности обратного рассеяния электромагнитных волн на модели края льдины в виде диэлектрической ступеньки. Обнаружена сильная зависимость величины поля обратного рассеяния от формы края льдины.

4. Исследовано влияние формы и геометрических размеров внешней диэлектрической оболочки на взаимную связь продольных щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем круговом цилиндре.

Практическая значимость:

1. Развитая методика расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений и итерационной процедуры решения СЛАУ позволила создать эффективные и быстродействующие компьютерные программы, которые уже нашли применение при выполнении НИР.

2. Алгоритмы расчёта амплитудно-фазовых характеристик рассеянного поля на диэлектрическом клине и диэлектрической ступеньке могут быть использованы в программных продуктах, предназначенных для расчёта рассеяния электромагнитных волн ледовыми полями, фрагментами зданий, нерегулярностями диэлектрических волноводов.

3. Методика и программы расчёта полей излучения, входной проводимости и взаимной связи щелевых антенн, могут быть использованы для анализа характеристик антенн, размещённых на летательных аппаратах с диэлектрическим покрытием.

Достоверность.

Подтверждается использованием хорошо известных и апробированных методов векторного анализа, интегральных уравнений, линейной алгебры в сочетании с численными методами решения интегральных уравнений. Результаты проведённых расчётов согласуются с экспериментальными данными и в частном случаес расчётами по методу собственных функций.

Апробация результатов.

Основные положения и результаты работы были представлены и обсуждались на ежегодных международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов «РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА», Национального исследовательского университета «МЭИ» в 2010 — 2012 гг., на XXIII всероссийской научной конференции «Распространение Радиоволн», 22 — 25 мая 2011 г., Йошкар-Ола, на III всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь», 26 — 30 октября 2009 г., Москва, на VI всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь», 19−22 ноября 2012 г., Москва, на Московском электродинамическом семинаре им. Я. Н. Фельда, Москва, 2 апреля 2013 г.

Использование результатов.

Результаты диссертационной работы были использованы при выполнении НИР «Лорнет» в интересах ФГКУ «в/ч 68 240».

Внедрение результатов исследования подтверждено актом, полученным в ЗАО «РАДИЙ ТН».

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Развиты методика и алгоритмы расчёта излучения электромагнитных волн сосредоточенными источниками вблизи двумерных диэлектрических структур на основе метода поверхностных интегральных уравнений, позволившие создать эффективные и быстродействующие компьютерные программы.

2. Исследованы амплитудно-фазовые характеристики (фазовые впервые) поверхностных токов, импедансов и дифракционных полей при падении плоской волны на диэлектрический клин с малыми потерями. Поверхностные импедансы граней клина являются осциллирующими функциями координаты в тех же пределах, что и неравномерные части токов. Особенно заметные колебания исследуемых величин наблюдаются при несимметричном облучении клина на его неосвещённой грани. С этой гранью связаны заметные отличия дифракционных полей двух поляризаций в дальней зоне, на этой грани значительно сильнее по сравнению с другой гранью осциллируют токи и импедансы.

3. Установлено, что замена диэлектрического клина с относительной диэлектрической проницаемостью больше единицы и малыми потерями клином с постоянным поверхностным импедансом обоснована с качественной и количественной точек зрения только в случае облучения плоской волной обеих граней диэлектрического клина. Возникновение значительных осцилляций поверхностного импеданса диэлектрического клина при освещении падающей волной только одной грани клина приводит к принципиальным отличиям процесса дифракции от клина с постоянным поверхностным импедансом.

3.5 Выводы к главе 3.

В главе с помощью метода ПИУ совместно с использованием преобразования Фурье решена задача о расчёте взаимной связи двух продольных щелей на идеально проводящем цилиндре, находящемся в диэлектрической области сложной формы. Работоспособность и точность развитого расчётного аппарата проверена сравнением его результатов с расчётными данными, полученными другим методом и результатами измерений.

По распределению спектральной плотности токауои (т) в точке расположения щели проанализирована эффективность излучения щели.

Проведен анализ полей излучения и взаимной связи щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем цилиндре, для разных типов внешней диэлектрической области.

Следует отметить, что разработанная методика расчета взаимной связи щелей легко обобщается на случай наклонного расположения щелей, а также на случай, когда щелевые антенны расположены на цилиндре произвольного поперечного сечения.

Заключение

.

В работе развита методика расчёта возбуждения электромагнитных волн в двумерных металлодиэлектрических структурах сосредоточенными источниками на основе метода поверхностных интегральных уравнений, которая позволила создать эффективные и быстродействующие компьютерные программы, применявшиеся при выполнении НИР.

Исследованы амплитудно-фазовые характеристики (фазовые впервые) поверхностных токов, импедансов и дифракционных полей при падении плоской волны на диэлектрический клин с малыми потерями. Поверхностные импедансы граней клина являются осциллирующими функциями координаты в тех же пределах, что и неравномерные части токов. Особенно заметные колебания исследуемых величин наблюдаются при несимметричном облучении клина на его неосвещённой грани. С этой гранью связаны заметные отличия дифракционных полей двух поляризаций в дальней зоне, на этой грани значительно сильнее по сравнению с другой гранью осциллируют токи и импедансы. Возникновение значительных осцилляций поверхностного импеданса диэлектрического клина при освещении падающей волной только одной грани клина приводит к принципиальным отличиям процесса дифракции от клина с постоянным поверхностным импедансом.

Установлено, что замена диэлектрического клина с относительной диэлектрической проницаемостью больше единицы и малыми потерями клином с постоянным поверхностным импедансом обоснована с качественной и количественной точек зрения только в случае облучения плоской волной обеих граней диэлектрического клина.

Выявлены особенности обратного рассеяния электромагнитных волн на модели края льдины в виде диэлектрической ступеньки. Обнаружена сильная зависимость величины поля обратного рассеяния от формы края льдины.

Исследовано влияние формы и геометрических размеров внешней диэлектрической области поле излучения и взаимную связь продольных щелевых антенн, расположенных на идеально проводящем круговом цилиндре.

Данная работа может иметь дальнейшее развитие. Во-первых, развитую методику можно распространить на случай возбуждения двумерных структур более сложными типами источников, например, антенными решётками. Другое направление развития может быть связано с задачами подповерхностной радиолокации и мониторинга ледовой обстановки. Адекватной электродинамической моделью таких задач является двумерная диэлектрическая структура, возбуждаемая сложным источником. Поэтому дальнейшее обобщение рассмотренной методики и создание эффективных и быстродействующих компьютерных программ на её основе может иметь важное прикладное значение.

За рамками диссертации осталось рассмотрение двумерных структур, поддерживающих распространение электромагнитных волн. Логичным продолжением работы является рассмотрение возбуждения двумерных волноведущих металлодиэлектрических структур (плоских диэлектрических волноводов и диэлектричеких антенн), сосредоточенными источниками.