Бесселевость и гильбертовость систем корневых функций квадратичных пучков дифференциальных операторов

В последние десятилетия возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики, приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных операторов. Примером такой задачи может служить известная задача Бицадзе — Самарского [5,20] с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.

Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж. Лиувилля, Ш. Штурма, а также более поздних работ Я. Д. Тамаркина [44], Дж. Биркгофа [4], В. А. Стеклова [43] и других авторов, в которых изучались вопросы асимптотики собственных значений и сходимости спектральных разложений для различных классов краевых задач.

На сегодняшний день в работах М. В. Келдыша [22] и многих его последователей достаточно хорошо изучена полнота систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве ½ для обширных классов краевых задач. Кроме того, довольно глубоко исследована асимптотика собственных значений и корневых функций.

После этих работ на первый план выдвинулась проблема базиснос-ти систем корневых функций несамосопряженных дифференциальных операторов. На пути изучения этой проблемы Г. М. Кесельману [26] и В. П. Михайлову [38] удалось выделить класс краевых условий (усиленно регулярные, по терминологии Дж. Биркгофа), обеспечивающих базисность Рисса в Ь2 систем корневых функций операторов произвольного порядка п. При этом существенным требованием является простота всех собственных значений, за исключением их конечного числа. В случае же, когда последнее требование не выполняется, возникают большие трудности. Оказывается, что решить вопрос базисности системы корневых функций в такой ситуации, в силу неоднозначности ее построения, в терминах краевых условий принципиально невозможно.

Поэтому В. А. Ильиным была предложена новая трактовка корневых функций, которые определяются как регулярное решение соответствующего уравнения безотносительно к виду краевых условий. Такой подход обобщает классический и позволяет рассматривать также системы функций, не связанные какими — либо краевыми условиями. В рамках данного подхода все теоремы, в том числе условия базисности, формулируются в терминах структуры спектра и в терминах соотношений между нормами корневых функций. Существенную роль при доказательстве различных теорем играют так называемые формулы среднего значения. Для операторов второго порядка впервые двусторонняя формула была получена Е. Титчмаршем [45], а ее односторонний аналог — В. В. Тихомировым [46]. Отметим, что для корневой функции оператора произвольного порядка двусторонняя формула среднего значения была получена Е. И. Моисеевым [39]. Для операторов четного порядка с негладкими коэффициентами — И. С. Ломовым [33]. Односторонний же аналог этой формулы был установлен в первоначальном варианте В. Коморником [27], а затем в различных модификациях — В. Д. Будаевым [7,10], И. С. Ломовым [32], В. М. Курбановым [29,30].

Путь этот оказался очень плодотворным. Получены критерии базисности системы корневых функций на компакте [15,16], а также критерии безусловной базисности.

В диссертации сделана попытка обобщить этот подход на квадратичные пучки дифференциальных операторов, то есть рассмотреть ситуацию, когда спектральный параметр встречается не только в коэффициенте при самой функции, но и при ее первой производной. Заметим, что еще в семидесятых годах такой обобщенный подход впервые был применен В. А. Ильиным при рассмотрении пучков операторов [13,14], но в ситуации, когда спектральный параметр не встречается в коэффициенте при первой производной. Кроме того, в этих работах ставились задачи, не являющиеся предметом рассмотрения данной диссертации. Отметим, что ранее, в рамках классического подхода, квадратичными пучками дифференциальных операторов занимались многие авторы (в последние годы — А. А. Шкаликов, Г. В. Радзиевский, А. С. Печенцов, А. И. Вагабов и другие). Обзор результатов исследований спектральных свойств пучков дифференциальных операторов с регулярными краевыми условиями, зависящими от спектрального параметра, можно посмотреть в работах [12,48]. Там же указана более подробная библиография.

Согласно известной теореме Н. К. Бари [1], установление безусловной базисности данной системы {ип}, в некотором гильбертовом пространстве Н, сводится либо к установлению бесселевости систем вида {г4п/||мп||} и К/|Н|}, где {г?п} - система, биортогонально сопряженная к {ип} в этом пространстве Н, полноты и равномерной минимальности одной из этих систем, либо к установлению бесселевости, гильбертовости и минимальности системы {ига/||ип||}. Однако, в рассматриваемой ситуации, построение сопряженной системы для системы корневых функций становится весьма проблематичным, хотя бы потому, что теперь это уже не система корневых функций формально сопряженного пучка операторов. Поэтому особенно актуальной становится такая проблема спектральной теории, как изучение условий гильбертовости и бесселевости тех или иных систем в некотором гильбертовом пространстве Н. Видимо, первыми работами, где гильбертовость и бесселевость выделяется как самостоятельная проблема, являются работы В. А. Ильина [19] и В. А. Ильина и И. Йо [18].

Сразу отметим, что наиболее важными результатами диссертации можно считать необходимые условия бесселевости различных систем, так как они одновременно являются необходимыми условиями и безусловной базисности и базисности Рисса. Первая глава посвящена рассмотрению, в используемой терминологии, невозмущенного пучка операторов, а именно: Ьи = и" + 2гуаи' + 72Ьи, где а, Ъ — некоторые постоянные комплексные коэффициенты, а 7 — спектральный параметр. Рассматриваются собственные функции этого пучка, понимаемые как регулярное решение соответствующего дифференциального уравнения. Легко видеть, что каждая из систем является системой собственных функций оператора Ь при Хп — ¿-7па, Цп — 7пу/Ь — а2. Поэтому и система функций где полагаем ип = сфп + С2фп, а С, С2 — некоторые комплексные коэффициенты, также будет системой собственных функций оператора Ь. Кроме того, в дальнейшем, в целях общности рассуждений, не учитывается.

Фп}п=и гДе Фп = ехр (г'Ап?) вт^ где >фп = ехр (гА"*)со8^.

1.1.1) (1.1.2) связь между Ап и fj, n. Считаем, что {Ап} и {/in} - произвольные последовательности комплексных чисел.

Отметим, что свойства базисности систем собственных функций рассматриваемых пучков, понимаемых в классическом смысле (то есть как решений соответствующего уравнения, удовлетворяющих заданным краевым условиям), изучались ранее в работах таких авторов, как A.A.Шкаликов [48,49], Б. Т. Билалов [3], Л. В. Крицков [28], Ю. И. Любарский [35]. То же можно сказать и о системах экспонент, а также их линейных комбинаций. Не претендуя на полноту библиографии, отметим работы А. М. Седлецкого [42], А. Н. Барменкова [2], Ю. И. Любарского и В. А. Ткаченко [34]. Приведем конкретный пример, ставший уже классическим. Рассмотрим на интервале G = (0,7г) действительной оси квадратичный пучок y" (t) + 2 aiyt) + (а2 + lb2y{t) = О, с краевыми условиями у (0) = у (тг) = 0. Легко проверить, что при каждом фиксированном, а система функций (exp (cmt) sin (nt)}]'0 является системой собственных функций этого пучка. Базисному свойству этой системы посвящены работы [34,35,49]. Итог полученных результатов следующий: если, а — произвольное комплексное число, такое, что, а ^ (—оог, —г] и, а ^ [г, гоо), то эта система полна в 7г) — если же, а лежит на действительной оси, то она также минимальна в ?2(0,71″) и при, а ф 0 не является базисом. По — видимому, впервые базисность этой системы исследовалась в работе [49]. Было доказано, что если, а — чисто мнимое комплексное число и |а| < то система (exp (ani) sin (ni)}f образует базис Рисса в тг). Если |а| > 1 (например, а = i) эта система, вообще говоря, не полна в £2(0,7г). В работе [28] Л. В. Крицков доказал, что если, а ф 0 не является чисто мнимым, то данная система не является равномерно минимальной и, тем более, не образует базиса в ½(0,7г). Более сильный результат, по сравнению с [49], был получен Б. Т. Билаловым [3] в его докторской диссертации в виде критерия базисности рассматриваемой системы. Пусть, а = гсг, ехр ((2к + 1)°-5тг) — 1.

7 < ехр ((3) 7г) — 1.

1) ехр ((2&- + 1)°-57г) + 1' 1 1 ехр ((3)°-57г) + 1.

Пусть действительное число, а (а < 1) удовлетворяет первому условию (1). Рассматриваемая система при таком, а образует базис Рисса в ?2(0,71-) тогда и только тогда, когда выполнено второе условие (1). Обозначим exp ((2fc + 1)°-5тг) — 1 к exp ((2fc + 1)°-57г) + 1' -Нетрудно заметить, что <�то < ai <. и оь стремится к 1 при к, стремящемся к бесконечности. Более того, ^ < <�то.

Аналогичное утверждение можно получить относительно системы {exp (iant) cos (nt)}^L0. Вместо второго условия (1) потребуем выполнения условия ехр (7г) (2) 1 1 ехр (тг) + 1.

Пусть действительное число <�т, |(т| < 1 удовлетворяет первому условию (1). Рассматриваемая система образует базис Рисса в ¿-2(0,тг) тогда и только тогда, когда выполнено условие (2).

Продолжим теперь рассмотрение непосредственно результатов первой главы диссертации.

Первый параграф этой главы посвящен доказательству теоремы 1.1.1, в которой устанавливается критерий бесселевости системы.

К/1М1}?=1.

Теорема 1.1 Л. Пусть выполнены следующие условия: А: последовательность {/¿-п}&trade-^ не имеет конечных точек сгуще 0 такие, что дляУп 6 N выполнены неравенства.

1 т (1ш ~ К) < Чъ 1 т (1лп + п) < д2.

Тогда для бесселевости системы {ип/||ип||} в ¿-2(0,7г) необходимо и достаточно выполнение условий.

В:Здз,</4 > 0 такие, что для /й1 ив 2? выполнены соотношения.

Е 1<.

0<�Яе (/г"-А")-51<1 0<�Де (//п+А")-з2<1.

Второй параграф посвящен рассмотрению гильбертовости и бесселевости этих систем методом возмущений, который состоит в следующем. Предполагается, что некоторая система, назовем ее невозмущенной, гильбертова и бесселева с некоторыми константами Гильберта и Бесселя, которые считаются известными. Делается также ряд дополнительных предположений, вполне естественных в рассматриваемой ситуации. Затем параметрам, входящим в систему, даются возмущения, удовлетворяющие определенным оценкам, и рассматривается гильбертовость и бесселевость получившейся системы. Центральным результатом параграфа является теорема 1.2.1, в которой устанавливается граница возможных возмущений, при которых гильбертовость и бесселевость еще сохраняется. Константы Гильберта и Бесселя для возмущенной системы выписываются в явном виде.

Теорема 1.2.1 .Пусть системы {ип} и {г>п} гильбертовы и бес-селевы с константами оц, а2 и /ЗьДг соответственно. Пусть найдутся постоянные сз, С4 > 0 такие, что /п? N 3т11п <

С1, |/гаАп| < С2, |еп| < сз, |£п| < С4. Тогда системы {и*} и {г?*} также будут бесселевыми с константами и (3% соответственно, где i = з.

2 = 3 i + ехр (2(сз + с4))(с3 + С4)2(А + /У.

2 + ехр (2(с3 + с4))(с3 + с4)2(А + /%).

Если.

1 = iai — ехр (2(с3 + с4))(с3 + c4)2(/5i + ?2) > о, а* = IO2 ехр (2(с3 + с4))(с3 + с4)2(А + Д>) > О, то системы {и*} и {г-*} также будут гильбертовыми с константами, а и «2 соответственно.

Отметим, что установленные границы возмущений наверняка можно несколько расширить, но эта цель и не преследовалась. Важно было показать принципиальную возможность такого подхода в данной ситуации. История метода возмущений довольно большая. Отметим книгу Пэли и Винера [41], а также работу [21], в которой для системы экспонент устанавливается точная граница возмущений. Совсем недавно для других систем аналогичный подход к исследованию гиль-бертовости был применен В. Д. Будаевым [11]. Были и другие попытки решения данной проблемы, использующие иные методы (Ильин В.А. [19], Шикина Г. Е. [47], Малов A.A. [36,37]). Но, несмотря на некоторые успехи в этом направлении, она еще очень далека от своего полного решения. Дело в том, что у них рассматривалась гильбертовость не во всем пространстве, а лишь для узкого класса функций, отличных от нуля в малой окрестности некоторой внутренней точки у интервала G и четных, либо нечетных относительно этой точки.

Вторая и третья главы диссертации посвящены рассмотрению возмущенного квадратичного пучка дифференциальных операторов следующего вида: Lu = и" + (2ja +р (х))и' + (72b q (x))u, где сохранены прежние обозначения, а р (х)? Wl (G), q[x)? L (G) — некоторые функции, играющие роль «возмущений». В параграфе первом главы второй вводится понятие собственных и присоединенных функций такого пучка, опять — таки безотносительно к виду краевых условий.

Определение 2.1.1. Собственной функцией пучка операторов L, отвечающей значению спектрального параметра будем называть любую, отличную от тождественного нуля комплекснозначную функцию un{t), абсолютно непрерывную вместе с первой производной и удовлетворяющую на G уравнению Lun = 0, при этом фиксированном значении 7П.

Определение 2.1.2.Присоединенной функцией к — го порядка пучка операторов L, соответствующей собственной функции ип, будем называть любую, отличную от тождественного нуля комплекснозначную функцию un^{t), абсолютно непрерывную вместе с первой производной и удовлетворяющую на G уравнению Lun>k = 7nVb — a2uUjk-1, где wn, fc-i — предыдущая присоединенная функция. Считаем, что к > 1 и Un = Unfi.

Определение 2.1.3. Системой корневых функций пучка операторов L, отвечающей некоторой последовательности спектральных параметров {7n}^Li5 будем называть счетную систему собственных и присоединенных функций этого пучка операторов, удовлетворяющую требованиям: а) спектральные параметры занумерованы в порядке неубывания модулейб) наряду с некоей присоединенной функцией в системе содержатся собственная и все предыдущие присоединенные, принадлежащие той же цепочке.

Определение 2.1.4.Рангом собственной функции будем называть количество присоединенных функций в цепочке.

Далее выводятся так называемые односторонние формулы среднего значения для собственной функции и для первой присоединенной. Это формулы (2.1.3) и (2.1.8) соответственно. Главным результатом второго параграфа является теорема 2.2.1, в которой устанавливается односторонняя формула среднего значения для произвольной присоединенной функции. При этом, для краткости, сделаны следующие обозначения ф 0): с = у^гд Ж) + = ^ =.

7пС = к2, Ы = 0,.

7пс q{x) — р'(х) — р (х)/упа = к4(х): -р{х)^пс = к5(х). (2.2.1).

Под л/6 — а2 понимается произвольное фиксированное значение корня).

Теорема 2.2.1.Для к — ой присоединенной функции рассматриваемого квадратичного пучка дифференциальных операторов справедлива следующая правосторонняя формула среднего значения: ип, к (У + г)= ищк{у) ехр (—7паг)[&о вщ (7псг) + кг соб (7псг)] + у+г к2 I ищк (х) ехр (тпа (ху — г))[кА (х) вт (7пс (хуг))+ у к5(х) соз (тпс (х — у — г))]е&с+ к I ехр (-тпаг) Е.

От к—т т=1 и’п, к-т{у)№т (к2, Г) ЗШ^пСг) + ЯСт (к2,г) С08(7пСг)] + у+г к2 I ищк^т (х)ехр (^па (х-у))[К8т (к2,(х-у-г))зт (^пс (х-у-г))+ у.

Щп{к2, {х-уг)) сов (7пс (хуг))]<&], (2.2.4) где использованы следующие обозначения: т.

3=0 т з=1 з=о т ?=1.

2.2.5).

2.2.6).

2.2.7).

2.2.8) т.

ИМ**, (х-у-г)) = - У — ту. (2.2.9) 0.

11ст (к2,(х-у-г)) = (2−2.10).

3=1.

Здесь ^У) = |(1 + (—I)-74″ 1), и — некоторые ограниченные действительные коэффициенты, а при помощи [.] обозначена целая часть числа.

Замечание 2. Формула (2.3.3) справедлива для всех т > 1, а при т = О А^ = 0. Формула (2.3.4) справедлива для всех т > 2, а при т = О Ац = 2, при т = 1 А{ = О.

Замечание 3. Щ* = В? т (к2,(х — у + г)), = Д^Аъ, (ж — у + г)).

В дальнейшем, для установления антиаприорной оценки используется именно формула (2.3.2).

Четвертый и пятый параграфы посвящены установлению оценок модуля произвольной корневой функции и ее первой производной через норму корневой функции в ?2.

К,*:|1оо < СОПзЦипД2, |Кп, кИоо < СОП8Ц^п\ищк\2. (2.5.6).

Отметим, что при этом доказательство для присоединенных функций проводится в предположении о выполнении антиаприорной оценки.

И, наконец, в шестом параграфе, устанавливается антиаприорная оценка.

Ч*-1||2 < сопзЦищк\2, к> 1. (2.5.1).

Заметим, что константы в (2.5.6) и (2.5.1) не зависят от п и к. В заключение этой главы формулируется теорема 2.6.1, обобщающая ее результаты.

Теорема 2.6.1 .Пусть.

А: Выполнено условие Карлемана для последовательностей {¿-7па} и {7пс}, то есть Зсх, с2 > 0 такие, что для Уп Е N выполнены неравенства.

1 т (^па) < сь 1 т (^пс) < с2;

Б: Последовательность {7п} не имеет конечных точек сгущения;

В: Ранг собственных функций равномерно ограничен.

Тогда найдется такое число ро > 0- что при любых р (х), таких, что ||р||х2((?) < ро, для корневых функций рассматриваемого квадратичного пучка дифференциальных операторов справедливы оценки (2.5.6) и (2.6.Ц).

Через (2.6.14) обозначены две оценки:

1К,*-1|и2© < СОПвЩипЛьф)' \^пАыК) < СОПвЩипЛ^Кг).

2.6.14).

В первой оценке вместо всего интервала С? может фигурировать и произвольный, внутренний к (7, компакт К. В последней же оценке, наоборот, вместо внутреннего компакта К может фигурировать и весь интервал (7. Через К обозначен компакт, внутренний к компакту К. Кроме того, константы в оценках зависят от мер рассматриваемых компактов.

Отметим, что все полученные оценки, имеют тот же вид, что и аналогичные оценки в случае, когда спектральный параметр содержится только в коэффициенте при самой функции. Подобным оценкам посвящено довольно много работ (см В. В. Тихомиров [46], И. С. Ломов [31] - для оператора второго порядка). Для оператора произвольного порядка точные оценки были получены Н. Б. Керимовым [24,25], В. Д. Будаевым [6,9] и В. Коморником [27].

Несмотря на всю важность второй главы, она носит все же вспомогательный характер. Центральный результат диссертации, а именно, критерий бесселевости нормированной системы корневых функций квадратичного пучка дифференциальных операторов содержится в третьей главе.

Теорема 3.1.1. Пусть.

А: Последовательность {7п} не имеет конечных точек сгущения;

Б: Эс1, С2 > 0 такие, что для /п Е N выполнены неравенства.

1 т (^па) < си 1 т (упс) < с2;

В: Ранг собственных функций равномерно ограничен.

Тогда найдется такое число ро > 0, что при любых р (х), таких, что \р\ь2{0) < ро, для бесселевости системы в Ь2{С) необходимо и достаточно выполнение условия Г:

Зсз > 0 такое, что для любого 7 е С выполнено соотношение.

Е 1 < с3. (З.1.1).

7п-7|<1.

Замечание 4. Условие (3.1.1) — это так называемое условие «суммы единицЕго запись несколько отличается от традиционной в силу того, что для самой последовательности {7П} условие Карлемана может быть и не выполнено.

Замечание 5. При, а — 0 и Ъ = 1 мы получаем обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка, для которого корневые функции определены в смысле В. А. Ильина. Поэтому известные ранее формула среднего значения, оценки и критерий бесселевости для системы корневых функций такого оператора следуют и из данной работы. Отметим, что для оператора произвольного порядка и, как частный случай, для второго, был получен [30,32] и более сильный результат, а именно, критерий бесселевости для оператора с негладкими коэффициентами в используемых обозначениях р (х) 6 Ь2{С).

Замечание 6. Полученные результаты являются новыми даже в случае р (х) = О.

Первый параграф посвящен доказательству необходимости условия Г теоремы для бесселевости нормированной системы корневых функций. При этом доказательство проводится с опорой на одностороннюю формулу среднего значения для собственной функции.

Во втором параграфе кратко излагается доказательство достаточности, которое целиком опирается на результаты первых двух глав и неравенство, справедливое для любого набора из п комплексных чисел 01,02, 0″ п а1+а2+.+ап2 < П (1а1|2+1а2|2+— + 1ап|2) — Отметим, что в работах В. Д. Будаева, В. М. Курбанова, И. С. Ломова [8,10,30,32] также доказывается необходимость условия «суммы единиц» для бесселевости системы корневых функций в случае обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка. Кроме того, необходимые и достаточные условия бесселевости и безусловной базисности системы корневых функций, но для операторов четвертого порядка, изучались Н. Б. Керимовым [23].

Третий параграф посвящен исследованию гильбертовости системы корневых функций методом возмущений, но в несколько ином ключе, чем в главе первой. Рассматриваются на интервале (7 = (0,1) вещественной оси два квадратичных пучка дифференциальных операторов: невозмущенный.

Ьи = и" + 2уаи' + ч2Ьи, (3.3.1) и соответствующий возмущенный.

Ьи = и" + 27 аи' + (т26 + я (х))и, (3.3.2) где сохраняются традиционные обозначения. Функция д (ж) Е Ь{0). Доказывается теорема 3.3.1.

Теорема 3.3.1. Пусть выполнены следующие условия:

1. Нормированная система корневых функций пучка операторов (3.3.1) гильбертова в 1,2(0,1) с некоторой константой а;

2. Для любых п и к выполнены равенства 0) = и и’пк{0) = 17^^(0), то есть на левом конце интервала (0,1) совпадают сами корневые функции и их производные;

3. Ранг собственных функций равномерно ограничен;

4¦ Для последовательностей {¿-7па} и {7пс} выполнены условия Кар-лемана;

5. Для последовательности {7"} выполнено условие «суммы единиц-» .

6. Для любых п 7″ ^ 0.

Тогда найдется такое число до > 0, что, как только НдЦх^од) < 9о> нормированная система корневых функций пучка операторов (3.3.2) будет также гильбертовой в 1) с некоторой константой а*.

Замечание 6 Константа Гильберта а* зависит от а, от Н^Цх^од) — от ранга собственных функций, от констант в условиях Карлемана и «суммы единица также от постоянных в антиаприорной оценке и оценках нормы корневой функции и ее производной в Ь^ через норму в ?2- Выполнение последних оценок следует из условий 3 — 5 данной теоремы и из условия р{х) = 0.

И, наконец, в четвертом параграфе рассматривается несколько конкретных краевых задач для пучков дифференциальных операторов, в которых удается показать бесселевость систем корневых функций, используя теорему 3.1.1. При этом, насколько нам известно, данные задачи не относятся ни к одному из изученных типов краевых задач для пучков [12,48].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 56 наименований. Используется тройная нумерация теорем, замечаний и формул. Первый номер — номер главы, второй — номер параграфа, третий — порядковый номер внутри параграфа. Объем работы составляет 99 страниц.

1. Бари H.K. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве. // Уч. зап. МГУ. 1951. Т. 4, вып. 148. С. 69 — 107.

2. Барменков А. Н. Об апроксимативных свойствах некоторых систем функций. // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1983.

3. Билалов Б. Т. Базисные свойства систем собственных функций некоторых дифференциальных операторов и их обобщения. // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1996.

4. Биркгоф Дж. (Birkhoff G.D.) Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations. // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. v9. N-4. p. 373 395.

5. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обощени-ях линейных эллиптических краевых задач. // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185, N4. С. 739 740.

6. Будаев В. Д. Оценка модуля производной регулярного решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения. // Дифферент уравнения. 1987. Т. 23, № 2. С. 198 204.

7. Будаев В. Д. Критерий безусловной базисности систем собственных и присоединенных функций обыкновенных дифференциальных операторов. // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314, N4. С. 25 28.

8. Будаев В. Д. Необходимое условие базисности Рисса систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов. // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, N⁵. С. 873 875.

9. Будаев В. Д. Некоторые свойства корневых вектор функций оператора высокого порядка. // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, iV-1. С. 30 — 40.

10. Будаев В. Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов. // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Москва. МГУ. 1993.

11. Будаев В. Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для некоторых систем синусов, косинусов и экспонент. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №-1. С. 19 24.

12. Вагабов А. И. О равносходимости разложений в тригонометрический ряд Фурье и по главным функциям обыкновенных дифференциальных операторов. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1984. Т. 48, N°3. С. 614 630.

13. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базиснос-ти подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. // Докл. АН СССР. 1976. Т. 223, N4. С. 796 799.

14. Ильин В. А. О свойствах приведенной подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230, N4. С. 30 33.

15. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базиснос-ти и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений./ // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №-5. С. 771 -794.

16. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базиснос-ти и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.// // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, Л^£6. С. 980 -1009.

17. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка. // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, N-5. С. 1048 1053.

18. Ильин В. А., Ио И. Неравенство типа Бесселя и ХаусдорфаЮнга Рисса для функций из класса радиальных по собственным функциям оператора Лапласа. // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, N-2. С. 284 — 288.

19. Ильин В. А. Неравенство типа Гильберта по системе собственных функций оператора Лапласа для радиальной функции, отличной от нуля в шаре достаточно малого радиуса. // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, № 6. С. 1292 1296.

20. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями. // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, N°2. С. 294 304.

21. Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея Винера. // Докл. АН СССР. 1964. Т. 155, № 6. С. 1253 — 1254.

22. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77, №-1. С. 11 14.

23. Керимов Н. Б. Необходимые и достаточные условия бесселевости и безусловной базисности в L2(G) системы корневых функций оператора четвертого порядка. // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286, N4. С. 803 808.

24. Керимов Н. Б. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций обыкновенных дифференциальных операторов. // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291, N°5. С. 1054 1056.

25. Керимов Н. Б. Базисность и равномерная минимальность систем корневых функций обыкновенных диференциальных операторов. // Дисс. докт. физ. мат. наук. Москва. МГУ. 1996.

26. Кесельман Г. М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов. // Изв. вузов СССР. Математика. 1964. №¦ 2. С. 82 93.

27. Komornik V. Upper estimate for the eigenfunctions of higher order of linear differential operator. // Acta Scient. Math. 1983. Vol. 45., N4 4. p. 261 — 271.

28. Крицков JI.В. К вопросу о базисности системы (exp (mni) sinnt}. // Докл. РАН. 1996. T. 346, N4. С. 297 298.

29. Курбанов В.M. О базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений дифференциального оператора 2п го порядка. // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, N°7. С. 1279 — 1280.

30. Курбанов В. М. Распределение собственных значений и сходимости биортогональных разложений по корневым функциям обыкновенных дифференциальных операторов. // Дисс. докт. физ. мат. наук. Москва. МГУ. 2000.

31. Ломов И. С. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций оператора Штурма Лиувилля. // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, iV-10. С. 1684 — 1693.

32. Ломов И. С. Неравенство Бесселя, теорема Рисса и безусловная базисность для корневых векторов обыкновенных дифференциальных операторов. // Вестник МГУ. Математика, Механика 1. 1992. N°5.С. 33 43.

33. Ломов И. С. Формула среднего значения Е. И. Моисеева для дифференциальных операторов четного порядка с негладкими коэффициентами. // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, N-8. С. 1046 1057.

34. Любарский Ю. И., Ткаченко В. А. О системе {eanzsmnz}™. // Функц. анализ и его приложения. 1984. Т. 18. Вып. 2. С. 69 70.

35. Любарский Ю. И. Полнота и минимальность систем функций вида {a (t)(j)n (t) — b (t)il>n (t)}^¦ // Теория функций, функц. анализ и их прил. Харьков. 1988. N44. С. 77 86.

36. Малов A.A. Необходимые условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, N4. С. 48 59.

37. Малов A.A. Достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, №-2. С. 197 203.

38. Михайлов В. П. О базисах Рисса в Ь2(0,1). // Докл. АН СССР. 1962. Т. 144, С. 981 984.

39. Моисеев Е. И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №-Ъ. С. 827 844.

40. Образов М. Б. Об одной несамосопряженной краевой задаче. // ДАН. Туркм. ССР. 1976. № 2. С. 10 13.

41. Paley R.E.A.C. Wiener N. Fourier Transforms in the Complex Domain. N.Y., 1934.

42. Седлецкий A.M. О сходимости негармонических рядов Фурье по системам экспонент, косинусов и синусов. // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301, №-5. С. 1053 1056.

43. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. // Петроград. 1917. 308 с.

44. Титчмарш Е. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. // Т. 1. М., ИЛ, 1960. 280 с.

45. Тихомиров В. В. Точные оценки регулярных решений одномерного уравнения Шредингера со спектральным параметром. // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, N4. С. 807 810.

46. Шикина. Г. Е. Неравенство типа Гильберта по системе собственных и присоединенных функций дифференциального оператора четного порядка. // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, N-1. С. 145 -155.

47. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 190 229.

48. Шкаликов A.A. О свойствах части собственных и присоединенных элементов самосопряженных квадратичных пучков операторов.Докл. АН СССР. 1985. Т. 283, iV? 5. С. 1100 1106.

49. Конашенко A.B. Формула среднего значения и некоторые оценки корневых функций квадратичного пучка дифференциальных операторов. // СГПУ. 1999. Деп. в ВИНИТИ, 15.12.99. N- 3709 В99.

50. Конашенко A.B. Критерий бесселевости системы корневых функций квадратичного пучка дифференциальных операторов. // СГПУ. 1999. Деп. в ВИНИТИ, 15.12.99. №- 3710 В99.

51. Конашенко A.B. Критерий бесселевости систем функций вида (ехр (гАп?) sin/?nt} и (exp (zAni) cos/ini}. // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №-6. С.