Действия подторов и инвариантные схемы Гильберта

Диссертация посвящена исследованию действий редуктивных алгебраических групп (в частности, алгебраических торов) на аффинных многообразиях.

Пусть V — конечномерное векторное пространство над нолем к, G — связная редуктивная алгебраическая группа. Рассмотрим линейное действие G: V. Изучаемые в современной теории инвариантов свойства замыканий орбит X = Gv С V можно условно разделить на четыре группы:

1) «комбинаторные» (число орбит в Gv, граф примыканий орбит, .);

2) алгебро-геометрические (гладкость, нормальность, коэн — маколеевость, типы особенностей, .);

3) топологические (стягиваемость, односвязность, вычисление гомологий и когомологий, высших гомотопических групп, .);

4) свойства вложения Gv С V (размерность линейной оболочки, гинерплос-кие сечения, описание идеала, задающего многообразие, .).

Первая глава диссертации посвящена изучению свойства отделимости, которое, на наш взгляд, относится к наиболее естественным свойствам четвертого типа.

Определение. Подмножество X векторного пространства V обладает свойством отделимости, если для любой пары линейно независимых линейных функций а, (3? V* найдется точка х? X такая, что а{х) = 0 и /3(х) ф 0.

Другими словами, выполнение свойства отделимости означает, что для любой однородной гиперплоскости Я пересечение Н ГХ линейно порождает Н. Свойство отделимости для подмножества в проективном пространстве определяется аналогично. Впервые вопрос о выполнении свойства отделимости появился у Й.-К. Янтцена в связи с работой А. Премета [24]:

Вопрос. Пусть к — алгебраически замкнутое поле, G — простая алгебраическая группа и 0 — ее касательная алгебра. Верно ли, что минимальная нильиотентная орбита в g относительно присоединенного представления обладает свойством отделимости?

Ответ на этот вопрос получен в работе [18]. Он положителен для всех простых групп за исключением Sp2n¦ В работе [18] также введены понятия «сильного» и «слабого» свойств отделимости (см. определения 1.1.3 и 1.1.6) и доказаны следующие теоремы:

Теорема [18, Теор. 1]. Пусть G — связная полупростая группа, и V (x) — модуль Вейля группы G, отвечающий старшему весу х с отметками щ. Обозначим через Omin С V (x) орбиту старшего вектора. Тогда :

1) От{п удовлетворяет сильному свойству отделимости тогда и только тогда, когда х ~ фундаментальный вес;

2) Omin удовлетворяет свойству отделимости тогда и только тогда, когда щ < 1 для любого г;

3) Omin удовлетворяет слабому свойству отделимости тогда и только тогда, когда щ < 2 для любого г.

Теорема [18, Теор. 2]. Пусть G: V — неприводимое представление связной полупростой группы G. Тогда если Omin обладает свойством отделимости, то любая G-орбита О обладает свойством отделимости.

Теорема [18, Теор. 3]. Предположим, что char А- = 0, и G: V — неприводимое представление полупростой группы G. Тогда типичная орбита группы G в V обладает свойством отделимости.

Цель первой главы диссертации — исследовать свойства отделимости для замыканий орбит тора в векторных и проективных пространствах над алгебраически замкнутым полем. Это простейшее обобщение теоремы [18, Теор. 1] на случай приводимых представлений редуктивных групп.

Пусть Т — алгебраический тор, X — решетка характеров Т, V — векторное пространство над алгебраически замкнутым полем к. Рассмотрим линейное действие Т: V, где t ¦ {хи ., хп) = (xi (t)xi, Xn (t)xn).

Пусть S — моноид в X, порожденный характерами Хъ — чХп, и К = cone (S) С Xq.

Теорема 1.6.2. Замыкание орбиты тора X = Т • (1,., 1) с V обладает свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) конус К острый;

2) Q+Xi является ребром К для любого г;

3)Q+Xi^®+Xj npui^j.

Для проективного действия тора верно следующее:

Теорема 1.7.1. Замыкание орбиты тора X = Т ¦ (1 :.: 1) С P (V) обладает свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) для любого г точка Xi является вершиной выпуклой оболочки conv{xi,., Xn}/ ft) Xi Ф Xj при г ф j.

Идея доказательства указанных теорем состоит в том, что если свойство отделимости нарушается на некоторой паре гиперплоскостей, то эти гиперплоскости можно считать Т-инвариантными. Для обоснования этого соображения мы определяем характеристическое многообразие произвольного подмножества X С V (либо X С P (V)):

Ch (X) = {{(а), (/3)) g P (V*) х P (V*): q (x) = О /3(х) = 0 Vx 6 X}.

После этого мы доказываем:

Теорема 1.3.5. Пусть аффинное подмногообразие X С V неприводимо, не содержится в однородной гиперплоскости, пересекается с любой однородной гиперплоскостью и dimX > 1. Тогда Ch (X) замкнуто в P (V*) xP (V*).

Наконец, мы используем тот факт, что алгебраический тор, действующий на проективном многообразии, имеет неподвижную точку. Более точно:

Предложение 1.4.1. Если X не обладает свойством отделимости и Ch (X) замкнуто, то существует пара ((а),{(3)) € Ch (X) такая, что, а и /3 собственны для Т и линейно независимы.

Предложение 1.4.1 позволяет упростить доказательство критерия выполнения свойства отделимости для ЗХг-орбит бинарных форм, полученного в диссертации К. Баур.

Теорема [9, Теор. 3.4]. Пусть / € k[x, y]n. Тогда орбита Of = SL2 • / обладает свойством отделимости тогда и только тогда, когда форма f имеет линейный делитель кратности один.

Для слабого свойства отделимости мы получаем следующие теоремы.

Теорема 1.6.10. Замыкание орбиты тора X = Т • (1,., 1) С V обладает слабым свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) конус К острый;

2) во внутренности любой грани конуса К лежит не более одного характера Xi (в частности, Q+Xi Ф Q+Xj пРи i Ф j).

Теорема 1.7.3. Замыкание орбиты тора X = Т • (1: .: 1) С P (V) обладает слабым свойством отделимости тогда и только тогда, когда во внутренности любой грани выпуклой оболочки conv{xi,., хп} лежит не более одного (в частности, Xi Ф Xj пРи i Ф j).

Наконец, мы рассматриваем сильное свойство отделимости.

Теорема 1.6.14. Предположим, что замыкание орбиты тора X — Г • (1,., 1) С V является конусом. Тогда X обладает сильным свойством отделимости тогда и только тогда, когда X = V (то есть веса хи • • •, Хп линейно независимы).

Теорема 1.7.4. Замыкание орбиты тора X = Т • (1 :.: 1) С P (V) обладает сильным свойством отделимости тогда и только тогда, когда X = P (V) (то есть точки хъ • ¦ •) Хп аффинно независимы).

Во второй главе мы переходим от исследования индивидуальных свойств замыканий орбит к изучению семейств таких замыканий и описанию схем, параметризующих такие семейства. Фундаментальным результатом теории проективных многообразий является существование схемы Гильберта, т. е. проективной схемы, параметризующей замкнутые подсхемы в проективном пространстве с фиксированным многочленом Гильберта. В контексте действия алгебраического тора на аффинном многообразии аналогом классической схемы Гильберта является мультиградуированная схема Гильберта, которая параметризует (в техническом смысле, уточненном ниже) однородные идеалы алгебры полиномов (или, более общо, произвольной конечнопо-рожденной алгебры), имеющие заданную функцию Гильберта относительно градуировки абелевой группой. В работе [17] было доказано, что мультиградуированная схема Гильберта существует как квазипроективная схема.

Пусть X — аффинное многообразием, на котором действует алгебраический тор Т. Это определяет градуировку алгебры регулярных функций к[Х] решеткой характеров тора Т. Обозначим #х, г торическую схему Гильберта, то есть мультиградуированную схему Гильберта, параметризующую Т-инвариантные идеалы в к[Щ, имеющие ту же функцию Гильберта, что и торическое Т-многообразие X = Т: г, где х € X — это точка общего положения [23]. Мы доказываем, что существует каноническая неприводимая компонента, Но схемы #х, т> параметризующая замыкания типичных Т-орбит в X и их плоские пределы (предложение 2.2.1).

В случае, когда X является торическим (не обязательно нормальным) многообразием относительно большего тора Т, содержащего Т (и Т действует на X ограничением действия Т), фактортор Т/Т естественным образом действует на торической схеме Гильберта #х, тБолее того, главная компонента Hq содержит открытую орбиту Т/Т. Главный результат второй главы — это явное описание веера этого торического многообразия (теорема 2.3.2). Мы также сравниваем веер Щ с веером главной компоненты обратного предела GIT-факторов.

Помимо схемы Гильберта существуют и другие естественные формализации понятия фактора многообразия по действию тора, одной из которых является фактор Чжоу. Торический фактор Чжоу проективного Т-многообразия Y параметризует Т-инвариантные циклы в Y той же размерности и степени, что и замыкание типичной Т-орбиты. Он изоморфен неприводимой компоненте обратного предела GIT-факторов действия Т на Y. Торический фактор Чжоу рассматривался в [19]. В частности, в случае, когда Y — торическое многообразие для большего тора Т, получено описание его веера. Напомним, что веер проективного торического многообразия является нормальным веером к некоторому выпуклому многограннику Р в пространстве, порожденном решеткой характеров тора Т. Пусть Q — проекция этого многогранника на подпространство X{T)q, порожденное решеткой характеров подтора Т. Тогда веер фактора Чжоу — это нормальный веер к многограннику слоев (the fiber polytope) F (P, Q) [И], который является усреднением слоев проекции Р на Q. В случае аффинного Т-многообразия X понятие фактора Чжоу не имеет смысла, однако можно по-прежнему рассматривать главную неприводимую компоненту обратного предела GIT-факторов. В случае, когда X является торическим многообразием для большего тора Т, для описаиия веера главной компоненты обратного предела GIT-факторов в работе [13] введено понятие веера слоев для проекции произвольных полиэдров.

Мы показываем, что в нашей аффинной ситуации веер, отвечающий то-рическому многообразию, Но — это нормальный веер к усреднению «целочисленных» слоев соотвествующей проекции конусов. Под целочисленным слоем мы подразумеваем выпуклую оболочку точек слоя, имеющих целые координаты. Этот объект является в некотором роде дискретным аналогом веера слоев. Если X является конечномерным Т-модулем, и градуировка алгебры к[Х] весами тора Т положительна (то есть к[Х]т = к), то веер, Но совпадает с нормальным веером к структурному многограннику (the state polytope) [25, Теор. 2.5].

В третьем разделе второй главы мы возвращаемся к случаю произвольного аффинного многообразия X, снабженного действием тора Т. Мы напоминаем конструкцию обратного предела Х/сТ GIT-факторов Х/хТ [7] и описываем канонический морфизм Фх, т: Нх, т -> Х/сТ. Этот морфизм был построен в [17, Раздел 5] для случая когда X является Т-модулем. Пользуясь результатами [10], мы обобщаем эту конструкцию на случай произвольного аффинного Т-многообразия X. Мы определяем аналог универсального семейства Wx, t над главной компонентой (Х/сТ)о схемы Х/сТ и показываем, что ограничение морфизма Фх, г на главную компоненту, Но (это бирацио-нальный проективный морфизм, Но —" (Х/.

В третьей главе мы переходим к изучению инвариантных схем Гильберта. Инвариантная схема Гильберта — это обобщение понятия мультиградуированной схемы Гильберта на случай действий произвольных редуктивных групп. Пусть G — связная редуктивная группа, и X — аффинная G-схема. Инвариантная схема Гильберта параметризует замкнутые (^-инвариантные подсхемы IbIc фиксированной структурой G-модуля на алгебре регулярных функций к[Х). Существование инвариантной схемы Гильберта для произвольных связных редуктивных групп было доказано в [6].

Мы рассматриваем инвариантные схемы Гильберта в контексте предмета классической теории инвариантов, а именно, для диагонального действия (связной редуктивной) линейной группы G С GL (V) на прямой сумме т копий пространства V. Хорошо известно, что задача нахождения инвариантов для такого действия сводится к задаче нахождения инвариантов системы из п векторов, где п = dim V (редукция первой основной теоремы классической теории инвариантов). Пусть группа G полупроста и ненриводима. Тогда для действия G на т копиях пространства V типичная орбита замкнута и изоморфна G при т > п. Мы показываем, что в случае, когда G является одной из классических простых групп (то есть SL (V), SO (V), Sp (V)), задача построения инвариантной схемы Гильберта, параметризующей типичные орбиты, также сводится к задаче нахождения инвариантной схемы Гильберта в случае п векторов (теорема 3.2.3). Мы также приводим примеры явной геометрической реализации инвариантных схем Гильберта.

Автор благодарна своему научному руководителю кандидату физ.-мат. наук доценту И. В. Аржанцеву за постановку задачи первой главы и внимательное руководство в процессе написания диссертации, профессору М. Бри-ону за постановку задач второй и третьей глав, ряд ценных идей и полезные обсуждения, а также доктору физ.-мат. наук профессору Э. Б. Винбергу за внимание к работе.

1. Винберг Э. Б. и Попов В. J1. Теория инвариантов. Москва: ВИНИТИ, Фундаментальные направления, том 55, 1989, с. 137−315.

2. Попов В. JI. Критерий стабильности действия полуиростой группы на факториальном многообразии// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1970, том 34, № 3, с. 523−531.

3. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. Москва: Наука, 1980.

4. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. Москва: Мир, 1981.

5. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Москва: Наука, 1972.

6. Alexeev V. and Brion М. Moduli of affine schemes with reductive group action //J. Algebraic Geom., vol. 14, 2005,. p. 83−117.

7. Altman K. and Hausen J. Polyhedral divisors and algebraic torus actions // Mathematische Annalen, vol. 334, 2006, p. 557−607.

8. Arnold V. I. A-graded algebras and continued fractions // Communications in Pure and Applied Math., vol. 42, 1989, p. 993−1000.

9. Baur K. Two Contributions to the Representation Theory of Algebraic Groups. Doctoral Thesis, Basel, 2002.

10. Berchtold F. and Hausen J. GIT-equivalence beyond the ample cone // Michigan Math. J., vol. 54, 2006, p. 483−515.

11. Billera L. J. and Sturmfels B. Fiber polytopes // Ann. of Math., vol. 135, № 2, 1992, p. 527−549.

12. Bourbaki N. Commutative algebra, Chapters 1−7 // Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1989.

13. Craw A. and Maclagan D. Fiber fans and toric quotients // Discrete Comput. Geom., vol.37, № 2, 2007, p. 251−266.

14. Eisenbud D. and Harris J. The geometry of schemes. Grad. Texts in Math. 197, Springer-Verlage, New York, 2000.

15. Fulton W. Introduction to toric varieties. Ann. of Math. Stud. 131, Princeton Univ. Press, N. J., 1993./.

16. Grothendieck A. Elements de geometrie algebrique. IV. Etude locale desschemas et des morphismes de schemas IV. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. No. 32, 1967.

17. Haiman M. and Sturmfels B. Multigraded Hilbert schemes // J. Algebraic Geom., vol. 13, 2004, p. 725−769.

18. Kraft H. and Wallach N.R. On the separation property of orbits in representation spaces // Journal of Algebra, vol. 258, 2002, p. 228−254.

19. Kapranov M., Sturmfels В., and Zelevinsky A. Quotients of toric varieties // Math. Ann., vol. 290, 1991, p. 644−655.

20. Korkina E., Post G. and Roelofs M. Classification of generalized A-graded algebras with 3 generators // Bulletin des Sciences Mathemathiques, vol. 119, 1995, 267−287.

21. Matsumura H. Commutative ring theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1986.

22. Mumford D. and Fogarty J. Geometric Invariant Theory // Springer-Verlag, Berlin, 1982.

23. Peeva I. and Stillman M. Toric Hilbert schemes // Duke Math. J., vol. Ill, 2002, p. 419−449.

24. Premet A. Support varieties of non-restricted modules over Lie algebras of reductive groups // J. London Math. Soc., vol. 55, № 2, 1997, p. 236−250.

25. Sturmfels B. Grobner bases and convex polytopes. Univ. Lecture Ser. 8, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1996.

26. Swiecicka J. Quotients of toric varieties by actions of subtori // Colloq. Math., vol. 82, № 1, 1999, p. 105−116.Публикации по теме диссертации:

27. Чувашова О. В. Свойства отделимости для замыканий торических орбит // Мат. Сборник, том 197, № 3, 2006, стр. 117−134.

28. Чувашова О. В. Инвариантные схемы Гильберта и диагональные действия редуктивных групп // депонировано в ВИНИТИ РАН, № 895 -В2007 от 25.09.07, 24 стр.

29. Чувашова О. В. Веер главной компоненты торической схемы Гильберта // Успехи Мат. Наук, 2007, том 62, вып. 5, стр. 167−168.